Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
|
|
- Ade Sasmita
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
2 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x). Ini setara dengan grafik f yang mempunyai garis singgung tak-tegak di x. Apa konsep yang benar dari keterdiferensialan untuk suatu fungsi dua peubah?
3 1. Keterdiferensialan Untuk memahami konsep dari keterdiferensialan suatu fungsi dua peubah, perhatikan Perhatikan: - Nilai f identik dengan 0 sepanjang dua sumbu. - Pada sumbu y = x kecuali di (0,0) nilainya ½. - f x (0,0) = f y (0,0) = 0 artinya, grafik ini tidak mempunyai garis singgung di titik asal.
4 1. Keterdiferensialan Apa peranan derivatif untuk suatu fungsi dua peubah? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita mulai dengan menghilangkan perbedaan antara titik (x,y) dan x,y. Jadi, kita tuliskan p = (x,y) = x,y dan f (p) = f (x,y).
5 Ingat kembali bahwa 1. Keterdiferensialan (1) Analogi kelihatannya berupa namun, pembagian oleh vektor h tidak masuk akal.
6 1. Keterdiferensialan (1) Kemudian, Persamaan 1 dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut: dengan (h) 0 pada h 0. Dari Persamaam 2, definisi f (p) dapat dijabarkan (lihat slide selanjutnya). (2)
7 1. Keterdiferensialan Definisi Kita katakan bahwa f dapat didiferensialkan di p (terdiferensialkan di p) jika terdapat suatu vektor q sedemikian sehingga dengan (h) 0 pada h 0. Jika vektor q ada, vektor q adalah unik. Vektor q disebut gradien f di p, yang dilambangkan dengan.
8 1. Keterdiferensialan dengan (h) 0 pada h 0. Beberapa hal yang perlu diperhatikan dari definisi di atas: 1. Derivatif f (x) adalah bilangan, sedangkan gradien adalah vektor. 2. Titik dalam menunjukkan hasil kali titik dari dua vektor. 3. Definisi mempunyai arti pada sebarang dimensi.
9 1. Keterdiferensialan PERHITUNGAN GRADIEN Teorema A Jika f fungsi dua peubah yang terdiferensialkan di p = (x,y), maka derivatif parsial pertama dari f ada ada di p dan Dengan cara yang sama, jika g fungsi tiga peubah dan terdiferensialkan di p = (x, y, z), maka
10 1. Keterdiferensialan PERHITUNGAN GRADIEN Untuk menggunakan Teorema A, kita masih perlu mengetahui f dan g dapat didiferensialkan. Bagaimana cara mengetahui f dan g dapat didiferensialkan di p? Teorema B Jika f mempunyai derivatif parsial pertama di suatu lingkungan dari p dan jika derivatif parsial p ini kontinu di p, maka ia dapat didiferensialkan di p.
11 1. Keterdiferensialan PERHITUNGAN GRADIEN Contoh 1: Perlihatkan bahwa f(x,y) = x e y + x 2 y terdiferensialkan di manamana dan hitung gradiennya. Penyelesaian: Kedua fungsi ini kontinu di mana-mana, sehingga menurut Teorema B, f terdiferensialkan di mana-mana. Lebih lanjut, menurut Teorema A:
12 1. Keterdiferensialan PERHITUNGAN GRADIEN Contoh 2: Untuk f(x, y, z) = x sin z + x 2 y, cari Penyelesaian: Karena derivatif parsial semua kontinu, maka gradien ada. Selanjutnya, derivatif parsial ini masing-masing adalah: Jadi
13 1. Keterdiferensialan ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN Dalam banyak hal, gradien berperilaku seperti derivatif. Ingat kembali bahwa D yang dipandang sebagai suatu operator adalah linear. Demikian juga halnya operator, yang seringkali disebut operator del.
14 1. Keterdiferensialan ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN Teorema C adalah operator linear; yakni (i) (ii) Juga, kita mempunyai aturan hasil kali (iii) Buktikan!
