Integral Garis. Sesi XIII INTEGRAL 12/7/2015

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Integral Garis. Sesi XIII INTEGRAL 12/7/2015"

Widyawati Santoso
7 tahun lalu
Tontonan:

1 2//25 Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TK 85 Pengampu : Achfas Zacoeb esi XIII INTEGRAL zacoeb@ub.ac.id Hp Integral Garis Dari Gambar., sebuah obyek bergerak dengan lintasan tidak lurus dari titik A ke titik B. Jika gaya yang diberikan berubah nilai dan arahnya, maka usaha yang dilakukan adalah seperti Pers. (.). Gambar.. Obyek dengan lintasan tidak lurus

2 2//25 Integral Garis (lanjutan) W = i F i. Δr i (.) Jika perubahannya kontinu untuk perpindahan dari titik a ke titik b sepanjang lintasan, maka Pers. (.) berubah menjadi bentuk integral seperti Pers. (.2). b W = F. dr (.2) a Usaha yang dihasilkan merupakan integral garis dari fungsi vektor F. Integral Garis (lanjutan) Integral garis dari suatu fungsi vektor A(t) sepanjang kurva yang terdefinisi pada a t b, dapat didefinisikan seperti Pers. (.3). A. dr b = A. dr a b a b a = A i + A 2 j + A 3 k. idx + jdy + kdz = A dx + A 2 dy + A 3 dz (.3) 2

3 2//25 Integral Garis (lanjutan) Untuk obyek yang bergerak dengan lintasan tertutup dimana A = B seperti ditunjukkan Gambar.2, maka digunakan Pers. (.4). Gambar.2. Obyek dengan lintasan tertutup A. dr = A i + A 2 j + A 3 k. idx + jdy + kdz = A dx + A 2 dy + A 3 dz (.4) Integral Garis (lanjutan) ontoh : Hitung usaha yang dihasilkan sebuah obyek yang bergerak dalam vektor F = yi + x 2 j, sepanjang kurva x = 2t, y = t 2 dari t = hingga t = 2. Penyelesaian : F. dr = yi + x 2 j. dxi + dyj = ydx + x 2 dy = t 2 2dt + 2t 2 2tdt = 2t t 3 dt = 2 3 t3 2t + 8t 4 2 = satuan panjang 3 3

4 2//25 Integral Permukaan Definisi : Jika suatu permukaan 2 sisi yang demikian mulus dan n adalah vektor normal satuan positif, maka fluks (massa yang mengalir per satuan waktu) dari A(x,y,z) melalui permukaan adalah seperti Pers. (.5) yang disebut dengan integral permukaan. Fluks F yang melintasi = A. n. d (.5) Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan memproyeksikan pada salah satu bidang koordinat, kemudian menghitung integral lipat 2 dari proyeksinya. Integral Permukaan (lanjutan) Jika permukaan memiliki proyeksi pada bidang xy, maka integral permukaan diberikan oleh Pers. (.). A. n. d = A. n. dx.dy (.) n.k edangkan jika proyeksi pada bidang xz, maka integral permukaan diberikan oleh Pers. (.). A. n. d = A. n. dx.dz (.) n.j Dan proyeksi pada bidang yz, maka integral permukaan diberikan oleh Pers. (.8). A. n. d = A. n. dy.dz (.8) n.i 4

5 2//25 Integral Permukaan (lanjutan) ontoh : Hitunglah A. n. d dimana A = 8zi 2j + 3yk, adalah bagian dari bidang 2x + 3y + z = 2 yang terletak pada oktan pertama dan n adalah normal satuan pada. Penyelesaian : uatu normal untuk adalah 2x + 3y + z 2 = 2i + 3j + k, sehingga : n = 2i+3j+k 2i+3j+k = Integral Permukaan (lanjutan) maka : A. n = 8zi 2j + 3yk. = 3z 3+8y 2 2x 3y 3 3+8y = = 3 2x 2i+3j+k 5

2//25 Integral Permukaan (lanjutan) Permukaan proyeksi R nya terhadap bidang xy. ehingga integral permukaan yang diinginkan adalah seperti gambar berikut : Integral Permukaan (lanjutan) A. n. d = A.

