TEOREMA FUNDAMENTAL PADA KALKULUS VEKTOR

Transkripsi

1 TEOREMA FUNDAMENTAL PADA KALKULUS VEKTOR Interpretasi Geometri dari Derivatif Vektor Jika C adalah kurva yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k maka:. Derivatif dari kurva C di P, atau r'(t) dr(t) dt dx(t) dt i dy(t) dt j dz(t) dt k merupakan vektor singgung (tangent vektor) dari kurva C di P. Silahkan KLIK KIRI Hal dari 6

2 . u r'(t) r(t) merupakan vektor singgung satuan (unit tangent) r (t) P t = t 0 C : r(t) b 3. i r'(t) r'(t) panjang kurva C, a t b (length of a a curve) Hal dari 6

3 t 4. s(t) r'(t) r'(t) panjang busur a t (arc length of acurve) a CONTOH : Diberikan fungsi vektor dari kurva yang berbentuk lingkaran sebagai berikut: r(t) = cos t i + sin t j 0 t, maka: a. vektor singgung dari kurva di t adalah r'(t) sin t i i cost j t Hal 3 dari 6

4 b. u i i i i c. Panjang busur lingkaran (keliling lingkaran): s 0 r'(t) r'(t) dt 0 sin t 4 cost dt t 0 4 Hal 4 dari 6

5 Penggunaan Curl Dalam gerak rotasi Misalkan sebuah benda berputar uniform dengan kecepatan sudut (konstan), mengelilingi sumbu l. v Ω R r θ l O Didefinisikan vektor kecepatan sudut Ω, sejajar sumbu l dengan arah mengikuti arah majunya sekrup putar kanan terhadap gerakan benda Hal 5 dari 6

6 Jika R adalah vektor dari titik 0 di l ke sembarang titik P pada benda, maka : radius putar titik P : r R sin sehingga kecepatan linier titik P v R sin R sin R Vektor v ini mempunyai arah bidang yang dibentuk oleh Ω dan R, sehingga Ω, R, dan v membentuk sistem sekrup putar kanan. Hal 6 dari 6

7 Dengan demikian Ω R, selain memberikan besar nilai v juga menentukan arah dari vektor v. Jika titik 0 merupakan pusat koordinat, maka: R = x i + y j + z k Ω = Ω i + Ω j + Ω 3 k Sehingga diperoleh v = Ω R k x y j z x i y z z y x k j i z k + y j + x i k + j + i R v Hal 7 dari 6

8 dan Curl v v i x j y k z z y x z y x 3 3 = Ω i + Ω j + Ω 3 k = Ω Jadi, kecepatan sudut dari sebuah benda yang bergerak uniform = curl dari kecepatan lintas sembarang titik. Hal 8 dari 6

9 Penggunaan Difergensi Dalam aliran fluida Perhatikan suatu aliran non-steady state dari fluida termampatkan (compressible fluid), misalnya gas atau uap dalam suatu ruangan Karena termampatkan, maka besarnya densitas massa (massa persatuan volume) akan tergantung pada koordinat x, y, dan z Dan karena alirannya non-steady state maka juga tergantung pada t (berubah-ubah dari waktu ke waktu). Misalkan v(x,y,z) = v i + v j + v 3 k adalah vektor kecepatan sesaat dari partikel fluida di suatu titik (x, y, z) Hal 9 dari 6

10 Selanjutnya, ambil sembarang bagian volume yang sangat kecil dari ruangan tersebut, misalkan volume W seperti dalam gambar berikut ρv 3 + Δρv 3 ρv z ρv Δz Δy ρv + Δρv 0 Δx ρv + Δρv ρ v 3 x y Hal 0 dari 6

11 Karena terdapat aliran fluida yang compressible dalam ruangan tersebut, maka dalam volume W juga akan terjadi perubahan massa fluida Untuk mengukur besarnya perubahan massa fluida dalam ruang dengan volume W, bisa dilakukan dengan mengukur besarnya selisih massa fluida sebelum masuk dan saat meninggalkan ruang W persatuan waktu Jika, massa fluida yang melewati salah satu sisi dari ruang W selama Δt [komponen vektor kecepatan yang dengan masing-masing sisi W] ρ [luas permukaan sisi tersebut] [Δt) = fluks massa fluida pada masing-masing sisi ruang W Hal dari 6

12 Maka, untuk menghitung besarnya perubahan massa fluida yang melalui ruang W, bisa dilakukan dengan menghitung jumlah fluks massa yang keluar dikurangi dengan jumlah fluks massa yang masuk dari masingmasing sisi ruang W Fluks massa yang masuk selama Δt melalui: sisi kiri = ρv Δx Δz Δt sisi belakang = ρv Δy Δz Δt sisi bawah = ρv 3 Δx Δy Δt Fluks massa yang keluar selama Δt melalui: sisi kanan = (ρv + ρv) Δx Δz Δt sisi depan = (ρv + ρv) Δy Δz Δt sisi atas = (ρv3 + ρv3) Δx Δy Δt Hal dari 6

13 Jumlah selisih massa fluida persatuan waktu persatuan Volume adalah : p y z t p x z t x y z t p 3 x y t p x p y p z 3 Karena volume W diambil sangat kecil, maka : Δx 0 Δy 0 Δz 0 Hal 3 dari 6

14 Berarti, besarnya perubahan massa fluida persatuan waktu persatuan volume dalam ruangan = p div p k p j p i p k z j y i x z p y p x p lim x 0 y 0 x Hal 4 dari 6

15 Sementara itu, telah diketahui bahwa besarnya perubahan massa fluida persatuan waktu persatuan volume akan sama dengan laju perubahan (penurunan) densitas massa persatuan waktu, atau t Jadi div p t div t p 0 merupakan persamaan kontinuitas dari aliran non-steady state dari fluida termampatkan. Hal 5 dari 6

16 Jika alirannya steady state, yang berarti bahwa densitas massanya tidak tergantung pada t, maka : t 0 div p 0 merupakan kontinuitas untuk aliran teady state dari fluida termampatkan (compressible). Hal 6 dari 6