15 1. Keterdiferensialan ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN Bukti Kita buktikan menuliskan titik p agar lebih singkat. tanpa
16 1. Keterdiferensialan KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN Teorema D Jika f terdiferensialkan di p, maka f kontinu di p. Bukti Karena f terdiferensialkan di p. Ingat kembali
17 1. Keterdiferensialan KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN Bukti Karena f terdiferensialkan di p. Ingat kembali Jadi
18 1. Keterdiferensialan KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN Bukti (lanjutan) Kedua suku yang belakangan mendekati 0 bila h 0, sehingga Kesamaan yang terakhir ini adalah satu cara formulasi kekontinuan f di p.
19 2. Derivatif Berarah dan Gradien Perhatikan lagi fungsi dua peubah f(x,y). Derivatif f x (x,y) dan f y (x,y) mengukur laju perubahan dan kemiringan garis singgung pada arah sejajar sumbu x dan y. Sasaran kita sekarang adalah mempelajari laju perubahan f pada sebarang arah. Ini menuju derivatif berarah, yang kemudian dihubungkan dengan gradien. Akan sangat menguntungkan untuk menggunakan cara penulisan vektor.
20 2. Derivatif Berarah dan Gradien Andaikan p = (x,y) dan i dan j adalah vektor-vektor satuan pada arah x dan y positif. Maka dua derivatif berarah di p dapat dituliskan sebagai berikut: Untuk memperoleh konsep yang kita tuju, yang kita kerjakan hanyalah menggantikan i dan j dengan suatu vektor satuan sebarang u.
21 2. Derivatif Berarah dan Gradien Definisi Untuk tiap vektor satuan u, andaikan Limit ini, jika ia ada, disebut derivatif berarah f di p pada arah u. Jadi, D i f(p) = f x (p) dan D j f(p) = f y (p). Karena p = (x,y), kita gunakan juga cara penulisan D u f(x,y).
22 2. Derivatif Berarah dan Gradien Gambar di samping memberikan taksiran geometrik dari D u f(x 0,y 0 ). Vektor u menentukan suatu garis L di bidang xy yang melalui (x 0,y 0 ). Bidang yang melalui L tegak lurus bidang xy memotong permukaan z = f(x,y) menurut suatu kurva C. Garis singgungnya di titik (x 0, y 0, f(x 0,y 0 )) mempunyai Kemiringan D u f(x 0,y 0 ).
23 2. Derivatif Berarah dan Gradien KAITAN DENGAN GRADIEN Ingat kembali pengertian gradien bahwa f(p) diberikan oleh Teorema A Andaikan f mempunyai derivatif parsial kontinu di p. Maka f mempunyai derivatif berarah di p pada arah vektor satuan u = u 1 i + u 2 j dan yakni
24 2. Derivatif Berarah dan Gradien KAITAN DENGAN GRADIEN Contoh 1: Jika f(x,y) = 4x 2 xy + 3y 2, tentukan derivatif berarah f di (2,-1) pada arah vektor a = 4i + 3j. Penyelesaian: Vektor satuan u pada arah a adalah Kemudian,
25 2. Derivatif Berarah dan Gradien KAITAN DENGAN GRADIEN Contoh 1(lanjutan penyelesaian):
26 2. Derivatif Berarah dan Gradien KAITAN DENGAN GRADIEN Contoh 1(lanjutan penyelesaian):
27 2. Derivatif Berarah dan Gradien KAITAN DENGAN GRADIEN Contoh 2: Cari derivatif berarah dari fungsi f(x, y, z) = xy sin z di titik (1, 2, Π/2) pada arah vektor a = i + 2j + 2k. Penyelesaian: Vektor satuan u pada arah a adalah Kemudian,
28 2. Derivatif Berarah dan Gradien KAITAN DENGAN GRADIEN Contoh 2 (lanjutan penyelesaian):
29 2. Derivatif Berarah dan Gradien LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM Pertanyaan: Untuk suatu fungsi yang diberikan f di suatu titik yang diberikan p, pada arah mana fungsi berubah paling cepat? Jawab: Pada arah dimana D u f(p) yang terbesar dengan θ sudut antara u dan f(p). Jadi, D u f(p) dimaksimumkan pada waktu θ = 0 dan diminimumkan pada waktu θ = Π.
