PR2 Pengantar Geometri Diferensial (MA3401) - September 2011 = 1 0. x 2. x

Transkripsi

1 Muhammad Ridwan Reza Nugraha PR Penganar Geomeri Diferensial MA0 - Sepember 0. Misal RM adalah grup ranformasi kaku rigid moion di R. Apakah grup ini komuaif? Jika ya unjukkan, jika idak berikan conoh penyangkal. Jawab [ ] : Ambil sembarang x R x, misalkan x x Pilih M T 0, R π x dan M T,0 R π x [ ] [ ] [ ] 0 x x R π x 0 x x [ ] [ ] [ ] 0 x x R π x 0 x x maka sehingga dan [ ] [ ] x x + M T 0, R π x T,0 x x [ ] x M M x M x + [ ] x + + x [ ] x + [ ] [ ] [ ] x + x x M M x M x x + + x + x Karena M M x M M x unuk seiap xdir erbuki bahwa RM bukan grup Komuaif.. Suau kurva laju sauan γ memiliki sifa bahwa vekor singgungnya membenuk suau sudu θ dengan γs unuk seiap s. Tunjukkan bahwa a Jika θ 0, maka γ adalah bagian dari garis lurus. Karena θ 0, maka γ segaris dengan. Misalkanγ r dengan r suau fungsi skalar, maka Karena ṫ K s n s, maka Karena n s dan, maka.n s 0 sehingga γ ṙ + rṫ ṙ + rk s n s.n s r.n s + rk s n s.n s 0 rk s Akibanya K s 0 karena K K s 0, maka erbuki bahwa γ adalah bagian dari garis lurus. b Jika θ π, maka γ adalah bagian dari lingkaran. Karena θ π, maka γ sehingga γ segaris dengan n s Misalkan γ rn s dengan r suau fungsi skalar, maka γ ṙn s + rn s... Karena n s dan ṫ, maka.n s 0. Turunkan kedua ruas persamaan erakhir diperoleh Karena ṫ K s n s, maka ṫn s + n s 0. n s ṫn s K s n s.n s K s

2 Karena n s.n s, maka n s. n s 0 sehingga n s n s. Karena n s dan n s n s, maka segaris dengan n s. Misalkan a suau fungsi skalar, maka Sehingga n s K s Subsiusi n s K s ke persamaan diperoleh a a. n s.ṫ K s ṙn s K s r... Kalikan kedua ruas persamaan dengan n s diperoleh ṙ 0 sehingga r adalah konsana. Kalikan kedua ruas persamaan dengan diperoleh K s r. Karena K K s r dengan r adalah konsana, maka erbuki bahwa γ adalah bagian dari lingkaran. c Jika 0 < θ < π, maka γ adalah logarimik spiral Tunjukkan bahwa K s n s γ s cos θ θ Berdasarkan gambar, maka dapa diuliskan γ r cos θ + n s sin θ γ ṙ cos θ + n s sin θ + rṫ cos θ + n s sin θ i.. ṙ cos θ + n s sin θ + rṫ cos θ + n s sin θ ṫ cos θ + n s sin θ K s n s cos θ K s sin θ ṙ cos θ + n s sin θ ii..n s ṙ cos θ + n s sin θn s + rk s n s cos θ K s sin θn s 0 ṙ sin θ + rk s cos θ Kalikan persamaan dengan sin θ dan dengan cos θ, lalu dikurangkan, akan diperoleh sin θ rk s K s sin θ r Kalikan persamaan dengan cos θ dan dengan sin θ, lalu dikurangkan, akan diperoleh cos θ r r s cos θ + c Asumsikan c 0 dengan menambahkan konsana yang bersesuaian pada s Dengan demikian, sin θ s cos θ s cos θ Kesimpulan : γ merupakan logarimik spiral. Hiung K, τ,, n, dan b. Lalu unjukkan persamaan Frene-Serre erpenuhi a γ γ γ... γ +,, +,, +,, 0 8 +, 8, 0 Periksa apakah γ merupakan kurva laju sauan γ Kesimpulan : γ merupakan kurva laju sauan

3 Karena γ kurva laju sauan, maka K γ γ +,, n ṫ K γ k +,, 0, +, b n i j k ,, Akan diunjukkan persamaan Frene-Serre erpenuhi i. ṫ Kn ṫ γ +,, 0 8, +, 0 Kn ii. ṅ, +, K + τb +,, 0 +,, + +, +,, +, 8 +,,

4 iii. ḃ +, 8, 0, +, 0 τn τ n.ḃ, +, 0. +,, Terbuki memenuhi persamaan Frene - Serre b γ 5 cos, sin, 5 cos γ 5 sin, cos, 5 sin γ 5 cos, sin, 5 cos... γ 5 sin, cos, 5 sin Periksa apakah γ merupakan kurva laju sauan 6 γ 5 sin + cos sin Kesimpulan : γ merupakan kurva laju sauan Karena γ kurva laju sauan, maka K γ 6 5 sin + cos sin γ 5 sin, cos, 5 sin n ṫ K γ k 5 cos, sin, 5 cos 5 cos, sin, 5 cos i j k b n 5 sin cos 5 sin 5 cos sin 5 cos 5, 0, 5 Akan diunjukkan persamaan Frene-Serre erpenuhi i. ṫ Kn ṫ γ 5 cos, sin, 5 cos. 5 cos, sin, 5 cos Kn ii. ṅ 5 sin, cos, 5 sin 5 sin, cos, 5 sin + 0 K + τb

5 iii. ṅ ṫ 0 0 Jadi ṅ 0 0 n ḃ b 5, 0, 5 0, 0, 0 τn τ n.ḃ 5 cos, sin, 5 cos. 0, 0, Terbuki memenuhi persamaan Frene - Serre +. Tunjukkan Kurva γ, +, merupakan kurva planar γ +, +, γ,, γ, 0,... γ 6, 0, 6 akan dihiung γ γ.... γ i j k γ γ 0 γ γ.... γ,,,, Karena γ γ.... γ 0, maka τ γ γ... γ γ γ 0 Terbuki kurva γ merupakan kurva planar.. 6, 0, 6 5. Terdapa sebuah marix berukuran x dengan a ij a ji unuk semua j dan i. Misalkan v, v, v fungsi mulus dengan parameer s yang memenuhi persamaan. v i σ j a ij v j Pada s 0, v s 0, v s 0, v s 0 oronormal. Bukikan v, v, v oronormal unuk semua s.cari sisem persamaan diferensial yang memenuhi do produk v i, v j, dan gunakan faka bahwa sisem adi memeiliki solusi yang unik unuk beberapa kondisi Jawab : Misalkan λ ij V i.v j Akan dibukikan a ij a ji 0 λ ij V i.v j V i V j + V i Vj σ ka ik V j Vj + V i σ k a jk V k σ ka ik V k Vj + V i σ k a jk V k σ ka ik λ kj + σ ka jk λ ik σ k a ik λ kj + a jk λ ik λ ij σ k a ik λ kj + a jk λ ik 5

6 Solusi persamaan diferensial diperoleh apabila λ ij δ ij dengan δ ij 0 unuk i j dan δ ij unuk i j Tinjau *, ulis dalam benuk lain λ ij a ij λ ii + a ijλjj+σ k,k j a ikλ kj +σ k,k i a jkλ ik karena λ ij δ ij 0 dan λ ii λ jj maka a ij + a ji 0 6