Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

Transkripsi

1 Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

2 Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Artinya, OP = a (di sepanjang OX) dan b (di sepanjang OY) Vektor OP didefinisikan oleh magnitudonya (r) dan aranya ( ). Vektor ini dapat juga didefinisikan oleh kedua komponennya dalam arah OX dan OY. Berarti bisa juga dikatakan bahwa OP ekuivalen dengan vektor a dalam arah OX + vektor b dalam arah OY. Jika didefinisikan i sebagai vektor satuan dalam arah OX, maka a = ai dan Jika didefinisikan j sebagai vektor satuan dalam arah OY, maka b = bj Jadi vektor OP dapat ditulis; r = ai + bj Dimana i dan j adalah vektor satuan masing-masing dalam arah OX dan OY

3 Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Misalkan z 1 = 2i + 4j dan z 2 = 5i + 2j Untuk mendapatkan z 1 + z 2 digambar kedua vektor dalam suatu rantai. z 1 + z 2 = OB = (2 + 5)i + (4 +2)j = 7i + 6j Jika z 1 = 3i + 2j dan z 2 = 4i + 3j z 1 + z 2 = 3i + 2j + 4i + 3j = 7i + 7j

4 Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Jika z 1 = 5i - 2j ; z 2 = 3i + 3j ; z 3 = 4i - 1j Maka: a. z 1 + z 2 + z 3 b. z 1 - z 2 - z 3 Diselesaikan: z 1 + z 2 + z 3 = 5i - 2j + 3i + 3j + 4i - 1j z 1 + z 2 + z 3 = ( )i + ( )j z 1 + z 2 + z 3 = 12i

5 Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Jika z 1 = 5i - 2j ; z 2 = 3i + 3j ; z 3 = 4i - 1j Maka: a. z 1 + z 2 + z 3 b. z 1 - z 2 - z 3 Diselesaikan: z 1 - z 2 - z 3 = (5i - 2j) (3i + 3j) (4i - 1j) z 1 - z 2 - z 3 = ( )i + ( )j z 1 + z 2 + z 3 = -2i -4j

6 Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Jika OA = 3i + 5j dan OB = 5i - 2j, carilah AB Dari diagram yang dibuat, bisa ditulis hubungan antara vektorvektor tersebut. Kemudian dinyatakan dalam suku-suku vektor satuan. OA + AB = OB (didapat dari diagram) AB = OB - OA = (5i 2j) (3i + 5j) = 2i 7j

7 Vektor dalam Ruang Sumbu-sumbu acuan didefinisikan oleh aturan tangan kanan OX, OY, dan OZ membentuk set tangan kanan jika rotasi dari OX ke OY seperti halnya pembuka tutup botol gabus ulir-kanan sepanjang arah OZ positif. Sama halnya rotasi dari OY ke OZ bertindak seperti halnya pembuka tutup botol gabus ulir kanan di sepanjang arah positif OX. Vektor OP didefinisikan oleh komponen-komponennya. a di sepanjang OX b di sepanjang OY c di sepanjang OZ

8 Vektor dalam Ruang Misalkan i = vektor satuan dalam arah OX Maka, OP =ai + bj + ck j = vektor satuan dalam arah OY k = vektor satuan dalam arah OZ Juga, OL 2 = a 2 + b 2 dan OP 2 = OL 2 + c 2 OP 2 = a 2 + b 2 + c 2 Jadi, jika r = ai + bj + ck, maka r a 2 + b 2 + c 2 Maka, hal ini bisa memudahkan untuk mencari magnitudo dari sebuah vektor yang dinyatakan dalam suku-suku vektor satuannya.

9 Vektor dalam Ruang Misalkan i = vektor satuan dalam arah OX Maka, OP =ai + bj + ck j = vektor satuan dalam arah OY k = vektor satuan dalam arah OZ Juga, OL 2 = a 2 + b 2 dan OP 2 = OL 2 + c 2 OP 2 = a 2 + b 2 + c 2 Jadi, jika r = ai + bj + ck, maka r = a 2 + b 2 + c 2 Maka, hal ini bisa memudahkan untuk mencari magnitudo dari sebuah vektor yang dinyatakan dalam suku-suku vektor satuannya.

10 Vektor dalam Ruang Coba diselesaikan soal berikut: PQ = 4i + 3j + 2k, maka PQ adalah.. PQ = PQ = PQ = 29 PQ = 5,385

11 Kosinus Arah Arah suatu vektor dalam tiga dimensi ditentukan oleh sudut-sudut yang dibuat vektor dengan ketiga sumbu acuannya. Misalkan OP = r = ai + bj + ck Maka Juga a 2 + b 2 + c 2 = r 2 a r = cosα b r = cosβ c r = cosγ a = r cos b = r cos c = r cos

12 Kosinus Arah a 2 + b 2 + c 2 = r 2 r 2 cos 2 + r 2 cos 2 + r 2 cos 2 = r 2 cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 Jika l = cos m = cos n = cos Maka l 2 + m 2 + n 2 = 1 * [l, m, n] ditulis dalam tanda kurung siku disebut kosinus arah vektor OP dan merupakan nilainilai kosinus sudut-sudut yang dibuat vektor yang bersangkutan dengan ketiga sumbu acuannya.