30 2. Derivatif Berarah dan Gradien LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM Teorema B Suatu fungsi bertambah secara paling cepat di p pada arah gradien (dengan laju ) dan berkurang secara paling cepat pada arah berlawanan dengan laju.
31 2. Derivatif Berarah dan Gradien LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM Contoh 3: Misalkan seekor binatang kecil diketemukan pada parabolik hiperbol z = y 2 x 2 di titik (1,1,0), seperti pada di bawah. Pada arah mana ia sebaiknya bergerak untuk panjatan yang paling curam dan berapa kemiringan pada waktu ia memulai?
32 2. Derivatif Berarah dan Gradien LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM Penyelesaian: Jadi binatang kecil itu seharusnya bergerak dari (1,1,0) pada arah -2i + 2j dengan kemiringan sebesar
33 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Kurva ketinggian dari permukaan z = f(x,y) adalah proyeksi ke bidang xy dari kurva-kurva perpotongan permukaan dengan bidang z = k yang sejajar bidang xy. Nilai fungsi di semua titik pada kurva ketinggian yang sama adalah konstan (Gambar di bawah).
34 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Nyatakan L, kurva ketinggian dari f(x,y) yang melalui titik pilihan sebarang P(x 0, y 0 ) di wilayah daerah asal f. Tetapkan vektor satuan u adalah tegak lurus terhadap L di P. Karena nilai f sama di semua titik pada kurva ketinggian L, derivatif berarahnya D u f(x 0,y 0 ), yang berupa laju perubahan f(x,y) pada arah u, adalah nol pada waktu u menyinggung L.
35 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Akibatnya, sehingga dan juga (sudut antara u dan ) harus berupa sudut siku-siku.
36 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Teorema C Gradien f di titik P adalah tegak lurus terhadap kurva ketinggian f yang melalui P.
37 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 4: Untuk paraboloid Tentukan persamaan kurva ketinggiannya yang melalui titik P (2,1) dan berikan sketsanya. Tentukan vektor gradien dari paraboloid di P dan gambar gradien dengan titik awalnya di P. Penyelesaian: Kurva ketinggian dari paraboloid yang berhubungan dengan bidang z = k, mempunyai persamaan
38 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 4 (lanjutan penyelesaian): Kurva ketinggian dari paraboloid yang berhubungan dengan bidang z = k, mempunyai persamaan Nilai k? Untuk mencari nilai k, kita substitusikan (2,1) untuk (x,y)
39 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 4 (lanjutan penyelesaian): Jadi, persamaan kurva ketinggian yang melalui titik P(2,1) adalah ellips
40 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 4 (lanjutan penyelesaian): Persamaan kurva ketinggian yang melalui titik P(2,1): Sketsa
41 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 4 (lanjutan penyelesaian): Vektor gradiennya?
42 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 4 (lanjutan penyelesaian): Sehingga gradien di P (2,1) adalah Kurva ketinggian dan gradien di P
43 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Konsep ketinggian dua peubah digeneralisasikan ke permukaan ketinggian untuk fungsi tiga peubah. Jika f suatu fungsi tiga peubah, permukaan f(x, y, z) = k dengan k konstanta k disebut permukaan ketinggian di f. Di semua titik pada suatu permukaan ketinggian: 1. Nilai fungsi adalah sama 2. Vektor gradien untuk f (x, y, z) di suatu titik P(x, y, z) dalam wilayahnya akan normal terhadap permukaan ketinggian dari f melalui P.
44 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Dalam masalah hantaran kalor dalam benda homogen dengan w = f(x, y, z) menyatakan suhu pada titik (x, y, z), permukaan ketinggian f(x, y, z) = k dinamakan permukaan isoterm. Permukaan isoterm: permukaan yang semua titik padanya memiliki suhu sama k. Pada tiap titik benda tersebut, kalor mengalir: 1. dalam arah yang berlawanan dengan gradiennya (yakni, dalam arah penurunan terbesar pada suhu) 2. tegak lurus terhadap permukaan isoterm melalui titik itu.
