Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut :

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut :"

Shinta Oesman
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Kumpulan Soal-Soal Diferensial 1. Tentukan turunan pertama dari y = (3x-2) 4 +(4x-1) 3 adalah... Jawab: misalnya : f (x) = y = (3x-2) 4 misal U = (3x-2) du/dx = 3 dy/dx = n.u n-1. du/dx = 4. (3x-2) = 12 (3x-2) 3 Terus berlanjut ke persamaan berikutnya : f (x) = y = (4x-1) 3 misal U = (4x-1) du/dx = 4 dy/dx = n.u. n-1. du/dx = 3. (4x-1) = 12 (4x-1) 2 Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut : f (x) = y = (3x-2) 4 +(4x-1) 3 = 12 (3x-2) (4x-1) 2 = 12 (3x-2) 3 + (4x-1) 2 2. Tentukan turunan pertama dari y = adalah... y =, kita misalkan U = 5x 2 +7 maka du/dx = 10x V = 4x + 3 maka dv/dx = 4

2 = (4x+3) (10x) (5x 2 + 7) (4) (4x + 3) 2 = 40x x 20x 2 28 (4x + 3) 2 = 20x x 28 (4x + 3) 2 3. Jika jumlah penduduk suatu daerah dalam t tahun mendatang dapat dinyatakan dalam fungsi t : f (t) = t-800 t 2 maka dapatkan laju pertumbuhan penduduk didaerah tersebut pada saat lima tahun mendatang! f (t) = t t 2 f (t) = t sehingga laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah f (5) = (5) = = Jadi laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah orang 4. Jika diketahui fungsi total cost untuk memproduksi x satuan barang adalah TC = x 3-4x 2 +16x+80, maka tentukan MC pada saat memproduksi 20 satuan barang! TC = x 3-4x 2 +16x+80 MC = TC I = 3x 2-8x+16 Sehingga MC untuk x = 20 adalah MC = 3 (20) 2 8 (20) + 16

3 = 3 (4.00) 8 (20) + 16 = = Satuan rupiah MC = 3 (20) 2 8 (20) + 16 = satuan rupiah Ini berarti pada posisi x = 20 satuan baran, akan terjadi tingkat perubahan biaya sebesar satuan rupiah jika x berubah 1 unit. 5. Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek perhari adalah y = (2x ) dalam ribuan rupiah, biaya proyek minimum dalam x hari adalah... jawab : y = (2x ) y (x) = (2x x) biaya minimum diperoleh jika y I (x) = 0 4x-80 = 0 x = 20 Biaya minimum adalah : y (20) = 2 (20) = = Karena satuannya dalam ribuan, maka dikalikan = Rp ,- 6. Jika f(x) = sin 2 (2x + π/6), maka nilai f (0) = f(x) = sin 2 (2x + π/6)

4 f (x) = 2 sin (2x + π/6)(2) = 4 sin (2x + π/6) f (0) = 4 sin (2(0) + π/6) = 4 sin (π/6) = 4(1/2) = 2 7. Turunan pertama dari f(x) = sin 3 (3x 2 2) adalah f (x) = jawab: f(x) = sin 3 (3x 2 2) f (x) = sin (3-1) (3x 2 2).3.6x.cos (3x 2 2) = 18x sin 2 (3x 2 2) cos (3x 2 2) 8. Turunan dari f(x) = adalah f (x) = jawab : f(x) = = (cos 2 (3x 2 + 5x)) 1/3 = cos 2/3 (3x 2 + 5x) f (x) = 2/3 cos -1/3 (3x 2 + 5x).(-sin(3x 2 + 5x)).(6x + 5) = -2/3 (6x + 5) cos -1/3 (3x 2 + 5x) sin(3x 2 + 5x) 9. Turunan pertama f(x) = cos 3 x adalah f(x) = cos 3 x f (x) = 3 cos 2 x (-sin x) = -3 cos 2 x sin x = -3/2 cos x (2 cos x sin x) = -3/2 cos x sin 2x 10. Persamaan garis singgung kurva y = di titik dengan absis 3 adalah

5 y = = (5 + x) 1/3 m = y = 1/3 (5 + x) -2/3 (1) y (3) = 1/3 (5 + 3) -2/3 (1) = 1/3 ((8) 2/3 ) -1 = 1/3 (4) -1 = 1/12 Untuk memperoleh y 1 maka kita substitusi nilai absis (x 1 = 3) ke persamaan di soal sehingga diperoleh y 1 = = 2 Persamaan Umum Garis Singgung : (y y 1 ) = m(x x 1 ) (y 2) = 1/12 (x 3) [kalikan 12 kedua ruas] 12(y 2) = (x 3) 12y 24 = x 3 x 12y + 21 = Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x /x)ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah Biaya proyek dalam 1 hari : 4x /x Biaya proyek dalam x hari : (4x /x)x f(x) = 4x 2 160x Agar biaya minimum : f (x) = 0 f (x) = 8x = 8x 160 8x = 160 x = 20 hari

