Matematika

Transkripsi

1 Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan.

3 Definisi Diferensial/ Definisi Diberikan fungsi f dan a D f. fungsi f di a, dinyatakan dengan f (a), dan didefinisikan dengan asalkan limit ini ada. f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h

4 Contoh 1 Diferensial/ a. Tentukan turunan fungsi f(x) = x 2 3x di x = 1.

5 Contoh 1 Diferensial/ a. Tentukan turunan fungsi f(x) = x 2 3x di x = 1. Solusi:

6 Contoh 1 Diferensial/ a. Tentukan turunan fungsi f(x) = x 2 3x di x = 1. Solusi: f (1) = lim h 0 f(1 + h) f(1) h (1 + h) 2 3(1 + h) ( ) = lim h 0 h h 2 h = lim h 0 h = lim(h 1) = 1 h 0

7 Diferensial/ b. Tentukan f (2) jika diketahui f(x) = x 2.

8 Diferensial/ b. Tentukan f (2) jika diketahui f(x) = x 2. Solusi:

9 Diferensial/ b. Tentukan f (2) jika diketahui f(x) = x 2. Solusi: Tapi karena f (2) = lim h 0 f(2 + h) f(2) h maka f h (2) = lim h 0 h 2 + h h = lim = lim h 0 h h 0 h h lim h 0 + h = lim h h 0 + h = 1 h lim h 0 h = lim h h 0 h = 1 tidak ada.

10 Diferensial/ Perubahan Laju Sesaat Perubahan Laju Sesaat Perubahan laju sesaat dari f(x) terhadap x pada saat x = c diberikan oleh f (c)

11 Contoh 2 Diferensial/ Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s, jaraknya dari pusat (dalam cm) setelah t detik, diberikan s = f(t) = 5t + 1. Tentukan laju sesaat partikel tersebut setelah 3 detik.

12 Contoh 2 Diferensial/ Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s, jaraknya dari pusat (dalam cm) setelah t detik, diberikan s = f(t) = 5t + 1. Tentukan laju sesaat partikel tersebut setelah 3 detik. Solusi:

13 Contoh 2 Diferensial/ Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s, jaraknya dari pusat (dalam cm) setelah t detik, diberikan s = f(t) = 5t + 1. Tentukan laju sesaat partikel tersebut setelah 3 detik. Solusi: f(3 + h) f(3) v = lim h 0 h 5(3 + h) + 1 5(3) + 1 = lim h 0 h h 4 = lim h 0 h

14 Diferensial/ Untuk mendapatkan solusi limit di atas, kalikan persamaan terakhir dengan sekawannya. ( ) h h + 4 v = lim h 0 h h h 16 = lim h 0 h( h + 4) 5 = lim h h + 4 = 5 8

15 Diferensial/ Signifikansi Tanda f (x) Signifikansi Tanda f (x) Jika fungsi f dapat diturunkan pada x = c, maka f naik pada x = c jika f (c) > 0 dan f turun pada x = c jika f (c) < 0

16 Diferensial/

17 Diferensial/ dan Kontinuitas dan Kontinuitas Jika f mempunyai turunan di a, maka f kontinu di a. Catatan! Tidak berlaku sebaliknya. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa sebuah fungsi kontinu f tidak akan dapat diturunkan di x = a jika f (x) bernilai tak hingga pada x = a atau jika fungsi f memiliki titik yang runcing/tajam pada P (a, f(a)), yaitu titik di mana kurva berubah arah secara tajam.

18 Diferensial/ Kurva dari empat fungsi kontinu yang tidak dapat diturunkan di x = 0

19 Latihan 1 Diferensial/ 1. Tentukan f (x) jika f(x) = x+1 x+2, dengan x 2 2. Tentukan f (x) beserta domainnya apabila f(x) = x Tentukan f ( 3) jika f(x) = 1 2 x

20 Diferensial/ 4. (Perilaku Hewan) Sebuah eksperiman menunjukkan bahwa ketika seekor kutu terbang, ketinggiannya (dalam meter) setelah t detik diberikan oleh fungsi H(t) = 4.4t 4.9t 2 a. Tentukan H (t). Pada laju berapa H(t) berubah setelah 1 detik? Apakah naik atau turun? b. Pada t berapa nilai H (t) = 0?

21 Diferensial/ 5. (Cardiology) A study conducted on a patient undergoing cardiac catheterization indicated that the diameter of the aorta was approximately D millimeters (mm) when the aortic pressure was p (mm of mercury), where D(p) = p p for 50 p 120. a. Find the average rate of change of the aortic diameter D as p changes from p = 60 to p = 61. b. Use calculus to find the instantaneous rate of change of diameter D with respect to aortic pressure p when p = 60. Is the pressure increasing or decreasing when p = 60? c. For what value of p is the instantaneous rate of change of D with respect to p equal to 0? What is the significance of this preesure?

