Pengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial
|
|
- Yenny Pranata
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Pengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial Drs. Johannes P. Mataniari FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Suatu peubah z=f(x,y) yang tergantung dari peubah x dan y, dikatakan merupakan fungsi dua peubah jika untuk setiap pasangan x dan y ada satu harga z sedemikian hingga z=f(x,y). Sebagai contoh, dapat dilihat dalam bidang produksi. Misalkan z=f(x,y) dimana : z menyatakan total ongkos produksi. x menyatakan banyaknya mesin yang digunakan. y menyatakan jam kerja yang diperlukan. Tujuan yang ingin dicapai dalam menyelesaikan fungsi dua peubah adalah untuk mendapatkan hasil yang optimal. Hal ini dipengaruhi oleh harga harga peubah x dan y karena peubah x dan y merupakan peubah peubah bebas yang menentukan harga peubah tak bebas z. Optimal tidak ditentukan oleh maksimum atau minimum. Akan tetapi yang dimaksudkan dengan hasil yang optimal ialah bagaimana memaksimumkan z=f(x,y) dengan harga peubah x dan y yang minimum. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian optimal dari fungsi dua peubah adalah secara geometri diferensial. Dengan geometri diferensial, dapat diperoleh harga peubah x dan y yang diinginkan dan harga peubah z yang optimal apabila peubah z=f(x,y) dan kendala kendalanya diketahui. Berdasarkan uraian di atas adalah merupakan hal yang menarik perhatian kami untuk membahas tentang Pengoptimalan Fungsi Dua Peubah Secara Geometri Diferensial Rumusan Masalah Masalah adalah persoalan yang sedang dan akan dihadapi dan masalah merupakan sesuatu yang tidak diinginkan. Oleh karena itu, akibat tersebut merupakan penyimpangan dari apa yang seharusnya. Dari uraian di atas, masalah masalah yang dihadapi adalah sebagai berikut : Apakah hasil yang ingin dicapai dari suatu fungsi dua peubah z=f(x,y) itu sudah optimal? Jika hasil tersebut tidak optimal, berapakah besarnya penyimpangan yang terjadi? 1.3. Tujuan dan Manfaat Hasil yang optimal adalah sesuatu yang sangat penting dalam hal apapun. Sedikit saja terjadi kesalahan dalam menentukan langkah awal, maka hasilnya akan jauh dari apa yang diharapkan. Oleh karena itu, kami mengharapkan dengan adanya tulisan ini, maka dapat diketahui cara cara apa yang harus ditempuh untuk mencapai suatu hasil yang optimal dari fungsi dua peubah Alur/Kerangka Pemikiran Pembahasan dalam tulisan ini adalah dengan menggunakan diferensial parsial, khususnya pada teori deferensial geometri pada pengoptimalan fungsi dua peubah z=f(x,y). Adapun langkah langkah yang digunakan dalam tulisan ini adalah sebagai berikut : a. Teori tentang fungsi dua peubah z=f(x,y). b. Memperkenalkan teori tentang nilai ekstrim dari fungsi dua peubah z=f(x,y) dan jenis ekstrimnya.
2 c. Menguraikan metode metode yang akan digunakan untuk mendapatkan hasil yang optimal dari fungsi dua peubah z=f(x,y). d. Menggunakan diferensial parsial untuk menentukan luas atau volume yang optimal. e. Mencari besarnya hampiran (penyimpangan) yang terjadi pada luas atau volume yang optimal Tinjauan Pustaka 1. Martono, K., KALKULUS DAN ILMU UKUR ANALITIK 2, Penerbit Angkasa, Bandung, Dari buku ini ditinjau tentang nilai ekstrim dari fungsi dua peubah z=f(x,y) dan jenis ekstrimnya. 2. Purcell, Edwin, J. dan Varberg, Dale, KALKULUS DAN GEOMETRI ANALITIK, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1994, Edisi Kelima, Jilid 2. Dari buku ini ditinjau tentang maksimum dan minimum pengali Lagrange serta hampiran dari fungsi dua peubah z=f(x,y). 3. Sianipar, P., KALKULUS II, Penerbit USU, Medan, Dari buku ini ditinjau tentang fungsi dua peubah z=f(x,y). METODOLOGI 2.1. Fungsi Dua Peubah Bila untuk setiap pasangan (x,y) dari harga harga dua peubah bebas x dan y (dari beberapa domain D), terdapat korespondensi harga harga tertentu, maka dikatakan bahwa z adalah fungsi dari dua peubah bebas x dan y yang tertentu di dalam domain D. Secara simbolis, fungsi dari dua variabel dituliskan dengan z=f(x,y). Kumpulan pasangan pasangan (x,y) dari harga harga x dan y untuk fungsi z=f(x,y) tertentu, disebut daerah asal atau domain (D). Jika daerah asal fungsi tidak diperinci, maka diambil D yang berupa daerah asal mulanya (natural domain), yakni himpunan semua titik (x,y) pada bidang dimana aturan fungsi berlaku dan menghasilkan suatu bilangan riil Nilai Ekstrim Nilai maksimum dari fungsi z=f(x,y) dicapai pada pasangan nilai variabel variabel bebas x dan y adalah nilai terbesar dari fungsi f(x,y) dalam suatu lengkungan dari titik (x o,y o, o) dan nilai minimum dari z=f(x,y) adalah nilai terkecil di lengkungan dari titik (x 1,y 1, o). Ada beberapa batasan yang harus kita perhatikan untuk mengetahui nilai ekstrim suatu fungsi, yakni: 1. Fungsi z=f(x,y) mempunyai nilai maksimum di (x o, y o ) jika terdapat bilangan bilangan positif S 1 dan S 2 sehingga berlaku : (x,y) H = { (x,y) x-x o < S 1, (x,y) y-y o < S 2 } berlaku f(x o, y o ) f(x,y). 