45 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Jika w = f(x, y, z) memberikan potensial elektrostatik (voltase) pada suatu titik sebarang dalam suatu medan potensial listrik, permukaan ketinggiannya dinamakan permukaan ekuipotensial. Semua titik pada suatu permukaan ekuipotensial memiliki potensial elektrostatik yang sama, dan arah arus listrik adalah searah dengan negatif gradiennya, yaitu dalam arah penurunan terbesar pada potensial.
46 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 5: Jika suhu pada sebarang titik dalam suatu benda homogen diberikan sebagai Kemana arah yang memberikan penurunan suhu terbesar di titik (1,-1,2)? Penyelesaian: Penurunan terbesar pada suhu di (1,-1,2) adalah dalam arah negatif gradien di titik tersebut.
47 2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 5 (lanjutan penyelesaian): di titik (1, -1, 2) adalah Jadi pada titik (1, -1, 2) adalah
48 3. Aturan Rantai Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposit satu peubah adalah Jika y = f (x(t)), dengan f dan x keduanya fungsi yang terdiferensialkan, maka
49 3. Aturan Rantai VERSI PERTAMA Jika z = f(x,y), dengan x dan y adalah fungsi t, maka masuk akal menanyakan dz/dt. Teorema A (Aturan Rantai). Andaikan x = x(t) dan y = y(t) terdiferensialkan di t dan andaikan z = f(x,y) terdiferensialkan di (x(t), y(t)). Maka z = f(x(t), y(t)) terdiferensialkan di t dan
50 3. Aturan Rantai VERSI PERTAMA Bukti Kita tirukan bukti satu peubah dari Apendiks A.1 Teorema B (Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell & Dale Varberg). Untuk penyederhanaan cara penulisan, andaikan
51 3. Aturan Rantai VERSI PERTAMA Bukti (lanjutan) Maka, karena f dapat didiferensialkan, Dengan jika. Bila kita membagi kedua ruas dengan, kita peroleh
52 3. Aturan Rantai VERSI PERTAMA Bukti (lanjutan) Sekarang Dan yang belakang mendekati jika
53 VERSI PERTAMA Bukti (lanjutan) 3. Aturan Rantai Pada waktu, dan keduanya mendekati 0 (ingat bahwa x(t) dan y(t) kontinu, terdiferensialkan). Ini menyimpulkan.
54 VERSI PERTAMA Bukti (lanjutan) 3. Aturan Rantai Sebagai konsekuensi, pada waktu, kita peroleh Teorema A
55 VERSI PERTAMA 3. Aturan Rantai Contoh 1: Misalkan dengan dan. Tentukan. Penyelesaian:
56 VERSI PERTAMA 3. Aturan Rantai Contoh 2: Misalkan bahwa sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi, radiusnya bertambah pada laju 0,2 cm/jam dan tingginya bertambah pada laju 0,5 cm/jam. Tentukan laju pertambahan luas permukaan terhadap waktu pada saat radius sama dengan 10 cm dan tinggi sama dengan 100 cm. Penyelesaian: Rumus total luas permukaan sebuah tabung adalah Jadi,
57 VERSI PERTAMA Contoh 2 (lanjutan penyelesaian): 3. Aturan Rantai Pada r = 10 dan h = 100, cm 2 /jam Bagaimana Teorema A diaplikaiskan untuk fungsi tiga peubah?
58 VERSI PERTAMA 3. Aturan Rantai Contoh 3: Andaikan, dengan,, dan. Tentukan dan hitung nilainya di. Penyelesaian:
59 VERSI PERTAMA Contoh 3 (lanjutan penyelesaian): 3. Aturan Rantai Pada,
60 VERSI KEDUA 3. Aturan Rantai Teorema B (Aturan Rantai). Misalkan x = x(s,t) dan y = y(s,t) mempunyai derivatif pertama di (s,t) dan misalkan z = f(x,y) terdiferensialkan di (x(s,t), y(s,t)). Maka z = f(x(s,t), y(s,t)) mempunyai derivatif parsial pertama yang diberikan oleh (i) (ii)
61 VERSI KEDUA 3. Aturan Rantai Contoh 4: Jika z = 3x 2 y 2 dengan x = 2s + 7t dan y = 5st, Tentukan z/ t, dan ungkapkan ia dalam bentuk s dan t. Penyelesaian: Bagaimana pada fungsi tiga peubah?