6 Jadi biaya minimum per hari adalah = (4x /x) ribu rupiah = (4(20) /20) ribu rupiah = ( ) ribu rupiah = 20 ribu rupiah = Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam (4x /x) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu jam. Biaya proyek dalam 1 hari : 4x /x Biaya proyek dalam x hari : (4x /x)x f(x) = 4x 2 800x Agar biaya minimum : f (x) = 0 f (x) = 8x = 8x 800 8x = 800 x = 100 jam 13. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s = f(t) = (s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah m/det. s = f(t) = = (3t + 1) 1/2 v = = f (t) = 1/2 (3t + 1) -1/2 (3) f (8) = 3/2 (3(8) + 1) -1/2 = 3/2 (24 + 1) -1/2

7 = 3/2 (25 1/2 ) -1 = 3/2 (5) -1 = 3/ Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x x 2 ) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah Keuntungan setiap barang : 225x x 2 Keuntungan x barang : (225x x 2 )x f(x) = 225x 2 x 3 f (x) = 450x 3x 2 0 = 450x 3x 2 0 = x(450 3x) x = 0 atau x = 150 jadi jumlah barang yang diproduksi agar untung maksimum adalah 150 barang. 15. f(x) = 13x-6,tentukan f (4)! Jawab: f (4) = = = = = diberikan (x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = A/x + B/(x + 1) + C(x - 1) cari turunan ke 100 dari ( x² +1 ) / ( x³ - x ) (x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = A/x + B/(x + 1) + C(x - 1) (x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = A(x+1)(x-1) + B(x(x-1)) + C(x(x+1)) / [x(x + 1)(x - 1)] (x² + 1) = A(x+1)(x-1) + B(x(x-1)) + C(x(x+1)) x² + 1 = (A+B+C)x² + (C-B)x - A A = -1 B = 1

8 C = 1 Jadi (x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = -1/x + 1/(x + 1) + 1(x - 1) y = -1/x + 1/(x + 1) + 1(x - 1) dy/dx = 1/x^2-1/(x+1)^2-1/(x-1)^2 d²y/dx ² = -2/x^3 + 2/(x+1)^3 + 2/(x-1)^3 d³y / dx³ = 6/x^4 + 6/(x+1)^4 + 6/(x-1)^4 turunan ke 100 sbb: deret untuk angka pembilang 1, 2, 6, 24, 120,..., n! suku ke 100 = 100! 17. turunan ke 100 : d^100 y / (dx)^100 = -(100!)/x^ !/(x+1)^ !/(x-1)^101 Turunan dari y = sin 2x cos 4x^3 y = u. v y' = u' v + v' u y = sin 2x cos 4x^3 y' = 2cos2x cos4x³ + 12x²(-sin4x³)sin2x y' = 2cos2x cos4x³ - 12x² sin4x³ sin2x 18. tentukan turunan dari y = x^(x^2 ) y = x^(x^2) ln y = x^2ln x Turunkan tiap ruas dy/y = 2x*dx*lnx + x^2*dx/x, bagi semua ruas dengan dx dy/dx*1/y = 2xlnx + x^2/x, dy/dx = y' y' = y*(2xlnx + x^2/x) y' = x^(x^2)*(2xlnx + x) y' = x^(x^2)*x*(2lnx + 1) y' =[x^(x^2+1)]*(2lnx + 1) 19. dengan rumus f'(c)= lim h menuju 0 = f(c+h)-f(c)/h

9 f'(2)=jika =f(c)=x^2 f'( c ) = lim x 0 f( c + h) - f( c ) / h maka f ( 2 + h ) x = 2 f'( 2 + h ) = lim h 0 ( 2 + h )² - f( c ) / h f'( 2 + h ) = lim h h + h² - f( 2 ) / h f'( 2 + h ) = lim h 0 h²+ 4h + 4 ( 2² ) / h f'( 2 + h ) = lim h 0 h²+ 4h / h f'( 2 + h ) = lim h 0 h²+ 4h / h f'( 2 + h ) = lim h 0 h( h + 4 )/ h ( coret h ) f'( 2 + h ) = lim h 0 h + 4 = = 4 jadi f'( 2 ) = jika = f( c ) = x² = 2x = 2*2 = g = 2x (m1+m2) / t^2 (m2-m1) g = (2 x(m1+m2)) / (t^2 (m2-m1)) g = ((2 x(m1+m2))/(m2-m1)) * t^-2 dg/dt= (-2)* ((2 x (m1+m2)) / (m2-m1)) * t^(-2-1) dg/dt= (-4x(m1 + m2)) / (m2-m1)) * t^-3 ato bisa juga ditulis dg/dt= -4x(m1+m2) / t^3 (m2-m1) 21. buktikan bahwa turunan y=arc tan u adalah 1/u^2+1 y = arc tan u tan y = u (tan y)' = 1 (1+tan^2 y) y' = 1