2. Fungsi z=f(x,y) mempunyai nilai minimum jika f(x o, y o ) f(x,y). 3. Jika fungsi z=f(x,y) di (x o, y o ) mencapai nilai minimum atau minimum maka fungsi z=f(x,y) mencapai nilai ekstrim dan titiknya disebut dengan titik ekstrim. 4. Misalkan z=f(x,y) merupakan suatu permukaan dan andaikan T adalah titik pada permukaan. Jika berlaku dz dz dx T = 0 dan dy T = 0 maka T disebut titik stasioner pada permukaan Jenis Ekstrim Jenis ekstrim dapat ditentukan dengan turunan parsial tingkat dua, yakni dengan dalil : Misalkan titik T (x o,y o, z o ) adalah titik stasioner dari z=f(x,y) dengan dz dan dx T = 0
3 dz dy T = 0 Diskriminan dari f : D = maka berlaku : 1. Jika di T berlaku > 0 dan 2 f < 0, atau 2 f < 0, maka T titik maksimum. x 2 y 2 2. Jika di T berlaku > 0 dan 2 f > 0, atau 2 f > 0, maka T titik minimum. x 2 y 2 3. Jika di T berlaku < 0 maka T bukan titik ekstrim. 4. Jika di T berlaku = 0 maka tidak dapat ditarik kesimpulan apakah T titik maksimum atau minimum. 2 f x 2 2 f y 2 2 f x y 2.4. Metode - Metode Adapun metode metode atau cara cara menyelesaikan permasalahan yang akan digunakan dalam pembahasan mengenai pengoptimalan fungsi dua peubah diantaranya adalah : 1. Turunan parsial dari suatu fungsi dua peubah. Turunan parsial dari suatu fungsi z=f(x,y) terhadap x adalah turunan terhadap x dengan mengambil y konstan, dengan perkataan lain yaitu z dihitung dari z=f(x,y) x dengan menganggap y konstan. Turunan parsial dari fungsi z=f(x,y) terhadap y adalah turunan terhadap y dengan menganggap x konstan, dengan perkataan lain yaitu z dihitung dari z=f(x,y) dengan menganggap x konstan. Kemudian dari hasil turunan parsial tersebut akan ditentukan jenis ekstrimnya dari dalil yang telah diuraikan di atas. Tafsiran geometri dan fisisnya adalah dengan memandang permukaan yang persamaannya z=f(x,y). Bidang y=y 0 memotong permukaan ini pada kurva bidang QPR (gambar 1) dan nilai dari f x (x 0, y 0 ) adalah kemiringan garis singgung pada kurva ini di P(x 0, y 0, f (x 0, y 0 )). Serupa dengan itu, bidang x=x 0 memotong permukaan pada kurva bidang LPM (gambar 2) dan f y (x 0, y 0 ) adalah kemiringan garis singgung pada lengkungan ini di titik P. y
4 Turunun parsial dapat juga ditafsirkan sebagai laju perubahan (sesaat). Andaikan bahwa dawai biola diikat di titik A dan B dan bergetar pada bidang xz. Gambar 3 menunjukkan posisi dawai pada suatu waktu tertentu t. Jika z=f(x,t) menyatakan tinggi dawai di P dengan absis x pada saat t, maka z adalah kemiringan dawai di P x dan z adalah waktu laju perubahan ketinggian P sepanjang garis tegak yang ditun- jukkan. Dengan perkataan lain, z adalah kecepatan vertikal dari P. x z GAMBAR 1 t R P f x (x 0, y 0 ) = kemiringan t y Q (x 0, y 0 ) t M z GAMBAR 2 P x (x 0, y 0 ) L y f y (x 0, y 0 ) = kemiringan t z GAMBAR 3 posisi dawai
5 pada waktu t p=(x,f(x,t)) A x B x 2. Pengali Lagrange (Lagrange Multipliers). Untuk mencari nilai minimum dari suatu fungsi adalah suatu masalah nilai ekstrim bebas, sedangkan untuk mencari nilai minimum dari suatu fungsi terhadap suatu kondisi atau syarat tambahan adalah masalah nilai ekstrim terkendala. Banyak permasalahan di dunia nyata, khususnya di bidang ekonomi termasuk ke masalah nilai ekstrim terkendala. Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin memaksimumkan keuntungan tetapi dibatasi oleh banyaknya bahan mentah yang tersedia, banyaknya tenaga kerja, dan sebagainya. Untuk mempermudah menyelesaikan masalah tersebut maka digunakan metode pengali lagrange, yang dinamai menurut penemunya Josefph Louis Lagrange. Metode pengali lagrange adalah suatu metode untuk mencari harga maksimum atau harga minimum dari suatu fungsi dengan beberapa variabel, dimana variabel variabel tersebut dikaitkan dengan satu atau lebih persamaan yang disebut syarat tambahan atau kekangan. Dari metode ini, untuk memaksimumkan f terhadap kendala g(x,y) = 0 sama dengan mencari kurva ketinggian f(x,y) = k (k suatu konstanta) dengan kemungkinan k terbesar yang memotong kurva kendala di suatu titik P o (x o, y o ) dan karenanya nilai maksimum f terhadap kendala g(x,y) = 0 adalah T o (x o, y o ). Titik singgung lainnya P 1 (x 1,y 1 ) memberikan nilai minimum T 1 (x 1,y 1 ) dari f terhadap kendala g(x,y) = 0. Metode lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk penentuan titik P o dan P 1. Karena di titik titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung (yaitu, mempunyai suatu garis singgung bersama), kedua kurva tersebut mempunyai suatu garis tegaklurus bersama. Tetapi di seberang titik dari kurva ketinggian, vektor gradien f adalah tegaklurus terhadap kurva ketinggian dan dengan cara serupa g adalah tegaklurus terhadap kurva kendala. Jadi f dan g sejajar di P o dan juga di P 1 yaitu : f(p o ) = λ o. g(p o ) dan f(p 1 ) = λ 1. g(p 1 ) untuk suatu bilangan λ o dan λ 1 tak nol. Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) = 0, selesaikan persamaan f(x,y) = λ. g(x,y) dan g(x,y) = 0 untuk (x,y) dan λ. Tiap titik (x,y) yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrim terkendala dan λ yang berpadanan disebut pengali lagrange. 3. Hampiran Andaikan z=f(x,y) dan f adalah suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan andaikan dx dan dy disebut diferensial diferensial dari x dan y berupa peubah peubah. Diferensial dari peubah tak bebas, dz, disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df(x,y), didefinisikan oleh : dz = df(x,y) = f x (x,y)dx + f y (x,y)dy. Pentingnya dz muncul dari kenyataan bahwa dx = x dan dy = y, masing masing mewakili perubahan kecil dalam x dan y, maka dz akan berupa suatu hampiran (aproksimasi) yang baik terhadap z, perubahan padanannya dalam z. Dalam hal ini penghampiran akan semakin baik jika x dan y (kesalahan) semakin kecil. PEMBAHASAN 3.1. Penerapan Masalah Maksimum dan Minimum Dalam penerapan masalah maksimum dan minimum dapat menggunakan metode maksimum minimum interval tertentu. Ketika menghadapi masalah tersebut, langkah pertama
6 yamg penting adalah menentukan besaran yang harus dimaksimalkan atau diminimalkan. Besaran ini menjadi peubah tak bebas di dalam analisis masalah. Peubah tak bebas ini kemudian harus dinyatakan dalam peubah bebas yaitu yang mengontrol nilai nilai peubah tak bebas. Apabila daerah asal nilai nilai peubah bebasnya adalah interval tertutup maka dapat diteruskan dengan metode maksimum minimum interval tertutup. Rencana penyelesaian dapat dirangkum dalam langkah langkah berikut ini : 1. Tentukan besaran yang harus dimaksimalkan atau diminimalkan. Besaran ini akan menjadi peubah tak bebas yang berupa sebuah kata atau phrase singkat dan diberi label dengan huruf yang bermakna. Karena merupakan peubah tak bebas, maka tergantung pada yang lain yaitu peubah bebas. Peubah bebasnya adalah x dan y. 2. Nyatakan peubah tak bebas ke dalam peubah bebas. Gunakan informasi di dalam masalah untuk menulis peubah tak bebas sebagai f(x,y). Buatlah gambar dan beri label peubah, biasanya ini merupakan antara peubah tak bebas dengan peubah bebas. Gunakan peubah pembantu jika diperlukan, tetapi jangan terlalu banyak. Peubah pembantu ini akhirnya harus dihilangkan. Peubah tak bebas harus dinyatakan sebagai fungsi dari dua peubah bebas x dan y dan beberapa konstanta sebelum dihitung turunannya. Temukan daerah asal fungsi dan juga rumusnya. Usahakan supaya daerah asalnya interval tertutup dan terbatas. Apabila daerah asalnya interval terbuka maka masukkan kedua titik ujungnya. 3. Terapkan kalkulus untuk menemukan titik titik kritis. Hitunglah turunan f dari f yang dihasilkan langkah dua. Gunakan turunan ini untuk menemukan titik titik kritis yaitu dimana z = 0 dan z = 0. Apabila f dapat x y diturunkan dimana mana maka titik titik kritisnya terjadi hanya dengan z = 0 dan z = 0. x 4. Tentukan nilai nilai ektrim. Selidiki f pada setiap titik kritis di daerah asal beserta titik titik ujungnya. Nilai nilai yang diperoleh akan menunjukkan nilai mana yang merupakan maksimum absolut dan minimum absolut. Tentu saja di setiap nilai ekstrim bisa terjadi lebih dari satu titik. 5. Jawablah pertanyaan pada persoalan awal. Dengan kata lain interpretasikan hasilnya. Jawaban untuk pertanyaan awal mungkin bukan sekedar nilai terbesar atau terkecil dari f. Berikut ini akan dibahas beberapa contoh dalam permasalahan maksimum dan minimum yaitu : u Mencari ukuran kerucut lingkaran tegak dengan volume minimum yang dapat dilingkupkan sekeliling bola dengan jari jari 20 cm. x Penyelesaian : Misalkan : x = jari jari dasar kerucut. y = panjang AD
7 Jadi tinggi kerucut = (y + 20) cm. Dari setiga siku siku AED dengan ED adalah jari jari bola, maka : Panjang AE = AD 2 + ED 2 = y = y Permasalahan ini dapat digambarkan secara geometri sebagai berikut : A y D E B x C Dari segitiga siku siku sebangun ABC dan AED, didapat: A x = y y x 2 = 20(y + 20) y = 400 (y + 20) 2 B C y A = 400 (y + 20) 2 (y + 20). (y 20) = 400 (y + 20) (y 20) E D 2
