PEMBAHASAN KISI-KISI SOAL UAS KALKULUS PEUBAH BANYAK (TA 2015/2016)

Transkripsi

1 PEMBAHAAN KII-KII OAL UA KALKULU PEUBAH BANYAK (TA 5/6) Arini oesatyo Putri DEEMBER 3, 5 UNIVERITA ILAM NEGERI UNAN GUNUNG DJATI BANDUNG

2 Pembahasan oal Kisi-Kisi UA Kalkulus Peubah Banyak Tahun Ajaran 5/6 Dosen: Bu Yulinda Eliskar, M.i. elesaikan integral berikut ini a. xye xy dydx Penyelesaian: Misalkan u = xy, maka du = xy. ehingga dy xye xy dydx = eu dudx = [exy ] dx = (ex )dx = [ex x] = [e e + ] = ( ) = = ln 3 siny b. e x cosy dydx Penyelesaian: siny e x cosy dxdy = [e x cosy] siny dy = (e siny cosy cosy) dy = [e siny siny] = [e sin ( ) sin ( )] [esin sin] = e + = e. Dengan menggnakan koordinat polar, tentukanlah integral dari x (ketsakan terlebih dahulu daerah asalnya). dy dx x y Penyelesaian: Diketahui r = x + y. ketsa daerah asalnya

3 Batas-batas integrasinya adalah r ehingga bentuk polarnya menjadi θ r drdθ r Dengan menggunakan metode substitusi, misalkan u = r, maka du dr = r, sehingga u dudθ = [ r ] dθ = ( 3 ) dθ = [ ( 3 )θ] ( 3 ) ( 3) = + ( 3 ). = 3. Tentukan luas permukaan dan buatlah sketsa gambarnya jika diketahui bagian bidang 3x y + 6z = yang dibatasi oleh bidang x =, y =, dan 3x + y =. Penyelesaian: ketsa bidang 3x y + 6z = Kita bisa susun batas-batas integrasinya x y 3 x + 6 Maka luas permukaannya adalah

4 3 x+6 A(G) = ( ) + ( 3 ) + dydx = [ 7 6 x] 3 x + 6. Hitunglah integral lipat tiga di bawah ini Penyelesaian: x+6 = 7 6 dydx dx = 7 6 ( 3 x + 6) dx = 7. = 6 6xy z 3 dxdydz 6xy z 3 dxdydz = 6xdx y dy z 3 dz = ( 3) ( ) (65 5 = ([3x ] ) ([ 3 y3 ] ) ([ z ] 5 ) ) = Carilah bayangan dari persegi jika diberikan titik-titik sudutnya (,), (3,), (3,), (,) dan diketahui x = u + 3v, y = u v. Kemudian cari transformasi jacobi-nya. Penyelesaian: Hasil transformasi untuk titik (,) Hasil transformasi untuk titik (3,) Hasil transformasi untuk titik (,) Hasil transformasi untuk titik (,) G(,) = (. + 3., ) = (,) G(3,) = ( , 3 ) = (6,3) G(3,) = ( , 3 ) = (9,) G(,) = (. + 3., ) = (3, ) ehingga hasil transformasinya adalah persegi dengan sudut sudut (,), (6,3), (9,), (3, ). elanjutnya akan ditentukan transformasi jacobinya: J(u, v) = u u v = 3 = ( ) 3() = 3 = 5 v

5 6. Carilah curlf dan divf jika diketahui F(x, y, z) = x i + y j + z k. Penyelesaian: Diketahui bahwa F(x, y, z) = x i + y j + z k. Dimana M = x, N = y, P = z. Maka M = x, N ehingga divf = M + N + P = x + y + z. z elanjutnya = y, P z = z i j k curlf = = ( P z N ) i ( P Z M ) j + ( N Z M ) k M N P 7. Hitunglah integral garis dari = ( )i ( )j + ( )k = i j + k =,, y dx + x dy C Jika diketahui C merupakan kurva yang didefinisikan oleh x = t dan y = t, t. Penyelesaian: Diketahui dx dy = dan = t. ehingga diperoleh dt dt [(t )() + (t )(t)]dt = [(t ) + 8t 3 )]dt 8. Diberikan F(x, y) = (e y ye x )i + (xe y e x )j = [t + 3 t3 t] = 3 Tentukan apakah medan F yang diberikan konservatif? Jika demikian, tentukan f sedemikian sehingga F = f. Jika tidak, nyatakan bahwa F tidak konservatif. Penyelesaian: Diketahui M = e y ye x dan N = xe y e x. F dikatakan konservatif jika dan hanya jika M e x. Karena M = N fungsi f yang memenuhi = N M. Kita punya = ey e x dan N = ey, maka F merupakan konservatif. elanjutnya akan ditentukan

