KEPERIODIKAN DARI PERPANGKATAN MATRIKS TEREDUKSI DALAM ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASI PADA KELAS SIKLIK

Transkripsi

1 PROSIDING SEMINR NSIONL SINS DN PENDIDIKN SINS UKSW KEPERIODIKN DRI PERPNGKTN MTRIKS TEREDUKSI DLM LJBR MX-PLUS DN PLIKSI PD KELS SIKLIK Venn Yan Ishak Iwau 1, D. Subiono,MS 1) Mahasiswa Magiste MIP Matematika Institut Teknoogi Sepuuh Nopembe ) Dosen MIP Matematika Institut Teknoogi Sepuuh Nopembe venniwau@yahoo.o.id BSTRK k Pada ajaba -pus teah diketahui bahwa baisan pangkat daam ajaba, dengan adaah matiks pesegi yang teeduksi, menjadi peiodik seteah waktu tansient tebatas T(), dan peiode akhi sama dengan sikisitas gaf kitis dai. Daam hubungan ini dipeajai masaah komputasi dai matiks pesegi yang beukuan dengan k(mod) nn T dan sebagai beikut: (1) dibeikan k, hitung peiodik pangkat. () dibeikan x, dapatkan peiodik akhi dai x 1 utama adaah menggunakan penskaaan simiaitas diagona yang sesuai X X, yang disebut penskaaan visuaisasi. Untuk mempeajai pean dai keas sikik pada gaf kitis. Keywods: Keas Sikik, Gaf Kitis, Peiodik Pangkat, Peiodik akhi.. Ide PENDHULUN Pada jaba -pus banyak pemasaahan yang munu, sehingga pemasaahan itu dapat diseesaikan dengan mendapatkan suatu sousi yang tepat. Daam penyeesaiannya, dibutuhkan anaisis atau dengan menggunakan komputasi. jaba -pus seing digunakan untuk memodekan suatu pemasaahan sepeti tanspotasi, manufatuing, penjadwaan, sistem antian, au intas dan sebagainya. Saah satu kegunaan dai pada ajaba -pus yaitu dapat menyeesaikan dan mendapatkan suatu kepeiodikan dai suatu pemasaahan. Peiodik yang dimaksud disini adaah peiodik egime. Untuk mempeajai peiodik egime, maka peu dibahas visuaisasi, matiks Booean dan matiks pangkat. Sehingga dapat membantu daam menyeesaiakan dan mendapatkan suatu peiodik egime. Pada peneitian ini akan dibahas mengenai pemasaahan yang dibeikan oeh Segei Segeev (009) yaitu menghitung peiodik Pangkat dan mendapatkan peiaku peiodik akhi dai x seta mengapikasikan ke keas sikik pada gaf kitis. dapun tujuan dai peneitian ini adaah: 1. Dapat menghitung peiodik pangkat dengan kmod dan T jika k diketahui.. Dapat menemukan peiaku peiodik akhi x jika x diketahui. 3. Dapat mengapikasikan ke keas sikik pada gaf kitis. M-1