8 Volume kerucut : V = ( π.x 2 ).(y + 20) 3 = 400.π.(y + 20) 2 3.(y 20) Fungsi volume diturunkan terhadap fungsi peubah bebas y : V = 400.π.(y +20).(y 60) = 0 y 3.(y 20) π.(y +20).(y 60) = 0 (y +20).(y 60) = 0 y 60 = 0 y = 60 Harga kritis yang bersangkutan adalah y = 60 Maka tinggi kerucut = y + 20 = = 80 cm. Jari - jari dasar = x = 20.(y + 20) y = 20.( ) = = cm. u Sehelai kertas untuk poster luasnya 2 m 2. Garis tepi dibagian atas dan bawah adalah 21 cm dan pada sisinya adalah 14 cm. Berapakan ukuran panjang poster bila luas bagian yang dicetak adalah maksimum? Penyelesaian :
9 Misalkan : panjang poster = x meter, maka lebar poster = 2/x meter x m 0,14 0,14 21cm = 0,21m (2/x 0.42)m 21 cm = 0,21 m Luas daerah yang dicetak dalam meter persegi adalah : A = (x 0,28).(2/x 0,42) Fungsi luas diturunkan terhadap fungsi peubah bebas x : A = (2/x 0,42) + (-2/x 2 ).(x 0,28) x A = 0 x = (2/x 0,42) (2/x 0,56/x 2 ) = 0,56/x 2 0,42 0,56/x 2 0,42 = 0 0,56/x 2 = 0,42 x 2 = 0,42 0,56 x = 2. 3 Jadi ukuran poster : v panjang = x = 2. 3 meter v lebar = 2/x = 3 meter 3 3 u Sebuah talang terbuka yang penampangnya suatu trapesium sama kaki akan dibuat dari selembar panjang logam dengan lebar 12 inci dengan cara menekuk untuk membuat sisi sisinya. Tentukanlah sudut talang itu dan lebar kedua sisinya agar muatan talang maksimum. Penyelesaian :
10 Misalkan : Alas talang = y Lebar sisi sisi talang = x Maka : 2x + y = 12 inci y = 12 2x. (1) Bentuk talang dilihat dari samping dapat digambar secara geometri sebagai berikut : x.sin θ x.cos θ θ 90 0 x y Agar luas talang maksimum, luas trapesium harus maksimum : L = ½.[y +(y + 2x.sinθ)].x.cosθ = ½.(2y + 2x.sinθ).x.cosθ = (y + x.sinθ).x.cosθ = xy.cosθ + x 2.sinθ.cosθ = x.(12 2x).cosθ + ½.x 2.sin2θ = 12x.cosθ 2.x 2.cosθ + ½.x 2.sin2θ Fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah bebas x : L = 12.cosθ 4x.cosθ + x.sin2θ = 0 x 12.cosθ 4x.cosθ + 2x.sinθ.cosθ = 0 cosθ.(12 4x + 2x.sinθ) = x + 2x.sinθ = x.(2 sinθ) = 0 2x.(2 sinθ) = 12 x = 12 x = 6 2.(2 sinθ) Fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah θ : L = -12.x.sinθ+ 2x 2 sinθ + x 2 cos2θ = 0 θ x.(-12.sinθ + 2xsinθ + xcos2θ) = 0-12.sinθ + 2xsinθ + xcos2θ = 0 (2 sinθ).(2)
11 -12.sinθ sinθ + 6.cos2θ = 0 (2 sinθ) (2 sinθ) -12.sinθ. (2 sinθ) sinθ + 6.(1 2.sin 2 θ) = 0 (2 sinθ) -24.sinθ + 12sin 2 θ + 12sinθ sin 2 θ = 0 Substitusikan θ = 30 0 ke (2) : x = 6 x = 6 (2 sin 30 0 ) 1½ x = 4 inci Substitusikan x = 4 ke (1) : y = 12 2(4) y = 12 8 y = 4 inci Jadi sudut alas talang = θ = = Jadi ukuran talang tersebut adalah : v Lebar kedua sisi talang = 4 inci v Alas talang = 4 inci -12sinθ + 6 = 0 12sinθ = 6 sinθ = ½ θ = Penerapan Masalah Pengali Lagrange Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) = 0, selesaikanlah persamaan f(x,y) = λ. g(x,y) dan g(x,y) = 0 untuk (x,y) dan λ. Tiap titik (x,y) yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrim terkendala dan λ yang berpadanan disebut pengali lagrange. Berikut ini akan dibahas beberapa contoh permasalahan yang diselesaikan dengan menggunakan pengali lagrange, yaitu : F Mencari luas daerah terbesar yang dapat dimiliki oleh suatu persegipanjang jika panjang diagonalnya 2.
12 Penyelesaian : Letakkan persegipanjang itu di kuadran pertama dengan dua sisinya sepanjang sumbusumbu koordinat (x,y), dengan x dan y positif. Panjang diagonalnya adalah x²+y² = 2 dan luasnya adalah xy. x 2 + y 2 = 2 x 2 + y 2 = 4 x 2 + y 2 4 = 0 Jadi dapat dirumuskan masalah berupa pemaksimuman f(x,y) = xy terhadap kendala g(x,y) = x 2 + y 2 4 = 0. f x (x,y) = y f y (x,y) = x g x (x,y) = 2x g y (x,y) = 2y Gradien yang berpadanan adalah : f(x,y) = f x (x,y)i + f y (x,y)j = yi + xj g(x,y) = g x (x,y)i + g y (x,y)j = 2xi +2yj Sekarang persamaan-persamaan lagrange menjadi : f x (x,y) = λ.g x (x,y) y = λ.2x.(1) f y (x,y) = λ.g y (x,y) x = λ.2y..(2) x 2 + y 2 = 4..(3) yang harus diselesaikan secara serentak. Jika persamaan pertama dikalikan dengan y dan persamaan kedua dengan x, diperoleh y 2 = λ.2xy dan x 2 = λ.2xy yang menghasilkan x 2 = y 2 atau x = y. Dari (3) : x 2 + y 2 = 4 x 2 + x 2 = 4 2 x 2 = 4 x 2 = 2 x = 2 y = 2 Dengan mensubstitusi nilai-nilai ini ke dalam (1), maka didapatkan : y = λ.2x 2 = λ.22 λ = ½ Jadi luas persegipanjang maksimum dengan diagonal 2 adalah bujursangkar, yang panjang sisinya 2. Luas maksimumnya adalah 2. F Menentukan volume maksimum suatu kotak segi empat yang terbuka atasnya, yang dapat dibuat dari selembar karton yang luasnya 48 cm 2.
