Matematika Teknik Dasar-2 8 Definisi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri

Transkripsi

1 Matematika Teknik Dasar-2 8 Definisi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

2 Turunan Parsial Volume V dari sebuah silinder dengan radius r dan tinggi h diberikan dari rumus: V = r 2 h Jika dipertahankan nilai r konstan dan menaikkan tinggi h, volume V akan naik. Maka dalam keadaan ini dapat ditinjau turunan V terhadap h dengan nilai r dipertahankan. Maka; dv ditulis δv dh r konstan δx r h

3 Turunan Parsial dv ditulis V dh r konstan Perhatikan nilai delta. Diketahui arti dari δv δx dan dy dx. Diperhatikan V, ini disebut sebagai turunan parsial V terhadap h dan menyiratkan bahwa untuk keperluan sekarang, nilai r dianggap sebagai yang konstan V = r 2 h

4 Turunan Parsial Untuk mendiferensiasi δv, dianggap bahwa semua simbol kecuali V dan h sebagai konstanta δv δh = πr2. 1 = πr 2 δh Kemudian jika mendiferensiasi δv, maka r menyebabkan perubahan pada V sedangkan h adalah konstan. δv δr = π2rh = 2πrh δr Hal ini karena V = πr 2 h, dinyatakan sebagai fungsi dua variabel r dan h.

5 Turunan Parsial Contoh berikutnya: Dilihat luas permukaan selimut silinder A=2 rh A adalah fungsi r dan h, jadi dapat dicari A r dan A h A h Untuk mencari A r dapat diferensiasi pernyataan untuk A terhadap r, dengan simbol lain adalah konstan Untuk mencari A h dapat diferensiasi pernyataan untuk A terhadap h, dengan simbol lain adalah konstan r

6 Turunan Parsial Maka jika A = 2 rh, maka A r Contoh lain: = 2πh dan A h = 2πr Sebuah fungsi z=x 2 y 3 dicari dan a. Untuk mencari, diferensiasikanlah terhadap x, dengan menganggap y adalah konstanta. = 2xy3 b. Untuk mencari, diferensiasikanlah terhadap y, dengan menganggap x adalah konstanta. = x2 3y 2 = 3x 2 y 2

7 Turunan Parsial Catatan: Pada turunan parsial dianggap setiap variabel adalah independen, kecuali variabel yang terhadapnya dilakukan diferensiasi, untuk sementara dianggap sebagai konstanta

8 Contoh - 1 u = x 2 + xy + y 2 a. Untuk mencari u, dianggap y sebagai konstanta Diferensiasi parsial x terhadap x 2 = 2x Diferensiasi parsial x terhadap xy = y (y adalah faktor konstanta) Diferensiasi parsial x terhadap y 2 = 0 (y 2 adalah faktor konstanta) u = 2x + y b. Untuk mencari u, dianggap x sebagai konstanta Diferensiasi parsial y terhadap x 2 = 0 (x 2 adalah faktor konstanta) Diferensiasi parsial y terhadap xy = x (x adalah faktor konstanta) Diferensiasi parsial y terhadap y 2 = 2y u = x + 2y

9 Contoh - 2 z = x 3 + y 3 2x 2 y = 3x xy = 3x 2 4xy = 0 + 3y2 2x 2 = 3y 2 2x 2

10 Contoh - 3 z = (2x y) (x + 3y) Dimana contoh di atas adalah bentuk hasil kali, maka aturan hasil kali biasa akan berlaku pada persamaan di atas = 2x y = 4x + 5y x + 3y 2 0 = 2x y + 2x + 6y = 2x y x + 3y 0 1 = 6x 3y x 3y = 5x 6y

11 Contoh - 4 Persamaan z = 2x y x+y carilah dan Maka dengan menggunakan aturan hasil bagi, dapat dihasilkan: x + y 2 0 2x y y = x + y 2 = x + y 2 x + y 0 1 2x y = x + y 2 = 3y x + y 2

12 Contoh - 5 Persamaan z=sin(3x+2y) carilah dan Dalam contoh ini diselesaikan apa yang disebut fungsi dari suatu fungsi. = cos 3x + 2y x 3x + 2y = cos 3x + 2y x3 = 3cos(3x + 2y) = cos 3x + 2y x 3x + 2y = cos 3x + 2y x2 = 2cos(3x + 2y)

13 Turunan Parsial Diperhatikan persamaan z=3x 2 + 4xy 5y 2 Kemudian bisa diselesaikan Pernyataan = 6x + 4y dan = 6x + 4y adalah suatu fungsi x dan y. Maka bisa dicari turunan parsialnya terhadap x atau y = 4x 10y a. Dideferensiasi secara parsial terhadap x, diperoleh: dan ditulis sebagai 2 z, dimana ini mirip dengan turunan kedua 2 x biasa, tetapi dengan parsial

14 Turunan Parsial a. Dideferensiasi secara parsial terhadap x, diperoleh: dan ditulis sebagai 2 z, dimana ini mirip dengan turunan kedua 2 x biasa, tetapi dengan parsial 2 z = 2 x 2 terhadap x 6x + 4y = 6; ini disebut turunan parsial kedua z b. Dideferensiasi secara parsial terhadap y, diperoleh: dan ditulis sebagai 2 z.

