PENGARUH KETIDAKPASTIAN HARGA OUTPUT DAN TINGKAT UPAH TERHADAP KEPUTUSAN INVESTASI OPTIMAL PERUSAHAAN ABSTRACT

Transkripsi

1 PENGARUH KETIDAKPASTIAN HARGA OUTPUT DAN TINGKAT UPAH TERHADAP KEPUTUSAN INVESTASI OPTIMAL PERUSAHAAN Tegun Jadida Efraim 1, Tumpal Parulian Nababan, Haposan Sirai 1 Mahasiswa Program Sudi S1 Maemaika Dosen Jurusan Maemaika Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam Universias Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 893 jegun@yahoo.com ABSTRACT This aricle discusses he effecs of fuure oupu price uncerainy and wage rae uncerainy on a firm s invesmen decision by assuming he compeiively riskneural whose purpose is o maximize he expeced value of a number of cash flow invesed. Opimal invesmen properies based on he average invesmen growh rae is affeced by he uncerainy of oupu price and wage raes. Changes in oupu prices have a posiive effec on invesmen while wage rae changes have a negaive impac on he invesed enerprise so ha i can be said wha he oupu price changes end o be accompanied by he change in he wage rae. Keywords: Uncerainy, oupu price, wage rae, invesmen decision, opimal invesmen ABSTRAK Arikel ini membahas enang pengaruh keidakpasian harga oupu dan ingka upah yang akan daang pada kepuusan invesasi perusahaan dengan asumsi perusahaan risk-neural dan kompeiif yang ujuannya memaksimumkan nilai harapan dari sejumlah cash flow yang diinvesasikan. Sifa invesasi opimal didasarkan pada raa-raa ingka perumbuhan invesasi yang dipengaruhi oleh keidakpasian harga oupu dan ingka upah. Perubahan harga oupu berpengaruh posiif pada invesasi sedangkan perubahan ingka upah berdampak negaif pada invesasi yang dianamkan perusahaan sehingga dapa dikaakan perubahan harga oupu cenderung diserai perubahaan ingka upah. Kaa kunci: Keidakpasian, harga oupu, ingka upah, kepuusan invesasi, invesasi opimal Reposiory FMIPA 1

2 1. PENDAHULUAN Dalam menjalankan perusahaannya, perusahaan berskala kecil, menengah maupun besar pasi akan melakukan ekspansi perusahaan guna memperbesar perusahaannya. Usaha ini dapa dilakukan dengan berbagai cara misalnya saja melakukan invesasi. Menuru Sunariyah [8, h. 4] invesasi adalah penanaman modal unuk sau aau lebih akiva yang dimiliki dan biasanya berjangka waku lama dengan harapan mendapakan keunungan dimasa-masa yang akan daang. Ada banyak pilihan invesasi yang dapa dilakukan oleh perusahaan, misalnya invesasi dalam benuk akiva rill, invesasi dalam benuk sura-sura berharga aaupun dalam benuk sekurias. Dalam pengambilan kepuusan invesasi ini idaklah semudah membalikkan elapak angan. Banyak fakor-fakor yang mempengaruhi pengambilan kepuusan invesasi suau perusahaan. Sau dari beberapa fakor yang paling mempengaruhi adalah fakor keidakpasian. Suau perusahaan dikaakan berada dalam kondisi keidakpasian (uncerainy condiion) apabila manajer idak dapa mendafarkan semua kejadian yang mungkin dihadapi di masa mendaang, dan idak dapa meneapkan probabilias dari berbagai kejadian yang mungkin erjadi. Beberapa dekade belakangan ini, elah banyak yang mempelajari bagaimana keidakpasian mempengaruhi kepuusan invesasi suau perusahaan. Conohnya saja, Harman [3] menelii pengaruh kenaikan keidakpasian harga oupu di masa yang akan daang, ingka upah dan biaya invesasi erhadap invesasi perusahaan, dan mengaakan bahwa invesasi sekarang idak akan menurun karena kenaikan keidakpasian harga oupu di masa yang akan daang sedangkan dalam arikel Huang [4], Huang menelii pengaruh kenaikan keidakpasian harga oupu dan ingka upah pada invesasi perusahaan dengan asumsi perusahaan risk-neural kompeiif dan yang menarik dari arikel Huang adalah Huang menemukan bahwa sifa invesasi opimal menghasilkan ingka perumbuhan proporsional dari invesasi yang diharapkan dimana invarian (ak berbeda) dari waku ke waku. Dalam arikel ini dibahas enang pengaruh keidakpasian harga oupu dan ingka upah erhadap kepuusan invesasi opimal perusahaan dengan asumsi perusahaan risk-neural dan kompeiif yang ujuannya memaksimumkan nilai harapan sekarang dari aliran dana dengan memilih enaga kerja L dan invesasi I, sehingga menghasilkan bahwa raa-raa ingka perumbuhan hasil pendapaan marjinal dari modal dan raa-raa ingka perumbuhan proporsional dari invesasi adalah konsan dari waku ke waku apabila idak berganung pada keidakpasian harga oupu dan ingka upah yang ernyaa mempunyai korelasi yang berbenuk linear.. MODEL KETIDAKPASTIAN Perusahaan dengan kondisi risk-neural dan kompeiif yang mana fungsi produksi sesuai dengan model fungsi konkaf sera fungsi biaya sesuai dengan model fungsi konveks. Unuk kesederhanaan dan pengoperasian, fungsi produksi diambil dari fungsi produksi Cobb-Douglass yang dinyaakan oleh Chiang [, h. 363] yaiu F (K, L) = AK ω L 1 ω, unuk 0 < ω < 1, (1) Reposiory FMIPA