2 PROSIDING SEMINR NSIONL SINS DN PENDIDIKN SINS UKSW BHN DN METODE Daam penuisan makaah ini bahan yang digunakan adaah dengan menggunakan studi iteatu beupa buku-buku, juna dan ain-ain yang dapat digunakan untuk menunjang penuisan ini. Metode yang digunakan adaah dengan mengkaji teoi-teoi sepeti definisi, poposisi dan teoema yang akan dipakai untuk menyeesaikan masaah kepeiodikan. dapun angkah-angkah pengejaan daam peneitian ini adaah sebagai beikut: 1. Membahas Kepeiodikan Pada tahap ini, dibahas tentang kepeiodikan suatu matiks pesegi pada ajaba -pus dengan aa mengkaji teoi-teoi speti definisi dan teoema-teoema yang akan dipakai untuk menyeesaikan masaah peiodik kepeiodikan.. Menyeesaikan dan mendapatkan masaah peiodik pangkat dan peiaku peiodik akhi Pada tahap ini dibahas tentang penyeesaian suatu peiodik pangkat dan mendapatkan suatu peiaku peiodik akhi x dengan menggunakan definisi dan teoema yang tekait. 3. Mengapikasikan ke keas sikik pada gaph kitis Pada tahap ini, dibahas mengenai apikasi dai pembahasan peiodik egime ke keas sikik pada gaf kitis dengan membeikan ontoh-ontoh. HSIL DN DISKUSI PERIODISITS DN KOMPLEKSITS Poyekto Spekta dan Matiks Peiodesitas Untuk matiks eemen-eemen: yang teeduksi dan tedefinisi, sesuai dengan matiks Q R * * ij ik kj,, 1,..., k 1 a a a i j n (1) dengan Opeato -pus inea matiks Q n bekaitan dengan, daam ati bahwa pojek R pada eigenone V. Opato ini sangat bekaitan dengan masaah peiodisitas. Q disebut juga matiks obita. Peposisi 1 Dibeikan R adaah poyekto speta -pus inea yang yang teeduksi dan tedefinisi dan dibeikan semua komponen stongy onneted (s..)dai C adaah pimitive, maka tedapat biangan buat T Q, untuk semua T. Peposisi Untuk matiks R sehingga yang teeduksi dan tedefinisi, setiap koom kitis (atau bais) dai Q adaah sama dengan koenspondensi koom (atau bais) dai Ketika C komponen dai mempunyai komponen inpimitif, sesuai dengan peposisi 1 bahwa semua C adaah pimitive, dimana adaah sikisitas dai itu, untuk setiap yang ukup besa adaah keipatan dai, * C. Oeh kaena adaah matiks dai poyekto speta daam eigenone dai. Ini juga mengakibatkan bahwa untuk yang ukup besa, M-

3 mempunyai PROSIDING SEMINR NSIONL SINS DN PENDIDIKN SINS UKSW dengan T. Juga diketahui bahwa adaah peiode akhi dai biangan buat sehingga Peposisi 3 Dibeikan. Jumah seteah dimuai disebut tansient dai untuk semua T. R peiodik untuk n. yang teeduksi dan tedefinisi. Bais dan koom kitis dai dan dinotasikan yakni sedikitnya menjadi Sifat-sifat Peiodik Pangkat Peiodik pangkat dai matiks yang teeduksi dan tedefinisi dijeaskan dengan peposisi beikut Peposisi 4 Dibeikan matiks yang teeduksi dan tedefinisi dan 0 R Maka untuk setiap biangan buat 0 t t t t t t k. i1 ki i.. k i1 ik. i t sehingga t T a a, a a, 1 k n () Peposisi 5 Dibeikan matiks. R yang teeduksi dan tedefinisisi dan dibeikan i, j N sedemikian sehingga i j, untuk Tedapat t sedemikian sehingga untuk setiap n t t a, a (3) ij. i. j ij j. i.. Jika matiks adaah visuaisasi maka untuk semua n, (4) kibat 6 Dibeikan. i. j j. i. R dan n. Semua bais dai matiks keas sikik adaah sama satu sama yang ain dan beaku untuk koom. dengan indeks yang sama dengan Peposisi 5 disebutkan bahwa untuk setiap matiks pangkat untuk n, koom kitis atau bais kitis dapat dipeoeh dai koom kitis atau bais kitis dai Spekta Poyekto Q dengan pemutasi himpunan dai koom atau bais yang koenspondensi dengan keas sikik dai C Peposisi 7 Semua matiks pangkat untuk T mempunyai koom span yang sama, yang mana eigenone-nya adaah V. Peposisi 7 menjeaskan bahwa V adaah koom span akhi dai matiks. dengan aa T yang sama dipeoeh bais span dai matiks adaah V. Cones dapat dipeumum dengan koom atau bais kitis dai keene sta *. Untuk basis dai one ini, dapat diambi M-3