15 Turunan Parsial b. Dideferensiasi secara parsial terhadap y, diperoleh: dan ditulis sebagai 2 z. diperhatikan bahwa operasi yang ini dilakukan dengan memberikan simbol sebelah kiri dari kedua simbol pada penyebutnya. 2 z =. = 6x + 4y = 4

16 Turunan Parsial Jadi bisa didapatkan z=3x 2 + 4xy 5y 2 = 6x + 4y = 4x 10y 2 z 2 x = 6 2 z. = 4

17 Turunan Parsial Dilakukan cara yang sama untuk pernyataan maka bisa didapatkan 2 z 2 y = z. = 4 Dari hasil pernyataan bisa didapatkan bahwa 2 z. berarti sehingga 2 z. berarti

18 Turunan Parsial Dengan mengumpulkan hasil-hasil yang diperoleh sebelumnya bisa dikumpulkan pernyataan dari z=3x 2 + 4xy 5y 2 = 6x + 4y = 4x 10y 2 z 2 x = 6 2 z. = 4 2 z 2 y = z. = 4

19 Turunan Parsial Kita lihat dalam kasus ini bahwa 2 z. = 2 z. Dengan demikian terdapat dua turunan pertama dan empat turunan kedua, walaupun dua turunan memiliki nilai yang sama.

20 Turunan Parsial Coba selesaikan persamaan berikut: z = x cos y y cos x Ketika mendiferensiasikan terhadap x, y adalah konstanta (sehingga cos y konstanta) Ketika mendiferensiasikan terhadap y, x adalah konstanta (sehingga cos x konstanta)

21 Turunan Parsial Maka persamaan z = x cos y y cos x bisa diperoleh = cos y + y. sin x = x. sin y cos x 2 z 2 x = y. cos x 2 z 2 y = x. cos y 2 z. = sin y + sin x 2 z. = sin y + sin x Kita lihat dalam kasus ini bahwa 2 z. = 2 z.

22 Turunan Parsial Sekarang jika V=ln(x 2 + y 2 ) buktikanlah bahwa 2 V V 2 = 0 Berarti penyelesaian di atas adalah dengan mencari dua buah turunan parsial kedua dari fungsi tersebut dan menyubstitusikan keduanya ke sisi kiri pernyataannya. V=ln(x 2 + y 2 ) V = 1 x 2 + y 2 2x V = 2x x 2 + y 2

23 Turunan Parsial 2 V 2 = x2 + y 2 2 2x. 2x x 2 + y V 2 = 2x2 + 2y 2 4x 2 x 2 + y 2 2 = 2y2 2x 2 x 2 + y 2 2 Kemudian bisa dicari 2 V 2 dengan cara yang sama Sehingga bisa didaptkan bahwa 2 V 2 = 2x2 2y 2 x 2 +y 2 2

24 Turunan Parsial Dengan dicari lagi untuk V=ln(x 2 + y 2 ) diperoleh: V = 1 x 2 + y 2 V 2 = x2 + y 2 2 2y. 2y x 2 + y y = 2y x 2 + y 2 2 V 2 = 2x2 + 2y 2 4y 2 x 2 + y 2 2 = 2x2 2y 2 x 2 + y 2 2

25 Turunan Parsial Kemudian disubstitusikan kedua hasil di atas ke identitas tersebut maka diperoleh: 2 V V 2 = 2y2 2x 2 x 2 + y x2 2y 2 x 2 + y V V 2 = 2y2 2x 2 + 2x 2 2y 2 x 2 + y 2 2 = 0

26 Contoh - 6 Jika V = f (x 2 + y 2 ) tunjukkanlah bahwa x V y V = 0 Dari soal didapatkan bahwa V merupakan fungsi (x 2 + y 2 ) tetapi bentuk tepat dari fungsi ini tidak diketahui. Maka dapat diperlakukan fungsi ini sebagai fungsi dari fungsi dan menulis f (x 2 + y 2 ) untuk menyatakan fungsi ini terhadap variabel gabungan (x 2 + y 2 ) V = f x2 +y 2 x x2 + y 2 = f x2 +y 2. 2x V = f x2 +y 2. x2 + y 2 = f x2 +y 2. 2y

