Pembentukan Ring Bersih Menggunakan Lokalisasi Ore. Construction of Clean Ring using Ore Localization

Transkripsi

1 Jurnal Matematika & Sain, April 4, Vol. 9 Nomor Pembentukan Ring Berih Menggunakan Lokaliai Ore Abtrak Uha Inaini dan Indah Emilia Wijayanti ) Juruan Matematika, Fakulta Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univerita Gadjah Mada, Yogyakarta uha.inaini@mail.ugm.ac.id;ind_wijayanti@ugm.ac.id Diterima 6 Juli 3, dietujui untuk dipublikaikan 4 Februari 4 Mialkan diberikan ebarang ring R (tidak haru komutatif) dan himpunan multiplikatif S R yang tidak memuat elemen nol. Lokaliai Ore merupakan alah atu teknik pembentukan ring ehingga etiap elemen S memiliki inver di ring yang baru. Ring hail lokaliai tidak elalu mempertahankan ifat ring awal. Suatu ring ebarang dapat diiipkan ke ring berih, ring berih-n dan ring peralihan. Pada paper ini akan dikaji ifat-ifat yang diperlukan untuk menyiipkan ebarang ring ke ring terebut menggunakan lokaliai. Kata kunci : Lokaliai Ore, Elemen Satuan, Ring Berih, Ring Peralihan, Ring Berih-n. Abtract Contruction of Clean Ring uing Ore Localization Let R be any ring (can be non commutative) and S R i a multiplicative et that doe not contain any zero element. Ore localization i a powerful technique to contruct a univeral S-inverting ring. However the localization reult do not alway inherit propertie of thirt ring. An arbitrary ring can be inerted into the clean ring, n-clean ring, and exchange ring. Here, we how propertie needed to inert any ring to the ring uing localization. Keyword: Ore Localization, Unity, Clean Ring, Exchange Ring, n-clean Ring.. Pendahuluan Lokaliai merupakan teknik pembentukan ring yang mengakibatkan elemen tertentu pada ring emula dapat dipandang ebagai unit di ring yang baru. Dalam makalah ini, eluruh ring yang diebutkan merupakan ring dengan elemen atuan. Pengkajian mengenai lokaliai pada ring komutatif dengan elemen atuan telah banyak diteliti. Namun belum banyak ditemukan literatur yang mengkaji mengenai lokaliai pada ebarang ring dengan elemen atuan. Beberapa ide contoh yang diberikan dalam makalah ini merujuk pada Adkin dan Weintraub (99). Daar teori mengenai teori modul dan ring berdaarkan Anderon dan Fuller (99), edangkan untuk daar teori mengenai lokaliai pada ring komutatif berdaarkan Dummit dan Foote (4), dan daar mengenai ring berih dan perekitarannya berdaarkan dari paper Chen dan Chen (3). Untuk pembahaan utama mengenai lokaliai, akan digunakan ring fraki kanan pada lokaliai Ore. Penelitian mengenai penyiipan ring ke dalam ring berih telah dilakukan oleh Burge dan Raphael (3) menggunakan perluaan eenial. Namun proe penyiipan terebut tidaklah mudah. Oleh karena itu, pada makalah ini dikaji mengenai pembentukan ring berih menggunakan lokaliai Ore yang belum pernah dikaji ebelumnya. Penyiipan ring ke dalam ring memotivai pembentukan ring fraki dari ebarang ring. Mialkan R merupakan ring dan S R dengan S, bukan anggota S dan SS S. Selanjutnya, S dengan ifat terebut dinamakan himpunan multiplikatif. Definii. Mialkan ring R dan S R. Ring R dikatakan ring fraki kanan dari ring R ata S R jika terdapat homomorfima ring : R R ehingga. Untuk etiap S, () unit di R.. Untuk etiap x R, x = (a)() - untuk uatu a R dan S. 3. Ker ={r R r = untuk uatu S}. Untuk menjamin ekiteni dari ring fraki kanan, himpunan multiplikatif S haru memenuhi yarat berikut:. Untuk etiap a R dan S, berlaku as R.. Untuk etiap a R jika a = untuk uatu S maka a = untuk uatu S. Mialkan S adalah himpunan bagian multiplikatif dari R. Jika S memenuhi yarat, maka S diebut permutabel kanan. Jika S memenuhi yarat, maka S diebut reveribel kanan. Selanjutnya himpunan multiplikatif S R yang memenuhi yarat perlu dan diebut himpunan denominator kanan.