3 dengan K, L, A, dan ω beruru-uru adalah besar modal, banyak enaga kerja, banyak eknologi, dan elasisias produksi. Jika A = 1, maka fungsi Cobb-Douglas pada persamaan (1) dapa diulis menjadi dengan syara F (K, L) = K ω L 1 ω, () i. ii. iii. iv. F (K, L) K > 0, F (K, L) L > 0, F (K, L) K < 0, F (K, L) L < 0, F (K, L) K L > 0, F (K, L) L K > 0, F (K, L) K L = F (K, L) L K ( ) F (K, L). F (K, L) F (K, L) 0. K L K L dan Tujuan perama perusahaan adalah memaksimumkan persamaan () yaiu memaksimumkan produksi. Kemudian fungsi biaya diambil dari benuk C(I) = υi ζ, unuk υ > 0, ζ > 1, (3) dengan υ, I, ζ, beruru-uru adalah harga pembelian, invesasi koor, elasisias biaya [4]. Fungsi biaya ersebu memenuhi syara i. Jika I = 0, maka C(0) = 0 dan ii. Jika I > 0, maka C(I) > 0 mengakibakan C (I) > 0 dan C (I) > 0, disamping ujuan perama perusahaan ialah memaksimumkan produksinya, perusahaan juga memiliki ujuan kedua adalah meminimumkan persamaan (3) yaiu meminimumkan biaya produksinya. Persamaan akumulasi modal pada waku didefinisikan dengan aau benuk lainnya adalah K = I δk, dk = (I δk )d, unuk 0 < δ < 1. (4) Perubahan harga oupu dan ingka upah yang erjadi diperusahaan berlangsung dengan cepa. Berdasarkan fakor ersebu dapa dikaakan bahwa perubahan harga oupu dan ingka upah mengikui gerak Brown, karena menuru Ross [7, h. 358] gerak Brown merupakan proses sokasik dimana suau perubahan erjadi dalam waku yang cukup singka sehingga akibanya Huang [4] memodelkan sifa Reposiory FMIPA 3

