PENGGUNAAN RATA-RATA GEOMETRIK DALAM MENENTUKAN HARGA OPSI ASIA (STUDI KASUS PADA SAHAM THE WALT DISNEY COMPANY )

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 2 Hal ISSN : c Juruan Matematika FMIPA UNAND PENGGUNAAN RATA-RATA GEOMETRIK DALAM MENENTUKAN HARGA OPSI ASIA (STUDI KASUS PADA SAHAM THE WALT DISNEY COMPANY ELISA SRI HASTUTI, DODI DEVIANTO Program Studi Matematika, Fakulta Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Univerita Andala, Kampu UNAND Limau Mani Padang, Indoneia, eliarihatuti@yahoo.co.id, ddevianto@fmipa.unand.ac.id Abtrak. Opi Aia adalah opi dimana payoff bergantung pada rata-rata harga aet (aham elama opi terebut berlaku. Dalam menentukan harga opi Aia dapat digunakan rata-rata geometrik. Ketika harga aham berditribui lognormal, maka rata-rata geometrik harga ahamnya juga berditribui lognormal. Hal ini mengakibatkan dalam menentukan harga opi Aia dapat diperoleh dengan kerangka Black-Schole. Rata-rata harga aham dengan menggunakan rata-rata geometrik terebut dapat dihitung pada waktu jatuh tempo. Perubahan harga aham berubah ecara acak menurut waktu. Perubahan terebut dapat diaumikan mengikuti gerak Brown yang bergantung kepada waktu. Perhitungan harga opi aham The Walt Diney Company untuk periode 1 Maret 2013 ampai 1 Maret 2014 diperoleh perbedaan antara harga opi yang dihitung dengan model Black-Schole dan harga opi di paaran yang cukup ignifikan. Kata Kunci: Opi Aia, rata-rata geometrik, lognormal, Black-Schole 1. Pendahuluan Dalam berinvetai, invetor memiliki pilihan untuk membeli aet yang ecara langung diperdagangkan pada paar keuangan atau membeli derivai/turunan dari aet terebut. Aet yang merupakan turunan dari aet lain diebut dengan aet derivatif. Beberapa aet derivatif antara lain: kontrak berjangka (future contract, kontrak forward, dan kontrak opi. Namun aet derivatif yang banyak dikenal dan diperdagangkan adalah kontrak opi. Kontrak opi adalah uatu jeni kontrak atau perjanjian antara dua pihak, yang mana alah atu pihak memberikan hak (bukan kewajiban kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aet tertentu pada harga dan periode tertentu [5. Berdaarkan waktu pelakanaannya, opi dapat dibedakan menjadi menjadi opi Eropa (European option dan opi Amerika (American option [3. Opi yang hanya dapat dilakukan pada tanggal jatuh tempo diebut opi Eropa. Opi yang dapat dilakukan kapan aja hingga tanggal jatuh tempo diebut opi Amerika [2. Berdaarkan jeni hak yang diberikan, opi dapat dibedakan menjadi dua yaitu opi call dan opi put. Opi call adalah uatu tipe kontrak yang memberikan hak kepada pemegang opi untuk membeli dari penjual opi ejumlah lembar aham tertentu pada harga dan jangka waktu tertentu. Opi put merupakan opi yang 44

