Kalkulus Multivariabel I

Transkripsi

1 Keterdiferensialan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x 0 jika f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 ( h ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim f (x 0 ) = 0 h 0 h f (x 0 + h) f (x 0 ) hf (x 0 ) lim = 0 h 0 h Misalkan ε = f (x 0+h) f (x 0 ) hf (x 0 ) h, maka kondisi y = f (x 0 + h) f (x 0 ) = f (x 0 )h + εh dengan ε 0 untuk h 0 setara dengan keterdiferensialan fungsi y = f (x) di x 0.

3 Hampiran linier dari f di x 0 Jika x 0 + h = x, maka f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )h

4 Untuk fungsi z = f (x, y) di titik (x 0, y 0 ), perubahan z = f (x 0 + h, y 0 + k) f (x 0, y 0 ) memenuhi kondisi z = f (x 0 +h, y 0 +k) f (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )h+f y (x 0, y 0 )k+ε 1 h+ε 2 k dengan ε 1, ε 2 0 untuk (h, k) (0, 0).

5 Hampiran linier dari f (x, y) di (x 0, y 0 ) Jika x 0 + h = x dan y 0 + k = y, maka f (x, y) f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )h + f y (x 0, y 0 )k

6 Diferensial Total Fungsi Dua Peubah Untuk fungsi z = f (x, y), jika (x 0, y 0 ) bergerak ke (x 0 + dx, y 0 + dy), maka diferensial dari f didefinisikan sebagai dz = df = f x (x 0, y 0 )dx + f y (x 0, y 0 )dy = f f dx + x y dy di (x 0, y 0 )

7 Fungsi z = f (x, y) terdiferensialkan di (x 0, y 0 ) jika turunan parsial f x (x 0, y 0 ) dan f y (x 0, y 0 ) memenuhi kondisi z = f (x 0 +h, y 0 +k) f (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )h+f y (x 0, y 0 )k+ε 1 h+ε 2 k dengan ε 1, ε 2 0 untuk (h, k) (0, 0). Dalam bentuk vektor, jika x 0 = x 0, y 0, h = h, k, ε = ε 1, ε 2, dan f (x 0 ) = f x (x 0 ), f y (x 0 ), maka kondisi keterdiferensialan di x 0, y 0 dapat ditulis z = f (x 0 + h) f (x 0 ) = f (x 0 ) h + ε(h) h dengan ε(h) 0 untuk h 0.

8 Teorema Untuk fungsi z = f (x, y), jika f terdiferensialkan di (x 0, y 0 ), maka f kontinu di (x 0, y 0 ). Untuk fungsi z = f (x, y), jika turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) kontinu pada suatu daerah terbuka D, maka f terdiferensialkan pada D.

9 Jika fungsi f dapat didiferensialkan di x 0, maka ketika h mempunyai besaran yang kecil f (x 0 + h) f (x 0 ) + f (x 0 ) h Dengan menganggap x = x 0 + h, kita menjumpai bahwa fungsi T yang didefinisikan sebagai T (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) harusnya menjadi hampiran yang baik untuk f (x) jika x dekat dengan x 0. Persamaan z = T (x) mendefinisikan sebuah bidang yang menghampiri f di dekat x 0. Biasanya bidang ini disebut bidang singgung.

10

11 Contoh 1 Keterdiferensialan Untuk f (x, y, z) = x sin z + x 2 y, tentukan f (1, 2, 0)

12 Penyelesaian: Turunan parsialnya adalah Jadi, f = sin z + 2xy x f y = x 2 f z = x cos z f (1, 2, 0) = 4i + j + k

13 Contoh 2 Keterdiferensialan Tunjukkan fungsi f (x, y) = xe y + x 2 y dapat didiferensialkan di manapun dan tentukan gradien dari fungsi f. Kemudian tentukan persamaan z = T (x, y) dari bidang singgung di (2, 0).

14 Penyelesaian: Karena turunan parsial f x (x, y) = e y + 2xy dan f y (x, y) = xe y + x 2 kontinu di manapun, maka f dapat didiferensialkan di manapun. Vektor gradien dari fungsi f adalah f (x, y) = (e y + 2xy)i + (xe y + x 2 )j = e y + 2xy, xe y + x 2 Jadi, f (2, 0) = i + 6j = 1, 6. Persamaan bidang singgungnya adalah z = f (2, 0) + f (2, 0) x 2, y 0 = 2 + 1, 6 x 2, y = 2 + x 2 + 6y = x + 6y

15 Keterdiferensialan Tentukan persamaan bidang singgungnya 1 f (x, y) = x 2 y xy 2, di ( 2, 3) 2 f (x, y) = x 3 y + 3xy 2, di (2, 2) 3 f (x, y) = cos πx sin πy + sin 2πy di 4 f (x, y) = x 2 y di (2, 1) ( 1, 1 ) 2 5 f (x, y, z) = 3x 2 2y 2 + xz 2 di (1, 2, 1) 6 f (x, y, z) = xyz + x 2 di (2, 0, 3)