4 sokasik dari harga oupu p dan ingka upah w pada waku yang menyaakan ingka imbal hasil (reurn) dari masing-masing harga oupu dan ingka upah yaiu dp = v 1 d σ 1 dw 1, p (5) dw = v d σ dw. w (6) yang mana dw 1 dan dw merupakan dua proses Wiener dengan raaan nol dan variansi sau, v 1, v menyaakan masing-masing adalah ingka inflasi unuk harga oupu dan ingka upah, dan σ 1, σ beruru-uru ialah volailias unuk harga oupu dan ingka upah. Kemudian, v 1, v, σ 1, σ adalah konsana idak nol. Disamping iu, asumsikan bahwa dw 1 dan dw berkorelasi sehingga diperoleh benuk E[dW 1 dw ] = ρ 1 d, unuk 0 ρ 1 1, (7) dengan ρ 1 koefisien korelasi unuk dua proses Wiener dw 1 dan dw, E adalah ekspekasi operaor [5, h. 483]. Kemudian auran humb nya adalah [9, h. 90] i. (dw 1 ) = d, (dw ) = d, ii. E (dw ) = (d), E (dw ) = ddw, E (dw ) = 0, iii. (d) = (d)(dw 1 ), (d) = (d)(dw ), (d) = 0, (d)(dw ) = 0, dan iv. dw 1 dw = ρ 1 d. Tujuan perusahaan risk-neural dan kompeiif adalah unuk memaksimumkan nilai harapan sekarang Ψ dari aliran dana (cash flow) dengan memilih enaga kerja L dan invesasi I. Secara maemaika, masalah opimal dapa dinyaakan sebagai Ψ(K, p, w ) = max Ls,Is E (p s Ks ω L 1 ω s w s L s υis ζ )e β(s ) ds, s, (8) dengan kendala pada persamaan (4), (5), (6), dan (7). Kemudian β > 0 adalah ingka diskon. Toal keunungan raa-raa yang diinginkan oleh perusahaan pada waku inerval d, apabila perusahaan mensyarakan ingka keunungan raa-raa β adalah memaksimumkan hasil jumlah dari aliran dana dengan ekspekasi keunungan aau kerugian yang dapa dimodelkan sebagai beriku βψd = max(p K ω L 1 ω w L υi ζ )d E (dψ), (9) dengan p K ω L 1 ω w L υi ζ dan E (dψ) adalah masing-masing aliran dana dan ekspekasi keunungan aau kerugian. Dalam kaa lain, ari opimal ialah raaraa keunungan sama dengan nilai ekspekasinya. Akibanya, unuk mengeahui opimal dari keunungan berinvesasi dapa diukur melalui ingka invesasi opimal beriku. Reposiory FMIPA 4

5 Proposisi 1 [4] Tingka invesasi opimal perusahaan I dapa dinyaakan sebagai beriku ( χ1 p 1/ω ) 1/(ζ 1) I =, (10) χ υζ dengan χ 1 = ω(1 ω) (ω 1)/ω, (11) χ = β δ v 1 (ω 1)v (1 ω)(σ 1 σ σ 1 σ ρ 1 ). (1) ω ω Buki: Perama, klaim bahwa lema Iô dapa digunakan erhadap persamaan () sampai (4), (5) dan (6). Selanjunya, erapkan lema Iô unuk menghiung keunungan aau kerugian modal dψ diperoleh dψ = Ψ K dk Ψ p dp Ψ w dw Ψ w (dw ) Ψ K (dk ) Ψ p (dp ) Ψ (dp )(dk ) Ψ (dw )(dk ) p K w K Ψ p w (dp )(dw ). (13) Dengan mensubsiusikan persamaan (4), (5) dan (6) ke dalam persamaan (13), kemudian dengan memanggil kembali auran humb bahwa (d) = 0, (d)(dw 1 ) = 0, (d)(dw ) = 0, dw 1 dw = ρ 1 d, (dw 1 ) = d, (dw ) = d diperoleh [ dψ = (I δk ) Ψ σ Ψ Ψ 1p Ψ p v 1 p v w K p w σw Ψ w σ 1 σ ρ 1 p w ]d. (14) Selanjunya karena E (dψ) = dψ sehingga akibanya dengan mensubsiusikan persamaan (14) ke dalam persamaan (9) diperoleh [ βψ =max p K ω L 1 ω w L υi ζ (I δk ) Ψ Ψ Ψ v 1 p v w K p w σ1p Ψ σ p w Ψ ] w Ψ σ 1 σ ρ 1 p w. (15) p w Unuk memaksimumkan enaga kerja L dapa dilakukan dengan perhiungan yang mudah pada persamaan (15) menghasilkan max L (p K ω L 1 ω w L ) = χ 1 p 1/ω K, (16) Reposiory FMIPA 5