2 Penggunaan Rata-rata Geometrik dalam Menentukan Harga Opi Aia 45 memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual aham dalam jumlah tertentu kepada pembeli opi pada waktu dan harga yang telah ditentukan. Selain berdaarkan jeni hak yang diberikan dan waktu pelakanaannya, opi juga dapat dibedakan berdaarkan harga pelakanaannya. Terdapat opi dimana payoff tidak hanya bergantung pada harga aet pada aat pelakanaannya, tetapi juga bergantung pada harga-harga aet elama maa berlaku opi. Opi ini diebut dengan path-dependent option atau dikenal juga dengan opi ekotik (exotic option. Salah atu contoh dari opi ekotik adalah opi Aia. Opi Aia adalah opi dimana payoff bergantung pada rata-rata harga aet elama opi terebut berlaku. Dalam menentukan harga opi Aia, baik opi call maupun opi put, digunakan rata-rata geometrik. Ketika harga aham berditribui lognormal, maka rata-rata geometrik harga ahamnya juga berditribui lognormal. Hal ini mengakibatkan rata-rata geometrik memenuhi alah atu aumi dari model Black-Schole, yaitu harga aham yang digunakan berditribui lognormal. Rata-rata harga aham yang menggunakan rata-rata geometrik terebut dapat dihitung pada waktu jatuh tempo, ehingga dalam penulian ini akan dibaha waktu pengekekuian opi Aia menggunakan European tyle (opi Eropa. Harga opi merupakan keuntungan yang diperoleh pembeli opi. Harga opi terebut dipengaruhi oleh harga aham yang dijadikan daar pada aat perjanjian antara pemegang opi dan pembeli opi. Perubahan harga aham berubah ecara acak menurut waktu. Perubahan terebut dapat diaumikan mengikuti gerak Brown yang bergantung kepada waktu ehingga dapat ditentukan model untuk harga aham yang dikenal dengan model Black-Schole. Oleh karena itu, dalam paper ini akan dijelakan penggunaan rata-rata geometrik dengan pendekatan kerangka Black-Schole dalam menentukan harga opi Aia erta penerapan model harga opi Aia terebut pada data harga penutupan aham The Walt Diney Company. 2. Model Harga Saham Perubahan harga aham terjadi ecara acak menurut waktu ehingga dapat diaumikan ebagai uatu proe tokatik. Mialkan S(t merupakan harga aham pada aat t mengikuti proe Wiener, maka berdaarkan [4, S(t dapat dikembangkan menjadi peramaan pada proe Ito, ehingga model perubahan harga aham terebut adalah: ds(t µs(tdt + σs(tdw (t, dengan µs(tdt adalah komponen determinitik, σs(tdw (t adalah komponen tokatik, dan W (t adalah proe Wiener. Dalam hal ini, µ menyatakan rata-rata pertumbuhan harga aham dan σ menyatakan volatilita harga aham terebut. Berdaarkan [2, mialkan t [0, dan S(t memenuhi peramaan diferenial tokatik ds(t µs(tdt + σs(tdw (t, maka peramaan diferenial tokatik bagi fungi X(t f(s(t, t dapat dinyatakan dalam bentuk: dx(t ( µs(t f + f t σ2 S(t 2 2 f 2 dt + σs(t f dw (t.

3 46 Elia Sri Hatuti, Dodi Devianto 3. Karakteritik Rata-rata Geometrik dalam Opi Aia Berdaarkan [1 diketahui bahwa peramaan harga aham: S(t i+1 S(t i exp ((r 12 σ2 t + σ tz i ( S(ti+1 ln (r 1 S(t i 2 σ2 t + σ tz i. Payoff pada opi Aia bergantung kepada rata-rata harga aham. Oleh karena itu harga aham pada aat jatuh tempo, yaitu S(t, dapat diubtituikan dengan ratarata geometrik yang dinotaikan dengan G ( n i1 S(t i 1 n. Perhatikan bahwa n i1 S(t i merupakan perkalian harga aham pada waktu t i, ehingga diperoleh: n S(t i S(t 1 S(t 2 S(t n 1 S(t n S(t n S(t n 1 S(t 2 S(t 1, i1 dengan t i i t dan n t T. Dengan manipulai aljabar, maka peramaan di ata menjadi: n ( 1 ( 2 ( n 1 ( n S(tn S(tn 1 S(t2 S(t1 S(t i (S(t 0 n S(t i1 n 1 S(t n 2 S(t 1 S(t 0 n i1 S(t ( 1 ( 2 ( n 1 ( n i (S(t 0 n S(tn S(tn 1 S(t2 S(t1. S(t n 1 S(t n 2 S(t 1 S(t 0 Pada aat t 0, mialkan S(t 0 maka diperoleh: ( n i1 ln S(t ( ( i S(tn S(tn 1 ( n ln + 2 ln S(t n 1 S(t n 2 ( S(t1 +n ln ((r 12 σ2 t + σ ( tz n σ tz n (n 1 ln (r 1 2 σ2 t+ ((r 12 σ2 t + σ tz 0. ( S(t2 S(t 1 Harga aham pada aat jatuh tempo T berditribui lognormal. Oleh karena itu akan ditentukan nilai karakteritik, yaitu nilai tengah dan varian dari rata-rata geometrik. (1 Nilai tengah dari rata-rata geometrik [ ( ( n i1 E ln S(t i 1 n (2 Varian dari rata-rata geometrik [ ( ( n i1 V ar ln S(t i 1 n (n + 1 2n (r 12 σ2 T. (n + 1(2n + 1 6n 2 σ 2 T.

