KALKULUS MULTIVARIABEL II

Transkripsi

1 Definisi KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-7) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia

2 Definisi 1 Definisi 2 ontoh Soal

3 Definisi Integral Garis Fungsi f K R 2 R di Sepanjang Kurva Mulus Diberikan kurva mulus pada R 2 dengan rumus parameter x = x(t) y = y(t) a t b, dengan merupakan kurva yang terorientasi secara positif. Titik awal kurva adalah A = (x(a), y(a)) dan titik ujung kurva adalah B = (x(b), y(b)).

4 Definisi Diberikan fungsi f K R 2 R 2, dengan kurva termuat pada K. Akan ditentukan integral fungsi f di sepanjang kurva dari titik A hingga titik B. Ditinjau partisi P = {t 0, t 1, t 2,..., t n } pada [a, b] dengan a = t 0 < t 1 < t 2 < < t n = b. Partisi P membagi kurva ke dalam n kurva bagian i, dengan i merupakan kurva dengan titik awal P i 1 = (x(t i 1 ), y(t i 1 )) dan titik ujung P i = (x(t i ), y(t i )). Untuk setiap i = 1, 2,..., n dipilih t i [t i 1, t i ]. Didefinisikan titik Q i = (x(t i ), y(t i )).

5 Definisi Kurva Terdapat dua kasus: 1 Integral terhadap panjang busur 2 Integral terhadap axis tertentu

6 Definisi Misalkan s i menyatakan panjang kurva i dan P menyatakan norma partisi P. Diperhatikan jumlahan Riemann berikut n i=1 f(q i ) s i. Jika f kontinu pada D K dengan kurva termuat pada D, maka jumlahan Riemann di atas memiliki limit untuk P menuju nol. Nilai limit tersebut disebut integral garis dari fungsi F sepanjang dari A ke B terhadap panjang busur, yaitu f(x, y) ds = lim n P 0 i=1 f(q i ) s i.

7 Definisi Representasi Integral Garis Fungsi Pada Bidang Jika fungsi f bernilai positif pada maka nilai integral f(x, y) ds merupakan luas tirai tegak melengkung yang diperlihatkan pada gambar berikut. (Varberg dkk., 2007)

8 Definisi Misalkan x i = x(t i ) x(t i 1 ) dan P = norma partisi P. Diperhatikan jumlahan Riemann berikut n i=1 f(q i ) x i. Jika f kontinu pada D K dengan kurva termuat pada D, maka jumlahan Riemann di atas memiliki limit untuk P menuju nol. Nilai limit tersebut disebut integral garis dari fungsi f sepanjang dari A ke B terhadap x, yaitu f(x, y) dx = lim n P 0 i=1 f(q i ) x i.

9 Definisi Dengan cara analog dapat didefinisikan integral garis dari fungsi f sepanjang dari A ke B terhadap y, yaitu f(x, y) dy = lim n P 0 i=1 f(q i ) y i. Untuk integral fungsi f K R 3 R terhadap panjang busur dan terhadap axis tertentu didefinisikan analog dengan integral fungsi pada bidang.

10 Definisi ontoh Soal Kurva Diberikan Dalam Bentuk Fungsi Parameter Fungsi Pada Bidang Jika diketahui bahwa setiap titik (x, y) pada kurva merupakan fungsi dalam parameter t, yaitu x = x(t) dan y = y(t) untuk a t b, maka diferensial busur ds dapat dinyatakan sebagai ds = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt. Diperoleh bahwa f(x, y) ds = a b f(x(t), y(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt.

11 Definisi ontoh Soal Fungsi Pada Ruang Jika diketahui bahwa setiap titik (x, y, z) pada kurva merupakan fungsi dalam parameter t, yaitu x = x(t), y = y(t), dan z = z(t) untuk a t b, maka diferensial busur ds dapat dinyatakan sebagai ds = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 dt. Diperoleh bahwa = a f(x, y, z) ds b f(x(t), y(t), z(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 dt.

12 Definisi ontoh Soal Kurva Diberikan dengan Setiap Komponen Merupakan Fungsi Eksplisit dari Salah Satu Komponen Lain Fungsi Pada Bidang Jika diketahui kurva, beranggotakan titik (x, y(x)) untuk α x β, maka diferensial busur dapat dinyatakan sebagai ds = (y (x)) 2 dx. Diperoleh bahwa f(x, y) ds = α β f(x, y(x)) 1 + (y (x)) 2 dx.

13 Definisi ontoh Soal Fungsi Pada Ruang Jika diketahui kurva, beranggotakan titik (x, y(x), z(x)) untuk α x β, maka diferensial busur dapat dinyatakan sebagai ds = 1 + (y (x)) 2 + (z (x)) 2 dx. Diperoleh bahwa f(x, y, z) ds = α β f(x, y(x), z(x)) 1 + (y (x)) 2 + (z (x)) 2 dx.

14 Definisi ontoh Soal Akan diberikan untuk kasus integral fungsi pada bidang di sepanjang kurva mulus terhadap x (Kasus yang lain analog). Jika diketahui bahwa setiap titik (x, y) pada kurva merupakan fungsi dalam parameter t, yaitu x = x(t) dan y = y(t) untuk a t b, maka ds = x (t) dt sehingga diperoleh bahwa f(x, y) dx = a b f(x(t), y(t))x (t) dt.

15 Definisi ontoh Soal Jika diketahui kurva, beranggotakan titik (x, y(x)) untuk α x β, maka f(x, y) dx = α β f(x, y(x)) dx. Jika diketahui kurva, beranggotakan titik (x(y), y) untuk u y v, maka f(x, y) dx = u v f(x(y), y)x (y) dy.

16 Definisi ontoh Soal ontoh 1 Diketahui adalah kurva pada bidang dengan (x, y) jika dan hanya jika x 2 + y 2 = 1 dan y 0. Tentukan nilai (2 + x 2 y) ds. 2 Diketahui adalah kurva pada ruang dengan rumus parameter x = t, y = t 2, z = t 4, 0 t 1. Tentukan nilai (y 2 z 2 ) dx + (x z) dy + xy dz.