2 Jurnal Matematika & Sain, April 4, Vol. 9 Nomor Lema. Setiap himpunan bagian multiplikatif tak hampa dari ring komutatif yang mempunyai elemen atuan adalah permutabel kanan dan reveribel kanan. Jela menggunakan ifat komutatif terhadap perkalian. Jika diambil ebarang ring R dan himpunan denominator kanan S R, maka dapat dibentuk ring fraki kanan dari ring R terebut. Lebih lanjut dijelakan pada propoii berikut. Propoii. Diberikan ring R yang memuat elemen atuan. Jika S R merupakan himpunan denominator kanan, maka terdapat ring RS yang merupakan ring fraki kanan dari ring R ata S. Bukti Propoii dapat dilihat pada Teorema.6 pada Lam (998) mengenai lokaliai Ore.. Pembentukan ring berih menggunakan lokaliai Mialkan R adalah ebarang ring (tidak haru komutatif). Pertama-tama diberikan definii ring berih ebagai berikut. Definii. Mialkan R ebuah ring. Elemen r R diebut elemen berih jika terdapat uatu e elemen idempoten di R dan u unit di R ehingga r = e + u. Ring R diebut ring berih jika tiap elemennya adalah elemen yang berih. Setiap ring mempunyai himpunan bagian S R yang merupakan himpunan denominator kanan. Sebagai contoh pilih S = {} R. Notai U(R) digunakan untuk himpunan emua unit di ring R. Definii 3. Mialkan R adalah ebarang ring (tidak haru komutatif). Himpunan denominator kanan S R dikatakan inertibel kanan jika untuk etiap x R\(S U(R)) dan untuk etiap S terdapat r R edemikian hingga (x-)r S U(R) dan r S. Hubungan antara unit di R dengan unit di diberikan ebagai berikut. Lema. Setiap unit di R dapat dipandang ebagai unit di RS. RS Selanjutnya diperoleh teorema ebagai berikut. Teorema. Mialkan R ring dengan elemen atuan dan S R himpunan denominator kanan yang berifat inertibel kanan. Terdapat ring fraki kanan RS yang merupakan ring berih edemikian hingga memuat R ebagai ubringnya. Diketahui R ring dengan elemen atuan dan S R himpunan denominator kanan. Menggunakan Propoii, ada ring fraki kanan RS dari ring R ata S edemikian hingga memuat R ebagai ubringnya. Selanjutnya tinggal ditunjukkan RS merupakan ring berih. Ambil ebarang x/ RS. Kau. x S maka x x, dengan Id ( RS ) dan x U( RS ) Kau. x S. Karena S berifat inertibel kanan, maka terdapat r R ehingga x rs UR diperoleh x xr r r xr r r r xr r r r x r r ( x ) r dengan Id RS dan URS. r Dari kedua kau terebut diperoleh RS merupakan ring berih. Dengan kata lain, Teorema menyatakan bahwa etiap ring R dengan elemen atuan yang memuat himpunan denominator kanan yang berifat inertibel, dapat diiipkan ke uatu ring berih. Pertama-tama diberikan contoh ring non komutatif dengan elemen atuan yang bukan merupakan ring berih dan dapat diiipkan ke uatu ring berih. Contoh. Diberikan R yaitu himpunan matrikmatrik egitiga bawah berukuran ata, yaitu a R abc,, Jela bahwa R dengan operai penjumlahan dan perkalian matrik merupakan ring dengan elemen atuan dan bukan merupakan ring komutatif. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa R bukan merupakan ring berih. Pertama-tama akan dicari emua elemen idempoten di R. Ambil ebarang a IdR, diperoleh a a a. Dengan mengalikan dua matrik pada rua kiri diperoleh a a. ba c Dari keamaan dua matrik terebut diperoleh a a, bba cb dan c c. Selanjutnya perhatikan bahwa elemen idempoten di hanya dan, ehingga diperoleh