4 Penggunaan Rata-rata Geometrik dalam Menentukan Harga Opi Aia 47 Mialkan dinotaikan ˆσ 2 σ2 (n+1(2n+1 6n dan ˆµ ˆσ2 + ( r 1 2 σ2 (n+1 ( 2n, maka ln S(t berditribui normal dengan nilai tengah m ln + ˆµ ˆσ2 2 T dan tandar deviai. 4. Pembentukan Formula Black-Schole untuk Menentukan Harga Opi Call dan Opi Put Aia dengan Menggunakan Rata-rata Geometrik Pembentukan formula Black-Schole untuk menentukan harga opi call dan opi put Aia dengan menggunakan rata-rata geometrik akan merujuk berdaarkan [2. Nilai ebuah payoff opi call adalah: ( n C e rt E max S(t i i1 1 n K, 0 e rt E[max(S(t K, 0. (4.1 Jika menggunakan definii nilai harapan, maka peramaan (4.1 menjadi: E[max(S(t K, 0 0 K max(s(t K, 0g(S(tdS(t max(s(t K, 0g(S(tdS(t, (4.2 dengan g(s(t adalah fungi kepekatan peluang dari S(t. Berdaarkan karakteritik rata-rata geometrik ( harga aham, ln S(t berditribui normal dengan nilai tengah m ln + ˆµ ˆσ2 2 T dan tandar deviai. Selanjutnya didefiniikan ebuah peubah: Q ln S(t m. (4.3 Subtituikan nilai tengah m dan tandar deviai ke peramaan (4.3 maka diperoleh peramaan ebagai berikut. Q 1 ˆσ 1 (ln S(t ln (ˆµ T ˆσ ˆσ2 T. (4.4 T 2 Selanjutnya akan ditentukan nilai nilai tengah dan varian dari Q, ( 1 E(Q E ˆσ 1 (ln S(t ln (ˆµ T ˆσ ˆσ2 T T 2 ( 1 E ˆσ (ln S(t ln 1 (ˆµ T ˆσ ˆσ2 T 0. T 2 Kemudian ditentukan nilai varian dari Q, 1 V ar(q V ar ˆσ 1 (ln S(t ln (ˆµ T ˆσ ˆσ2 T T 2 ( 2 1 ˆσ V ar(ln S(t ln 1. T

5 48 Elia Sri Hatuti, Dodi Devianto Dari uraian di ata, peubah Q juga berditribi normal dengan nilai tengah 0 dan tandar deviai 1, dan fungi kepekatan peluang dari Q dinyatakan dengan h(q, yaitu: h(q 1 2π e q2 /2. (4.5 Peramaan (4.3 dapat dinyatakan ebagai berikut. S(t e Qˆσ T +m. (4.6 Perubahan bata integral pada peramaan (4.2 berdaarkan Q adalah ebagai berikut. Jika S(t maka Q Jika S(t K maka Q Dengan menggunakan peramaan (4.5 dan (4.6 erta perubahan bata integral, maka peramaan (4.2 menjadi: edangkan E[max(S(t K, 0 (/ (/ K (/ (e q+m Kh(qdq e q+m h(qdq h(qdq, (4.7 e q+m h(q 1 2π e ( q2 +2q+2m/2 e (m+2 /2 h(q. Subtitui peramaan (4.8 ke dalam peramaan (4.7, diperoleh: E[max(S(t K, 0 e m+2 /2 (/ h(q dq K h(qdq (/ (4.8 Jika N(x 1 x 2π e 1 2 y2 dy menyatakan notai dari fungi ditribui normal baku kumulatif, maka: E[max(S(t K, 0 e m+2 /2 h(q dq K ( ln K m h(qdq [ [ ( e m+2 /2 ln K m 1 N K 1 N [ ( [ ( e m+2 /2 ln K + m ln K + m N + K N. (4.9