6 2//25 Integral Permukaan (lanjutan) Permukaan proyeksi R nya terhadap bidang xy. ehingga integral permukaan yang diinginkan adalah seperti gambar berikut : Integral Permukaan (lanjutan) A. n. d = A. n. dx.dy R = n.k 3 2x. R x= 2 2x dx.dy 2i+3j+k.k = 3 2x y= = dx. dy = y 2xy 2 2x 3 dx x= x= x= = 2 2x 3 2x = 24 2x + 4x2 = 24x x 2 + 4x x 3 dx R 3 2x dx. dx.dy = 24 satuan luas

2//25 Integral olume (lanjutan) Pandang sebuah permukaan tertutup dalam ruang yang menutup volume, maka : A d = A dxdydz dan (.9) φ d = φ dxdydz (.) Pers. (.) dapat dinyatakan sebagai limit dari jumlah.

7 2//25 Integral olume (lanjutan) Pandang sebuah permukaan tertutup dalam ruang yang menutup volume, maka : A d = A dxdydz dan (.9) φ d = φ dxdydz (.) Pers. (.) dapat dinyatakan sebagai limit dari jumlah. Untuk lebih jelasnya lihat Gambar.3 yang membagi ruang ke dalam M buah kubus-kubus dengan volume Δ k = Δx k Δy k Δz k, k =, 2,, M. Integral olume (lanjutan) Jika x k, y k, z k sebuah titik dalam kubus, dapat didefnisikan φ x k, y k, z k = φ k. Pandang jumlah : n φ k k k= yang diambil untuk semua kubus yang ada dalam ruang yang ditinjau. Gambar.3. Integral volume

8 2//25 Integral olume (lanjutan) Limit dari jumlah tersebut, jika M, sehingga kuantitaskuantitas terbesar k akan mendekati nol, dan jika limit ini ada, yang dinyatakan oleh Pers. (.) adalah integral volume. Integral olume (lanjutan) ontoh : Hitung f(x)d dengan adalah ruang yang dibatasi oleh permukaan-permukaan x + y + z = 5, x =, y =, dan z =, jika f x = x 2 + y 2 + z 2. Penyelesaian : 8

9 2//25 Integral olume (lanjutan) x 2 + y 2 + z 2 5 x= 5 x y= 5 x y z= 5 5 x x= y= 5 5 x x= y= 5 x= = x 2 + y 2 + z 2 = x 2 z + y 2 z + 3 z3 5 x y = x 2 + y 2 5 x y + = x 2 5 x x2 y 2 5 x y = x2 5 x 2 2 = 25x3 5x x x dx dx + x5 (5 x) x 3 dzdydx y 3 y4 4 dydx 5 x y 3 3 dydx 5 = 25 satuan volume 4 Teorema Gauss Definisi : Jika adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup dan A sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu, maka :. Ad = A. nd = A. d (.) Dari Pers. (.), integral permukaan dari sebuah vektor A yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan integral dari divergensi A dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan dapat juga digunakan Teorema Gauss. 9

10 2//25 Teorema Gauss (lanjutan) Agar lebih memahami teorema Gauss, lihat contoh soal berikut : ontoh oal : Hitunglah A. n. d dengan A = 2x z i + x 2 yj xz 2 k dan adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh x =, x =, y =, y =, z =, z =. Penyelesaian : Teorema Gauss (lanjutan) Menurut teorema divergensi Gauss : A. nd =. Ad Maka,. Ad = i + k x y z. 2x z i + x 2 yj xz 2 k = 2 + x 2 2xz dxdydz Jadi, = 2x + x3 3 x2 z dydz = = y zy 3 dz z dz = 3 z 2 z2 = A. nd =. Ad = 3 = satuan 3 z dydz dxdydz

2//25 Teorema tokes Definisi : Jika adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batasbatasnya adalah kurva yang tertutup, dan misalkan F(x,y,z) adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai turunan

11 2//25 Teorema tokes Definisi : Jika adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batasbatasnya adalah kurva yang tertutup, dan misalkan F(x,y,z) adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam domain yang memuat, maka : F. dr = F. n. d (.2) Dari Pers. (.2) dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana sama dengan integral permukaan dari curl melalui sembarang permukaan dengan sebagai batasnya. Teorema tokes (lanjutan) Agar lebih memahami teorema tokes, lihat contoh soal berikut : ontoh oal : Hitunglah A. d dengan A = 2x y i + yz 2 j y 2 zk dimana adalah separuh dari permukaan bola x 2 + y 2 + z 2 = bagian atas dan batasnya. Penyelesaian :

2//25 Teorema tokes (lanjutan) Batas dari adalah suatu lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 =, z = dan persamaan parameternya adalah x = cos t, y = sin t, z =, dimana t 2. Berdasarkan teorema tokes A.

