Matematika Teknik Dasar-2 11 Aplikasi Integral - 2. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

Transkripsi

1 Matematika Teknik Dasar-2 11 Aplikasi Integral - 2 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

2 Momen Inersia Energi yang dimiliki benda karena pergerakannya disebut Energi Kinetik Dengan persamaan sebagai berikut EK = 1 2 mv2 Dalam bidang teknik banyak terapan benda yang berotasi: roda, bubungan (cam), poros, poros dynamo (armature), dsb. Pergerakan dinyatakan dalam putaran per detik

3 Momen Inersia Diperhatikan sebuah partikel P dengan massa m yang berputar mengelilingi sumbu-x dengan kecepatan sudut konstan radian per detik. Berarti bahwa sudut di pusat lingkaran bertambah dengan kecepatan radian per detik. Maka disimpulkan kecepatan linear P, v cm/s, bergantung pada dua kuantitas a. Kecepatan sudut ( rad/s) b. Seberapa jauh P dari pusat

4 Momen Inersia Untuk mendapatkan sudut 1 radian dalam satu detik. P harus bergerak pada lingkaran dengan jarak yang sama dengan panjan 1 jari-jari, sebesar r (cm) Jika bertambah dengan kecepatan 1 rad/s, P bergerak dengan kecepatan r cm/s Jika bertambah dengan kecepatan 2 rad/s, P bergerak dengan kecepatan 2r cm/s Jika bertambah dengan kecepatan 3 rad/s, P bergerak dengan kecepatan 3r cm/s

5 Momen Inersia Maka dari maksud slide sebelumnya bisa disimpulkan bahwa kecepatan sudut P adalah rad/s, maka kecepatan linear, dari P adalah = r Dari sebelumnya didapatkan EK = 1 2 mv2 EK = 1 2 m ωr 2 EK = 1 2 ω2. mr 2

6 Momen Inersia Ada sebuah sistem yang tersusun dari partikel-partikel yang berotasi terhadap sumbu XX dengan kecepatan sudut sama sebesar rad/s, maka tiap partikel menyumbangkan energinya: EK 1 = 1 2 ω2. m 1 r 1 2 EK 2 = 1 2 ω2. m 2 r 2 2 EK 3 = 1 2 ω2. m 3 r 3 2 EK 4 = 1 2 ω2. m 4 r 4 2

7 Momen Inersia EK = EK 1 + EK 2 + EK 3 + EK EK = 1 2 ω2. m 1 r ω2. m 2 r ω2. m 3 r ω2. m 4 r EK = σ 1 2 ω2. mr 2 (jumlah seluruh partikel) EK = 1 2 ω2 σ. mr 2 (karena adalah konstanta)

8 Momen Inersia EK = 1 2 ω2 σ. mr 2 Dapat disimpulkan dua faktor berbeda: a. 1 2 ω2 dapat diubah-ubah dengan mempercepat atau memperlambat laju rotasi b. σ. mr 2 adalah difat benda yang berotasi. Ini adalah sifat fisik dari benda dan disebut momen kedua dari massa, atau momen inersia (dinyatakan dengan simbol I) I = σ mr 2 (untuk seluruh partikel)

9 Momen Inersia I = σ mr 2 (untuk seluruh partikel) I = I = = 47 kg.m 2

10 Jari-Jari Girasi Jika dimisalkan massa total M berjarak k dari sumbu Maka EK dari M akan sama dengan σ EK 1 2 ω2. Mk 2 = 1 2 ω2 σ. mr 2 Mk 2 = σ mr 2 k disebut sebagai jari-jari girasi sebuah benda terhadap sumbu rotasi tertentu. Jadi I = σ mr 2 ; Mk 2 = I, dengan M = σ m

11 Contoh -1 Cari momen inersia (I) dan jari-jari girasi (k) dari sebuah batang tipis homogen terhadap sebuah sumbu yang melalui salah satu ujung yang tegak lurus terhadap panjang batang tersebut. Misal = massa per satuan panjang batang massa dari elemen PQ =. x Momen kedua dari massa PQ terhadap XX = massa x (jarak) 2 =. x.x 2 = x 2. x Momen kedua total untuk semua elemen ditulis I σa x=0 ρx 2. δx

