STABILISASI SISTEM LINIER POSITIF MENGGUNAKAN STATE FEEDBACK

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal ISSN : c Juruan Matematika FMIPA UNAND STABILISASI SISTEM LINIER POSITIF MENGGUNAKAN STATE FEEDBACK ERIN DWI FENTIKA, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakulta Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Univerita Andala, Kampu UNAND Limau Mani Padang, Indoneia, erinfentika@gmail.com Abtract. Dalam makalah ini dikaji proe mentabilkan uatu item linier poitif menggunakan tate feedback. Suatu item linier dikatakan dapat ditabilkan jika terdapat kontrol u = K x, untuk uatu matrik K edemikian ehingga item ẋ = (A BK )x adalah tabil, artinya matrik K dipilih edemikian ehingga bagian riil dari emua nilai eigen matrik A BK adalah negatif. Kata Kunci: State feedback, ketabilan item, poitif, nilai eigen 1. PENDAHULUAN Diberikan item kontrol linier ebagai berikut: ẋ = Ax + Bu, x(0) = x 0, (1.1) dimana A R n n, B R n m. Jika matrik A dan B bergantung terhadap waktu, maka item (1.1) diebut item kontrol linier time varying. Sitem (1.1) dikatakan poitif jika untuk etiap u R m + dan untuk etiap x 0 R n + dan t 0, maka x(t) R n +. Dalam 3 dinyatakan bahwa item (1.1) adalah poitif jika dan hanya jika A adalah uatu matrik Metzler, yaitu a ij 0 untuk etiap i j, i, j = 1, 2,, n dan B R n m +. Salah atu kajian dalam item kontrol adalah mengenai ketabilan item terebut. Sitem (1.1) dikatakan tabil jika t mengakibatkan x(t) 0. Salah atu kriteria untuk menentukan ketabilan item (1.1) adalah kriteria nilai eigen. Sitem (1.1) adalah tabil jika bagian riil dari emua nilai eigen matrik A adalah negatif. Dengan demikian, item (1.1) adalah poitif dan tabil jika A adalah Metzler, B R n m + dan bagian riil dari emua nilai eigen matrik A adalah negatif. Sitem (1.1) yang tidak tabil dikatakan dapat ditabilkan jika terdapat kontrol u = K x untuk uatu K R m n edemikian ehingga item ẋ = (A BK )x (1.2) adalah tabil, artinya matrik K dipilih edemikian ehingga bagian riil dari emua nilai eigen matrik A BK adalah negatif. Matrik K diebut matrik feedback dan vektor u dikatakan kontrol yang mentabilkan item (1.1). Dalam makalah ini dikaji yarat untuk matrik K R 1 n edemikian ehingga item (1.2) adalah poitif dan tabil. 105

2 106 Erin Dwi Fentika, Zulakmal 2. Pembahaan Lema berikut diperlukan untuk membuktikan hail utama. Lema Suatu matrik Metzler A R n n adalah tabil jika dan hanya jika d int(r n +) edemikian ehingga Ad int(r n +). (2.1) Selain itu, jika A tabil maka etiap ubmatrik utama dari A juga tabil. Lema Tidak ada K R 1 n edemikian ehingga item poitif dengan input tunggal yang tidak tabil (1.1) dapat ditabilkan. Bukti. Mialkan ada K R 1 n edemikian ehingga item poitif dengan input tunggal yang tidak tabil (1.1) dapat ditabilkan, maka (A BK ) adalah matrik Metzler tabil. Jela bahwa BK R n n +, dan notaikan BK = A + =, i, j = 1, 2,, n. Berdaarkan Lema 2.1, terdapat a + ij d = d 1 d 2 d n T int(r n + ) edemikian ehingga (A + A + )d int(r n +), yaitu 0 < d 1 a i1 d n a in d 1 a + i1 d na + in, d 1 a i1 d n a in, i = 1,, n. (2.2) Tetapi, karena A tidak tabil maka berdaarkan Lema 2.1, untuk etiap d int(r n +) terdapat uatu i edemikian ehingga d 1 a i1 d n a in 0 yang bertentangan dengan (2.1). Teorema Mialkan item (1.1) adalah poitif dan K = k (1) k (2) k (n) R 1 n + (2.3) didefiniikan ebagai berikut: k (i) > a ii b i, jika b j = 0, j i, k (i) = min {a ji }, untuk hal lainnya, (2.4) j i,b j 0 b j untuk i, j {1, 2,, n}. Jika b i 0 dan b j = 0 untuk etiap j i, j, i {1,, n}, maka K yang didefiniikan dalam (2.4) membuat matrik A BK menjadi matrik Metzler tabil jika dan hanya jika ubmatrik A (i) adalah tabil. Bukti. Tanpa mengurangi keumuman, aumikan bahwa b 1 0. ( ) Mialkan terdapat uatu K R 1 n + edemikian ehingga A BK adalah uatu matrik Metzler tabil, maka ubmatrik (A BK ) (1) dan A (1) adalah ama, dan berdaarkan Lema 2.1 metilah A (1) tabil. ( ) Mialkan ubmatrik A (1) adalah tabil, maka berdaarkan Lema 2.1 terdapat d = d 2 d n int(r n 1 + )

3 edemikian ehingga Stabiliai Sitem Linier Poitif Menggunakan State Feedback 107 A 1 d int(r n 1 + ), yaitu untuk uatu δ j > 0, j {2,, n} berlaku (a j2 d 2 + a j3 d a jn d n ) > δ j. Mialkan δ = min {δ j} dan a = max {a j1}. Selanjutnya, jika a = 0, maka pilih i=2,,n j=2,,n d 1 = 1; dan jika a 0, maka pilih d 1 (0, δ a ). Dengan pilihan ini, maka (2.1) terpenuhi untuk bari 2,, n. Dengan pemilihan d 1 ini dan k i = 0 untuk i 1 diperoleh ehingga (a 11 k 1 b 1 )d 1 (a 12 d a 1n d n ) k 1 b 1 d 1 ( a 11 d 1 + a 12 d a 1n d n ) > 0, dan k 1 > a 11 d 1 + a 12 d a 1n d n b 1 d 1 0 k i = 0, i = 2,, n. yang memberikan hail yang diinginkan, yaitu (a 11 k 1 b 1 )d 1 (a 12 d a 1n d n ) > 0 Berikut ini akan diberikan beberapa contoh yang mengilutraikan Teorema 2.3. Contoh 2.4. Selidiki apakah item linier poitif berikut dapat ditabilkan atau tidak x = x u. (2.5) , 5 x 3 1 Mialkan K = k 1 k 2 k 3. Dari peramaan (2.5) terlihat bahwa b1 = b 2 = 0. Untuk i = 1, Untuk i = 2, Untuk i = 3, k 1 = k 2 = min { a31 j 1,b } = 2. min { a32 j 2,b } = 1. k 3 > a 33 b 3 k 3 > 0, 5, pilih k 3 = 1.

4 108 Erin Dwi Fentika, Zulakmal Sehingga K = Karena A (3) = adalah tabil, maka berdaarkan 0 1 Teorema 2.3, A BK = = , , 5 merupakan matrik Metzler tabil dengan nilai-nilai eigen 1, 1, 0, 5. Jadi item terebut dapat ditabilkan. Amati bahwa ubmatrik (A BK) (3) = A (3). Contoh 2.5. Selidiki apakah item linier poitif berikut dapat ditabilkan atau tidak x = x x u (2.6) x 4 0 Mialkan K = k 1 k 2 k 3 k 4. Dari peramaan (2.6) terlihat bahwa b1 = b 2 = b 4 = 0. Untuk i = 1, Untuk i = 2, Untuk i = 3, k 1 = k 2 = min { a31 j 1,b } = 1. min { a32 j 2,b } = 1 2. k 3 > a 33 b 3 k 3 > 0, 5, pilih k 3 = 1. Untuk i = 4, Sehingga K = k 4 = min { a34 j 4,b } = Karena A (3) = berdaarkan Teorema 2.3, A BK = adalah tabil, maka = merupakan matrik Metzler tabil dengan nilai-nilai eigen i, i, , Jadi item terebut dapat ditabilkan. Amati bahwa ubmatrik (A BK) (3) = A (3).

5 Stabiliai Sitem Linier Poitif Menggunakan State Feedback Keimpulan Mialkan matrik K = k (1) k (2) k (n) R 1 n + didefiniikan ebagai berikut. k (i) > a ii b i, jika b j = 0, j i k (i) = min {a ji }, untuk hal lainnya, (3.1) j i,b j 0 b j dengan i, j {1, 2,, n}. Jika item (1.1) adalah poitif dan b i 0 dan b j = 0 untuk etiap j i, j, i {1,, n}, maka K yang didefiniikan dalam (3.1) membuat matrik A BK menjadi matrik Metzler tabil jika dan hanya jika ubmatrik A (i) adalah tabil. Daftar Putaka 1 D. Luenburger Introduction to Dynamic Sytem: Theory, Model and Aplication. Wiley. New York 2 Davion, E. J. dan Rozak, B Neceary and Sufficient Condition for Stability of Poitive LTI Sytem. 2 nd edition. New York: McGraw-Hill 3 Farina, L. dan Rinaldi, S Poitive Linear Sytem : Theory and Aplication. Wiley. New York 4 Kaczorek, T Poitive 1D and 2D Sytem Metzler Matrice. Springer- Verlag Berlin Heidelberg