13 Penyelesaian : Misalkan : Panjang alas = x Lebar alas = y Tinggi = z Bentuk kotak dapat digambarkan secara geometri sebagai berikut : z x y Kendala dalam pemasalahan ini adalah : L = x.y + 2.x.z + 2.y.z 48 = 0.(1) Yang harus dimaksimumkan adalah volume : V = x.y.z Fungsi volume V dan fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah bebas x : V = λ L x x yz = λ.(y + 2z) yz = λ.y + 2.λ.z (2) Fungsi volume V dan fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah bebas y : V = λ. L y y xz = λ.(x + 2z) xz = λ.x + 2 λ.z...(3) Fungsi volume V dan fungsi luas L diturunkan terhadap fungsi peubah bebas z : V = λ. L z z xy = λ.(2x + 2y) xy = 2. λ.x + 2 λ.y (4) Dari (2) dan (3) dieliminasikan: (2) : yz = λ.y + 2. λ.z (3) : xz = λ.x + 2 λ.z (-) yz xz = λ.y + λ.x z(y x) = λ.(y x) z = λ.(5)
14 Dari (2) dan (4) dieliminasikan: (2) : yz = λ.y + 2.λ.z.2 (4) : xy = 2.λ.x + 2 λ.y.1 (2) : 2yz = 2. λ.y + 4. λ.z (4) : xy = 2. λ.x + 2 λ.y (-) 2yz xy = 4. λ.z + 2 λ.y y(2z x) = 2. λ.(2z x) y = 2. λ...(6) Dari (3) dan (4) dieliminasikan: (3) : xz = λ.x + 2. λ.z.2 (4) : xy = 2. λ.x + 2 λ.y.1 (3) : 2xz = 2. λ.x + 4. λ.z (4) : xy = 2. λ.x + 2 λ.y (-) 2xz xy = 4. λ.z + 2 λ.y x(2z y) = 2. λ.(2z y) x = 2. λ (7) Substitusikan (5),(6),(7) ke (1) : x.y + 2.x.z + 2.y.z 48 = 0 (2. λ).(2. λ) + 2. (2. λ).(λ) + 2. (2. λ).(λ) 48 = 0 4. λ λ λ 2 = λ 2 = 48 λ 2 = 4 λ = 2 Substitusikan λ = 2 ke (5),(6),(7) : (5) : z = λ = 2 (6) : y = 2. λ = 2.(2) = 4 (7) : x = 2. λ = 2.(2) = 4 Jadi ukuran kotak tersebut adalah : v panjang = 4 cm v lebar = 4 cm v tinggi = 2 cm 3.3. Penerapan Masalah Hampiran Diferensial dari peubah tak bebas, dz, disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df(x,y), didefinisikan oleh : dz = df(x,y) = f x (x,y)dx + f y (x,y)dy. Pentingnya dz muncul dari kenyataan bahwa dx = x dan dy = y, masing masing mewakili perubahan kecil dalam x dan y, maka dz akan berupa suatu hampiran (aproksimasi) yang baik terhadap z, perubahan padanannya dalam z. Dalam hal ini penghampiran akan semakin baik jika x dan y (kesalahan) semakin kecil.
15 Berikut ini akan dibahas beberapa contoh permasalahan hampiran yaitu : < Dua sisi paralel dari sebuah empat persegi panjang dipanjangkan dengan kelajuan 2 cm s -1 sedang kedua sisi lain dipendekkan sedemikian rupa, sehingga gambar tetap berbentuk empat persegi panjang dengan luas A = 50 cm 2 yang tetap. Berapakah laju perubahan keliling P, jika panjang sisi yang bertambah adalah : (a) 5 cm? (b) 10 cm? (c) Berapakah ukuran empat persegi panjang jika keliling berhenti berkurang. Penyelesaian : Misal : x = panjang sisi yang akan dipanjangkan y = panjang sisi lain pada saat t Keliling = P = 2.(x + y) Fungsi Keliling P diturunkan terhadap fungsi peubah bebas t : P = 2 x + y Luas = A = x.y = 50 Fungsi Luas A diturunkan terhadap fungsi peubah bebas t : A = x x + y y = 0 (a) Jika x = 5, y = 10 dan x = 2 Maka 5 y + 10.(2) = 0 x = - 4 P = 2.(2 4 ) = 4 cm s -1 Jadi Keliling P berkurang 4 cm s -1 (b) Jika x = 15, y = 5 dan x = 2 Maka 10 y + 5.(2) = 0 x = - 1 P = 2.(2 1 ) = 2 cm s -1 Jadi Keliling P bertambah 2 cm s -1 (c) Keliling akan berhenti berkurang jika P = 0 yaitu jika y = - x = - 2
16 Maka : x.(-2) + y.(-2) = 0, dan empat persegi panjang adalah bujur sangkar dengan sisi x = y = 5 2 cm < Mencari perubahan volume kubus sisi x cm yang didekati, yang disebabkan oleh pertambahan sisi sisinya dengan 1 %. Penyelesaian : Volume Kubus : V = x³ cm³ Fungsi Volume diturunkan terhadap fungsi peubah bebas x : V = 3x² x..(1) Pertambahan sisi = x = 1 %x cm dx = 0,01x..(2) Substitusikan (2) ke (1) : V = 3x².(0,01x) = 0,03 x³ cm³ Jadi perubahan volume kubus sebesar 0,03 x³ cm³ < Mencari massa yang didekati suatu pipa tembaga yang panjangnya 2 m, jika diameter dalam adalah 2,5 cm dan tebalnya 0,25 cm. Rapat massa tembaga adalah 8800 kg m -3. Penyelesaian : Diameter : d = 2,5 cm = 1/40 m Jari jari : r = d/2 = 1/80 m Tinggi : t = 2 m Volume : V = (luas alas).(tinggi) V = (πr²). (t) V = 2.πr² m³ Fungsi Volume diturunkan terhadap fungsi peubah bebas r : V = 4.πr r...(1) Tebal : r = 0,25 cm = 1/400 m dr = 1/400 (2) Substitusikan (2) ke (1) : V = 4.π.(1/80).(1/400) = π/8000 m³ Jadi massa tersebut adalah : (π/8000).8800 = 3,46 kg. KESIMPULAN Dari pembahasan mengenai Pengoptimalan Fungsi Dua Peubah Secara Geometri Diferensial, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : 1. Suatu peubah z=f(x,y) disebut sebagai fungsi dua peubah jika untuk setiap pasangan x dan y ada satu harga z. 2. Suatu hasil yang optimal bukan ditentukan oleh maksimum atau minimumnya, tetapi bagaimana memaksimumkan z=f(x,y) dengan harga peubah x dan y yang minimum. 3. Metode Pengali Lagrange adalah suatu metode untuk mencari harga maksimum atau harga minimum dari suatu fungsi dengan beberapa variabel, dimana variabel variabel tersebut dikaitkan dengan salah satu atau lebih persamaan yang disebut syarat tambahan atau kekangan. 4. Diferensial dari peubah tak bebas, dz, disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df(x,y), didefinisikan oleh : dz = df(x,y) = f x (x,y)dx + f y (x,y)dy.
