Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576

Transkripsi

1 Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e. 3 Karena u tegak lurus v maka 0 = u v = a a + 1 = (a 1). Jadi, a = 1.. Pernyataan berikut yang benar adalah... a. Jika sin x = sin y maka x = y b. Untuk setiap vektor u, v, w berlaku u (v w) = (u v) w c. Jika b f(x)dx = 0 maka f(x) = 0 a d. Ada fungsi f sehingga lim x c f(x) f(c) untuk suatu c e. 1 cos(x) = cos x Jawaban : d Opsi a. salah, ambil counter example x = 30 dan y = 150 Opsi b. salah karena u v hasilnya skalar sehingga operasi (u v) w tak terdefinisi. Opsi c. salah, ambil counter example a = 0, b = π{ dan f(x) = sin x Opsi d. benar, definisikan fungsi f yaitu f(x) = x, x 0; 1, x = 0. dan c = 0 sehingga lim f(x) = 0 1 = f(0). x 0 Opsi e. salah, karena seharusnya 1 + cos(x) = cos x 3. Luas daerah di bawah y = x + 8x dan di atas y = 6x serta terletak di kuadran I adalah... 1

2 Tutur Widodo Matematika IPA SNMPTN 011 a. 0 ( x + 8x)dx + 6 (x x )dx b. 0 ( x + 8x)dx + 6 ( x + x + )dx c. 6 0 ( x + 8x)dx ( x + x + )dx d. 6 (6x ) ( x + 8x)dx e. 0 (6x ) + 6 ( x + 8x)dx Jawaban : b Perhatikan gambar di bawah ini! 16 1 y = x + 8x y = 6x d 6 e Titik potong kedua kurva yaitu, x + 8x = 6x x x = 0 (x 6)(x + ) = 0 Jadi, titik potong kedua kurva di x = atau x = 6. Sedangkan titik potong garis y = 6x denga sumbu X adalah di x =. Misal, luas daerah yang dicari adalah L, didapat L = 0 ( x + 8x)dx + 6 ( x + x + )dx. sin 35 cos 0 cos 35 sin 0 = a. cos 5 b. sin 5 c. cos 95 d. cos 75 e. sin 75

3 Tutur Widodo Matematika IPA SNMPTN 011 sin 35 cos 0 cos 35 sin 0 = cos 55 cos 0 sin 55 sin 0 = cos Diketahui suku banyak f(x) bersisa jika dibagi (x+1), bersisa 3 bila dibagi (x ). Sedangkan suku banyak g(x) bersisa 3 jika dibagi (x+1) dan bersisa bila dibagi (x ). Jika h(x) = f(x) g(x) maka sisa h(x) jika dibagi oleh x x adalah... a. x b. 3x c. 3x + d. x + e. 5x Jawaban : a Misal, sisa pembagian tersebut adalah ax + b maka diperoleh hubungan, h(x) = H(x)(x x ) + ax + b = H(x)(x + 1)(x ) + ax + b Sehingga didapat, 6 = 3 = f( 1) g( 1) = h( 1) = a + b (1) dan 6 = 3 = f() g() = h() = a + b () dari pers.(1) dan pers.() didapat a = dan b =. Jadi sisa pembagiannya adalah x 6. Prisma tegak segitiga sama sisi ABC.DEF dengan panjang AB = s dan AD = t. Jika titik G terletak di tengah - tengah sisi EF, maka panjang AG adalah... a. t 3s d. t s b. t + 3s e. t + s c. t + s Jawaban : b Misal tinggi segitiga sama sisi ABC = a, diperoleh a = sin 60 s = s 3. Sehingga dengan dalil pythagoras, kita dapat AG = t + a = t + 3s 7. Jika 0 < x < π dan x memenuhi sin x + sin x = maka nilai cos x adalah... a. 1 d. 0 b. 3 e. 1 c. 1 3