62 VERSI KEDUA Contoh 5: Jika w = x 2 + y 2 + z 2 + xy, Tentukan w/ t. Penyelesaian: 3. Aturan Rantai dengan x = st y = s t z = s + 2t
63 FUNGSI IMPLISIT 3. Aturan Rantai Misalkan bahwa F(x,y) = 0 mendefinisikan secara implisit y sebagai suatu fungsi x, misalnya y = g(x), tetapi fungsi g sukar atau tidak mungkin ditentukan. Kita masih tetap dapat mencari dy/dx. Satu metode untuk melakukan ini, yakni penurunan implisit (dibahas di Pasal 3.8). (Buku Kalkulus dan Geometri Jilid 1 Edwin J.Purcell Dale Varberg) Metode lain dengan menggunakan Aturan Rantai.
64 FUNGSI IMPLISIT 3. Aturan Rantai Derivatif kedua ruas F(x,y) = 0 terhadap x dengan menggunakan Aturan Rantai, dijelaskan sebagai berikut: Dengan menyelesaikan dy/dx, dihasilkan rumus:
65 FUNGSI IMPLISIT 3. Aturan Rantai Contoh 6: Tentukan dy/dx jika x 3 + x 2 y 10y 4 = 0. Penyelesaian: Andaikan F(x,y) = x 3 + x 2 y -10y 4. Maka Bandingkan dengan Contoh 3 dari Pasal 3.8 Buku Kalkulus dan Geometri Jilid 1 Edwin J.Purcell Dale Varberg Aplikasi pada fungsi implisit 3 variabel?
66 FUNGSI IMPLISIT 3. Aturan Rantai Jika z suatu fungsi implisit dai x dan y yang didefinisikan oleh persamaan F(x, y, z) = 0, maka diferensial kedua ruas terhadap x dengan mempertahankan y tetap, menghasilkan Jika kita selesaikan untuk z/ x dan dengan mencatat bahwa y/ x = 0, maka kita peroleh rumus Perhitungan yang serupa dengan mempertahankan x tetap dan mendiferensialkan terhadap y, di dapat
67 3. Aturan Rantai FUNGSI IMPLISIT Contoh 7: Jika mendefinisikan z secara implisit sebagai suatu fungsi x dan y, tentukan z/ x. Penyelesain:
68 TERIMAKASIH
Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Lebih terperinciBAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t
Lebih terperinciMemahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal
Lebih terperinciMemahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciTURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi
TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciSILABUS. Deskripsi Mata Kuliah : Merupakan lanjutan dari kalkulus-2 yang menitikberatkan pada pemahaman dan penguasaan konsep dan aplikasi integral
SILABUS Kode Mata Kuliah : IT043223 Nama Mata kuliah : KALKULUS 3 Jumlah SKS : 2 Semester : III Deskripsi Mata Kuliah : Merupakan lanjutan dari -2 yang menitikberatkan pada pemahaman dan penguasaan konsep
Lebih terperinciKALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
Lebih terperinciPertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor
Pertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor Standar Kompetensi : Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 1.
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5. Kalkulus Diferensial 5.1 Konsep Turunan Beberapa Definisi yang Setara Kekontinuan dan Keterdiferensialan secara Kontinu 5.2 Sifat-Sifat
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinci= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciBAB I INTEGRAL TAK TENTU
BAB I INTEGRAL TAK TENTU TUJUAN PEMBELAJARAN: 1. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menentukan pengertian integral sebagai anti turunan. 2. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menyelesaikan
Lebih terperinciBAB I VEKTOR DALAM BIDANG
BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang
Lebih terperinciIntegral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan
BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Lebih terperinciKalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Warsoma Djohan Prodi Matematika, FMIPA - ITB March 11, 2011 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 1 / 34 Fungsi
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Kalkulus Vektor: Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Perhatikan sebuah fungsi F yang menghubungkan sebuah vektor F(p) dengan setiap titik p dalam ruang berdimensi-n.
