Persamaan Differensial Parsial Gelombang Homogen Pada Selang Dengan Syarat Batas Dirichlet Dan Neumann

Transkripsi

1 Jurnal Sains Maemaika dan Saisika, Vol. No. Juli 6 ISSN Persamaan Differensial Parsial Gelombang Homogen Pada Selang Dengan Sara Baas Dirichle Dan Neumann Rukmono Budi Uomo Universias Muhammadiah Tangerang rukmono.budi.u@mail.ugm.ac.id rukmono.budi.u@sudens.ib.ac.id ABSTRAK Tulisan ini mengkaji enang Persamaan Differensial Parsial (PDP) Gelombang Homogen pada selang dengan kondisi sara baas Dirichle dan Neumann. Peneliian dilakukan dengan memahami erlebih dahulu mengenai benuk umum PDP orde dua, ransformasi koordina, benuk kanonik PDP linier orde dua, sera benuk Persamaan Differensial Parsial Gelombang homogen anpa sara baas seramencari solusi penelesaianna. Seelah iu peneliian dilakukan dengan mengenalkan benuk umum PDP Gelombang Homogen dengan sara baas Dirichle dan Neumann besera penelesaianna. Dalam ulisan ini juga diserakan conoh penerapan dari PDP Gelombang homogen unuk kedua jenis sara baas ersebu besera analisisna. Kaa Kunci: PDP Gelombang Homogen, Sara Baas Dirichle, Sara Baas Neumann ABSTRACT This paper eamines he Homogeneous Wave Parial Differenial Equaions (PDE) on he inerval wih he condiions of Dirichle and Neumann boundar condiions. Research done b undersanding in advance of he general form PDP second order, coordinae ransformaion, he canonical form second order linear PDE, as well as forms of Homogenous Wave Parial Differenial Equaions uncondiional selemen boundaries and find he soluions. Once he research is done b inroducing a common form Homogeneous Waves PDE wih Dirichle and Neumann boundar condiions and heir compleion. In his paper we also included eamples of he implemenaion of he homogeneouswaves PDE for boh pes of he boundar condiions and he analsis. Kewords: Homogeneous Waves PDE, Dirichle and Neumann Boundar Value condiions Pendahuluan Fenomena gelombang sanga sering diemukan dalam kehidupan sehari-hari, misalna keika erjadi gulungan ombak di lau, bermain lompa ali, sebaran gelombang ekromagneik dari peralaan elekronik sampai kepada fenomena mekanika kuanum ang menggunakan gelombang Schrodinger. Unuk memahami fenomena gelombang ang erjadi disekiar, dibuuhkan bidang ilmu ang epa sehingga fenomena gelombang ersebu dapa dijelaskan secara ilmiah. Salah sau bidang ilmu ang dapa menjelaskan fenomena gelombang adalah meemaika dengan menggunakan Persamaan Differensial Parsial (PDP). Model maemaika ang dihasilkan disebu model maemaika PDP. Persamaan differensial sejaina merupakan sebuah persamaan maemais ang menjelaskan mengenai perubahan sifa aau perilaku dari suau fenomena alam erhadap sauan waku. Misalna, seseorang berdiri disuau iik pada saa, kemudian pada saa orang ersebu elah berada meer lebih jauh dari empana semula. Dengan demikian ada perubahan posisi orang ersebu ang berganung pada waku sehingga fenomena ersebu dapa dimodelkan dengan persaman differensial. Lebih lanju misalkan seorang pelari dapa menempuh jarak dengan waku, maka kecepaan pelari v d dapa diinepreasikan sebagi persamaan differensial v ang menjelaskan perubahan aas jarak d erhadap waku. Persamaan Differensial berdasarkan variabel ang dimiliki dapa dibagi menjadi dua jenis, akni Persamaan Differensial Toal dan Persamaan Differensial Parsial. Apabila erdapa suau fungsi Z F, maka urunan fungsi Z dinamakan urunan (differensial) oal. Hal ini dikarenakan fungsi Z akan diurunkan pada sau-sauna variabel bebas ang dimiliki akni.turunan oal unuk fungsi Z ini 56

