Kalkulus Multivariabel I

Transkripsi

1 dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t adalah fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan dy dt = dy dx dx dt

3 dan Fungsi Implisit Versi Pertama Teorema A Misalkan x = x(t) dan y = y(t) dapat didiferensialkan di t, dan misalkan z = f (x, y) dapat didiferensialkan di (x(t), y(t)), maka z = f (x(t), y(t)) dapat didiferensialkan di t dan dz dt = z dx x dt + z dy y dt

4 Contoh 1 dan Fungsi Implisit Andaikan z = x 3 y, di mana x = 2t dan y = t 2. Tentukan dz dt.

5 Contoh 1 dan Fungsi Implisit Andaikan z = x 3 y, di mana x = 2t dan y = t 2. Tentukan dz dt. Penyelesaian: dz dt = z dx x dt + z dy y dt = (3x 2 y)(2) + (x 3 )(2t) = 6(2t) 2 (t 2 ) + (2t)(2t) 3 = 24t t 4 = 40t 4 Atau bisa juga dengan substitusi langsung, yaitu sehingga dz dt = 40t4. z = x 3 y = (2t) 3 (t 2 ) = 8t 5

6 Contoh 2 dan Fungsi Implisit Ketika sebuah silinder lingkaran tegak yang padat dipanaskan, jari-jari r dan tingginya h akan meningkat, sehingga luas permukaannya S juga meningkat. Andaikan pada waktu sesaat ketika r = 10 cm dan h = 100 cm, r meningkat 0.2 cm/jam dan h meningkat 0.5 cm/jam. Seberapa cepatkah peningkatan S pada waktu tersebut?

7 Contoh 2 dan Fungsi Implisit Ketika sebuah silinder lingkaran tegak yang padat dipanaskan, jari-jari r dan tingginya h akan meningkat, sehingga luas permukaannya S juga meningkat. Andaikan pada waktu sesaat ketika r = 10 cm dan h = 100 cm, r meningkat 0.2 cm/jam dan h meningkat 0.5 cm/jam. Seberapa cepatkah peningkatan S pada waktu tersebut? Penyelesaian: Luas permukaan total silinder adalah S = 2πrh + 2πr 2, jadi ds dt = S dr r dt + S dh h dt = (2πh + 4πr)(0.2) + (2πr)(0.5) = (2π π 10)(0.2) + (2π 10)(0.5) = 58π cm 2 /jam

8 Contoh 3 dan Fungsi Implisit Andaikan w = x 2 y + y + xz di mana x = cos θ, y = sin θ, dan z = θ 2. Tentukan dw dθ tersebut di θ = π 3. dan hitunglah nilai

9 Contoh 3 dan Fungsi Implisit Andaikan w = x 2 y + y + xz di mana x = cos θ, y = sin θ, dan z = θ 2. Tentukan dw dθ tersebut di θ = π 3. dan hitunglah nilai Penyelesaian: dw dθ = w dx x dθ + w dy y dθ + w dz z dθ = (2xy + z)( sin θ) + (x 2 + 1)(cos θ) + (x)(2θ) di θ = π 3 dw dθ = 1 8 π2 3 + π 18 3

10 dan Fungsi Implisit Versi Kedua Jika z = f (x, y), dimana x = x(s, t) dan y = y(s, t), maka masuk akal apabila kita menanyakan z z s dan t Teorema B Misalkan x = x(s, t) dan y = y(s, t) mempunyai turunan parsial pertama di (s, t) dan misalkan z = f (x, y) dapat dideferensialkan di (x(s, t), y(s, t)). Maka z = (x(s, t), y(s, t)), mempunyai turunan parsial pertama yang dinyatakan dengan z s = z x x s + z y y s dan z t = z x x t + z y y t

11 Contoh 4 dan Fungsi Implisit Jika z = 3x 2 y 2, di mana x = 2s + 7t dan y = 5st, tentukan z t dan nyatakan dalam s dan t.

12 Contoh 4 dan Fungsi Implisit Jika z = 3x 2 y 2, di mana x = 2s + 7t dan y = 5st, tentukan z t dan nyatakan dalam s dan t. Penyelesaian: z t = z x x t + z y y t = (6x)(7) + ( 2y)(5s) = 42(2s + 7t) 10s(5st) = 84s + 294t 50s 2 t

13 Contoh 5 dan Fungsi Implisit Jika w = x 2 + y 2 + z 2 + xy, di mana x = st, y = s t, dan z = s + 2t, tentukan w t.

14 Contoh 5 dan Fungsi Implisit Jika w = x 2 + y 2 + z 2 + xy, di mana x = st, y = s t, dan z = s + 2t, tentukan w t. Penyelesaian: w t = w dx x dt + w dy y dt + w dz z dt = (2x + y)(s) + (2y + x)( 1) + (2z)(2) = (2st + s t)(s) + (2s 2t + st)( 1) + (2s + 4t)(2) = 2s 2 t + s 2 2st + 2s + 10t

15 dan Fungsi Implisit Andaikan F (x, y) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai sebuah fungsi untuk x, misalnya y = g(x), tetapi fungsi g tersebut sulit atau tidak mungkin untuk ditentukan. Kita masih dapat menentukan dy dx. Dengan mendiferensialkan kedua ruas dari F (x, y) = 0 terhadap x dengan, kita memperoleh Dengan menyelesaikan dy dx F dx x dx + F dy y dx = 0 akan dihasilkan rumus dy dx = F / x F / y

16 Contoh 6 dan Fungsi Implisit Tentukan dy/dx jika x 3 + x 2 y 10y 4 = 0 dengan menggunakan a. b. Pendiferensialan implisit

17 Contoh 6 dan Fungsi Implisit Tentukan dy/dx jika x 3 + x 2 y 10y 4 = 0 dengan menggunakan a. b. Pendiferensialan implisit Penyelesaian: a. Misalkan F (x, y) = x 3 + x 2 y 10y 4, maka dy dx = F / x F / y = 3x 2 + 2xy x 2 40y 3 b. Diferensialkan kedua ruas terhadap x 3x 2 + x 2 dy dx + 2xy 40y 3 dy dx = 0 Selesaikan dy dx dan akan diperoleh hasil sama seperti dengan.

18 dan Fungsi Implisit Jika z adalah sebuah fungsi implisit dari x dan y yang didefinisikan oleh persamaan F (x, y, z) = 0, maka pendiferensialan kedua ruas terhadap x, dengan mempertahankan agar nilai y tetap, akan menghasilkan F x x x + F y y x + F z z x = 0 Jika kita menyelesaikan z y x dan memperhatikan bahwa x = 0, maka kita akan memperoleh persamaan berikut. Perhitungan yang sama juga berlaku untuk rumus kedua z x = F / x F / z, z y = F / y F / z

19 Contoh 7 dan Fungsi Implisit Jika F (x, y, z) = x 3 e y+z y sin (x z) = 0 mendefinisikan z secara implisit dari fungsi x dan y, tentukan z x.

20 Contoh 7 dan Fungsi Implisit Jika F (x, y, z) = x 3 e y+z y sin (x z) = 0 mendefinisikan z secara implisit dari fungsi x dan y, tentukan z x. Penyelesaian: z x / x 2 = F F / z = 3x e y+z y cos (x z) x 3 e y+z + y cos (x z)