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa hal yang digunakan sebagai landasan pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
Lebih terperinciBAB III Diferensial. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB III Diferensial Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciTeorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
TEOREMA DIVERGENSI, STOKES, DAN GREEN Materi pokok pertemuan ke 13: 1. Teorema divergensi Gauss URAIAN MATERI Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
Lebih terperinciIlustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit.
Koko Martono FMIPA - ITB 77 Fungsi dua peubah, permukaan ruang, dan kurva ketinggian Fungsi dua peubah mempunai aturan = f (,) dengan daerah asal dan daerah nilai D f = {(,) : f (,) } dan R f = { : = f
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinci2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Purcell, hal atau lebih:
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315 Mg Ke- Pokok & Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum (TIU) Tujuan Instruksional Khusus (TIK) Materi & Pendekatan Media Tes
Lebih terperinciPengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial
Pengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial Drs. Johannes P. Mataniari FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Suatu peubah
Lebih terperinciMatematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung
Lebih terperinciFungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
Lebih terperinciKuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti
Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,
Lebih terperinci(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007
Lebih terperinciFUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks
FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.
Lebih terperinciPENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN
Lebih terperinciIntegral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti
Lebih terperinciPersamaan Lingkaran. Pusat Jari-jari Pusat. Jari-jari Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran. Persamaan Lingkaran
2. 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran. Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran () () Bentuk Umum 0 dibagi (2) Pusat Jari-jari Pusat (,), Jumlah kuadrat pusat dikurangi Jari-jari
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Jika y = f(x) dengan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Diferensial Jika y = f(x) dengan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap variabel bebas x, maka dy adalah diferensial dari variabel tak bebas (terikat) y, yang
Lebih terperinciDERIVATIVE Arum Handini primandari
DERIVATIVE Arum Handini primandari INTRODUCTION Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan) Calculus dikembangkan
Lebih terperinciTurunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan
Lebih terperinciKeep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1
VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor
Lebih terperinciTURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinciTIM MATEMATIKA DASAR I
MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan
Lebih terperinciSilabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.
Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3
Lebih terperincif (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL (TURUNAN) Nama Siswa : y f(a h) f(a) x (a h) a Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks
Lebih terperinciLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak
4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,
Lebih terperinciUJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 9 April 001 Waktu :,5 jam 1. Tentukan dy dx jika (a) y 5x (x + 1) (b) y cos x.. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 (x) untuk fungsi f berikut f (x)
Lebih terperinciPERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH
PERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH Dibuat untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang yang diampu oleh M. Khoridatul Huda, S. Pd., M. Si. Oleh: TMT 5E Kelompok
Lebih terperinciKalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 1 / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan
Lebih terperinciAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/009... 5 UTS Pendek 008/009... 6 UTS 007/008... 8 UTS 006/007... 9 UTS 005/006...
Lebih terperinciPembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA
Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan
Lebih terperinciDIFERENSIAL TOTAL. 1 Kalkulus Lanjut Blog: aswhat.wordpress.com. dz dx dy x y dx x y dy. dz , ,04 0,65
DIFERENSIAL TOTAL 1. Pendahuluan Ingat kembali konsep diferensial pada fungsi satu variabel y = f(x). suatu diferensial dx terhadap variabel bebas didefinisikan sebagai: dy = f (x) dx selanjutnya, misalkan
Lebih terperinci1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih
] 1 Pada Bab 1 ini akan dibahas antara lain sebagai berikut. 1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih Tema sentral dari bab ini adalah kalkulus dari fungsi peubah
Lebih terperinciTERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22
TERAPAN INTEGRAL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 22 Topik Bahasan 1 Luas Daerah Bidang Rata 2 Nilai Rataan Fungsi (Departemen Matematika
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Definisi KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-7) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Definisi 1 Definisi 2 ontoh Soal Definisi Integral Garis Fungsi f K R 2 R di Sepanjang Kurva
Lebih terperincifungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
Lebih terperinciTURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM
TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum
Lebih terperinciMatematika Dasar NILAI EKSTRIM
NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u = (a, -, -) dan v = (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A.