4 PROSIDING SEMINR NSIONL SINS DN PENDIDIKN SINS UKSW dai setiap himpunan koom * ( ekuivaensi dengan Q atau t untuk t T yang mengindikasikan bentuk himpunan minima dai semua keas sikik dai C. Diambi t T. Untuk setiap 0, dibeikan C t n R atau sebaiknya ), R n R menjadi matiks yang diekstak dai kom kitis dai atau sebaiknya dai bais kitis t 0 0. Dibeikan C : C, R : R. Dengaotasi ini dan dai peposisi 4 dan peposisi 5, maka dapat disimpukan bahwa untuk visuaisasi matiks teeduksi R t (5) C R C R C C, C C R R (6) Pesamaan (5 ) tenyata ekuivaensi dengan pesamaan ( ). Lebih anjut i j hanya jika tedapat indeks p i dan s j sedemikina sehingga eemen p, s C jika dan adaah 1, dan semua bais dai R atau koom dai C, dengan indeks yang sama dengan keas sikik adaah sama satu sama ain. Dengan menggabungkan pesamaan (5) dan pesamaan (6) maka dipeoeh t C (7) C R Jika tidak tevisuaisasi tetapi tedefinisi teeduksi, maka pesamaan ( 6) dan (7 ) dapat 1 1 dituiskan. Dibeikan B X X tevisuaisasi. Meneapkan penskaaan inves XBX pada pesamaan (7 ) (dimana B digantikan dengan ) maka dipeoeh pesamaan dai bentuk yang sama, dimana C dan R adaah matiks yang diekstak dai koom kitis atau sebaiknya bais dai t C C C dan digantikan dengan matiks a R yang didefinisikan dengan, if,, a i, j 0 if,, C aij i j E ij i j E ij Menyeesaiakan masaah kepeiodikan dengan Matiks Pesegi Dibeikan dan 1. t-attation one tt, t R dai adaah one yang tedii t dai semua vekto x, untuk yang tedapat biangan buat sehingga x x dan ha ini juga beaku untuk semua biangan buat yang ebih besa atau sama dengan. Peposisi 8 Dibeikan matiks teeduksi dan tedefinisi. Sistem x t x ekuivaensi dengan T. semua Bukti: Dibeikan x yang memenuhi s st x x untuk s T sistem ini untuk semua yang ebih besa s. kaena peiodisitas untuk semua k dai tedapat s sehingga k. k k t x x juga memenuhi T k s, maka juga akan memenuhi T k s M-4

5 PROSIDING SEMINR NSIONL SINS DN PENDIDIKN SINS UKSW kibat 9 tt, t tt t,1 Komponen dai dengan indeks pada N 1,..., t x x subsistem dai komponen-komponen dengan indeks ini disebut subsistem kitis. Lemma 10 Dibeikan matiks teeduksi dan tedefinisi dan dibeikan T t x x ekuivaensi dengan subsistem kitis. disebut kitis dan. Maka Beikutnya dibeikan batasan daam menghitung kompeksitas daam memutuskan x tt, t, sepeti masaah-masaah yang ain yang dapat difomuasikan sepeti di apakah bahwah ini. P1. dibeikan x, uji apakah x tt, t P. dibeikan x: 0 k, hitung peiodik matiks pangkat P3. dibeikan x, hitung peiodik akhi dai x, 0 buat sedemikian sehingga Teoema 11 Untuk setiap matiks O n 3 og n kai. Bukti: R Petama pehatikan bahwa x 3 semua titik kitis yang tidak ebih dai O n dimana k mod., yang beati sedikitnya biangan untuk semua T. yang teeduksi, maka masaah P1-P3 dapat diseesaikan pada dan vekto subeigen dapat dihitung dan mengidentifikasi Washa. Seanjutnya mengidentifikasi semua keas sikik C Veinott pada O n opeasi. opeasi, yang diakukan dengan agoitma Foyd- dengan kondensasi Bae- Dengan peposisi 3, koom kitis dan bais kitis menjadi peiodik untuk n. Dengan ' T, itu sudah ukup untuk menghitung mengetahui koom kitis dan bais kitis pada untuk n, yang dapat diseesaikan dengan og 4 O n matiks pesegi,,,... dan dipeukan O n 3 og n kai dan mengikuti pesamaan (3 ), untuk meneapkan pemutasi yang sesuai pada keas sikik yang dipeukan O n. Dengan emma 10, P1 dapat diseesaikan ' ' t dengan veifikasi dai subsistem kitis dai x x yang dipeukan O n opeasi. Dengan menggunakan bantuan pesamaan (), sisa submatiks non kitis dai, untuk 3 T k mod O n. Ini adaah setiap sehingga dapat dihitung pada penyeesaian untuk P. Bais non kitis dai matiks meupakan geneaisasi dai bais kitis, peiodik akhi dai x ditentukan dai komponen-konponen kitis. Untuk visuaisasi matiks, diketahui t bahwa i. j. untuk semua, untuk i t j i j sehingga i t j. Ini beati t x x, atinya bahwa untuk menentukan peiode dibutuhkan hanya sub vekto dai i j M-5