12 Contoh -1 Tanda aproksimasi ( ) dipakai karena x adalah jarak sampai ke sisi kiri dari elemen PQ Jika x 0, maka menjadi: a I = න ρx 2. dx = ρ x a = ρa3 Digunakan Mk 2 =I digunakan untuk mencari k. Awal mula ditentukan massa total M. M = aρ 3

13 Contoh -1 I = ρa3 3 M = aρ Mk 2 = I k 2 = a2 3 aρ. k 2 = ρa3 3 k = a 3 I = ρa3 3

14 Contoh -2 Carilah I untuk sebuah pelat empat-persegi panjang terhadap sebuah sumbu melalui pusat massanya yang sejajar dengan salah satu sisi. Misal = massa per satuan luas dari pelat Massa dari potongan PQ = b. x. Momen kedua massa dari massa potongan terhadap XX b x. (massa x jarak 2 ) Momen kedua total untuk seluruh potongan x=d/2 I = σ x=d/2 bρx 2. δx

15 Contoh -2 Jika x 0 I = න d/2bρx 2. δx = bρ x3 d/2 d/2 3 d/2 I = bρ d 3 24 d3 24 = bρd3 12 Massa total M=bd, I= Md2 12 I = bρd3 12 = Md2 12 dan k = d 12 = d 2 3

16 Contoh - 3 Carilah I untuk sebuah pelat emapt-persegi-panjang, 20cm x 10cm, dengan massa 2kg. Terhadap sumbu yang berjarak 5cm dari sisi yang panjangnya 20cm. Jawaban: Diambil sebuah potongan sejajar dengan sumbu. Diperhatikan pada contoh ini: Maka = 0,01 kg/cm 2 ρ = = = 0,01

17 Contoh - 3 = 0,01 kg/cm 2 Luas potongan = 20. x Massa potongan = 20. x. Momen kedua dari massa potongan terhadap XX 20. x..x 2 x=15 Momen kedua total dari masssa= I x=5 20ρx 2. dx Jika x 0, I = ρx 2. dx = 20ρ x3 15 = 20ρ = 217 kg.cm 2

18 Contoh - 3 Nilai k Mk 2 =I dan M=2kg 2k 2 = 217 k 2 =108,5 k = 108,5 = 10,4 cm

19 Kesimpulan Tahapan mencari nilai I Ambil sebuah potongan yang sejajar sumbu rotasi pada jarak x dari sumbu tersebut Bentuklah sebuah pernyataan untuk momen kedua dari massa terhadap sumbu Jumlahkan seluruh potongan Ubah menjadi bentuk integral dan dihitung

20 Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar Jika I terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massa sebuah benda diketahui, maka dengan mudah menuliskan nilai I terhadap sumbu lain yang sejajar dan diketahui jaraknya dari sumbu yang pertama.

21 Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar Misalkan G adalah pusat massa Misalkan m = massa potongan PQ I G = mx 2 I AB = m x + 1 2

22 Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar I AB = m x 2 + 3lx + l 2 I AB = mx 2 + 2mxl + ml 2 I AB = mx 2 + 2l mx + l 2 m σ mx 2 = I G ; σ m = M I AB = I G + Ml 2

23 Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar I AB = m x 2 + 3lx + l 2 I AB = mx 2 + 2mxl + ml 2 I AB = mx 2 + 2l mx + l 2 m σ mx 2 = I G ; σ m = M I AB = I G + Ml 2

24 Contoh - 4 Dicari I untuk terhadap sumbu AB untuk pelat empat-persegi-panjang di bawah ini:

25 Contoh - 4 Jawaban: I G = Md2 12 = 3.16 = 4 kg. cm2 12 I AB = I G + Ml 2 I AB = I AB = = 79 kg. cm 2

26 Contoh - 5 Sebuah pintu terbuat dari logam, 40cm x 60cm, mempunyai massa 8kg dan diberi engsel pada salah satu sisi dengan panjang 60cm. Hitunglah: a. I terhadap XX, yaitu sumbu yang melalui pusat massa b. I terhadap garis yang melalui engsel, AB c. K terhadap AB