12 2//25 Teorema tokes (lanjutan) Batas dari adalah suatu lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 =, z = dan persamaan parameternya adalah x = cos t, y = sin t, z =, dimana t 2. Berdasarkan teorema tokes A. n. d = A. dr. A. dr = 2x y i yz 2 j y 2 zk. d xi + yj + zi Jadi, 2π 2π 2π 2π = 2x y dx yz 2 dy y 2 zdz = 2 cos t sin t sin t dt = 2 sin t cos t + sin 2 t dt = sin 2t + dt 2 = cos 2t + t + sin 2t 2π = π A cos 2t 2. n. d = A. dr = π satuan Teorema Green Teorema tokes berlaku untuk permukaan-permukaan dalam ruang yang memiliki kurva sebagai batasnya, sedangkan teorema Green berlaku pada daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh kurva tertutup. Istilahnya, teorema Green dalam bidang adalah hal khusus dari teorema tokes. Jadi ada satu cara lagi untuk mencari besar usaha dalam bidang, yaitu dengan menggunakan teorema Green. 2

13 2//25 Teorema Green (lanjutan) Definisi : Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana. M dan N adalah fungsi-fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka : Mdx + Ndy = R N M x y dxdy (.3) Teorema Green (lanjutan) Jika A menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah partikel dimana A = Mi + Nj, maka A. dr adalah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup integral garis, yaitu : A. dr = Mi + Nj. dxi + dyj + dzk = Mdx + Ndy Dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang dilakukan adalah : = R N M x y dxdy 3

14 2//25 Teorema Green (lanjutan) Agar lebih memahami teorema Green, lihat contoh soal berikut : ontoh oal : Periksa teorema Green pada bidang untuk 2xy x 2 dx + x + y 2 dy, dimana adalah kurva tertutup yang dibatasi oleh y = x 2 dan y 2 = x. Penyelesaian : Kurva-kurva bidang tersebut berpotongan di (, ) dan (,), arah positif dalam menjalani ditunjukkan pada gambar di samping. Teorema Green (lanjutan) epanjang y = x 2, integral garisnya adalah : 2x x 2 x 2 dx + x + x 2 2 d x 2 x= x= = 2x 3 + x 2 + 2x 5 dx = epanjang y 2 = x, integral garisnya adalah : 2y 2 y y 2 2 d y 2 + y 2 + y 2 dy y= = 4y 4 2y 5 + 2y 2 dx = y= 5 Maka integral garis yang diinginkan adalah : = 5 = 3 satuan 4

15 2//25 Teorema Green (lanjutan) Dengan teorema Green : R N M x y dxdy = R x+y 2 x = 2x dxdy R x= x= x y=x 2 2xy x2 y = 2x dxdy = y 2xy x x 2 dx dxdy = x 2 2x 3 2 x 2 + 2x 3 dx x= = 3 satuan (Pemeriksaan selesai dan terbukti sama!) Latihan. Teorema Gauss : Hitunglah A. n. d dengana = 2xy z i + y 2 j x + 3y k pada daerah yang dibatasi oleh 2x + 2y + z =, x =, y =, z =. 2. Teorema tokes : Hitunglah A. n. d dengan A = 3yi xzj + yz 2 k, dimana adalah permukaan paraboloida 2z = x 2 + y 2 yang dibatasi oleh z = 2 dan sebagai batasnya. 3. Teorema Green : Hitunglah x 2 xy 3 dx + y 3 2xy dy dengan adalah suatu bujursangkar dengan titik sudut (,), (,2), (2,2), (2,). 5

16 2//25 Thanks for your kind attention!

dokumen-dokumen yang mirip

Integral Vektor. (Pertemuan VII) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Integral Vektor. (Pertemuan VII) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TK 47 Matematika III Integral Vektor (Pertemuan VII) Dr. AZ Jurusan Teknik ipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Teorema Gauss Definisi : Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup