Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 2008

Transkripsi

1 Penyeleaian Soal Ujian Tengah Semeter 008 Soal A Curah hujan harian maximum tahunan elama periode 978.d. 007 di Staiun Godean Yogyakarta diajikan pada tabel di bawah ini. kedalaman hujan (mm) rekueni Curah hujan harian maximum tahunan di ata dapat dikatakan berditribui normal.. itunglah rekueni yang eharunya (teoretik) menurut ditribui normal pada etiap rentang kla kedalaman hujan.. Tetapkan rentang keyakinan nilai rata-rata dengan tingkat keyakinan 90%.. Lakukan uji hipotei yang menyatakan bahwa nilai rata-rata curah hujan harian maximum tahunan adalah 90 mm. Pakailah tingkat keyakinan 90%.. itunglah: a. peluang curah hujan harian maximum tahunan kurang dari 70 mm, b. peluang curah hujan harian maximum tahunan lebih dari 00 mm, c. peluang curah hujan harian maximum tahunan antara 70.d. 00 mm. Penyeleaian Langkah pertama yang haru dilakukan untuk melakukan butir-butir perintah pada oal ini adalah perhitungan nilai rata-rata dan impangan baku data curah hujan. itungan dikerjakan dengan menyuun data curah hujan kedalam tabel rekueni eperti diajikan pada Tabel. Tabel. Curah hujan harian maximum tahunan elama periode 978.d. 007 di Staiun Godean Yogyakarta rentang kedalaman hujan (mm) nilai kla, h (mm) rek, h h Σ Nilai rata-rata dan impangan baku curah hujan harian maximum tahunan dapat diperoleh dengan mudah. h h 70 9mm 0 Itiarto: Penyeleaian Soal Ujian Tengah Semeter 008

2 h h h h / mm Ditribui rekueni curah hujan harian maximum tahunan hail pengukuran v teoretik Frekueni teoretik menurut ditribui normal teoretik diperoleh dengan bantuan tabel ditribui normal tandar atau dengan bantuan MSExcel. Cara #: dengan bantuan tabel cd ditribui normal tandar p h h h p dp h h P h P h h P h P h bataata bataata h batabawah Dalam peramaan-peramaan di ata, batabawah h adalah rekueni relati, Δh adalah rentang kla, p h adalah ordinat kurva normal, h prob h, h bata ata dan t bata bawah adalah bata P ata dan bata bawah rentang kla. Curah hujan harian maximum tahunan perlu diubah dulu menjadi nilai Z: bataata batabawah h Z z PZ zbata ata PZ zbatabawah PZ PZ Untuk kla ke-, rekueni relati teoretik adalah: h P P P. P Z Z Z h Dengan demikian, rekueni teoretik kla ke- adalah: F h h Cara #: dengan bantuan tabel pd ditribui normal tandar Z h h h p h h p z Z dz pz h z Nilai p Z (z) diperoleh dari tabel ordinat kurva normal tandar. Untuk kla ke-, rekueni relati teoretik adalah: 55 9 pz pz h h h dan rekueni relati kla ke- adalah: F h 55 h Itiarto: Penyeleaian Soal Ujian Tengah Semeter 008

3 Frekueni Cara #: dengan bantuan MSExcel untuk menghitung cd Cara ini mirip dengan Cara #, hanya aja tidak diperlukan pembacaan tabel ditribui normal tandar untuk mencari nilai cd. MSExcel menyediakan ungi untuk keperluaan ini. Frekueni relati dan rekueni kla ke- diperoleh dengan cara ebagai berikut: F h P 65 P 5 NORMDIST 65,9,0,TRUE NORMDIST 5,9,0,TRUE h h Cara #: dengan bantuan MSExcel untuk menghitung pd MSExcel juga menyediakan ungi untuk menghitung pd uatu ditribui normal. Dengan cara ini, rekueni relati dan rekueni kla ke- adalah ebagai berikut: F h 55 h p 55 0NORMDIST 55,9,0,FALSE h h ail hitungan rekueni teoretik menurut ditribui normal elengkapnya diajikan pada Tabel. Perbandingan antara rekueni curah hujan harian maximum tahunan hail pengukuran dan hail hitungan (teoretik) diajikan ecara grai pada Gambar. 0 teoretik (ditribui normal tandar) pengukuran Kedalaman ujan (mm) Gambar. Ditribui curah hujan harian maximum tahunan elama periode 978.d. 007 di Staiun Godean Yogyakarta Itiarto: Penyeleaian Soal Ujian Tengah Semeter 008