17 5. Suatu hampiran akan semakin baik jika x dan y (kesalahan) semakin kecil. DAFTAR PUSTAKA 1. Ault, J.C., Ayres, Frank, J.R. dan Prasetio, Lea, KALKULUS, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1996, Edisi Kedua. 2. Edwards, H. dan Penney, David, E., KALKULUS DENGAN ANALISIS GEOMETRI, Penerbit Prenhallindo, Jakarta, 2000, Edisi Pertama, Jilid Martono, K., KALKULUS DAN ILMU UKUR ANALITIK 2, Penerbit Angkasa, Bandung, Purcell, Edwin, J. dan Varberg, Dale, KALKULUS DAN GEOMETRI ANALITIK, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1994, Edisi Kelima, Jilid Sianipar, P., KALKULUS II, Penerbit USU, Medan, 2000.
Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua
Lebih terperinciTKS 4003 Matematika II. Nilai Ekstrim. (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Fungsi Dua Peubah Bila untuk setiap pasangan (x,y) dari harga harga dua peubah bebas
Lebih terperinciKalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Lebih terperinciHendra Gunawan. 4 April 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 4 April 2014 Kuliah yang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah
Lebih terperinciBAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
Lebih terperinci(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Lebih terperinci5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1
5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
Lebih terperinci5.1 Menggambar grafik fungsi
5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.
Lebih terperinciPertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes
Pertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes Standar Kompetensi : 1. Memahami Teorema Green Kompetensi Dasar : 1. Menyebutkan kembali pengertian
Lebih terperinciLAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN FUNGSI NAIK DAN TURUN. Diketahui: g x = dan titik (, 0)
160 LAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN 1. Tentukan persamaan garis singgung fungsi f x = x 2 di titik (2, 4). FUNGSI NAIK DAN TURUN Diketahui: f x = dan titik (2,...)
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciKALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN
KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciPembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012
Pembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012 PETUNJUK UMUM 1. Sebelum mengerjakan ujian, periksalah terlebih dulu, jumlah soal dan nomor halaman yang terdapat pada naskah soal. Naskah soal ini terdiri dari
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x 0 jika f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 ( h ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim f (x 0 ) = 0 h
Lebih terperinciDEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR
DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR A. Pengertian Turunan dari fungsi y f () Laju rata-rata perubahan fungsi dalam interval antara a dan a h adalah : y f( a h) f( a) f ( a h) f( a) = = (dengan syarat
Lebih terperinciPembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA
Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan
Lebih terperinciTurunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi
8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007
Lebih terperinci(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada
f =, maka fungsi f naik + 1 pada selang (A), 0 (D), 1. Jika ( ) (B) 0, (E) (C),,. Persamaan garis singgung kurva lurus + = 0 adalah (A) + = 0 (B) + = 0 (C) + + = 0 (D) + = 0 (E) + + = 0 = ang sejajar dengasn
Lebih terperinciPENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN
Lebih terperinciBagian 4 Terapan Differensial
Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.
Lebih terperinciK13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika
K3 Revisi Antiremed Kelas Matematika Turunan - Latihan Soal Doc. Name: RK3ARMATWJB080 Version: 06- halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f'(x) =. (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui y = sin ( π x),
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri
Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Contoh - 1 Volume V dari sebuah silinder dengan
Lebih terperinciPembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika Dasar
Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika Dasar Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan
Lebih terperinciSoal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008
Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008. Diketahui premis premis : () Jika hari hujan, maka udara dingin. (2) Jika udara dingin, maka ibu memakai baju hangat. (3) Ibu tidak memakai baju hangat
Lebih terperinciPembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576
Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.
Lebih terperinciJAWABAN PERSIAPAN UKD-5 APLIKASI TURUNAN. 1. Tentukan pers garis singgung (PGS) pada kurva. 2. Tentukan pers garis normal (PGN) pada kurva
JAWABAN PERSIAPAN UKD-5 APLIKASI TURUNAN. Tentukan pers garis singgung (PGS) pada kurva y 4x % 7x + 5 di titik (, ) x y 4( ) % 7( ) + 5 oke y 5 8x 7 m 8( ) 7 5 y 5(x + ) y 5x 5 y 5x +. Tentukan pers garis
Lebih terperinci(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I..
3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Bagian ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum. Definisi 3. Diberikan fungsi f: I R,
Lebih terperinciTurunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciKurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika
Kurikulum 03 Antiremed Kelas Matematika Turunan Fungsi dan Aplikasinya Soal Doc. Name: K3ARMATPMT060 Version: 05-0 halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f (x). (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui
Lebih terperinciSoal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2010/2011
Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2010/2011 1. Diketahui A = 7x + 5 dan B = 2x 3. Nilai A B adalah A. -9x +2 B. -9x +8 C. -5x + 2 D. -5x +8 BAB II BENTUK ALJABAR A B = -7x
Lebih terperinci15. TURUNAN (DERIVATIF)
5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u
Lebih terperinciIntegral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan
BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f
Lebih terperinciAPLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2
Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk
Lebih terperinciLingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
Lebih terperinciPertemuan 6 APLIKASI TURUNAN
Kalkulus Pertemuan 6 APLIKASI TURUNAN Menggambar Grafik Fungsi : Gambarlah grafik dari fungsi berikut! 4 f ( ) Beberapa informasi yang diperlukan untuk mengambar grafik dari fungsi tersebut adalah sebagai
Lebih terperinciSOAL-SOAL TURUNAN FUNGSI
SOAL-SOAL TURUNAN FUNGSI Peserta didik memilki kemampuan memahami konsep pada topik turunan fungsi aljabar. Peserta didik memilki kemampuan mengaplikan konsep kalkulus dalam masalah kontekstual pada topik
Lebih terperinciSOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com
SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan
Lebih terperinciPembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus
Lebih terperinciTURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM
TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum
Lebih terperinciSOAL-SOAL LATIHAN TURUNAN FUNGSI SPMB
SOL-SOL LTIHN TURUNN FUNGSI SPM 00-007. SPM Matematika asar Regional I 00 Kode 0 Garis singgung kurva di titik potongnya dengan sumbu yang absisnya postif y mempunyai gradien.. 9 8 7. SPM Matematika asar
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t
Lebih terperinciBAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA
142 LAMPIRAN III BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA Pernahkan kamu melempar sebuah bola tenis atau bola voli ke atas? Apa lintasan yang terbuat dari lemparan bola tersebut ketika bola itu jatuh
Lebih terperinciPENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T.
PENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T. MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM Misalkan f fungsi dua variable maka f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik (a,b) jika terdapat kitaran dari (a,b) demikian sehingga
Lebih terperinciPERANAN GEOMETRI DALAM MENGOPTIMALKAN FUNGSI 2 PEUBAH ATAU LEBIH. Drs. R.Johannes P. Mataniari; Drs. Gim Tarigan
PERANAN GEOMETRI DALAM MENGOPTIMALKAN FUNGSI PEUBAH ATAU LEBIH Drs. R.Johannes P. Mataniari; Drs. Gim Tarigan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara
Lebih terperinciMEDAN LISTRIK. Oleh Muatan Kontinu. (Kawat Lurus, Cincin, Pelat)
MDAN LISTRIK Oleh Muatan Kontinu (Kawat Lurus, Cincin, Pelat) FISIKA A Semester Genap 6/7 Program Studi S Teknik Telekomunikasi Universitas Telkom Medan listrik akibat muatan kontinu Muatan listrik kontinu
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Lebih terperinciSoal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2011/2012
Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2011/2012 1. Hasil dari 17 - ( 3 x (-8) ) adalah... A. 49 B. 41 C. 7 D. -41 BAB II Bentuk Aljabar - perkalian/pembagian mempunyai tingkat
Lebih terperinciTKS 4003 Matematika II. Nilai Ekstrim. (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan Jika diberikan suatu fungsi f dan daerah asal S seperti gambar di samping.
Lebih terperinciPenerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.
Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )
Lebih terperinciMatematika Proyek Perintis I Tahun 1979
Matematika Proyek Perintis I Tahun 979 MA-79-0 Irisan himpunan : A = { x x < } dan himpunan B = { x < x < 8 } ialah himpunan A. { x x < 8 } { x x < } { x < x < 8 } { x < x < } { x < x } MA-79-0 Apabila
Lebih terperinciMATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul
Lebih terperinci1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih
] 1 Pada Bab 1 ini akan dibahas antara lain sebagai berikut. 1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih Tema sentral dari bab ini adalah kalkulus dari fungsi peubah
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinciPEMBAHASAN SOAL-SOAL UN TAHUN 2012 KODE : A13 NO SOAL PEMBAHASAN 1
Pembahasan UN 0 A3 by Alfa Kristanti PEMBAHASAN SOAL-SOAL UN TAHUN 0 KODE : A3 Hasil dari 5 + [6 : ( 3)] adalah... Urutan pengerjaan operasi hitung A. 7 Operasi hitung Urutan pengerjaan B. 4 Dalam kurung
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Kalkulus Vektor: Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Perhatikan sebuah fungsi F yang menghubungkan sebuah vektor F(p) dengan setiap titik p dalam ruang berdimensi-n.
Lebih terperinciBAB I VEKTOR DALAM BIDANG
BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciPEMBAHASAN SOAL-SOAL UN TAHUN 2012 KODE : A13 NO SOAL PEMBAHASAN 1
PEMBAHASAN SOAL-SOAL UN TAHUN 0 KODE : A SMP N Kalibagor Hasil dari 5 + [6 : ( )] adalah... Urutan pengerjaan operasi hitung A. 7 Operasi hitung Urutan pengerjaan B. 4 Dalam kurung C. Pangkat ; Akar D.
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI. Institut Manajemen Telkom
MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom Diferensial Parsial Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial y = f(x,z) = x 3 +5z 2 4x 2 z 6xz 2 +8z 7 f x (x,z) = 3x 2 8xz
Lebih terperinciBAB VI INTEGRAL LIPAT
BAB VI INTEGRAL LIPAT 6.1 Pendahuluan Pada kalkulus dan fisika dasar, kita melihat sejumlah pemakaian integral misal untuk mencari luasan, volume, massa, momen inersia, dsb.nya. Dalam bab ini kita ingin
Lebih terperinciPEMBAHASAN SOAL-SOAL UN TAHUN 2012 KODE : C37 NO SOAL PEMBAHASAN 1
PEMBAHASAN SOAL-SOAL UN TAHUN 0 KODE : C7 SMP N Kalibagor NO SOAL PEMBAHASAN Hasil dari 5 + ( : ) adalah... Urutan pengerjaan operasi hitung A. 9 Operasi hitung Urutan pengerjaan B. Dalam kurung C. 9 Pangkat
Lebih terperinciBAB III KONDUKSI ALIRAN STEDI - DIMENSI BANYAK
BAB III KONDUKSI ALIRAN SEDI - DIMENSI BANYAK Untuk aliran stedi tanpa pembangkitan panas, persamaan Laplacenya adalah: + y 0 (6-) Aliran kalor pada arah dan y bisa dihitung dengan persamaan Fourier: q
Lebih terperinci( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75
Here is the Problem and the Answer. Diketahui premis premis berikut! a. Jika sebuah segitiga siku siku maka salah satu sudutnya 9 b. Jika salah satu sudutnya 9 maka berlaku teorema Phytagoras Ingkaran
Lebih terperinciEvaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional Tahun 1985 Matematika
Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional Tahun 98 Matematika EBTANAS-SMP-8- Jika A = {,, 8,, 4}, B = {,,,,, } dengan himpunan semesta C = (c c bilangan cacah }, maka himpunan {., 4, 6, 9,,, } =... A' B' (A
Lebih terperinciUJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 9 April 001 Waktu :,5 jam 1. Tentukan dy dx jika (a) y 5x (x + 1) (b) y cos x.. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 (x) untuk fungsi f berikut f (x)
Lebih terperinciJikax (2 x) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat x yang memenuhi adalah A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5
Soal Babak Penyisihan OMITS 011 BAGIAN I. PILIHAN GANDA 1. Hasil kali sebarang bilangan rasional dengan sebarang bilangan irasional selalu merupakan anggota dari himpunan bilangan A. Bulat B. Asli C. Rasional
Lebih terperinciEvaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional Tahun 1986 Matematika
Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional Tahun 986 Matematika EBTANAS-SMP-86-0 Himpunan faktor persekutuan dari dan 0 {,,, 6} {,, 6} {, } {6} EBTANAS-SMP-86-0 Bilangan 0,0000 jika ditulis dalam bentuk baku.0
Lebih terperinciNO SOAL PEMBAHASAN 1
PEMBAHASAN SOAL-SOAL UN TAHUN 0 KODE : C7 NO SOAL PEMBAHASAN Hasil dari 5 + ( : ) adalah... Urutan pengerjaan operasi hitung A. 9 Operasi hitung Urutan pengerjaan B. Dalam kurung C. 9 Pangkat ; Akar D.