6 Penggunaan Rata-rata Geometrik dalam Menentukan Harga Opi Aia 49 Subtituikan nilai m dan ke peramaan di ata, maka diperoleh e m+2 /2 h(q dq K e m+ˆσ2 T/2 N e m+ˆσ2 T/2 ( N ln K + ( [ ˆd1 KN ˆµ ˆσ2 2 [ ˆd2 h(qdq T + ˆσ 2 T KN ln K + ( ˆµ ˆσ2 2 T Berdaarkan peramaan di ata, ( maka peramaan (4.1 menjadi: [ [ C e rt eˆµt N ˆd1 KN ˆd2. (4.10 Peramaan (4.10 merupakan model harga opi call Aia dengan menggunakan ratarata geometrik melalui pendekatan Black-Schole. Selanjutnya dengan menggunakan put-call parity, yaitu e rt eˆµt + P C Ke rt, diperoleh model harga opi put Aia dengan menggunakan rata-rata geometrik melalui pendekatan Black-Schole ( ebagai berikut. [ P e rt KN d ˆ 2 eˆµt N [ ˆd 1 (4.11 dengan ˆd 1 ln( dan ˆσ 2 σ2 (n+1(2n+1 6n 2 K +(ˆµ+ 1 2 ˆσ2 T, ˆd 2 ln( K +(ˆµ 1 2 ˆσ2 T, ˆµ 1 2 ˆσ2 + ( r 1 2 σ2 n+1 2n, 5. Model Opi Aia dengan Menggunakan Rata-rata Geometrik pada Saham The Walt Diney Company 5.1. Data dan Metode Data yang digunakan dalam penentuan harga opi aham tipe Aia dengan menggunakan rata-rata geometrik melalui pendekatan Black-Schole adalah data aham The Walt Diney Company untuk periode 1 Maret 2013 ampai 1 Maret 2014 yang diake melalui Adapun langkah-langkah dalam menentukan harga opi Aia terebut adalah ebagai berikut. (1 Menentukan perubahan harga aham yang diaumikan mengikuti gerak Brown. (2 Membuktikan bahwa rata-rata geometrik harga aham berditribui lognormal. (3 Menentukan model harga opi call dan opi put untuk aham tipe Aia dengan menggunakan rata-rata geometrik dengan pendekatan model Black-Shole. (4 Menerapkan model harga opi call dan opi put untuk aham tipe Aia pada data harga aham dan membandingkan hailnya dengan harga opi call dan opi put di paar aham. Sebelum melakukan perhitungan opi, terlebih dahulu dilakukan perhitungan volatilita aham dengan langkah-langkah ebagai berikut. (1 Menentukan eluruh harga penutupan aham elama tranaki (S 1, S 2,, S n, dimana n adalah banyaknya hari perdagangan aham.

7 50 Elia Sri Hatuti, Dodi Devianto (2 Menentukan natural ample return hari ke t hingga t + 1, R t S t+1 S t, t 1, 2,, n 1 (3 Menghitung log natural ample return, mialkan ˆR t ln R t (4 Menghitung mean dari log natural ample return harian, n ˆR t 1 t R n (5 Menghitung etimai variani dari log natural ample return aham harian, n t 1 ˆR ( ˆR t R 2 n 1 (6 Menghitung volatiita return aham, karena data yang digunakan adalah data harian, maka jumlah perdagangan haru dinyatakan dalam T 1hari 1 n tahun Model Opi Call dan Opi Put Aia pada Saham The Walt Diney Company Dalam menentukan harga opi Aia dengan menggunakan rata-rata geometrik pada aham tipe Aia, diperlukan beberapa unur, yaitu ebagai berikut. (1 Harga aham awal (: (2 Harga pelakanaan (K: 45.00, 60.00, 65.00, 76.00, (3 Waktu ekarang (t: 1 Maret 2014 (4 Waktu jatuh tempo (T : 28 Marer 2014 (5 Tingkat uku bunga beba reiko (r : , tingkat uku bunga ini adalah tingkat uku bunga yang ditetapkan oleh bank entral Amerika dan diake langung melalui pada tanggal 1 Maret (6 Volatilita aham (σ : (7 Periode waktu pembayaran opi (T : Pada perhitungan nilai opi call dan opi put untuk aham tipe Aia dengan menggunakan rata-rata geometrik dengan harga pelakanaan 45.00, diperoleh ˆσ , ˆµ , ˆd , dan ˆd Selanjutnya dapat dicari nilai N [ ˆd1, N [ ˆd2, N [ ˆd 1, dan N [ ˆd 2 dengan menggunakan perintah NORMSDIST pada oftware Microoft Excel. Kemudian ubtituikan nilainilai terebut ke dalam model opi Aia dengan menggunakan rata-rata geometrik melalui pendekatan Black-Schole dan diperoleh opi call ebear dan opi put ebear 3.47x Dengan cara yang ama diperoleh harga opi call dan opi put untuk harga pelakanaan K yang berbeda pada Tabel 1. Selanjutnya hail perhitungan harga opi dengan menggunakan rata-rata geometrik melalui pendekatan Black-Schole akan dibandingkan dengan harga opi di