22 Diferensial/ Rumus-rumus Dasar dan Sifat-sifat Fungsi Konstan Jika f(x) fungsi konstan, maka f (x) = 0 Fungsi Identitas Jika f(x) = x, maka f (x) = 1 Fungsi Pangkat Jika f(x) = x n, maka f (x) = nx n 1

23 Diferensial/ Sifat-sifat Jika f dan g keduanya mempunyai turunan dan k sebarang konstan real, maka 1 d dx (f(x) ± g(x)) = d dx f(x) ± d dx g(x) 2 d dx (kf(x)) = k d dx f(x) 3 d dx 4 d dx d d (f(x) g(x)) = f(x) dxg(x) + g(x) dx ( ) f(x) f(x) g(x) = g(x) d dx f(x) f(x) d dx g(x) asalkan g(x) 0 (g(x)) 2

24 Contoh 3 Diferensial/ a. Tentukan turunan dari f(x) = 3x 2 6x + 7

25 Contoh 3 Diferensial/ a. Tentukan turunan dari f(x) = 3x 2 6x + 7 Solusi:

26 Contoh 3 Diferensial/ a. Tentukan turunan dari f(x) = 3x 2 6x + 7 Solusi: f (x) = d dx (3x2 6x + 7) = d dx (3x2 ) d dx (6x) + d dx 7 = 3 d dx (x2 ) 6 d dx (x) + 0 = 3(2x) 6(1) = 6x 6

27 Diferensial/ b. Tentukan f (x) dari f(x) = (3x 3 + 2x + 1)(4x x)

28 Diferensial/ b. Tentukan f (x) dari f(x) = (3x 3 + 2x + 1)(4x x) Solusi:

29 Diferensial/ b. Tentukan f (x) dari f(x) = (3x 3 + 2x + 1)(4x x) Solusi: f (x) = d dx f(x) = (3x 3 d + 2x + 1) dx (4x11 + 5x) + (4x 11 d + 5x) dx (3x3 + 2x + 1) = (3x 3 + 2x + 1)(44x ) + (4x x)(9x 2 + 2)

30 Diferensial/ c. Tentukan f (x) dari f(x) = x2 1 2x

31 Diferensial/ c. Tentukan f (x) dari f(x) = x2 1 2x Solusi:

32 Diferensial/ c. Tentukan f (x) dari f(x) = x2 1 2x Solusi: f (x) = 2x d dx (x2 1) (x 2 1) d dx (2x) (2x) 2 = 2x(2x) (x2 1)(2) 4x 2 = 4x2 2x x 2 = 2x x 2 = x x 2

33 Diferensial/ Fungsi Trigonometri Fungsi Trigonometri 1 d dx (sin x) = cos x (cos x) = sin x 2 d dx 3 d dx (tan x) = sec2 x (sec x) = sec x tan x 4 d dx 5 d dx (cot x) = csc2 x (csc x) = csc x cot x 6 d dx

34 Contoh 4 Diferensial/ a. Tentukan turunan dari 3 sin x 2 cos x.

35 Contoh 4 Diferensial/ a. Tentukan turunan dari 3 sin x 2 cos x. Solusi:

36 Contoh 4 Diferensial/ a. Tentukan turunan dari 3 sin x 2 cos x. Solusi: d d d (3 sin x 2 cos x) = 3 (sin x) 2 (cos x) dx dx dx = 3 cos x + 2 sin x

37 Diferensial/ b. Tentukan turunan dari x 2 sin x.

38 Diferensial/ b. Tentukan turunan dari x 2 sin x. Solusi:

39 Diferensial/ b. Tentukan turunan dari x 2 sin x. Solusi: d dx (x2 sin x) = x 2 d d (sin x) + sin x dx dx (x2 ) = x 2 cos x + 2x sin x

40 Diferensial/ c. Tentukan turunan dari 1+sin x cos x

41 Diferensial/ c. Tentukan turunan dari 1+sin x cos x Solusi:

42 Diferensial/ c. Tentukan turunan dari 1+sin x cos x Solusi: d dx ( 1 + sin x cos x ) = cos x ( d dx (1 + sin x)) (1 + sin x) ( d dx (cos x)) cos 2 x = cos2 x + sin x + sin 2 x cos 2 x = 1 + sin x cos 2 x