4 Itiarto: Penyeleaian Ujian Tengah Semeter 008 Tabel. Ditribui teoretik menurut ditribui normal curah hujan harian maximum tahunan elama periode 978.d. 007 di Staiun Godean Yogyakarta rentang kedalaman hujan (mm) Pengukuran Teoretik Cara # Teoretik Cara # Teoretik Cara # Teoretik Cara # rek h (mm) z rek rel rek z p Z (z ) rek rel rek rek rel rek p (h) rek rel rek

5 Rentang keyakinan nilai rata-rata Rentang keyakinan (conidence interval) curah hujan harian maximum tahunan rata-rata adalah rentang curah hujan dengan bata bawah L dan bata ata U edemikian hingga dengan tingkat keyakinan ( ), atau dengan probabilita ( ), nilai curah hujan harian maximum tahunan rata-rata,, berada di dalam rentang terebut: prob U L Mengingat curah hujan harian maximum tahunan elama periode 978.d. 007 di Staiun Godean Yogyakarta berditribui normal, maka uatu variabel random V yang dideiniikan ebagai V berditribui t. Dengan demikian, rentang keyakinan curah hujan harian maximum tahunan rata-rata dapat dicari dari: prob v v Jika nilai v dan v ditetapkan edemikian ehingga prob(t < v ) = prob(t > v ), dan dengan demikian prob(t < v ) = prob(t > v ) = / (lihat keta di bawah), maka bata bawah dan bata ata rentang keyakinan curah hujan harian maximum tahunan rata-rata dapat diperoleh dari: prob t a, n t, n t t prob a, n, n Dalam peramaan di ata, n adalah jumlah data (n = ), t / dan t / maing-maing adalah nilai T edemikian hingga prob(t < t / ) = / dan prob(t < t / ) = / untuk = n degree o reedom, erta n. Nilai bata bawah dan ata rentang keyakinan curah hujan harian maximum tahunan rata-rata dengan demikian adalah: n dan u t n t. Dengan nilai degree o reedom = 9 dan tingkat keyakinan = 0.90 (/ = 0.05 dan / = 0.95), maka dengan memakai tabel ditribui t, diperoleh nilai-nilai ebagai berikut: prob(t < t 0.95 ) = 0.95 t 0.95 =.699 dan prob(t < t 0.05 ) = 0.05 t 0.05 = t 0.95 =.699. Dengan demikian, bata bawah dan bata ata rentang keyakinan curah hujan harian maximum tahunan rata-rata adalah: 0 85mm dan u mm atau prob85mm 97mm 90%. Itiarto: Penyeleaian Soal Ujian Tengah Semeter 008

6 Uji hipotei nilai rata-rata curah hujan harian maximum tahunan Uji hipotei bahwa nilai rata-rata curah hujan harian maximum tahunan elama periode 978.d. 007 di Staiun Godean Yogyakarta adalah 90 mm dengan tingkat keyakinan 90% patilah diterima mengingat rentang keyakinan nilai rata-rata ini dengan tingkat keyakinan 90% adalah 85.d. 97 mm. Tentu aja uji hipotei dapat juga dilakukan dengan proedur lengkap eperti dipaparkan pada paragra-paragra di bawah ini. Null hipothei dan hipotei alternati untuk keperluan uji hipotei nilai rata-rata curah hujan harian maximum tahunan elama periode 978.d. 007 di Staiun Godean Yogyakarta diuun ebagai berikut: 0 : μ = 90 mm a : μ 90 mm Karena nilai varian populai tidak diketahui, maka tatitik uji pada pengujian terebut adalah: n 0 T yang berditribui t. 0 Nilai tatitik uji terebut dibandingkan dengan nilai-nilai kriti. Dengan tingkat keyakinan α = 0.90, maka: t, n t0.95, dengan demikian hipotei bahwa nilai rata-rata curah hujan harian maximum tahunan adalah 90 mm dapat diterima. Berbagai peluang curah hujan harian maximum tahunan Probabilita berbagai bearan curah hujan dihitung dengan bantuan tabel ditribui normal tandar atau dengan memakai ungi yang ada di MSExcel. Apabila memakai tabel ditribui normal tandar, maka nilai-nilai curah hujan yang akan dicari probabilita kejadiannya haru dinormalkan terlebih dulu: z Probabilita dapat dihitung dengan memakai ungi NORMDIST yang ada di dalam MSExcel. prob( < 70 mm) = NORMDIST(70,9,0,TRUE) = 0.69 prob( > 00 mm) = prob( < 00 mm) = NORMDIST(00,9,0,TRUE) = = 0.6 prob(70 < (mm) < 00) = prob( < 00 mm) prob( < 70 mm) = = Itiarto: Penyeleaian Soal Ujian Tengah Semeter 008