27 Contoh - 5 Jawaban: Soal a I G = Md2 = 8.40 = Soal b =1067 kg cm2 I AB = I G + Ml 2 = = = 4267 kg cm 2 Soal c Mk 2 = I AB ; 8k 2 =4267 ; k 2 = 533,4 ; k=23,1 cm

28 Teorema Sumbu Sumbu Tegak Lurus (untuk pelat tipis) Misalkan m adalah suatu massa kecil di P Maka I X σ δm. y 2 dan I y σ δm. x 2 Misalkan ZZ adalah sumbu yang tegak lurus dengan sumbu XX dan YY I z = σ δm. OP 2 I z = σ δm. x 2 + y 2 2 I z = σ δm. y 2 + σ δm. x 2 I z = I x + I y

29 Teorema Sumbu Sumbu Tegak Lurus (untuk pelat tipis) Dicari I dari cakram lingkaran terhadap salah satu diameternya sebagai sumbu Ditetapkan bahwa I z = πr4 ρ 2 = M.r2 2 Misalkan XX dan YY adalah dua diameter yang saling tegak lurus Diketahui bahwa I x + I y = I z = M.r2 2 Dengan seluruh diameter identik I X = I Y 2I X = M.r2 2 I X = M.r2 4

30 Contoh - 6 Carilah I untuk sebuah cakram lingkaran berdiameter 40cm dan massa 12 kg a. Terhadap sumbu normal (z) b. Terhadap diameter sebagai sumbu c. Terhadap garis singgung sebagai sumbu

31 Contoh - 6 a. I z = M.r2 2 = b. I X = M.r2 4 c. I X = 1200 kg cm 2 = = 2400 kg cm 2 = 1200 kg cm 2 Dengan teorema sumbu sejjar I T = I X + Ml 2 I T = I T = 6000 kg cm 2

32 Kesimpulan I = σ mr 2 ; Mk 2 =I 2. Pelat empat-persegi-panjang ( = massa/ satuan luas) I G = bd3 ρ = Md

33 Kesimpulan Cakram lingkaran I z = πr4 ρ 2 I x = πr4 ρ 4 = M.r2 2 = M.r2 4

34 Kesimpulan Teorema sumbu-sumbu sejajar I AB = I G + Ml 2

35 Kesimpulan Teorema sumbu-sumbu tegak-lurus I Z = I X + I Y

36 Contoh - 7 Carilah I untuk batang berongga terhadap sumbu utamanya jika massa jenis benda adalah 0,008 kg.cm -3 Diperhatikan potongan dari batang, dengan jarak x dari sumbu Massa kulit 2πx. δx. 40ρ (kg) Momen kedua terhadap XX 2πx. δx. 40ρ. x 2 80πρx 3. δx

37 Contoh - 7 Momen kedua total = σ x=8 x=4 80πρx 3. δx Jika x 0, I = 80πρ 4 8 x 3 dx = 80πρ x4 I = 80πρ I = = ,008 I = 614,4 = 1930 kg.cm

38 Pusat Tekanan Tekanan pada sebuah titik P dengan kedalaman z di bawah permukaan suatu cairan Sebuah cairan yang sempurna, tekanan di P, atau gaya dorong pada luas satuan P disebabkan berat dari kolom cairan yang terletak setinggi z di atasnya Tekanan P adalah p=wz, dengan w=berat dari volume satuan cairan. Dan tekanan P sama besar ke segala arah

39 Pusat Tekanan dalam pembahasan ini tekanan atmosfer yang bekerja pada permukaan cairan diabaikan. Maka, tekanan pada sembarang titik dalam cairan sebanding dengan kedalaman titik di bawah permukaan.