3 Inaini dan Wijayanti, Pembentukan Ring Berih Menggunakan Lokaliai 3. Untuk a =, didapat b = cb. Jika c = maka b =. Jika c =, maka ebarang b akan memenuhi peramaan terebut.. Untuk a = didapat b = b + cb, ehingga diperoleh cb =. Karena merupakan daerah integral, diperoleh c = atau b =. Jika c = maka ebarang b akan memenuhi peramaan terebut. Selanjutnya, jika c = maka diperoleh b =. Dari perhitungan terebut diperoleh keimpulan bahwa elemen idempoten di R hanyalah elemen yang berbentuk,,, b dengan b. 4 Selanjutnya untuk R, perhatikan bahwa b b 4 3 untuk uatu b. 4 3 Karena tidak ada di antara, b, 4 b dan 3 yang merupakan unit di R, 4 tidak dapat dinyatakan dalam jumlah idempoten dan unit di R. Maka R bukan merupakan ring berih. Selanjutnya bentuk lokaliai pada ring R. Mialkan S R dengan a S abc,,, c Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa S merupakan himpunan denominator kanan. Menurut definii dari S jela bahwa S merupakan himpunan multiplikatif. Kemudian akan ditunjukkan S memenuhi ifat a permutabel kanan. Ambil ebarang R dan d S, maka f. Selanjutnya akan ditunjukkan a d S R. dcf Karena f, diperoleh ada S bdf f dan acf adcf R eac c. Karena f dapat difaktorkan dalam dua cara, yaitu adcf a df f bdf f adcf d fac f eac c maka dapat diimpulkan bahwa a d S R. Dengan demikian, S memenuhi ifat permutabel kanan. Terakhir, akan ditunjukkan S memenuhi ifat a reveribel kanan. Ambil ebarang R dan d S. Mialkan d a. Dengan mengalikan ii kiri diperoleh hubungan da. ea fb fc Karena f, maka dari hubungan di ata diperoleh c =. Jadi a a. Jela S. Karena a a maka terbukti S memenuhi ifat reveribel kanan. Dengan demikian, terbukti bahwa S merupakan himpunan denominator kanan. Selanjutnya dapat dibentuk ring fraki kanan yaitu X RS X R, Y S Y. Ambil ebarang A R dan B S dengan c A S U R. Mialkan a A b dan d B e f.

4 4 Jurnal Matematika & Sain, April 4, Vol. 9 Nomor dengan f. Karena a d ad S b. Terbukti S merupakan himpunan denominator kanan dan memenuhi ifat inertibel kanan. Menurut Teorema terdapat RS yang merupakan ring berih dan memuat R ebagai ubringnya. Secara umum, jika S S R dengan S, S himpunan denominator kanan, maka RS RS. Berikut ini adalah contoh ring non komutatif dengan elemen atuan yang merupakan ring berih dan dapat diiipkan ke uatu ring berih yang bukan dirinya endiri. Contoh. Diberikan himpunan R yaitu himpunan matrik-matrik egitiga ata berukuran ata ebagai berikut a b R abc,,. Jela bahwa R dilengkapi operai penjumlahan dan perkalian matrik merupakan ring dengan elemen atuan dan bukan merupakan ring komutatif. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa R merupakan ring berih. a b Ambil ebarang R.. Untuk a = dan c = a b b. Untuk a = dan c a b b 3. Untuk a dan c = a b a b a b 4. Untuk a dan c : a b a b Perhatikan bahwa pada tiap penjumlahan di ata, uku pertama merupakan elemen idempoten di R dan uku kedua merupakan unit di R. Jadi, R merupakan ring berih. Selanjutnya kita bentuk lokaliai pada ring R. Pilih S R dengan a b S a, b, c, a. Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa S merupakan himpunan denominator kanan. Jela bahwa S merupakan himpunan multiplikatif. Kemudian akan ditunjukkan S memenuhi ifat a b permutabel kanan. Ambil ebarang R dan e f S. Maka e. Selanjutnya akan a b ditunjukkan S R. Karena e diperoleh e bge S ae dan a acf R ae. Maka a be geb a acf ae ea ace acge Hal di ata memperlihatkan bahwa a b S R, Maka terbukti bahwa S memenuhi ifat permutabel kanan. Terakhir akan ditunjukkan bahwa S memenuhi a b ifat reveribel kanan. Ambil ebarang R e f dan S edemikian hingga a b. Dengan mengalikan rua kiri dengan hail kalinya diperoleh hubungan ea eb fc. c Karena e diperoleh a =, maka a b. Dapat diimpulkan bahwa terdapat anggota S, yaitu, ehingga b. Terbukti S reveribel kanan. Dengan demikian dapat diimpulkan bahwa S merupakan himpunan denominator kanan. Selanjutnya, dapat dibentuk ring fraki kanan

5 Inaini dan Wijayanti, Pembentukan Ring Berih Menggunakan Lokaliai 5 X RS X R, Y S. Y Ambil ebarang A R dan B S dengan AS UR c b. Mialkan A dan d e B S f, maka d. Selanjutnya terdapat anggota R, yaitu, ehingga b d e d be S. f f Jadi, S merupakan himpunan denominator kanan dan memenuhi ifat inertibel kanan. Menurut Teorema, RS merupakan ring berih dan memuat R ebagai ubringnya. Selanjutnya akan ditunjukkan RS lebih lua daripada R. Pilih R. Perhatikan bahwa bukan unit di R dan R. Andaikan terdapat iomorfima : R RS. Mialkan b d e f dengan d, diperoleh b d e d f merupakan elemen nol di RS. Hal ini berkontradiki dengan aumi awal. Jadi, diperoleh RS tidak iomorfi dengan R. Selanjutnya akan dibaha mengenai pembentukan ring peralihan. Pertama-tama diberikan definii ring peralihan ebagai berikut. Definii 4. Ring R adalah ring peralihan apabila untuk etiap x R, terdapat uatu idempoten e R edemikian hingga e x R (x x ). Lema 3. Ring R adalah ring peralihan jika dan hanya jika untuk etiap x R terdapat uatu idempoten e R edemikan hingga e Rx dan e R ( x). Jela dari definii. Selanjutnya menggunakan Lema 3 didapat hubungan ring berih dan ring peralihan ebagai berikut. Lema 4. Setiap ring berih merupakan ring peralihan. Lihat Chen dan Chen (3) Lema.. Dengan demikian diperoleh akibat ebagai berikut. Akibat. Setiap ring R yang memuat himpunan denominator kanan yang berifat inertibel kanan dapat diiipkan ke ring peralihan. Dari Propoii diperoleh bahwa R dapat diiipkan ke uatu ring berih. Menurut Lema 4 ring terebut merupakan ring peralihan. Dengan demikian R dapat diiipkan ke ring peralihan. Konver dari Lema 4 tidak elalu berlaku, kecuali jika ditambahkan yarat eperti yang tercantum dalam teorema berikut. Teorema. Mialkan R adalah ring dengan etiap idempotennya entral. Ring R merupakan ring berih jika dan hanya jika ring R merupakan ring peralihan. Lihat Chen dan Chen (3) Teorema.3. Akibat. Diketahui R ring komutatif dengan elemen atuan dan R merupakan himpunan multiplikatif. Ring RS merupakan ring peralihan jika dan hanya jika RS merupakan ring berih. Telah dibuktikan ke arah kanan, tinggal ditunjukkan untuk arah kiri. Diketahui R merupakan ring komutatif. Karena R merupakan ring komutatif RS diperoleh merupakan ring komutatif. Diperoleh etiap elemen idempoten di RS merupakan elemen idempoten entral. Dengan menggunakan Teorema, jika RS merupakan ring peralihan maka RS merupakan ring berih. Dengan kata lain, dapat diimpulkan bahwa ring R dilokaliai terhadap S merupakan ring berih jika dan hanya jika lokaliai R terhadap S merupakan ring peralihan. 3. Pembentukan ring berih-n menggunakan lokaliai Di dalam ring berih, dapat didefiniikan ring berih-n yang merupakan perumuman dari ring berih. Sebelum mengkaji tentang ring berih-n, akan dibaha terlebih dahulu tentang elemen berih-n.

6 6 Jurnal Matematika & Sain, April 4, Vol. 9 Nomor Definii 5. Untuk uatu bilangan ali n, elemen x R diebut elemen berih-n apabila x dapat dinyatakan dalam x = e + u + u + + u n untuk uatu e Id(R) dan u, u,u n U(R). Dengan kata lain, elemen berih-n merupakan elemen yang dapat dinyatakan dalam jumlahan idempoten dengan n buah unit. Dari definii di ata, elemen berih- ama dengan elemen berih. Selanjutnya diberikan lema yang menjelakan hubungan elemen berih dengan elemen berih-n berikut. Lema 5. Mialkan R adalah ring. Jika x R merupakan elemen berih maka untuk etiap n N, x merupakan elemen berih-n. Ambil ebarang x R, diperoleh x = e + u dengan e Id(R) dan u U(R). Perhatikan bahwa e dapat dinyatakan dalam e = ( e) + (e ). Selanjutnya ( e) = ( e) Id(R) dan (e ) U(R), ehingga x e e u. Untuk n >, pertama ditinjau untuk n genap n x ee e n e u dan untuk n ganjil n n x e e e u Jadi, x merupakan elemen berih-n. Selanjutnya diberikan definii ring berih-n, ebagai berikut. Definii 6. Mialkan n adalah bilangan ali. Ring R diebut ring berih-n jika etiap elemennya merupakan elemen berih-n. Dengan kata lain, ring R merupakan ring berih-n jika etiap elemen R dapat dinyatakan dalam jumlahan idempoten dan n buah unit di R. Akibat 3. Jika R merupakan ring berih maka R merupakan ring berih-n, untuk etiap n N. Jela dari Lema 5. Akibat 4. Untuk ebarang ring R yang memiliki S R himpunan denominator kanan yang berifat inertibel kanan, dapat diiipkan ke uatu ring berih-n, untuk etiap n N. Menggunakan Propoii diperoleh bahwa R dapat diiipkan ke uatu ring berih. Menurut Akibat 3, ring terebut merupakan ring berih-n, untuk etiap n. Sehingga diperoleh R dapat diiipkan ke ring berih-n, untuk etiap n. Secara khuu, untuk mendapat RS yang merupakan ring berih-n, yarat S maih bia diperlemah, pertama-tama, diberikan definii inertibel-n kanan berikut: Definii 7. Diberikan ring R (tidak haru komutatif). Himpunan denominator kanan S R dikatakan inertibel-n kanan jika untuk etiap x R (S U(R)), dan S terdapat r, x i, R, i =,,,n. ehingga x = x + +x n dengan (x ) r S U(R) r S dan x S (R) {}, i =,, 3,, n. Selanjutnya, diperoleh Teorema 3 berikut. Teorema 3. Mialkan R merupakan ring dengan elemen atuan dan S R himpunan denominator kanan yang berifat inertibel-n kanan. Terdapat ring fraki kanan RS yang merupakan ring berih-n. Diketahui R ring dengan elemen atuan dan S R himpunan denominator kanan. Dengan menggunakan Propoii dapat dibentuk ring fraki kanan RS dari ring R ata S edemikian hingga memuat R ebagai ubringnya. Selanjutnya, tinggal ditunjukkan RS bahwa merupakan ring berih-n. Ambil x ebarang RS diperoleh x x. Jika x S U(R), maka dengan Id( RS ) dan U( RS ).. Jika x (S U(R)) c, maka S mempunyai ifat inertibel-n kanan, yakni terdapat terdapat r,x i R, i=,,,n dengan x = x + + x n ehingga (x ) r S U(R), r S dan x S U(R) {}, i =, 3,, n. ehingga diperoleh x xr rrxr r r r xr r x xn... r r ( x ) r x xn... r

7 Inaini dan Wijayanti, Pembentukan Ring Berih Menggunakan Lokaliai 7 ( x ) r dengan Id( RS ) dan U( RS ). r x Mialkan x,, k tidak ada yang nol dan xk xn. Diperoleh hail RS merupakan ring berih-k. Karena k n menurut Akibat 3 diperoleh RS merupakan ring berih-n. Dari kedua kau terebut ditunjukkan bahwa RS merupakan ring berih-n. 4. Keimpulan Dengan menggunakan lokaliai, etiap ring yang memuat himpunan denominator kanan yang inertibel kanan dapat diiipkan ke dalam uatu ring berih. Dengan menggunakan lokaliai, etiap ring komutatif R dapat diiipkan ke dalam uatu ring berih jika dan hanya jika R dapat diiipkan ke dalam uatu ring peralihan. Dengan menggunakan lokaliai, etiap ring yang memuat himpunan denominator kanan yang inertibel-n kanan dapat diiipkan ke dalam uatu ring berih-n. Daftar Putaka Adkin, W. A. and S. H. Weintraub, 99, Algebra: An Approach via Module Theory, Springer- Verlag, New York. Anderon, F. W. and K. R. Fuller, 99, Ring and Categorie and Module, nd ed., Springer- Verlag, New York. Burge, W. D. and R. Raphael, 3, On Embedding Ring in Clean Ring, Comm. Algebra, 4:, Chen, H. M. and Chen, 3, On Clean Ideal, Internat. J. Math. Math. Sci, 6, Dummit, D. S. and R. M. Foote, 4, Abtract Algebra, 3 rd ed. John Wiley and Son. Lam, T. Y., 998, Lecture on Module and Ring, Grad. Text in Math., 89, Springer-Verlag, New York.