8 Penggunaan Rata-rata Geometrik dalam Menentukan Harga Opi Aia 51 Tabel 1. Data Harga Opi Call dan Opi Put dengan Rata-rata Geometrik Melalui Pendekatan Model Black Schole No Harga Saham Harga Waktu Opi Call Opi Put Awal Pelakanaan E E E paar aham untuk mengetahui eberapa bear perbedaan harga opi hitung dengan opi yang ditawarkan di paar, ehingga dapat dijadikan acuan oleh invetor dalam melakukan invetai. Grafik perbandingan harga opi Aia yang dihitung dengan menggunakan rata-rata geometrik dan harga opi Aia di paar aham dapat dilihat pada grafik Perbandingan harga opi Aia yang dihitung dengan menggunakan rata-rata geometrik dan harga opi Aia di paar aham. Gambar 1. Perbandingan harga opi Aia yang dihitung dengan menggunakan rata-rata geometrik dan harga opi Aia di paar aham Berdaarkan Gambar 1 dapat dilihat bahwa harga opi call yang dihitung dengan menggunakan rata-rata geometrik melalui pendekatan model Black Schole mendekati harga opi yang ada di paar aham. Grafik di ata memperlihatkan bahwa pada titik 1, 2, dan 3, yaitu pada harga pelakanaan 45.00, 60.00, 65.00, harga opi call di paar aham yang diake pada tanggal 1 Maret 2014 lebih rendah dibandingkan dengan harga opi call yang dihitung dengan rata-rata geometrik melalui pendekatan model Black Schole. Dalam kondii eperti ini ebaiknya invetor membeli opi terebut. Sebaliknya, invetor ebaiknya tidak membeli opi pada harga pelakanaan 76.00, dan 78.00, yaitu pada titik 9, dan 10 karena harga opi call di paar lebih bear dari harga opi call yang dihitung dengan menggunakan rata-rata geometrik melalui pendekatan model Black Schole. Berdaarkan Gambar 1 juga dapat dilihat bahwa untuk etiap titik dengan harga pelakanaan maing-maing, harga opi put di paar lebih bear dari harga opi put

9 52 Elia Sri Hatuti, Dodi Devianto yang dihitung dengan rata-rata geometrik melalui pendekatan model Black Schole. Oleh karena itu, ebaiknya invetor menjual opi terebut karena harganya lebih mahal dan dapat memberi keuntungan. Selain itu, Gambar 1 menunjukkan bahwa emakin tinggi harga pelakanaan maka harga opi call emakin kecil, edangkan harga opi put emakin bear. Sebaliknya, emakin rendah harga pelakanaan maka harga opi call emakin bear, edangkan harga opi put emakin kecil. Oleh karena itu, invetor ebaiknya membeli opi call pada aat harga pelakanaan yang rendah dan menjual opi put pada aat harga pelakanaan tinggi karena dapat memperoleh keuntungan yang lebih bear. 6. Keimpulan Model harga opi call dan opi put pada aham tipe Aia dengan menggunakan rata-rata geometrik melalui pendekatan ( Black-Schole adalah: [ [ C e rt eˆµt N ˆd1 KN ˆd2 ( [ [ P e rt KN d ˆ 2 eˆµt N d ˆ 1, dengan ˆd 1 ln( K +(ˆµ+ 1 2 ˆσ2 T, ˆd 2 ln( K +(ˆµ 1 2 ˆσ2 T, ˆµ 1 2 ˆσ2 + ( r 1 2 σ2 n+1 2n, dan ˆσ 2 σ2 (n+1(2n+1 6n 2. Model harga opi Aia dengan menggunakan rata-rata geometrik melalui pendekatan model Black-Schole diterapkan pada aham The Walt Diney Company, digunakan untuk memprediki uatu harga opi ehingga invetor dapat mengambil keputuan dalam melakanakan opinya. Apabila harga opi call di paar aham lebih murah dibandingkan dengan harga opi call yang dihitung dengan model harga opi Aia, maka ebaiknya invetor membeli opi terebut karena harga opi yang dibeli lebih rendah dari harga yang ditakirkan, begitu ebaliknya. Apabila harga opi put di paar aham lebih mahal dibandingkan dengan harga opi put yang dihitung dengan model harga opi Aia, ebaiknya invetor menjual opi terebut karena opi yang dijual lebih tinggi dari harga yang ditakir ehingga dapat memperoleh keuntungan, begitupun ebaliknya. Jika harga pelakanaan emakin bear, maka harga opi call Aia emakin kecil, edangkan harga opi put Aia emakin bear. Daftar Putaka [1 Emergenou, A Brownian Motion and it Application in The Stock Market.Department of Applied Mathematic, Illinioi Intitute of Technology, Chicago. USA. [2 Hull, J.C Option Future and Other Derivative. Univerity of Toronto: Prentice hall International Inc. [3 Luenberger, D.G.1998.Invetment Science. Oxford Univerity Pre. New York. [4 Okendal B Stochatic Differenial Equation (An Introduction with Application. Ed Ke-6 Germany. Springer Verlag. [5 Ruey, S. T, John Wiley and Son Analyi of Financial Time Serie. USA.