10 y' = 1/ (1 + tan^2y) y' = 1 / (1 + u^2) 22. Persamaan garis yang tegak lurus garis singgung kurva y= tan x di titik ( pi/4, 1 ) adalah misalkan jarak terpendek koordinat (4,2) melalui (x,y) pada kurva parabola yang diketahui, y² = 8x turunan implisitnya adalah 2yy' = 8 y' = 4/y y' adalah gradien garis singgung di titik (x,y), maka gradien garis normalnya adalah m = -1/y' = (y-2)/(x-4) y' = (4-x)/(y-2) y' = y' 4/y = (4 - x)/(y - 2) (persamaan 1) tetapi y² = 8x x = y²/ (persamaan 2) substitusikan persamaan 2 ke persamaan 1, 4/y = (4 - y²/8)/(y - 2) -(y - 4)(y² + 4y + 16)/[8y(y - 2)] = 0 y 2 y 0 y = 4 x = y²/8 = 4²/8 = 2 maka jarak terpendek (4,2) ke kurva y² = 8x adalah jarak dari (2,4) ke (4,2) sejauh r r² = (2-4)² + (4-2)²

11 r = ln xy + e^xy = xy turunan implisitnya : 1/(xy)(y + xy') + (y + xy') e^(xy) = (y + xy') sederhanakan y' = -y/x 9) (x) = (x^3-1)(2x+5)(x^3+1) f (1) =...? f(x) = (x^3-1)(2x+5)(x^3+1) = (x^6-1)(2x+5) =2x^7+5x^6-2x-5 f(x)' = 14x^6+30x^5-2 f(1)' = = y =(akar)2x^5 y = (2x^5 ) = 2x^(5/2) y = 5/2 2 x^(3/2) y = -2/x^4 = -2x^-4 y = 8 x^-5 = 8/x^5 y = -8/x^10 = -8 x^-10 y = 80 x^-11 = 80/x^11 y = 2/3x^6 y = 4x^5 y = 3/x^3-1/x^4 = 3x^-3 x^-4 y = -9x^-4 + 4x^-5 = -9/x^4 + 4/x^5 y = 2/(3x) - 2/3 = (2/3) x^-1 2/3 y = (-2/3) x^-2 = -2/(3x^2) 26. jika f'(x) adalah turunan dari f(x) maka turunan dari f(ax+b) adalah...

12 misalkan u = ax + b df/dx = (df/du)(du/dx) df/dx = (df/du) (d(ax + b)/dx) df/dx = a (df/du) 27. Jika y=f(x) maka turunan pertama dari y terhadap x didefinisikan sebagai... y'(x) = lim (f(x + Δx) - f(x))/δx....δx 0 28.Nilai dari : Lim x-->tak terhingga ( (akar dari 4x kuadrat + 3x - 5 ) - (akar dari 4x kuadrat - 9x + 8) ) A = lim (4x² + 3x - 5) - (4x² - 9x + 8)....x kalikan dengan [ (4x² + 3x - 5) + (4x² - 9x + 8)]/[ (4x² + 3x - 5) + (4x² - 9x + 8)] sehingga diperoleh A = lim [(4x² + 3x - 5) - (4x² - 9x + 8)]/[ (4x² + 3x - 5) + (4x² - 9x + 8)]....x sederhanakan A = lim [(12x - 13]/[ (4x² + 3x - 5) + (4x² - 9x + 8)]....x penyebut dan pembilang dibagi dengan 2x A = lim [(6-6.5/x]/[ ( /x /x²) + (1-2.25/x + 2/x²)]....x A = [(6-0]/[ ( ) + ( )] = 6/2

13 A = ) 2x^2 y - 4y^3 = 4 4xy.dx + 2x^2.dy -12y^2.dy=0 4xy.dx +(2x^2-12y^2)dy=0 dy/dx=4xy/(12y^2-2x^2) d^2(y)/dx^2 = {(4y + 4x.dy/dx)(12y^2-2x^2)-(24y.dy/dx -4x)(4xy)}/(12y^2-2x^2)^2 30. turunan dari : ( X pangkat X ) pangkat ¾ y = -(x² + 2x)^3/4 y' = - 3/4 (x² + 2x)^-1/4) (2x + 2) y' = - 3(2x+2) / (x²+2x)^1/4

dokumen-dokumen yang mirip

1. Jika f ( x ) = sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ) =. a. 2 b. 2 c. 2. Diketahui f(x) = sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x) =.

1. Jika f ( x ) = sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ) =. a. 2 b. 2 c. 2. Diketahui f(x) = sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x) =. 1. Jika f ( x ) sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ). a. 2 b. 2 c. d. e. 2. Diketahui f(x) sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x). a. 6 sin² (3 2x) cos (3 2x) b. 3 sin² (3 2x) cos (3 2x) c. 2