6 PROSIDING SEMINR NSIONL SINS DN PENDIDIKN SINS UKSW x untuk setiap sembaang n. Untuk i dan n, baisan i x, t 0 dapat diepesentasikan dengan baisan dai koodinat kitis dai x yang ditentukan oeh suatu pemutasi pada keas sikik dai s.., temasuk i. Untuk menghitung peiode, dapat diambi ontoh banyaknya yang mungkin, yang membutuhkan ebih dai seaa beuutan pada baisan dan peiksa semua peiode-peiode opeasi. Peiode dai x akan tampak 3 sepeti..m. pada peiode ini. Semua opeasi di atas tidak membutuhkan ebih dai O n kai. Ini adaah penyeesaian P3. KESIMPULN Bedasakan hasi dan pembahasan maka dapat disimpukan bahwa: 1. Jika k diketahui maka dapat menghitung peiodik pangkat dan T. Jika x maka dapat ditemukan peiaku peiodik akhi x mengapikasikan ke keas sikik pada gaf kitis. dengan kmod seta dapat M-6

7 PROSIDING SEMINR NSIONL SINS DN PENDIDIKN SINS UKSW DFTR PUSTK [1] Baei, F., Cohen, G., Osde, G. J., dan Quadat, J. P. (001), Synhonization and Lineaity, John Wiey & Sons, New Yok. [] C.H. Papadimitiou, K. Steigitz, Combinatoia Optimization: goithms and Compexity, Pentie Ha, New Jesey, 198 [3] Heidegott, Bend. (006), Max Pus geba nd Queues, Vije Univesiteit. Depatment of Eonometis and Opeations Reseah De Boeeaan 1105, 1081 HV mstedam, The Netheands. [4] P. Butkoviˇ, R.. Cuninghame-Geen, On matix powes in -ageba, Linea geba pp. [5] Novitasai, Ratna. (008), naisis Masaah Geneato Dai Possibe Dan Univesa Eigenveto Pada Matiks Inteva Daam jaba Max-Pus, Tesis, Institut Teknoogi Sepuuh Nopembe, Suabaya [6] R.. Buadi, H.J. Ryse, Combinatoia Matix Theoy, Cambidge Univ. Pess, 1991 [7] Subiono. (009). jaba Max-Pus, Institut Teknoogi Sepuuh Nopembe, Suabaya [8] S. Segeev,(009) Max agebai powes of ieduibe maties in the peiodi egime: n appiation of yi asses, Linea geba pp. [9] S. Segeev, H. Shneide, P. Butkovi,(199) On visuaization saing, subeigenvetos and Keene stas in ageba, Linea geba pp. M-7