Lebih terperinciTERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
TERAPAN TURUNAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61 Topik Bahasan 1 Nilai Maksimum dan Minimum 2 Teorema Nilai Rataan (TNR) 3 Turunan
Lebih terperinciPembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x 0 jika f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 ( h ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim f (x 0 ) = 0 h
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN
SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata Kuliah : Kalukulus Dasar Kode Mata Kulih : Bobot Semester Tujuan Instruksi Umum Media / Alat yang digunakan Daftar Referensi : 3 sks : 1(satu) : Mahasiswa dapat memahami konsep-konsep
Lebih terperinciPENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T.
PENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T. MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM Misalkan f fungsi dua variable maka f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik (a,b) jika terdapat kitaran dari (a,b) demikian sehingga
Lebih terperincif (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
Nama Siswa Kelas : : aasdaa. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN) Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f (x). LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL
Lebih terperinciPenerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.
Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )
Lebih terperinciTurunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi
8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP DERIVATIF, DAN PENERAPANNYA DALAM PENYELESAIAN PROBLEMATIKA FISIKA. Ashari 1 & Budiyono 2. Abstrak
PENGENALAN KONSEP DERIVATIF, DAN PENERAPANNYA DALAM PENYELESAIAN PROBLEMATIKA FISIKA Ashari 1 & Budiyono 2 1) Jurusan Pendidikan Fisika 2) Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciBAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian
Lebih terperinciSoal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2013
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 013 LOGIKA MATEMATIKA p siswa rajin belajar ; q mendapat nilai yang baik r siswa tidak mengikuti kegiatan remedial ~ r siswa mengikut kegiatan remedial Premis
Lebih terperinciPertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes
Pertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes Standar Kompetensi : 1. Memahami Teorema Green Kompetensi Dasar : 1. Menyebutkan kembali pengertian
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kompetensi
BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Penerapan Integral Lipat-Dua Atina Ahdika,.i, M.i tatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan lain dari integral lipat-dua antara
Lebih terperinciGEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT. sofyan mahfudy-iain Mataram 1
GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT sofyan mahfudy-iain Mataram 1 Sasaran kuliah hari ini 1. Mahasiwa dapat menjelaskan konsep kemiringan garis/gradien 2. Mahasiswa dapat menentukan
Lebih terperinciGradien, Divergensi, dan Curl
GRADIEN, DIVERGENSI, DAN CURL Materi pokok pertemuan ke 8 : 1. Operator Del 2. Gradien 3. Turunan berarah URAIAN MATERI Operator Del Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan
Lebih terperinciParabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada
Parabola 6.1. Persamaan Parabola Bentuk Baku Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada bidang sedemikian hingga titik itu berjarak sama dari suatu titik tertentu yang disebut
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika bersifat universal dan banyak kaitannya dengan kehidupan nyata. Matematika berperan sebagai ratu ilmu sekaligus sebagai pelayan ilmu-ilmu yang lain. Kajian
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciINTEGRAL. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Integral tak tentu Fungsi aljabar Derivatif Antiderivatif A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab INTEGRAL A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran integral siswa mampu:. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah,
Lebih terperinciSOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com
SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN
SATUAN ACARA PERKULIAHAN 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus I 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : MPK / MPB / MKK/ MKB/ MBB
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. 2.1 Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Gerak
BAB II DASAR TEORI Ada beberapa teori yang berkaitan dengan konsep-konsep umum mengenai aliran fluida. Beberapa akan dibahas pada bab ini. Diantaranya adalah hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum.
Lebih terperinci( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75
Here is the Problem and the Answer. Diketahui premis premis berikut! a. Jika sebuah segitiga siku siku maka salah satu sudutnya 9 b. Jika salah satu sudutnya 9 maka berlaku teorema Phytagoras Ingkaran
Lebih terperinciKalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran. January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd
Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. A l f i a n i A t h m a P u t r i R
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 6, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan
Lebih terperinci