MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS BESELLY PUTRA TEKNIK PENGAIRAN

Transkripsi

1 MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS BESELLY PUTRA TEKNIK PENGAIRAN

2 1. Satuan Sudut Radial DALIL ILMU UKUR Besar sudut pusat sebuah lingkaran, sama dengan bilangan yang menyatakan panjang busur lingkarang yang dihadapinya Pada dalil didapatkan kesamaan antara satuan derajat terhadap satuan panjang busur lingkaran secara geometri. Bila hasilnya diperluas didapatkanlah keliling lingkaran ~ 360 o Tanda ~ dibaca ekivalen dengan

3 TEOREMA Bila di dalam lingkaran dibuat segi banyak tali busur, maka keliling segi banyak itu < dari 6x jarijari lingkaran tersebut. BUKTI Melalui semua ujung tali busur segi-n ditarik garis // sumbu x dan sumbu y. Perhatikan ABB 2 ; didapatkan AB < AB 2 +BB 1 Dalam CBK, BC < B 1 C 1 + B 2 C c Dalam DCL, DC < C 1 D 1 + C 2 D 2

4 Secara ilmu ukur Kochansky mendapatkan cara yang paling mendekati yang betul sebagai berikut. Dengan phytagoras dihitung PR 2 =PQ 2 +QR 2 PR 2 = PQ 2 + QR 2 AP = r tg30o = Jadi, AP= 1 r 3 dan BR=3r 3 Jadi, QR = 3r 1 r 3 = r PQ = 2r PR = 4r 2 + r = r = r ,14r

5 Bilangan 3,14... (biasa dilambangkan dengan ) adalah perbandingan antara k dengan garis tengah lingkaran, ditulis π = k 2r Sehingga 6,28 < 2 < 44 7

6 DEFINISI: satu radial adalah besar sudut pusat suatu lingkaran, yang panjang busur yang dihadapinya sama dengan jejari lingkaran. Akibat: PR =panjang ½ keliling lingkaran = radial. Jadi 180 o = radial. Dengan demikian, terbesar : 1 rad = 7/22 x 180 o = o = 57o 16 ; terkecil : 1 rad = Untuk diingat, 1 radial 57 o Selanjutnya, busur o akan sama dengan α 1 3,14 x 180o = 57 o x 2 rad, atau α 180 x rad. Jika =30 o dalam satuan derajad maka α = 1 π radial. Biasanya istilah satuan radial 6 tidak ditulis, jadi, α = 1 π 6

7 2. Bentuk Elementer Penyajian Dengan Grafik. Perkembangan nilai fungsi goniometri tersebut di atas lebih jelas, bila kita sajikan dengan f={(x,y) y=nilai fungsi goniometri untuk x} pada bidang kartesius. Dalam hal ini digunakan ekivalensi derajad pada garis (satuan panjang dalam radial)

8 X 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 150 o 180 o y 0 ½ ½ 0 X 210 o 240 o 270 o 300 o 330 o 360 o y -½ ½ 0

9 Digambarkan pasangan berurutan (x,y) itu pada bidang. Untuk menyederhanakan persoalan, kita ambil sudut kelipatan 30 o dan 45 o Kemudian dibuat garis lengkung serasi, yang menghubungkan titik yang berurutan Karena garis sumbu x skalanya satuan panjang, akan lebih baik, bila satuan yang dipakai dalam radial. X 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o dan seterusnya y 0 ½ dan seterusnya diganti dengan X 0 Τ 1 6 π Τ 1 4 π Τ 1 3 π Τ 1 2 π Τ 2 3 π dan seterusnya y 0 ½ dan seterusnya

10 X 0 Τ 1 6 π Τ 1 4 π Τ 1 3 π Τ 1 2 π Τ 2 3 π 5Τ6 π π π1 1 4 π1 1 3 π1 1 2 π1 2 3 π1 5 6 π 2π y , 5 0 0, ,5 0 0, ,9 0,7-0,9-0,9-0,7

11 Bila wilayah y=tgx ditambah dengan ½ < x < dan - < x < - ½, maka akan terbentuk lagi seperti grafik pada 0 < x < ½. Perkembangan tangen di kwadran I serupa dengan perkembangannya di kwadran III. Begitu pula di kwadran II dan IV

12 Dengan f(x)=tg x, F(x) = cotg x juga diskontinu pada nilai tertentu. Kita tahu, bahwa cotg x = tg (90 o -x); maka asimtot f(x) dan F(x) berselisih ½ ; jadi, x=k. Bila wilayah fungsi ditambah n, nilainya akan berulang (n B)

13 Grafik y=sec x dalam wilayah - x 2

14 Grafik y = cosec x dalam wilayah - x 2

15 Bila diperhatikan, grafik sec x dan cosec x tidak mengisi jajahan -1 < y < 1 Jadi, jajahannya adalah 1 y < ~ atau -~ < y -1; cosec x = sec (90 o -x) Jadi berselisih ½ untuk ordinat yang sama Periode sec x sama dengan periode cos x, dan periode cosec x sama dengan periode sin x

16 3. Fungsi Goniometri Dalam hal ini kita menganggap y = a sin x adalah fungsi bersusun daripada : x z = sin x. Kemudian oleh f : z y = az. Jadi, y = a sin x mempunyai grafik, dimana ordinatnya adalah a kali ordinat z = sin x untuk setiap x. Periode fungsi y = a sin x tetap sama dengan periode z = sin x.

17

18

19 3. y = sin ax; a 0, a konstanta Contoh Periode sin x adalah 2 sin (ax + 2 ) = sin ax; sin a (x + 2π a ) = sin ax Dengan demikian periode sin ax adalah 2 /a Bila a > 1, periodenya lebih kecil daripada 2 Bila a < 1, periodenya lebih besar daripada 2 Nilai nol f(x) = sin ax didapat bila sin ax = 0

20 Maka ax = 0 + 2k ; jadi x = 2kπ ; atau ax = + 2k. a Dengan demikian, x = 2k+1 π a ; k B; jadi x = nπ a, n B

21 Grafik y=a sin x + b cos x + r. Untuk menggambarkan grafik fungsi tersebut kita berasumsi f(x)= a sin x dan g(x) = b cos x + r. y = f(x) + g(x) Dengan demikian, x R. Kita jumlahkan f(x) + g(x), berturut-turut kemudian kita susun barisan titiknya.