13 Kosinus Arah Jadi untuk vektor r = ai + bj + ck l = a ; m = b ; n = c ; dan r = r r r a2 + b 2 + c 2 Dicari kosinus arah [l, m, n] dari vektor r = 3i - 2j + 6k a = 3, b = -2, c = 6, r = r = 49 = 7 l = 3 7 ; m = 2 7 ; n = 6 7

14 Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor Jika a dan b merupakan dua vektor, hasil kali skalar a dan b didefinisikan sebagai skalar (bilangan) ab cos dimana a dan b merupakan magnitudo vektor a dan b serta merupakan sudut di antara kedua vektor ini. Hasil kali skalar ini dinotasikan dengan a.b (disebut hasil kali titik a.b = ab cos = a x proyeksi b pada a = b x proyeksi a pada b ; pada kasus ini hasilnya merupakan kuantitas skalar

15 Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor Contoh : OA. OB = OA.OB. Cos = 5.7 cos 45 o = =

16 Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor Hitung hasil kali skalar a dan b = a.b a.b = ab cos 90 o = ab.0 = 0 Jadi kesimpulannya adalah hasil kali dari sebarang dua vektor yang saling tegak-lurus akan selalu nol. Untuk kasus di samping dapat diselesaikan sebagai berikut: a.b = ab cos 0 o = ab.1 = ab

17 Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor Jika kedua vektor dinyatakan dalam suku-suku vektor satuan i, j, dan k Jika a = a 1 i + a 2 j + a 3 k b = b 1 i + b 2 j + b 3 k Maka a.b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k).(b 1 i + b 2 j + b 3 k) = a 1 b 1 i.i + a 1 b 2 i.j + a 1 b 3 i.k + a 2 b 1 j.i + a 2 b 2 j.j + a 2 b 3 j.k + a 3 b 1 k.i + a 3 b 2 k.j + a 3 b 3 k.k Dicoba untuk menyederhanakan persamaan: i.i = (1)(1)(cos 0 o ) = 1 i.i = 1; j.j = 1; k.k = 1 (a) i.j = (1)(1)(cos 90 o ) = 0 i.j = 0; j.k = 0; k.i = 0 (b)

18 Hasil Kali Skalar dari Dua Vektor Menggunakan penyederhanaan di slide sebelumnya: Maka a.b = a 1 b a 1 b a 1 b a 2 b a 2 b a 2 b a 3 b a 3 b a 3 b 3.1 a.b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 Berarti untuk operasi perkalian cukup dengan menjumlahkan hasil kali vektor-vektor satuan di sepanjang sumbu-sumbu yang bersangkutan. Misal a = 2i + 3j + 5k dan b = 4i + 1j + 6k Maka a.b = (2 x 4) + (3 x 1) + (5 x 6) = = 41

19 Hasil Kali dari Dua Vektor Hasil kali vektor a dan b ditulis a x b (seringkali disebut hasil kali silang ) dan didefinisikan sebagai vektor yang memiliki magnitudo ab sin dengan adalah sudut di antara kedua vektor yang diketahui. Vektor hasil kali memiliki arah tegak-lurus baik terhadap a ataupun arah b, sehingga a,b dan a x b membentuk set tangan kanan dalam urutan tersebut. a x b = ab sinθ Diperhatikan dari gambar di samping bahwa b x a akan membalik rotasi dan vektor hasil kalinya sekarang memiliki arah ke bawah. b x a = -(a x b)

20 Hasil Kali dari Dua Vektor Jika = 0 o, maka a x b = 0 Jika = 90 o, maka a x b = ab Jika a dan b diberikan dalam suku-suku vektor satuan i, j, dan k: Maka: a x b =a 1 b 1 i x i + a 1 b 2 i x j + a 1 b 3 i x k + a 2 b 1 j x i + a 2 b 2 j x j + a 2 b 3 j x k + a 3 b 1 k x i + a 3 b 2 k x j + a 3 b 3 k x k Diperhatikan bahwa i x i = (1)(1)(sin 0 o ) = 0 I x i = 0; j x j = 0; k x k = 0 Bahwa i x j = (1)(1)(sin 90 o ) = 1 dan i x i berada dalam arah k, hal ini berarti i x j = k. (magnitudo dan arah sama)

21 Hasil Kali dari Dua Vektor Bahwa i x j = (1)(1)(sin 90 o ) = 1 dan i x i berada dalam arah k, hal ini berarti i x j = k. (magnitudo dan arah sama) Maka i x j = k j x k = i k x i = j; Diingat juga i x j = -(j x i) j x k = -(k x j) k x i = -(I x k)