2 Jurnal Sains Maemaika dan Saisika, Vol. No. Juli 6 ISSN secara maemaisdiulis sebagai dz d aau df d maka fungsi Z dapa diurunkan kepada variabel bebas aau Z d. Lebih lanju apabila erdapa suau fungsi Z F, Z d, dan ang dinoasikan dengan. Dengan demikian urunan unuk fungsi Z ini disebu urunan aau differensial parsial. Dalam memahami fenomena gelombang, PDP merupakan salah sau caraaau ala ang dapa digunakan. Hal uama ang hendak dikeahui dari fenomena gelombang pada umumna adalah seberapa besar gelombang ang erjadi pada suau posisi saa aau, U. Unuk mengeahui hal ini, langkah awal ang dilakukan adalah memodelkan gelombang ersebu kedalam suau model maemaika PDP, kemudian seelahna dapa dicari solusi penelesaian dari model PDP ersebu. Peneliian ini berujuan unuk memahami dan memodelkan suau fenomena gelombang. Dimulai dengan mempeajari hukum-hukum Newon ang erkai dengan gelombang sera merumuskan variabel-variabel ang berpengaruh dalam fenomena gelombangersebu. Seelah iu dibenuk model PDP gelombang dan dicari solusi penelesaianna. Model ang erbenuk dikembangkan kembali dengan memberikan suau sara awal dan baas dengan harapanagar model dan solusi ang dihasilkan dapa lebihakura dan sesuai fenomena gelombang ang erjadi sebenarna. Beberapa conoh soal gelombang diberikan sebagai suau aplikasi aau penerapan dalam model PDP ang elah dihasilkan. Meode Peneliian Meode ang digunakan dalam peneliian ini adalah pusaka, akni mempelajari erlebih dahulu benuk PDP linear orde dua, ransformasi koordina, benuk kanonik PDP linear orde dua dan benuk umum PDP Gelombang homogen anpa sara baas sera mencari solusi penelesaiana. Seelah iu, dibenuk PDP Gelombang dengan sara baas Diricle dan Neumann sera mencari solusi penelesaian unuk kedua sara baas ersebu. Buku-buku penunjang ang digunakan dalam peneliian ini anara lain adalah buku Parial Differenial Equaions kara Srauss, Inroducion o Differenial Equaions: Lecure Noes kara Jeffre R Chasnov, Handbook of Differenial Equaions: Saionar Parial Differenial Equaions Volume 5 kara Michel Chipo, buku Persamaan Differensial Parsialdari Deparemen Maemaika FMIPA ITB, Parial Differenial Equaions: Graduae Level Problems and Soluions karaigor Yanovsk dan sumber-sumberlain ang dapa diliha ada dafar pusaka. Hasil dan Pembahasan Persamaan Differensial Parsial Linear Orde Dua Benuk umum Persamaan Differensial Parsial (PDP) Linear orde dua didefinisikan sebagai beriku: L U au bu cu pu qu ru g a b c p q dan r merupakan fungsi dua peubah dan, dengan,,,, dicari. Asumsikan abdan, c ak nol serempak, maka diperoleh benuk U au bu cu U merupakan fungsi ang Yang merupakan bagian uama dari operaor L ang memua suku-suku orde dua. Berdasarkan nilai diskriminanna L b ac, PDP linier orde dua dapa dibagi menjadi iga ipe akni. Tipe Elipik Suau PDP Linear orde dua disebu elipik apabila L b ac. Conoh PDP linear orde dua ang ermasuk elipik adalah Persamaan Laplace U U 57

3 Jurnal Sains Maemaika dan Saisika, Vol. No. Juli 6 ISSN Tipe Parabolik L b ac. Suau PDP Linear orde dua disebu parabolik apabila Conoh PDP linear orde dua ang ermasuk ipe Parabolik adalah Persamaan Difusi 3. Tipe Hiperbolik Suau PDP Linear orde dua disebu Hiperbolik apabila L b ac. Conoh PDP linear orde dua ang ermasuk dalamipe ini adalah Persamaan Gelombang Perubahan (Transformasi) Koordina p, q p,, q, disebu perubahan (ransformasi) koordina aau sering disebu juga sebagai rasnformasi ak singular apabila nilai Jakobianna idak sama dengan nol dengan Jakobian didefinisikan sebagai p p J pq pq q q 3 MisalkanW p, q U p, q, p, q dengan ransformasi koordina p, q p,, q, persamaan menggunakan, maka solusi unuk benuk umum PDP linier orde dua U W p W q p q U W p W q p q dihiung dengan Berdasarkan hal ersebu diperoleh benuk ransformasi dari LU akni l W AW BW CW PW QW RW G 5 denganfungsi A,, B, dan C, didefinisikan sebagai beriku A, a b c, B, a b c 6 C, a b c 4 Yang secara mariks dapa disajikan pula dalam benuk sebagai beriku A B a b B C b c Selanjuna dengan menginga benuk Jakobian seperi halna pada benuk persamaan 7 dapa diuliskan kembali sebagai beriku 8 AC B J ac b Dengan menginga bahwa L b ac dan l B AC, maka persamaan diuliskan kembali sebagai beriku l J L Dengan nilai Jakobian seelah ransformasi koordina adalah 9 J 7 3 di aas, maka 8 dapa 58

4 Jurnal Sains Maemaika dan Saisika, Vol. No. Juli 6 ISSN Benuk Kanonik PDP Linier Orde Dua Misalkan PDP beripe Hiperbolik (Parabolik/Elipik) pada domain D, maka erdapa suau sisem koordina, memiliki benuk kanonik dengan persamaan. l W W l w G. l W W l w G 3. l W W W l w G denganl unuk PDP beripe Hiperbolik unuk PDP beripe Parabolik unuk PDP beripe Elipik w merupakan operaor differensial orde sau dan G merupakan suau fungsi. Karena peneliian ini mengkaji mengenai PDP Gelombang, maka pembahasan benuk kanonik hana akan dilakukan unuk PDP ang beripe Hiperbolik. a,,, D, maka unuk memperoleh benuk Hiperbolik Asumsikan bahwa l B AC, maka salah sau cara memperolehna adalah dengan membenuk A dan C, aau dengan kaa lain A, a b c C a b c, Karena benuk dan sama, maka cukup diselesaikan sau dianara A aauc. Misalkan dipilih A unuk diselesaikan, dengan demikian dapa diuliskan a b c Persamaan dapa disajikan kembali sebagai perkalian dua buah PDP linier sebagai beriku a b b ac a b b ac a Berdasarkanpersamaan, karena a, maka diperoleh benuk a b b ac a b b ac dengan kaa lain harus diselesiakan a b b ac a b b ac Yang merupakan dua buah PDP linear. Dengan meode karakerisik, diperoleh fungsi konsan dan sebagai beriku. Fungsi konsan sepanjang kurva karakerisik adalah. Fungsi konsan sepanjang kurva karakerisik adalah 4 3 d b b ac d a d b b ac d PDP Gelombang Homogen Asumsikan sebuah ali elasis, homogen dan fleksible dengan panjang l mengalami gearan aau gelombang seperi halna ali senar pada giar aau dawai pada biola. Homogen dalam peneliian ini memberikan ari bahwa ali diasumsikan hana erbua dari sau jenis bahan maerial, aau dengan kaa lain masa jenis aau kepadaan ali adalah eap. Lebih lanju, sifa fleksibel a dan 59

5 Jurnal Sains Maemaika dan Saisika, Vol. No. Juli 6 ISSN memberikan ari bahwa egangan ali (enion) meninggung langsung sepanjang ali dan T, merupkan vekor egangan ali. Hukum Newon III menaakan bahwa gaa aksi dan reaksi memiliki besar ang sama dengan arah erbalik dan segaris dengan sumbu horizonal aau secara maemais dapa diuliskan sebagai T, cos T h, cos T 5 Lebih lanju Hukum Newon II menaakan bahwa sebuah benda dengan massa m mengalami gaa resulan sebesar F aau secara maemais dapa disajikan sebagai beriku F m. a 6 Karena massa m merupakan perkalian aas massa jenis dengan panjang aau m h dan percepaan a merupakan urunan kedua dari fungsi, solusi gelombang ang dicari, maka persamaan. U dengan, U menaakan fungsi 6 dapa diuliskan kembali sebagai F hu 7 Dilain pihak gaa resulan F T T h, sin, sin, sehingga berdasarkan hal ersebu diperoleh persamaan sebagai beriku hu. T, sin T h, sin 8 Dengan menginga bahwa T T, cos T h, cos dengan kaa lain T T T T, cos T, dan T T h, cos T h, cos cos akni sesuai dengan persamaan 5, maka persamaan 8 dapa diuliskan kembali sebagai beriku sin sin hu. T T cos cos 9 Dengan menginga bahwa sin Tan, maka persamaan9 dapa diuliskan kembali sebagai cos hu. T an T an Perhaikan bahwa fungsi U, T an dan T an dapa didekai dengan hampiran T an U, T an U h,,dengan demikian persamaan beriku merepresenasikan kemiringan ali di saa sehingga dan dapa diuliskan kembali sebagai,, hu. TU, TU h, T U h U Berdasarkan persamaan ersebu dapa diemukan fungsi U sebagai beriku U T U h, U, Apabila diambil benuk limi lim U h h unuk persamaan, maka diperoleh T U h, U, T lim U 3 h h h 6

6 Jurnal Sains Maemaika dan Saisika, Vol. No. Juli 6 ISSN Berdasarkan persamaan 3 diperoleh benuk PDP Gelombang Homogen sebagai beriku T U U, U C U C T 4. PDP Gelombang Homogen Dalam Inerval Benuk umum persamaan Gelombang dalam inerval U C U,, dinaakan sebagai beriku U, f 5 U, g Benuk U, f dan U, g pada persamaan 5 merupakan sara awal unuk persamaan Gelombang pada inerval ang merepresenasikan solusi U, saa bernilai f dan urunan U, saa bernilai g. Lebih lanju, akan dicari solusi U, pada persamaan 5 ersebu. Unuk mencari solusi U, pada PDP Gelombang homogen, akandilakukan perubahan (ransformasi) koordina. Dengan memperhaikan fungsi konsan dan sepanjang kurva karakerisik d d diperoleh d b b ac C k 6 d a Dengan demikian persamaan karakerisik dari PDP Gelombang ini adalah c c Berdasarkan persamaan karakerisik U, sebagai beriku Berdasarkan persamaan beriku 7 7, maka dapa diperoleh urunaan fungsi U,,, U U U C U U U C U U C U U C U U 8 7 pula dapa diemukan urunan fungsi U, dan U, U, U U U U U, U U U U U 9 dan sebagai Berdasarkan hal ersebu, solusi umum PDP Gelombang Homogen dapa dicari dengan mensubsiusikan persamaan 8 dan9, akni U C U C U U C U U C U U U 4 C U C U C U CU 3 6

7 Jurnal Sains Maemaika dan Saisika, Vol. No. Juli 6 ISSN Berdasarkan persamaan 3, karena U C U, maka 4C U U. Dengan demikian solusi umum PDP Gelombang Homogen adalah sebagai beriku U, F G, 3 U F C G C Persamaan 3 merupakan solusi umum PDP Gelombang Homogen, lebih lanju dengan memandang sara awal ang diberikan akni U, f danu, g, maka akan dicari solusi khusus dari PDP Gelombang Homogen ersebu. Berdasarkan sara awal, diperoleh U, F G F G f 3 ' ' ' ' U, C F G C F G g Perhaikan U, dari persamaan 3, apabila variabel digani dengan s, maka diperoleh benuk sebagai beriku C F ' s G ' s g s g s F ' s G ' s C Inegralkan persamaan 33 kepada variabel s ds dengan selang,, maka diperoleh C C ' ' g sds F s G s ds g s ds k F G 34 Eliminasikan U,pada persamaan 3 dengan persamaan F sebagai beriku f k F g sds 35 Berdasarkan persamaan C 35, dapa diperoleh nilai G f F G sebagai beriku f k f g s ds C 34 sehingga diperoleh nilai f k g sds C Berdasarkan persamaan 35 dan36, diperoleh solusi khusus PDP Gelombang Homogen U, berdasarkan persamaan 3 adalah C C f C k f C k U, g sds g sds C C 36 C Yang dikenal dengan formula De Allember. f C f C g sds 37 C PDP Gelombang Homogen Dalam Inerval Dengan Sara Baas Dirichle Benuk umum persamaan Gelombang homogen dalam inerval dengan sara baas Dirichle dinaakan sebagai beriku C 6

8 Jurnal Sains Maemaika dan Saisika, Vol. No. Juli 6 ISSN U C U,,,,, U f U g U Sebelum mencari solusi PDP gelombang dengan sara baas Dirichle pada persamaan 38, perlu dikenalkan mengenai perluasan fungsi ganjil ang berkorespondensi dengan sara baas Dirichle. Perluasan fungsi ganjil didefinisikan sebagai,, 39, Berdasarkan hal ersebu solusi PDP Gelombang unuk sara baas Dirichle adalah C C C U, sds sds C 4 C Misalkan z s dz ds 4 dapa diuliskan kembali sebagai beriku, maka persamaan C C C, 4 U z dz s ds C C Lebih lanju misalkan z s, dz ds, maka solusi PDP Gelombang homogen dengan Dirichleadalah C C C U, sds C 4 PDP Gelombang Homogen Dalam Inerval Dengan Sara Baas Neumann Benuk umum persamaan Gelombang homogen dalam inerval dengan sara baas Neumann dinaakan sebagai beriku U C U,,,,, U f U g U Sebelum mencari solusi PDP Gelombang homogen dengan sara baas Neumann pada persamaan 43, perlu dikenalkan mengenai perluasan fungsi genap ang berkorespondensi dengan sara baas Neumann. Perluasan fungsi genap C didefinisikan sebagai,, 44, Berdasarkan hal ersebu solusi PDP Gelombang unuk sara baas Neumann adalah C C C U, s ds s ds C C 45 63

9 Jurnal Sains Maemaika dan Saisika, Vol. No. Juli 6 ISSN , maka persamaan C C, Misalkan z s dz ds 45 dapa diuliskan kembali sebagai beriku C U zdz sds C 46 C Unuk nilai z s dz ds 46 dapa diuliskan kembali sebagai, perhaikan bahwa persamaan beriku C C C C C U, sds sds sds C C C C C C sds sds C C C C C C sds sds sds C 47 C C C Berdasarkan persamaan 47, solusi PDP Gelombang homogen dengan sara baas Neumann adalah C C C U, sds sds C C C 47 C C C C sds sds C C Conoh penerapan. Diberikan fungsi PDP Gelombang dengan sara awal sebagai beriku U C U, U, U, cos enukan solusi PDP Gelombang U, ersebu Solusi C f C f C U, cos sds C C sin C sin C C sin C sin C C cos sin C C cos sin C C. Jika dan merupakan dua buah fungsi ganjil dari, unjukkan bahwa solusi U, juga merupakan fungsi ganjil dari unuk seiap Solusi 64

10 Jurnal Sains Maemaika dan Saisika, Vol. No. Juli 6 ISSN Jika dan merupakan dua buah fungsi ganjil dari, maka dan. Berdasarkan hal ersebu akan diunjukkan bahwau, U,. C U, C C sds C C C C C sd s C C C sd s C U, C C sd s C C C C C C Kesimpulan dan Saran Dalam peneliian ini dapa dirumuskan beberapa kesimpulan dan saran sebagai beriku: Kesimpulan. PDP Gelombang dapa dikaakan sebagai suau persamaan differensial parsial ang U, menjelaskan keadaan gelombang pada menjelaskan akivias gelombang. Solusi posisi saa.. Benuk umum PDP GelombangHompgen pada inerval diunjukkan pada persamaan 5 dengan solusina U, diunjukkan pada persamaan37 3. Benuk umum PDP Gelombang pada inerval dengan sara Dirichlediunjukkan pada persamaan 38 dengan solusina U, diunjukkan pada persamaan4 4. Benuk umum PDP Gelombang pada inerval dengan sara Neumanndiunjukkan pada persamaan 43 dengan solusina U, diunjukkan pada persamaan47 Saran. Perlu dikembangkan benuk umum PDP Gelombang Non homogen pada inerval besera solusi penelesaianna. Perlu dikembangkan benuk umum PDP Gelombang Non homogen pada inerval dengan sara baas Dirichle ang berkorespondensi dengan perluasan fungsi ganjil besera solusim penelesaianna 3. Perlu dikembangkan benuk umum PDP Gelombang Non homogen pada inerval dengan sara baas Neumann ang berkorespondensi dengan perluasan fungsi genap besera solusi penelesaianna 65

11 Jurnal Sains Maemaika dan Saisika, Vol. No. Juli 6 ISSN Dafar Pusaka [] Srauss, A., Waler. 8. Parial Differenial Equaions: an Inroducion. USA:John Wile &Sons [] Chasnov, R., Jeffre. 9. Inroducion o Differenial Equaions: Lecure Noes. Hong Kong: The Hong Kong Universi of Science and Technolog [3] Chipo, Michel. 8. Handbook of Differenial Equaions: Saionar Parial Differenial Equaions Volume 5. Amserdam: Elsevier [4] Deparemen Maemaika ITB.. Persamaan Differensial Parsial. Bandung:FMIPA ITB [5] Folland, G.B Lecures on Parial Differenial Equaions. Bomba: Taa Insiue of Fundamenal Research [6] Huner, K., John. 4. Noes on Parial Differenial Equaions. California: Deparmen of Mahemaics, Universi of California a Davis [7] Logan, J., David. Applied Parial Differenial Equaions: Second Ediions. New York: Springer-VerlagBerlin Heidelberg [8] Markowich. Peer. 7. Applied Parial Differenial Equaions: A Visual Approach. New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg [9] Miersemann, Erich.. Parial Differenial Equaions: Lecure Noes. Leipzig: Deparmen of Mahemaics Leipzig Universi [] Jeffre. Allan. 3. Applied Parial Differenial Equaions: an Inroducion. California: Elsevier Sciences [] Moore, Doug. 3. Inroducion o Parial Differenial Equaions. California: Deparmen Mahemaics of UCSB [] Pinchover & Rubinsen. 5. An Inroducion o Parial Differenial Equaions. London: Cambridge Universi Press [3] Yanovsk, Igor.5. Parial Differenial Equaions: Graduae Level Problems and Soluions. California: Deparmen of Mahemaics UCLA 66