6 dengan χ 1 = ω(1 ω) (ω 1)/ω dan χ 1 p 1/ω dari modal. Kemudian urunkan persamaan (15) erhadap I, diperoleh adalah hasil pendapaan marjinal Ψ K = υζi ζ 1, (17) dari persamaan (17), erliha bahwa ingka invesasi opimal sedemikian bahwa biaya marjinal dari invesasi sama dengan nilai marjinal dari modal. Lalu, dengan mensubsiusikan persamaan (16) dan (17) ke dalam persamaan (15) diperoleh βψ =χ 1 p 1/ω ( Ψ K χ 3 K σ Ψ 1p Ψ p v w w ) ζ/(ζ 1) Ψ Ψ δk v 1 p K p σw Ψ w σ 1 σ ρ 1 p w Ψ p w, (18) dengan χ 3 = υ(ζ 1)(υζ) ζ/(1 ζ) dan χ 1 pada persamaan (11). Seperi dikeahui bahwa dapa diulis kembali persamaan (17) dan (18) sebagai persamaan diferensial parsial orde dua, meskipun persamaan ersebu idak memiliki solusi secara umum. Namun, solusi eksplisi dapa dijadikan sebagai asumsi. Caa bahwa dapa dibukikan bahwa erdapa Ψ(K, p, w ) memenuhi persamaan diferensial parsial orde-kedua ak linear. Solusi eksplisi ersebu adalah Ψ(K, p, w ) = λ 1 p a w b K λ p m w n, (19) dengan λ 1, λ, a, b dan m, n adalah koefisien ak enu. Lalu, dengan melakukan urunan perama dan urunan kedua erhadap nilai harapan sekarang Ψ(K, p, w ) pada persamaan (19) erhadap masing-masing variabel bebasnya sehingga diperoleh Ψ = λ 1 p a w K, b (0) Ψ = aλ 1 p a 1 w p K b mλ p m 1 w n, (1) Ψ p = a(a 1)λ 1 p a wk b m(m 1)λ p m w n, () Ψ = bλ 1 p a w b 1 K nλ p m w n 1, w (3) Ψ = b(b 1)λ 1 p a w b K n(n 1)λ p m w n, (4) w Ψ = abλ 1 p a 1 p w w b 1 K mnλ p m 1 w n 1. (5) Dengan menerapkan meode koefisien ak enu, dan kemudian dengan mensubsiusikan persamaan (0) sampai (5) ke dalam persamaan (18) diperoleh Ψ = χ 1 p 1/ω χ K χ 4 p ζ/ω(ζ 1) w ζ(ω 1)/ω(ζ 1), (6) Reposiory FMIPA 6

7 dengan χ 4 = β (v 1 v ωv )ζ ω(ζ 1) χ 3 (χ 1 /χ ) ζ/(ζ 1) Aζσ 1 Bζσ ρ 1 (ω 1)ζ σ 1 σ ω(ζ 1), (7) A = (ω ζ ωζ), B = (ω ω ωζ ζ), χ 1 pada persamaan (11), χ pada persamaan (1) dan χ 3 = υ(ζ 1)(υζ) ζ/(1 ζ). Lalu, urunkan persamaan (6) erhadap K diperoleh Ψ K = χ 1 p 1/ω χ. (8) Kemudian dengan mensubsiusikan persamaan (8) ke dalam persamaan (17) menghasilkan ( χ1 p 1/ω ) 1/(ζ 1) I =. χ υζ Dari persamaan (6) erliha bahwa nilai perusahaannya adalah fungsi linear dari saham modal K sedangkan persamaan (10) erliha bahwa ingka invesasi opimal idak berganung pada K sehingga akibanya naik bersamaan dengan p dan urun bersamaan dengan w dikarenakan adanya elasisias produksi dan elasisias biaya yaiu 0 < ω < 1 dan ζ > PENGARUH DARI KETIDAKPASTIAN PADA INVESTASI Selanjunya dianalisa pengaruh kualiaif dari keidakpasian harga dan upah pada invesasi, diberikan nilai sekarang dari harga oupu p dan ingka upah w. Proposisi [4] Jika ϵ 1 ϵ > ρ 1 ( (σ 1 ϵ 1)(σ ϵ ) σ 1 σ ), maka kenaikan pada keidakpasian harga oupu dan ingka upah bersamaan akan menghasilkan pengaruh posiif pada ingka invesasi opimal I. Kebalikannya, jika ϵ 1 ϵ < ρ 1 ( (σ 1 ϵ 1)(σ ϵ ) σ 1 σ ), maka kenaikan pada dua keidakpasian akan berpengaruh negaif pada ingka invesasi opimal, sedangkan jika ϵ 1 ϵ = ρ 1 ( (σ 1 ϵ 1)(σ ϵ ) σ 1 σ ), maka idak ada pengaruh dari perubahan dua keidakpasian erhadap invesasi. ϵ 1, ϵ masing-masing adalah flukuasi keidakpasian yang dinoasikan dengan σ 1, σ. σ 1, σ yang mana masing-masing berpadanan dengan p, w. Buki: Unuk menganalisa pengaruh dari keidakpasian pada sifa invesasi, erlebih dahulu enukan pengaruh dari keidakpasian pada ξ = χ 1 p 1/ω, χ karena I pada persamaan (10) hanya berganung pada ξ. Kemudian dengan subsiusikan persamaan (11) dan (1) ke dalam persamaan (10) menghasilkan ( I = [ υζ β δ v 1 (ω 1)v ω ω(1 ω) (ω 1)/ω p 1/ω (1 ω)(σ 1 σ σ 1 σ ρ 1 ) ω ]) 1/(ζ 1) (9) Reposiory FMIPA 7

