Distribusi Tekanan pada Fluida

Transkripsi

1 Distribusi Tekanan pada Fluida Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition, Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York 2/21/17 1

2 Tekanan pada Fluida Tekanan fluida (fluid pressure): tegangan normal (gaya normal per satuan luas) yang bekerja pada suatu elemen fluida. Gradien tekanan spasial (bukan tekanan) dapat menimbulkan gaya pada permukaan elemen fluida Resultan gaya permukaan yang bekerja pada elemen fluida diam (fluid at rest) hanya dipengaruhi oleh gradien tekanan karena tidak ada tegangan geser yang bekerja. 2/21/17 2

3 Tekanan pada Fluida Diam z sin θ = δz/δs δs p n θ cos θ = δx/δs Pada arah x Σ F x = 0 p x δ yδz p n δ yδssinθ = 0 p x = p n p x 0 δz δw = ρg(½ δx δz δy) δx p z θ x Tebal elemen = δy Tidak ada perubahan tekanan pada arah horizontal 2/21/17 3

4 Tekanan pada Fluida Diam z sin θ = δz/δs δs p n θ cos θ = δx/δs p x δz 0 Pada arah z Σ F z = 0 p z δ yδx p n δ yδscosθ 1 ρgδ yδxδz = 0 2 δw = ρg(½ δx δz δy) δx θ x p z Tebal elemen = δy p z = p n ρgδz Perubahan tekanan arah vertikal dipengaruhi rapat massa, gravitasi, perubahan z 2/21/17 4

5 Tekanan pada Fluida Diam Untuk elemen yang sangat kecil, sehingga menjadi sebuah titik (δx, δy, δz 0) maka: p x = p z = p n = p Kesimpulan: Tekanan (magnitude) pada suatu titik dalam fluida diam adalah sama ke segala arah 2/21/17 5

6 Gradien Tekanan pada Fluida # % $ p p δ y y 2 & ( δx δz ' δz z y Diambil sembarang elemen fluida yang sangat kecil " $ # p + p δ y y 2 p = p(x, y, z,t) % ' δx δz & δx Pada arah y # δf y = p p δ y % $ y 2 x δy & # ( δx δz % p + p ' $ y δ y 2 & (δx δz = p δx δ y δz ' y 2/21/17 6

7 Gradien Tekanan pada Fluida Dengan cara yang sama, gaya pada arah x dan z adalah: # δf x = % p p $ x δx 2 & # ( δ y δz % p + p ' $ x δx 2 & (δ y δz = p δx δ y δz ' x # δf z = % p p $ z δz 2 & # ( δ y δx % p + p ' $ z δz 2 & (δ y δx = p δx δ y δz ' z 2/21/17 7

8 Gradien Tekanan pada Fluida Gaya yang bekerja pada elemen fluida akibat tekanan adalah: δ F # = p i p p & % j k (δx δ y δz $ x y z ' Jika f adalah gaya per satuan volume, maka: = gradient operator f = p p # = % $ x i + y j + z k & ( ' 2/21/17 8

9 Keseimbangan Elemen Fluida Gaya-gaya yang bekerja pada fluida (per satuan volume) f = f p + f g + f visc = p + ρ g + f visc = ρ a δ F g = m g = ρg δx δ y δz f g = ρ g δ F = m a = ρa δx δ y δz f = ρ a 2/21/17 9

10 Distribusi Tekanan Hidrostatis Pada fluida statis, percepatan dan tegangan geser sama dengan nol (a = 0, f visc = 0), sehingga: p = ρ g Arah gradien tekanan akan selalu tegak lurus permukaan bertekanan konstan. Arah gradien tekanan adalah searah gravitasi lokal g = g k 2/21/17 10

11 Distribusi Tekanan Hidrostatis Komponen gradien tekanan : p x = 0 p y = 0 p z = ρg = γ Gradien tekanan tidak terpengaruh x dan y, sehingga: dp dz = γ p 2 p 1 = z 2 z 1 γ dz x z z 2 h = z 2 z 1 z 1 y Permukaan fluida (tekanan = p 0 ) 2/21/17 11 p 2 p 1

12 Fluida dalam Gerak Benda Tegar Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition, Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York 2/21/17 12

13 Benda Tegar Benda tegar (rigid body): suatu sistem partikel yang tidak mengalami deformasi, sehingga jarak antar partikel tidak berubah meskipun mendapat gaya luar (external force) Gerak benda tegar (rigid body motion) Gerak translasi Gerak rotasi Kombinasi translasi dan rotasi 2/21/17 13

14 Fluida dalam Gerak Benda Tegar Fluida dalam gerak benda tegar: seluruh partikel fluida bergerak bersama-sama (percepatan sama) sehingga tidak ada gerakan relatif antar partikel. Fluida dalam keadaan ini dapat dianggap sebagai fluida statis (tidak mengalami tegangan dan regangan geser). Contoh: Zat cair yang diangkut kapal/truk tangki Zat cair dalam kontainer yang berputar cukup lama 2/21/17 14

15 Fluida dalam Translasi Benda Tegar z, k a θ Keseimbangan gaya pada elemen fluida dalam gerak benda tegar (a 0, f visc = 0) g a x a a z θ p = ρ( g a) Muka zat cair saat diam x, i g a p = p a 1 z a s p x 2 p 3 2/21/17 15

16 Fluida dalam Translasi Benda Tegar Gradien tekanan bekerja pada arah p = ρ( g a) g a dp ds =ρg G = a 2 x + ( g+a ) 2 z Garis tekanan-konstan (serta permukaan zat cair, jika ada) adalah tegak lurus arah gradien tekanan dengan kemiringan: θ = tan 1 a x g + a z 2/21/17 16