27 Contoh - 6 x V x V x V y V = x. f x2 +y 2. 2y y. f x 2 + y 2 y V = 2xy. f x2 +y 2 2xy. f x 2 + y 2 y V = 0

28 Contoh - 7 Jika V = f (ax + by), tunjukkanlah bahwa b V V = f ax + by. (ax + by) V = f ax + by. a = a. f (ax + by) = f ax + by. (ax + by) = f ax + by. b = b. f (ax + by) a V = 0 (a) (b)

29 Contoh - 7 b V a V = ab. f ax + by ab. f ax + by = 0

30 Pertambahan Kecil Pada materi sebelumnya dibahas sebuah silinder dengan h konstan dan r konstan. Pada kasus berikut dilihat apa yang diperoleh jika r dan h berubah secara simultan. Jika r menjadi r + δr, dan h menjadi h + δh, misalkan V menjadi V + δv. Maka volume yang baru diberikan sebagai: V + δv = π r + δr 2 h + δh V + δv = π r 2 + 2rδr + δr 2 h + δh V + δv = π r 2 + 2rhδr + h δr 2 + r 2 δh + 2rδrδh + δr 2 δh

31 Pertambahan Kecil Kurangkan V= r 2 h dari kedua sisinya, maka akan diperoleh: δv = π 2rhδr + h δr 2 + r 2 δh + 2rδrδh + δr 2 δh δv π 2rhδr + r 2 δhh Karena δr dan δh adalah kecil dan semua sukusuku selebihnya akan jauh lebih kecil lagi. Oleh karena itu δv 2πrhδr + πr 2 δh, dengan kata lain δv V V δr + r h δh

32 Pertambahan Kecil Sebuah silinder memiliki dimensi r = 5cm, h = 10cm. Carilah kira-kira kenaikan volumenya jika r bertambah sebesar 0,2cm dan h berkurang sebesar 0,1cm. Maka sekarang V = πr 2 h jadi V r = 2πrh Dalam hal ini, apabila r = 5cm, h = 10cm jadi V h = πr2 V r = 2π5.10 = 100π V h = πr2 = π5 2 = 25π

33 Pertambahan Kecil δr = 0,2 dan δh = 0,1 (minus karena h mengecil) δv V r. δr + V h. δh δv = 100π 0,2 + 25π( 0,1) δv = 20π 2,5π = 17,5π δv 54,98 cm 3 Maka artinya adalah volume bertambah sebesar 54,98 cm 3

34 Pertambahan Kecil Hasil ini tidak hanya berlaku pada volume silinder tetapi juga untuk semua fungsi dengan dua variabel independen. Contoh: Jika z adalah fungsi x dan y, z=f (x,y) dan jika x dan y naik sekecil x dan y, kenaikan x juga akan relatif kecil. Jika diuraikan z dalam pangkat x dan y, diperoleh: δz = Aδx + Bδy + pangkat x dan y yang lebih tinggi Dimana A dan B merupakan fungsi x dan y

35 Pertambahan Kecil Jika y tetap konstan, sehingga y=0 maka: δz = Aδx + δx pangkat yang lebih tinggi = A. Sehingga jika x 0, persamaan ini menjadi A = Serupa dengan itu, jika x tetap konstan, dengan membuat δy 0 akan diperoleh B = δz = δx + δy+ kuantitas yang sangat kecil berpangkat yang lebih tinggi yang dapat diabaikan

36 Pertambahan Kecil δz = δx + δy+ kuantitas yang sangat kecil berpangkat yang lebih tinggi yang dapat diabaikan δz = δx + δy Jadi jika, z=f(x,y) δz = δx + δy Serupa pula untuk fungsi dengan tiga variabel z=f(x,y,w) δz = δx + δy + w δw

37 Contoh - 8 Jika I = V, dan V = 250 volt dan R = 50 ohm, carilah perubahan I yang R terjadi akibat kenaikan V sebesar 1 volt dan kenaikan R sebesar 0,5 ohm Jawaban: I=f(V,R) δi = I V δi = I R δv V R 2 δr I δv + δr R I V = 1 I dan R V = V R 2

38 Contoh - 8 Jadi jika R = 50, V = 250, V = 1, dan R = 0,5 δi = (0,5) Artinya I turun sebesar 0,03 ampere δi = δi = 0,02 0,05 = 0,03