22 Hasil Kali dari Dua Vektor Bisa dirapikan persamaan terakhir menggunakan pendekatan sebelumnya: a x b =a 1 b a 1 b 2 k+ a 1 b 3 (-j) + a 2 b 1 (-k) + a 2 b 2 0+ a 2 b 3 i + a 3 b 1 j + a 3 b 2 (-i) + a 3 b 3 0 a x b =(a 2 b 3 - a 3 b 2 )i (a 1 b 3 - a 3 b 1 )j + (a 1 b 2 - a 2 b 1 )k Dapat dikenali bahwa pola di atas ini adalah pola suatu determinan yang baris pertamanya adalah tersusun dari vektor I,j, dan k. Maka dapat kita peroleh bahwa Jika a = a 1 i + a 2 j + a 3 k b = b 1 i + b 2 j + b 3 k

23 Hasil Kali dari Dua Vektor Jika a = a 1 i + a 2 j + a 3 k b = b 1 i + b 2 j + b 3 k a x b = i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = (a 2 b 3 - a 3 b 2 )i (a 1 b 3 - a 3 b 1 )j + (a 1 b 2 - a 2 b 1 )k Cara determinan di atas ini adalah cara paling mudah dalam menuliskan hasil kali vektor dari dua vektor. a. Baris atas terdiri dari vektor satuan dalam urutan I,j,j b. Baris kedua terdiri dari koefisien dari a c. Baris ketiga terdiri dari koefisien dari b

24 Hasil Kali dari Dua Vektor Contoh: Jika p x q = p x q = p = 2i + 4j + 3k q = i + 5j - 2k i j k i j k Vektor satuan Koefisien dari p Koefisien dari q p x q = i(-8 15) j(-4 3) + k(10 4) p x q = -23i+ 7j+ 6k = i j k

25 Sudut Antara Dua Vektor Misalkan a adalah satu vektor dengan kosinus arah [l, m, n] Misalkan b adalah satu vektor dengan kosinus arah [l, m, n ] Maka harus dicari sudut antara kedua vektor ini. Misalkan OP dan OP merupakan vektor satuan yang masingmasing sejajar dengan a dan b. Kemudian P memiliki koordinat (l,m,n) dan P memiliki koordinat (l,m,n )

26 Sudut Antara Dua Vektor Maka (PP ) 2 = (l-l ) 2 + (m-m ) 2 + (n-n ) 2 = l 2 2.l.l + l 2 + m 2 2m.m + m 2 + n 2 2n.n + n 2 = (l 2 + m 2 + n 2 ) + (l 2 + m 2 + n 2 ) 2(ll + mm + nn ) dibuktikan sebelumnya. (PP ) 2 = 2 2(ll + mm + nn ) Tetapi (l 2 + m 2 + n 2 ) = 1 dan (l 2 + m 2 + n 2 ) = 1 seperti yang (a) Dengan aturan kosinus

27 Sudut Antara Dua Vektor Dengan aturan kosinus (PP ) 2 = OP 2 + OP 2 2.OP.OP.cos = cos = 2 2 cos (b) Dari (a) dan (b) didapatkan (PP ) 2 = 2-2(ll + mm + nn ) (PP ) 2 = 2 2 cos cos = ll + mm + nn

28 Sudut Antara Dua Vektor cos = ll + mm + nn Jadi cukup menjumlahkan hasil kali kosinus arah yang bersesuaian dari kedua vektor yang diketahui. Jika [l,m,n] = [0,54, 0,83, -0,14] Dan [l,m,n ] = [0,25, 0,60, 0,76] Sudut antara kedua vektor adalah = 58 o 13 cos = ll + mm + nn = (0,54)(0,25) = (0,83)(0,60) = (-0,14)(0,76) = 0, ,4980-0,1064 = 0,5266 maka = 58 o 13

29 Sudut Antara Dua Vektor Cari sudut antara vektor-vektor p = 2i + 4j + 3k dan q = 4i - 3j + 2k Dicoba untuk mencari kosinnus arah p. p = p = = 29 l = a p = 2 29 m = b p = 3 29 n = c p = 4 29 [l,m,n ] = [l,m,n ] = 2, 3, , 3 29, 2 29 dengan cara yang sama dicari kosinus arah q

30 Sudut Antara Dua Vektor Dengan cos = ll + mm + nn dapat dicari sudut -nya cos = ll + mm + nn = ( 2 )( 4 ) = ( 3 3 )( ) = 4 )( 2 ) = = 76 o 2 = 7 29 = 0,2414

31 Rasio Arah Jika OP = ai + bj + ck, telah diketahui bahwa OP = r = a 2 + b 2 + c 2 dan kosinus arah OP diberikan sebagai: l = a r, m = b r, n = c r Dapat dilihat bahwa komponen a, b, dan c masing-masing sebanding dengan kosinus arah l, m, n; dan komponen-komponen ini kadang disebut sebagai rasio arah dari vektor OP