Turunan dalam Ruang berdimensi n

Transkripsi

1 Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah October 13, 2011

2 Andaikan f adalah fungsi dengan peubah x dan y. Jika y dijaga agar tetap konstan, misalkan y = y 0 maka f(x, y 0 ) adalah fungsi dengan peubah tunggal x. Turunannya di x = x 0 disebut turunan parsial f terhadap x di (x 0, y 0 ) dan dinyatakan sebagai f x (x 0, y 0 ). Jadi f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) = lim x 0 x Dengan cara yang sama, turunan parsial f terhadap y di (x 0, y 0 ) dan dinyatakan sebagai f y (x 0, y 0 ) dan dinyatakan dengan f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) = lim y 0 y

3 Contoh 1 Tentukan f x (1, 2) dan f y (1, 2) jika f(x, y) = x 2 y + 3y 3. Penyelesaian Untuk menentukan f x (1, 2) kita perlakukan y sebagai konstanta dan dengan menurunkannya terhadap x diperoleh Jadi f x (x, y) = 2xy + 0 f x (1, 2) = = 4. Untuk menentukan f y (1, 2) kita perlakukan x sebagai konstanta dan dengan menurunkannya terhadap y diperoleh Jadi f y (x, y) = x 2 + 9y 2 f y (1, 2) = = 37.

4 Contoh 2 Tentukan turunan parsial pertama dari f(x, y) = e y sin x Penyelesaian Turunan parsial pertama terhadap x adalah f x (x, y) = e y cos x. Turunan parsial pertama terhadap y adalah f y (x, y) = e y sin x.

5 Jika z = f(x, y) kita menggunakan notasi-notasi alternatif berikut ini. f x (x, y) = z f(x, y) = x x f y (x, y) = z = f(x, y) f x (x 0, y 0 ) = z x (x 0,y 0 ) f y (x 0, y 0 ) = z x (x 0,y 0 ) Simbol (delta) dibaca del atau do atau di disebut tanda turunan parsial. Simbol-simbol z z x dan merepresentasikan operator-operator linier.

6 Contoh 3 Jika z = x 2 sin(xy 2 ), tentukan z x Penyelesaian dan z z x = x2 x [sin(xy2 )] + sin(xy 2 ) x (x2 ) = x 2 cos(xy 2 ) x (xy2 ) + sin(xy 2 ) 2x = x 2 cos(xy 2 ) y 2 + 2x sin(xy 2 ) z = x 2 y 2 cos(xy 2 ) + 2x sin(xy 2 ) = x 2 cos(xy 2 ) 2xy = 2x 3 y cos(xy 2 )

7 Turunan parsial dari suatu fungsi x dan y adalah fungsi lain dari dua peubah yang sama tersebut maka turunan tersebut dapat didiferensialkan secara parsial terhadap x atau y. Turunan parsial kedua (second partial derivative) dari f adalah ( ) f f xx = = 2 f x x x 2 f yy = ( ) f = 2 f 2 f xy = (f x ) y = ( ) f x ) f yx = (f y ) x = x ( f = 2 f x = 2 f x

8 Contoh 4 Tentukan turunan parsial kedua dari f(x, y) = xe y sin(x/y) + x 3 y 2 Penyelesaian f x (x, y) = e x 1 ( ) x y cos + 3x 2 y 2 y f y (x, y) = xe y + x ( ) x y 2 cos + 2x 3 y y f xx (x, y) = 1 ( ) x y 2 sin + 6xy 2 y ( ) f yy (x, y) = xe y + x2 x y 4 sin y 2x y 3 cos ( ) x + 2x 3 y f xy (x, y) = e y x ( ) x y 3 sin + 1 ( ) x y y 2 cos + 6x 2 y y f yx (x, y) = e y x ( ) x 3 sin + 1 ( ) x 2 cos + 6x 2 y

9 Misalkan f adalah fungsi dengan tiga peubah x, y dan z. Turunan parsial f terhadap x di (x, y, z) dinyatakan dengan f x (x, y, z) atau f(x, y, z)/ x dan didefinisikan sebagai f(x + x, y, z) f(x, y, z) f x (x, y, z) = lim x 0 x Jadi f x (x, y, z) dapat diperoleh dengan memperlakukan y dan z sebagai konstanta dan mendiferensialkannya terhadap x.

10 Contoh 5 Jika f(x, y, z) = xy + 2yz + 3zx, tentukan f x, f y dan f z. Penyelesaian Untuk mendapatkan f x, kita perlakukan y dan z sebagai konstanta, dan kita turunkan terhadap peubah x. Jadi f x (x, y, z) = y + 3z Dengan cara yang sama diperoleh f y (x, y, z) = x + 2z f z (x, y, z) = 2y + 3z