43 Diferensial/ d. Tentukan turunan dari x n tan x

44 Diferensial/ d. Tentukan turunan dari x n tan x Solusi:

45 Diferensial/ d. Tentukan turunan dari x n tan x Solusi: d dx (xn tan x) = x n d d (tan x) + tan x dx dx (xn ) = x n sec 2 x + nx n 1 tan x

46 Aturan Rantai Diferensial/ Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, maka fungsi komposisi f g juga dapat mempunyai turunan dan: (f g) (x) = f (g(x)) g (x) Jika y = f(u) dan u = g(x) maka dengan menggunakan notasi Leibnitz, rumus di atas dapat dinyatakan sebagai dy dx = dy du du dx

47 Contoh 5 Diferensial/ a. Tentukan turunan F (x) = x 4 + 4

48 Contoh 5 Diferensial/ a. Tentukan turunan F (x) = x Solusi:

49 Contoh 5 Diferensial/ a. Tentukan turunan F (x) = x Solusi: Fungsi F dapat dinyatakan sebagai f(g(x)) dengan g(x) = x dan f(x) = x Karena g (x) = 4x 3 dan f (x) = 1 2 x, maka F (x) = f (g(x)) g (x) = 1 2 g(x) 4x3 = 2x3 x 4 + 4

50 Diferensial/ b. Tentukan turunan dari y = sin 2x

51 Diferensial/ b. Tentukan turunan dari y = sin 2x Solusi:

52 Diferensial/ b. Tentukan turunan dari y = sin 2x Solusi: ( ) dy d = (cos 2x) dx dx 2x = 2 cos 2x

53 Diferensial/ c. Tentukan turunan dari x2 (1 x) 3 1+x d. Tentukan turunan dari 1 (2x 1) 3

54 Contoh 6 Diferensial/ Sebuah larutan dituangkan ke dalam wadah berbentuk kerucut dengan laju 8 cm 3 per menit. Jika ketinggian wadah adalah 12 cm dan jari-jari permukaan wadah adalah 6 cm, seberapa cepat ketinggian larutan meningkat ketika larutan dituangkan setinggi 4 cm?

55 Diferensial/ Solusi:

56 Diferensial/ Solusi: Volume wadah adalah V = 1 3 πr2 r h, kita mempunyai h = 6 12 sehingga r = h 2, maka V = 1 3 π ( h 2 ) 2 h = πh3 12

57 Diferensial/ Dengan menggunakan Aturan Rantai, dv dt = dv dh dh dt = 3πh2 dh 12 = πh2 4 Diketahui laju larutan dv dt = 8, maka laju ketinggian larutan ketika larutan dituangkan setinggi 4 cm adalah dt dh dt 8 = π(42 ) dh 4 dt dh dt = 2 π cm/menit

58 Diferensial/ Diferensial dan Aproksimasi Misalkan y = f(x), berdasarkan gambar di atas, penambahan x menghasilkan penambahan sebesar y di y, yang dapat diaproksimasi menggunakan dy, di mana f (x) = dy dx. Maka f(x + x) dapat diaproksimasi dengan f(x + x) f(x) + dy = f(x) + f (x) x

59 Contoh 7 Diferensial/ Sisi dari suatu kubus diukur sepanjang 11.4 cm dengan kesalahan (error) yang mungkin sebesar ±0.05 cm. Evaluasi volume kubus tersebut dan berikan estimasi dari kesalahan yang mungkin pada volume tsb.

60 Diferensial/ Volume dari suatu kubus adalah V = x 3. Maka dv dx = 3x2, atau dv = 3x 2 dx. Jika x = 11.4 dan dx = 0.05, maka V = (11.4) dan V dv = 3(11.4) 2 (0.05) 19 Maka, kita dapat mengatakan bahwa volume kubus adalah 1482 ± 19 cm kubik.

61 Contoh 8 Diferensial/ Hukum Poiseuille untuk aliran darah menyatakan bahwa volume darah yang mengalir melalui sebuah arteri sebanding dengan pangkat empat jari-jarinya, yaitu V = kr 4. Seberapa besar jari-jari harus bertambah untuk menambah aliran darah sebesar 50 %?

62 Diferensial/ Diketahui V = kr 4, maka dv = 4kR 3 dr. Perubahan volume relatifnya adalah V V dv V = 4kR3 dr kr 4 = 4 dr R Jadi, untuk perubahan volume sebesar 50 %, 0.5 dv V = 4dR R Perubahan relatif jari-jarinya adalah R R dr R = Maka, dengan menambahkan jari-jarinya sebesar 12.5 %, penambahan aliran darahnya adalah sekitar 50 %.

63 Latihan 2 Diferensial/

64 Diferensial/

65 Diferensial/