6 Jadi f = f f i + j = Mi + Nj = F(x, y) f = ey ye x, dan f = xey e x Perhatikan persamaan sebelah kiri, jika kita anti-diferensialkan terhadap-x menjadi f(x, y) = xe y ye x + C (y) () Dengan C(y) suatu konstanta yang bergantung terhadap variabel y. elanjutnya persamaan () didiferensialkan terhadap y kita peroleh f = xey e x + C (y)... () Bandingkan persamaan () dengan f yang kita punya sebelumnya, maka xe y e x = xe y e x + C (y) Diperoleh C (y) =, maka C (y)dy = dy. Kita simpulkan bahwa C (y) = + C, atau C (y) = C, dengan C suatu konstanta yang tidak bergantung terhadap variabel x maupun y. Dengan mensubstitusikan C(y) = C ke persamaan (), kita peroleh f(x, y) = xe y ye x + C 9. Jika F = (x + y )i + xyj, tentukan fluks F melintasi batas C dari bujursangkar satuan dengan titik-titik sudut (,), (,), (,), dan (,). Yaitu menghitung F. n ds C Penyelesaian: (Fluks merupakan banyaknya fluida bersih yang meninggalkan daerah ). Diketahui M = x + y dan N = xy. Kita tahu kesamaan dari Teorema Green F. n ds = divf da C Dimana divf = M + N = x + x. Dan daerah dapat dilihat dalam grafik berikut

7 Maka dapat kita simpulkan bahwa F. n ds = (x + x)da = x dxdy = [x ] dy = dy = C. Gunakan Teorema Divergensi Gauss untuk menghitung F. n ds jika diberikan a. F(x, y, z) = zi + xj + z k, dimana merupakan silinder pejal yang dibatasi oleh x + y, z. Penyelesaian: Teorema Divergensi Gauss mengatakan bahwa F. n ds = divf da. Diketahui M = z, N = x, dan P = z, sehingga divf = + + z = z Batas-batas integrasinya adalah r θ z ehingga F. n ds = divf da = zr drdzdθ =

8 b. F(x, y, z) = z i + y j + x k, dimana merupakan silinder pejal x + z, y. (Hint: Gunakan transformasi x = rcosθ, z = rsinθ, y = y). Penyelesaian: Diketahui M = z, N = y, dan P = x. ehingga F. n ds = ( M + N + P ) dv = ( + y + )dv = ydxdydx z elanjutnya kita transformasikan variabel (x, y, z) ke dalam (r, y, θ).yakni x = rcosθ, y = y, dan z = rsinθ. Maka kita punya transformasi Jacobian sebagai berikut: J(r, y, θ) = z r θ r θ r z z θ cosθ sinθ = = rcos θ + rsin θ = rsinθ rcosθ r(cos θ + sin θ) = r. ehingga kita bisa mendefinisikan wilayah menjadi y, θ dan r. Dapat kita simpulkan ydxdydx = yrdrdydθ = [yr ] dydθ = y dydθ = [ y ] dθ = 5dθ = [5θ] =. Diberikan F = yi + zj + xk, dimana C merupakan kurva segitiga dengan titik-titik sudut (,,), (,,), dan (,,), terarah berlawanan arah jarum jam jika dipandang dari atas. Gunakan Teorema toke untuk menghitung Penyelesaian: Diketahui M = y, N = z, dan P = x. Maka curlf = ( P N ) i ( P Z M ) j + ( N Z M ) k = ( )i ( )j + ( )k =,, F. T ds.

9 Kemudian n merupakan vektor normal satuan dengan panjang + + ( ) = Maka (curlf). n =,,. [( ),, ] = F. T ds = (curlf). n d = d = s