8 pada persamaan (9), fokuskan syara hanya pada perubahan dari σ 1σ σ 1 σ ρ 1. Lalu dengan mudah menganalisa, bahwa erliha perubahan keidakpasian dari harga oupu dan ingka upah bersama-sama akan menghasilkan naik pada ingka invesasi opimal I apabila σ 1 ϵ 1 σ ϵ ρ 1 ( (σ 1 ϵ 1)(σ ϵ ) ) > σ 1 σ σ 1 σ ρ 1, aau dapa juga diulis ϵ 1 ϵ > ρ 1 ( (σ 1 ϵ 1)(σ ϵ ) σ 1 σ ). Dengan cara yang sama, perubahan dua keidakpasian akan menghasilkan penurunan pada ingka invesasi opimal perusahaan I apabila Kemudian, apabila sepanjang ϵ 1 ϵ < ρ 1 ( (σ 1 ϵ 1)(σ ϵ ) σ 1 σ ). ϵ 1 ϵ = ρ 1 ( (σ 1 ϵ 1)(σ ϵ ) σ 1 σ ), maka perubahan keidakpasian idak berpengaruh apa-apa erhadap sifa invesasi. Remark 1[4] Kesimpulan pada Proposisi memenuhi sepanjang ζ > 1, eapi idak pada fungsi penyesuaian biaya marjinal yaiu konveks (ζ > ), konkaf (ζ < ), aau linear (ζ = ). Selanjunya, dijelaskan pengaruh keidakpasian pada invesasi. Unuk mencapai ujuan perusahaan dengan asumsi risk-neural kompeiif digunakan simulasi pada arikel Huang [4] yang disebukan pada persamaan (16) bahwa χ 1 p 1/ω hasil pendapaan marjinal dari modal (seelah M ), sehingga E (M s ) = χ 1 E (p 1/ω s E (M s ) = χ 1 p 1/ω ( v1 (ω 1)v (1 ω)(σ 1 σ σ 1 σ ρ 1 ) ω e s ), karena E (p s ) = p, unuk s adalah ω )(s ). (30) Gunakan persamaan (5) sampai (7) unuk memperoleh persamaan yang kedua yang disebu sebagai nilai harapan dari hasil pendapaan marjinal dari modal yaiu ξ = E (M s )e (βδ)(s ) ds. (31) Kemudian dengan mensubsiusikan persamaan (30) ke dalam persamaan (31) diperoleh ξ = χ 1 p 1/ω, (3) χ dari persamaan (31) dan persamaan (3) dapa dikaakan bahwa pengaruh keidakpasian invesasi dengan ari pengaruh nilai harapan dari hasil pendapaan marjinal dari modal yang akan daang. Sifa pergerakan dari invesasi akan diberikan pada Proposisi beriku ini Reposiory FMIPA 8

9 Proposisi 3 [4] Sifa invesasi opimal adalah raa-raa ingka perumbuhan proporsional invesasi (konsana idak nol secara umum) yang mana konsan dari waku ke waku. Buki: Terapkan lema Iô erhadap persamaan (3) menghasilkan dξ ξ = 1 dp ω 1 ω p ω ω 1 ω dw w 1 ω ω ( ) dp 1 ω ( dw p ω dp p dw w. (33) w ) Kemudian dengan mensubsiusikan persamaan (5) dan (6) ke dalam persamaan (33) diperoleh 1 d E dξ = v 1 (ω 1)v (1 ω)(σ 1 σ σ 1 σ ρ 1 ). (34) ξ ω ω Selanjunya dengan menerapkan lema Iô erhadap persamaan (10) diperoleh di 1 = I ω(ζ 1) dp ω 1 dw p ω(ζ 1) (1 ω)(1 ωζ ω) ω (ζ 1) 1 ω ωζ ( ) dp w ω (ζ 1) p ( ) dw ω 1 ( )( dp dw w ω (ζ 1) p w ). (35) Kemudian dengan mensubsiusikan persamaan (5) dan (6) ke dalam persamaan (35) diperoleh 1 d E di = (1 ω ωζ)σ 1 (1 ω)(1 ωζ ω)σ (ω 1)σ 1 σ ρ 1 I ω (ζ 1) v 1 (ω 1)v. (36) ω(ζ 1) Dari persamaan (34) dan persamaan (36), erliha bahwa kedua raa-raa ingka perumbuhan yaiu raa-raa ingka perumbuhan hasil pendapaan marjinal dari modal dan raa-raa ingka perumbuhan proporsional dari invesasi adalah konsan dari waku ke waku. Dalam ari lain, dua raa-raa ingka perumbuhan ersebu adalah nol dalam kasus anpa keidakpasian. 4. KESIMPULAN Dengan sumber meode yang diberikan oleh Abel [1] dan Pindyck [6] sehingga dapa disimpulkan bahwa apabila diberikan nilai sekarang dari harga oupu dan ingka upah maka flukuasi keidakpasian harga oupu dan ingka upah bersama-sama akan menghasilkan pengaruh posiif pada ingka invesasi opimal I jika ϵ 1 ϵ > ρ 1 ( (σ 1 ϵ 1)(σ ϵ ) σ 1 σ ), sedangkan flukuasi keidakpasian akan berpengaruh negaif pada ingka invesasi opimal jika ϵ 1ϵ < ρ 1 ( (σ 1 ϵ 1)(σ ϵ ) Reposiory FMIPA 9

10 ) σ 1 σ, dan idak ada pengaruh apa-apa dari flukuasi keidakpasian pada invesasi ( ) sepanjang ϵ 1 ϵ = ρ 1 (σ 1 ϵ 1)(σ ϵ ) σ 1 σ. Dengan ϵ 1, ϵ masing-masing adalah keidakpasian harga oupu σ1 dan keidakpasian ingka upah σ. Raa-raa ingka perumbuhan marjinal dari modal dan raa-raa ingka perumbuhan proporsional dari invesasi keduanya ak berbeda dari waku ke waku. Selain iu, berdasarkan persamaan (34) dan (36), erliha bahwa raa-raa ingka perumbuhan marjinal dari modal dikalikan elasisias invesasi erhadap nilai marjinal modal yaiu adalah sama dengan ingka perumbuhan keika fungsi 1 ζ 1 biaya penyesuaian linear (ζ = ). DAFTAR PUSTAKA [1] Abel, A. B. Opimal Invesmen under Uncerainy. American Economic Review, 73: [] Chiang, A. C. & K. Wainwrigh Dasar-Dasar Maemaika Ekonomi Jilid 1, Edisi Keempa. Dierjemahkan oleh: S. Sudigno & Narano. Penerbi Erlangga, Jakara. [3] Harman, R The Effecs of Price and Cos Uncerainy on Invesmen. Journal of Economic Theory, 5: [4] Huang, J Opimal Invesmen under Price and Wage Uncerainy. Journal of Mahemaical Finance, 3: [5] Hull, J. C Opions, Fuure and Oher Derivaives, 7 h Ed. Prenice Hall, New Jersey. [6] Pindyck, R. S Adjusmen Cos, Demand Uncerainy, and he Behavior of he Firm. American Economic Review, 7: [7] Ross, S. M Sochasics Processes, nd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [8] Sunariyah Penganar Pengeahuan Pasar Modal, Edisi Keiga. Uni Penerbi & Perceakan (UPP) AMP YKPN, Yogyakara. [9] Wilmo, P., S. Howinson, & J. Dewynne The Mahemaics of Financial Derivaives: A Sudens Inroducion. Cambridge Universiy Press, Cambridge. Reposiory FMIPA 10