7 Sketa di amping ini memberikan ilutrai berbagai nilai probabilita terebut. Soal B Suatu tanggul yang dirancang berdaarkan debit banjir kala ulang 0 tahun (Q 0 = 90 m /) baru aja eleai dibangun. itunglah:. Riiko debit Q 0 terebut dilampaui dalam atu tahun ke depan.. Riiko terjadi banjir dua kali dengan debit lebih dari Q 0 dalam waktu 5 tahun ke depan.. Peluang bahwa banjir dengan debit lebih dari Q 0 tidak pernah terjadi dalam waktu 0 tahun ke depan.. Riiko terjadi 5 kali banjir dengan debit melampaui 90 m / dalam 0 tahun ke depan. Penyeleaian Soal ini dieleaikan dengan aumi bahwa probabilita debit Q 0 dilampaui dalam atu tahun kontan dan tidak berubah ehingga proe binomial berlaku. Dengan aumi ini, maka: probabilita debit Q 0 dilampaui = prob(q > Q 0 ) = p = /0 = 0.0 probabilita debit Q 0 tak dilampaui = prob(q < Q 0 ) = q = p = 0.90 Riiko debit Q 0 dilampaui dalam atu tahun ke depan = p = 0.0, atau dapat pula dihitung dengan peramaan ditribui binomial: Q 0 ;, Riiko terjadi banjir dua kali dengan debit lebih dari Q 0 dalam waktu 5 tahun ke depan: Q 5 ;5, ! !! Peluang bahwa banjir dengan debit lebih dari Q 0 tidak pernah terjadi dalam waktu 0 tahun ke depan: Q ;0, Riiko terjadi 5 kali banjir dengan debit melampaui 90 m / dalam 0 tahun ke depan: Q 0 5 5;0, ! ! 5! Itiarto: Penyeleaian Soal Ujian Tengah Semeter 008

8 Soal C Elevai muka air di uatu reervoir dinyatakan dengan variabel m yang memiliki ungi probabilita (probability denity unction, pd) menurut peramaan berikut: p (h) = ½ ah jika 0 h = a jika h = 0 untuk nilai h yang lain. Gambar pd elevai muka air di reervoir terebut.. itung kontanta a.. Carilah ungi ditribui kumulati.. itunglah probabilita muka air melampaui elevai m. 5. itunglah elevai muka air rata-rata di reervoir. Penyeleaian Gambar/keta pd elevai muka air di reervoir Sketa pd elevai muka air diajikan pada gambar di bawah ini. Gambar. Sketa pd elevai muka air di reervoir Nilai kontanta a Nilai kontanta a dapat diperoleh dengan memperhatikan bahwa lua kawaan di bawah kurva cd antara.d. + ama dengan atu. 0 p h p h p h p h 0 Dari peramaan terebut dan dengan memperhatikan keta pd, maka: 0 + (½ a) + ( a) + 0 = a = a = ⅓ Fungi ditribui kumulati, cd Dengan memperhatikan peramaan dan keta pd, maka cd haru ditetapkan pada empat rentang, yaitu h < 0, 0 < h <, < h <, dan h >. Untuk h < 0 m P (h) = prob( <h) = 0 untuk h < 0 m. Itiarto: Penyeleaian Soal Ujian Tengah Semeter 008

9 Untuk 0 m < h < m P h h h C 6 Syarat bata: di h = 0, P (h) = 0 ehingga C = 0. Dengan demikian: h h P untuk 0 m < h < m. Untuk m < h < m P h h C Syarat bata: di h =, P (h) = ehingga C C Dengan demikian: h h P untuk m < h < m. Untuk h > m P (h) = prob( <h) = untuk h > m. Jadi cd elevai muka air di reervoir terebut adalah: P h 0 h h h 0 m 0 m h m m h m h m Tabel merangkum pd dan cd elevai muka air di reervoir, edang Gambar menyajikan ilutrai grai cd elevai muka air di reervoir. Tabel. Probability denity unction dan cumulative ditribution unction elevai muka air di reervoir Elevai muka air, h pd, p h cd, h h < 0 m p h 0 h 0 0 m < h < m p h h 6 P h h m < h < m p h h h h > m p h 0 h P P P P Itiarto: Penyeleaian Soal Ujian Tengah Semeter 008

10 Gambar. Sketa cd elevai muka air di reervoir Elevai muka air rata-rata Elevai muka air rata-rata di reervoir diperoleh dengan peramaan momen pertama ebagai berikut: 8 8 h p h h 0 h h 6 8 h Jadi elevai muka air rata-rata di reervoir adalah.67 m. Itiarto: Penyeleaian Soal Ujian Tengah Semeter 008