Lebih terperinciSoal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2007/2008
Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2007/2008 1. Hasil dari 1.764 + 3.375 adalah... A. 53 B. 57 C.63 D. 67 BAB VIII BILANGAN BERPANGKAT 4 2 15 1.764 3.375 4 x 4 16 1 3 1 1 64
Lebih terperinciDERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso December 14 th, 2011 Yogyakarta Maximum-minimum Misalkan S adalah suatu interval yang merupakan domain dari fungsi f dan S memuat c. Nilai f (c) disebut
Lebih terperinciPersamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian
Modul 1 Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Drs. Sardjono, S.U. M PENDAHULUAN odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup pengertian-pengertian dalam
Lebih terperinciPEMBAHASAN SOAL-SOAL UN TAHUN 2012 KODE : C32 NO SOAL PEMBAHASAN. Ingat!
Pembahasan UN 0 C by Alfa Kristanti PEMBAHASAN SOAL-SOAL UN TAHUN 0 KODE : C NO SOAL PEMBAHASAN Hasil dari 6 adalah... A. 48. a = a a a B. 7. = C. 08. = D. 6 6 = 6 = 6 = 6 = 6 Hasil dari 8 adalah... A.
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinci8. Nilai x yang memenuhi 2 log 2 (4x -
1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p p > l 2 < p < 3 p > 3 1 < p < 2 p < 1 atau p > 2 2. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum
Lebih terperinci- Optimisasi - Suatu proses untuk memaksimumkan suatu nilai yang diinginkan atau meminimumkan suatu nilai yang tidak diinginkan.
Optimasi Dalam Rancangan Teknik - Optimisasi - Suatu proses untuk memaksimumkan suatu nilai yang diinginkan atau meminimumkan suatu nilai yang tidak diinginkan. Fungsi tujuan : biaya, keuntungan, berat,
Lebih terperinciSoal Babak Penyisihan 7 th OMITS SOAL PILIHAN GANDA
Soal Babak Penyisihan 7 th OMITS SOAL PILIHAN GANDA 1) Sebuah barisan baru diperoleh dari barisan bilangan bulat positif 1, 2, 3, 4, dengan menghilangkan bilangan kuadrat yang ada di dalam barisan tersebut.
Lebih terperinciANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran
Lebih terperinciPertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor
Pertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor Standar Kompetensi : Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 1.
Lebih terperincix y xy x y 2 E. 9 8 C. m > 1 8 D. m > 3 E. m < x : MATEMATIKA Mata Pelajaran
Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/ Program : XII IPA Waktu : 0 menit *Pilihlah satu jawaban yang benar * Tidak diperkenankan menggunakan kalkulator atau alat hitung lainnya.. Diketahui premis - premis:
Lebih terperinciBAB I INTEGRAL TAK TENTU
BAB I INTEGRAL TAK TENTU TUJUAN PEMBELAJARAN: 1. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menentukan pengertian integral sebagai anti turunan. 2. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menyelesaikan
Lebih terperinciLINGKARAN. A. PERSAMAAN LINGKARAN B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
LINGKARAN. A. PERSAMAAN LINGKARAN B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN 4 ia nc o3 D.c om Bab r: w be Su m. pa ww ne b Lingkaran Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran
Lebih terperinciBAB 1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR SOAL LATIHAN 1.1
BAB 1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR SOAL LATIHAN 1.1 BAB 1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR SOAL LATIHAN 1.1 A. Pilihan Ganda 1. Bentuk x + x 48 jika difaktorkan adalah A. (x 6)(x 8) B. (x + 8)(x 6) C. (x 4)(x 1)
Lebih terperinci2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang
TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu
Lebih terperinciKALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
Lebih terperinciModel Optimisasi dan Pemrograman Linear
Modul Model Optimisasi dan Pemrograman Linear Prof. Dr. Djati Kerami Dra. Denny Riama Silaban, M.Kom. S PENDAHULUAN ebelum membuat rancangan penyelesaian masalah dalam bentuk riset operasional, kita harus
Lebih terperinciSOAL UN DAN PENYELESAIANNYA 2008
1. Ingkaran dari pernyataan, "Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap." adalah... Semua bilangan prima adalah bilangan genap Semua bilangan prima bukan bilangan genap Beberapa bilangan prima bukan
Lebih terperinciPertemuan : 7 Materi : Integral Garis dan Teorema Dasar Integral Garis Bab III. Integral Kalkulus Dari Vektor
Pertemuan : 7 Materi : Integral Garis dan Teorema Dasar Integral Garis Bab III. Integral Kalkulus Dari Vektor Standar Kompetensi : 1. Memahami Integral Kalkulus dari Vektor. 2. Memahami Integral Garis,
Lebih terperinciXpedia Matematika. Kapita Selekta Set 05
Xpedia Matematika Kapita Selekta Set 05 Doc. Name: XPMAT9705 Doc. Version : 0-07 halaman 0a Garis singgung pada kurva y=x -x + akan sejajar dengan sumbu x di titik yang absisnya... x = x = 0 x = 0 dan
Lebih terperinciPREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP
Dibuat untuk persiapan menghadapi UN 2012 PREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP Lengkap dengan kisi-kisi dan pembahasan Mungkin (tidak) JITU 12 1. Menghitung hasil operasi tambah, kurang, kali dan bagi pada
Lebih terperinci