40 Pusat Tekanan Gaya dorong total pada sebuah pelat vertikal yang dicelupkan ke dalam cairan Diperhatikan sebuah potongan tipis pada kedalaman z di bawah permukaan cairan Tekanan pada P=wz Gaya dorong pada potongan PQ wz (luas potongan) PQ w.z.a. x

41 Pusat Tekanan Total gaya dorong di seluruh pelat z=d 2 awzδz z=d 1 Jika z 0, gaya dorong total = d1 d 2 awzdz = aw z2 2 d1 d 2 = aw 2 d 2 2 d 1 2 Gaya dorong total = aw 2 d 2 d 1 d 2 + d 1 = wa d 2 d 1 d 2 +d 1 2

42 Pusat Tekanan Gaya dorong total = wa d 2 d 1 d 2 +d 1 2 d 2 +d 1 2 dinyatakan sebagai zҧ Gaya dorong total = wa d 2 d 1 a d 2 d 1 adalah luas total pelat, maka z ҧ = a d 2 d 1 wzҧ Gaya dorong total = luas pelat x tekanan di pusat massa pelat

43 Contoh - 8 Jika w adalah berat per volume satuan dari cairan, hitunglah gaya dorong total pada pelat a dan b berikut ini:

44 Contoh - 8 Pelat a Luas = 6 x 8 = 48cm 2 Tekanan di G = 7w Gaya dorong total = 48.7w = 336 w

45 Contoh - 8 Pelat b Luas = (10 x 6)/2 = 30 cm 2 Tekanan di G = 6w Gaya dorong total = 30.6w = 180 w

46 Pusat Tekanan Jika pelat membentuk sudut terhadap bidang horizontal, maka: Kedalaman dari G = d 1 + b 2 sin 300 = d 1 + b 4

47 Pusat Tekanan Tekanan di G = d 1 + b 4 w Luas total = ab Gaya Dorong Total = ab d 1 + b 4 w Bisa disimpulkan Gaya dorong total = luas permukaan x tekanan pada pusat massa

48 Kedalaman Pusat Tekanan Tekanan pada sebuah pelat yang dicelupkan bertambah terhadap kedalaman Resultan gaya-gaya yang bekerja adalah sebuah gaya dengan magnitudo yang sama dengan gaya dorong total T, dan bekerja pada sebuah titik Z yang disebut pusat tekanan pelat. Misalkan zҧ adalah kedalaman dari pusat tekanan

49 Kedalaman Pusat Tekanan Untuk mencari ҧ z diambil momen-momen gaya terhadap sumbu dimana bidang pelat memoton permukaan cairan. Dilihat sebuah pelat empatpersegi-panjang.

50 Kedalaman Pusat Tekanan Luas potongan PQ = a. z Tekanan permukaan PQ = zw Gaya dorong potongan PQ = a. z.z.w Momen gaya dorong terhadap sumbu pada permukaan adalah =awz. z.z = awz 2. z d Jumlah momen gaya pada seluruh potongan = σ 2 d1 awz 2 δz Jika z 0, jumlah momen = d1 d 2 awz 2 dz

51 Kedalaman Pusat Tekanan Gaya dorong total x z ҧ = jumlah momen dari seluruh gaya dorong d 2awz d 2awz dz x z ҧ = න 2 dz d 1 න d 1 d Gaya dorong total x z ҧ = w 2 d1 az 2 dz = wi z ҧ = wi = wak2 gaya dorong total Awzҧ z Ӗ = k2 zҧ

52 Contoh 9 Pada sebuah dinding penahan tanah yang memiliki bentuk persegi-panjang vertikal, 40m x 20m, dengan sisi atas dinding sama dengan tinggi permukaan air. Carilah kedalaman dari pusat tekanan Dalam soal ini z ҧ = 10m Mencari k 2 terhadap AB

53 Contoh 9 Mencari k 2 terhadap AB I C = Ad2 = I AB = I C + Al 3 = Ak 2 = I k 2 = 4 3 z Ӗ = k2 = 40 = 13,33m z ҧ 3 = m = =

54 Contoh 10 Outlet dari sebuah tangki ditutup dengan penutup bundar yang tergantung secara vertikal. Diameter penutup = 1m dan bagian atas penutup berada 2,5m di bawah permukaan cairan. Carilah kedalaman pusat tekanan dari penutup. a. Kedalaman sentroid = z ҧ = 3m b. Mendapatkan k 2 terhadap AB

55 Contoh 10 I C = Ar2 4 = π = π 64 I AB = π 64 + A. 32 I AB = π 64 + π I AB = π π 4 = 145π 4 Untuk tinjauan AB; k 2 = I AB A z Ӗ = k2 = = 145 = 3,02m z ҧ = 145π. 4 = π 6