4 Tutur Widodo Matematika IPA SNMPTN 011 Jawaban : d Dari pers. sin x + sin x = 0 (sin x 1)(sin x + ) = 0, kita dapatkan sin x = 1 atau sin x = (tidak mungkin). Jadi diperoleh sin x = 1 dan karena 0 < x < π maka x = π sehingga cos x = Delapan titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibuat dengan titik - titik sudut dari titik - titik tersebut adalah... a. 56 d. 8 b. 58 e. 96 c. 6 Jawaban : a ( ) Banyaknya segitiga adalah 8 3 = Panitia jalan sehat akan membuat sebuah kupon bernomor yang terdiri atas empat angka yang disusun oleh angka - angka 0, 1, 3, 5 dan 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak 0, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah... a. 600 d. 60 b. 605 e. 65 c. 610 Jawaban : a Misal, A adalah kejadian angka pertama atau terakhir tidak 0, maka A c adalah kejadian angka pertama dan terakhir 0. Jadi A c = 5x5 = 5. Sehingga A = 5 5 = 65 5 = Vektor u = i + bj + ck tegak lurus w = i j + 3k dan u = w, maka nilai b memenuhi... a. 13b 3b + 0 = 0 d. 13b + 3b + 0 = 0 b. 13b + 3b 0 = 0 e. 3b 10b 0 = 0 c. 13b 3b 0 = 0 Karena u w didapat 0 = u w = 8 b + 3c 3c = b 8. Selain itu, u = w

5 Tutur Widodo Matematika IPA SNMPTN 011 sehingga kita dapat, 16 + b + c = 17 b + c = 5 9b + (3c) = 68 9b + (b 8) = 68 13b 3b 0 = Diberikan kurva y = x 3 + x x + 5. Jika garis singgung kurva di titik (a, b) sejajar garis y 3x = 0, maka nilai b yang mungkin adalah... a. 1 d. 8 b. 10 e. 7 c. 9 Jawaban : e Misal gradien garis singgung tersebut adalah m, maka didapat m = 3. Selain itu kita punya, 3 = m = f (a) = 3a + a 1 (3a )(a + ) = 0 Sehingga a = atau a =. 3 Jika a = maka b = 7 1. Grafik y = f (x) ditunjukkan seperti gambar berikut! y=f (x) 0 Pernyataan yang benar adalah... a. fungsi f mempunyai titik minimum (0, 1) 5

6 Tutur Widodo Matematika IPA SNMPTN 011 b. fungsi f naik pada interval (0, ) c. titik minimumlokal f terjadi di x = d. fungsi f bernilai positif pada selang (, ) e. titik minimum lokal terjadi di x = Jawaban : e Dari gambar diperoleh informasi sebagai berikut : Fungsi f naik pada interval (, ) dan (, ) Fungsi f turun pada interval (, ) Maksimum lokal terjadi di x = Minimum lokal terjadi di x = 13. Diberikan lingkaran dengan persamaan (x 5) + (y 1 ) = 1. Jarak minimal titik pada lingkaran tersebut ke titi asal ialah... a. 1 d. 1 b. 3 e. 1 c. Diketahui pusat lingkaran P (5, 1) dan jari - jari R = 1. Maka OP = 13 dan jarak minimal lingkaran dengan titik asal O adalah R OP = 1 13 = Bola dengan diameter 8 cm seluruhnya terdapat dalam kerucut tegak terbalik. Tinggi kerucut dengan volume terkecil yang mungkin adalah... a. 1 d. 18 b. 16 e. 18 c. 16 Misal, V menyatakan volume kerucut, a menyatakan jari-jari dan t tinggi kerucut. Perhatikan gambar di bawah ini! 6

7 Tutur Widodo Matematika IPA SNMPTN 011 a t Kita dapatkan hubungan sebagai berikut, = at a + a + t setelah sedikit operasi aljabar akan diperoleh, a = 16t t 8 (3) Selain itu kita juga punya, V = 1 3 π a t () Dari pers.(3) dan pers.() diperoleh V = 1 3 π 16t t 8 Misalkan V menyatakan turunan pertama V terhadap t didapat V = 1 ( ) 3t(t 8) 16t 3 π (t 8) Agar V minimum haruslah V = 0 yang berakibat 1 ( ) 3t(t 8) 16t 3 π equivalen dengan 16t 56 = 0 sehingga t = 16. (t 8) = 0 atau 15. Diketahui vektor u = (1, 3a + 1, ) dan v = (a 3 3a, 3, 0) dengan < a <. Nilai maksimum dari u v adalah... a. 7 d. 1 b. 8 e. - c. 3 Jawaban : b 7

8 Tutur Widodo Matematika IPA SNMPTN 011 Misal, u v = T (a). Kita dapat, T (a) = a 3 3a + 3( 3a + 1) = a 3 3a 9a + 3 sehingga, T (x) = 3a 6a 9 Agar T maksimal maka T = 0 yang berarti 3a 6a 9 = 0 (a + 1)(a 3) = 0 sehingga didapat a = 1 atau a = 3. Jadi, nilai u v maksimum dicapai saat a = 1 yaitu u v = T ( 1) = 8. 8