17 a a = 0 a p 0 p 1 p 2 p 3 Isobar p p 0 p 1 p 2 Isobar p p 0 p 1 Isobar p p 4 p 3 p 2 p 5 p B > p A p 4 p A p C < p A p 6 p 7 p 5 p 3 p 8 p 6 p 4 Ke mana arah percepatan tangki kiri dan kanan? 2/21/17 17

18 a a = 0 a p 0 p 0 p 0 p 1 p 1 p p 1 Isobar p 2 p 3 p 2 p 3 Isobar p 2 p 3 Isobar p 4 p 4 p 4 p 5 p 5 p 5 p 6 p 6 p 6 Ke mana arah percepatan tangki kiri dan kanan? 2/21/17 18

19 Contoh Soal dan Penyelesaian Kaleng cat diletakkan pada nampan dan diseret dengan percepatan 7 m/s 2. Tinggi kaleng 10 cm, diameter 6 cm dan berisi cat sedalam 7 cm pada kondisi diam. Dengan asumsi bahwa cat dalam gerak benda tegar, (a) tentukan apakah cat akan tumpah, (b) hitung tekanan pada titik A jika rapat massa cat 1010 kg/m 3. 3 cm 7 cm z z s A θ 3 cm 3 cm x a x = 7 m/s 2 2/21/17 19

20 Contoh Soal dan Penyelesaian Penyelesaian (a): ditentukan kemiringan berdasarkan besar percepatan yang telah diketahui, lalu ditentukan tinggi kenaikan permukaan cat di tepi kaleng. θ = tan 1 a x g + a z = tan m/s m/s = 35.5 z = (3 cm)(tan35.5 ) = 2.14 cm < 3 cm Cat tidak tumpah dari kaleng. (Solusi ini mengabaikan goncangan pada saat awal bergerak) 2/21/17 20

21 Contoh Soal dan Penyelesaian Penyelesaian (b) Tekanan pada A saat diam: p A (diam) = ρgh rest = (1010 kg/m 3 )(9.81 m/s 2 )(0.07 m) = 694 Pa Tekanan pada A saat bergerak p A = ρg s = (1010 kg/m 3 )( (9.81) 2 + (7.0) 2 m/s 2 )(( )cos35.5 m) = 906 Pa atau p A = ρg(z surf z A ) = (1010 kg/m 3 )(9.81 m/s 2 )(( ) m) = 906 Pa 2/21/17 21

22 Fluida dalam Rotasi Benda Tegar Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition, Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York 2/21/17 22

23 Ingat kembali Percepatan sentripetal (a c ) m V i m r θ V f Segitiga sebangun V δt r δv V V = V i = V f V f a = δv δt = V 2 r = a c V i V 2/21/17 23

24 Ingat kembali Gaya sentripetal (F c ) V V = Ωr F c = ma c = m V 2 r = mω 2 r m Ω 2/21/17 24 V F c F c r

25 Fluida dalam rotasi benda tegar Air Apa yang terjadi jika: 1. Piringan diputar Piringan 2. Kecepatan putar ditambah watch?v=rdrnb3jz1yw&t=9s 2/21/17 25

26 Gaya-gaya yang bekerja F g = F nz = mg F nx = mω 2 r z, i z Bagaimana gaya-gayanya? Ω F nz F n 2 r, i r 1 F nx F g 2/21/17 26

27 Distribusi Tekanan z, i z Apa yang terjadi jika plat berisi fluida digeser, tetapi masih pada diameter piringan? muka air saat diam Ω a = rω 2 i r p = p 0 a r, i r sumbu rotasi p = p 1 p 2 p 3 g g a p = ρ( g a) 2/21/17 27

28 Distribusi Tekanan Vektor posisi, kecepatan sudut dan percepatan: r 0 = r " i r Ω = Ω iz Ω ( Ω r0 ) = rω 2 i r Keseimbangan gaya: p z = ρg Maka: dan p = ρ( g a) p i z z + p r i r = ρ( g i z + rω 2 i r ) p r = ρrω 2 2/21/17 28

29 Distribusi Tekanan p diintegralkan terhadap r dengan menganggap z konstan p = 1 2 ρr2 Ω 2 + f (z) Dengan menganggap r konstan: p z = 0 + f '(z) = ρg f (z) = ρgz +C Sehingga p = 1 2 ρr2 Ω 2 ρgz +C 2/21/17 29

30 Distribusi Tekanan Jika p = p 0 pada (r, z) = (0, 0) maka C = p 0, sehingga: p = p 0 ρgz ρr2 Ω 2 Untuk menggambar garis tekanan-konstan: z = p 0 p 1 ρg + r2 Ω 2 2g = a + br2 2/21/17 30

31 Distribusi Tekanan muka air saat diam h 2 h 2 Volume = π 2 R2 h h Pada silinder yang diputar pada sumbunya berlaku: h 2 = Ω 2 R 2 4g R Ω R 2/21/17 31

32 Contoh soal Kaleng dengan tinggi 10 cm dan diameter 6 cm berisi cat (ρ= 1010 kg/m 3 ) dengan kedalaman 7 cm pada keadaan diam. Kaleng kemudian diputar pada sumbunya hingga tercapai kondisi benda tegar. Tentukan: (a) kecepatan sudut yang akan menyebabkan cat mencapai bibir kaleng (b) tekanan di titik A yang terletak di sudut bawah kaleng 2/21/17 32

33 Penyelesaian z (a) h 2 = Ω2 R 2 4g = 0.03 m 3 cm Ω 2 =1308 Ω = 36.2 rad/s = 345 rpm (b) A(r, z) = (3 cm, 4 cm) 7 cm 0 r Ω p A = p 0 ρgz ρω2 r 2 = N/m N/m 2 = 990 Pa A 3 cm 3 cm 2/21/17 33

34 2/21/17 34