Stabilisasi Pada Sistem Pendulum-Kereta dengan Menggunakan Metode Fuzzy-Sliding Mode Control

Transkripsi

1 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 3, No. 1, (214) ISSN: ( Pint) B-53 Stabilisasi Pada Sistem Pendulum-Keeta Menggunakan Metode Fuzzy-Sliding Mode Contol Nioa Fatimah Tanzania, Tihastuti Agustinah Teknik Elekto, Fakultas Teknologi Industi, Institut Teknologi Sepuluh Nopembe (ITS) Jl. Aief Rahman Hakim, Suabaya 6111 Indonesia Abstak Sistem Pendulum-Keeta meupakan salah satu sistem nonlinea yang memiliki kaakteistik sedehana namun sulit untuk dikontol, sehingga seing digunakan untuk menguji bebagai metode kontol. Pada Tugas Akhi ini membahas mengenai stabilisasi pada sistem pendulum-keeta menggunakan metode Fuzzy-Sliding Mode Contol aga sistem pendulum-keeta mampu mempetahankan batang pendulum dalam posisi tebaliknya dan tahan tehadap gangguan. Model nonlinea sistem pendulum-keeta akan diepesentasikan dalam model fuzzy Takagi-Sugeno untuk dua titik keja. Dengan menggunakan model fuzzy Takagi- Sugeno tesebut, dipilih sebuah pemukaan luncu. Tedapat dua sinyal kontol pada Sliding Mode Contol yaitu sinyal kontol ekivalen yang memaksa state menuju pemukaan luncu dan sinyal kontol natual yang mempetahankan state dipemukaan luncu seta membeikan kekokohan sistem tehadap ketidakpastian. Gain pada sinyal kontol ekivalen akan didesain menggunakan Ackemanns Fomula. Hasil simulasi dan implementasi menunjukkan bahwa batang pendulum dapat stabil pada posisi tebaliknya ( adian) dan mampu mengkompensasi gangguan yang tejadi pada sistem. Kata Kunci Sistem Pendulum-Keeta, stabilisasi, Fuzzy- Sliding Mode Contol, model Fuzzy Takagi-Sugeno, Ackemann s Fomula I. PENDAHULUAN Sistem pendulum-keeta adalah salah satu sistem yang biasa dipelajai didalam sistem pengatuan. Sistem pendulum-keeta meupakan salah satu dai plant nonlinea yang memiliki kaakteistik yang sedehana [3], namun sulit untuk dikontol. Bagian utama dai sistem pendulum-keeta adalah keeta dan pendulum. Keeta dapat begeak hoizontal pada lintasan yang tebatas, sedangkan pendulum dapat beayun bebas tehadap poosnya. Sistem pendulumkeeta biasa digunakan untuk menguji suatu metode kontol sehingga metode kontol tesebut dapat diteapkan pada bebagai aplikasi dai sistem nonlinea yang lebih komplek. Tedapat tiga pemasalahan kontol pada sistem pendulum-keeta, yaitu swing-up, stabilisasi, dan tacking. Swing-up adalah usaha yang dilakukan untuk mengayunkan batang pendulum dai posisi menggantung ke posisi tebaliknya. Stabilisasi adalah usaha yang dilakukan untuk menjaga batang pendulum tetap stabil pada posisi tebaliknya. Tacking adalah usaha yang dilakukan untuk mempengauhi kestabilan sistem. Oleh kaena itu digunakan suatu metode kontol yang besifat obust untuk menjaga kestabilan sistem. Pada tugas akhi ini digunakan gabungan metode kontol fuzzy Takagi Sugeno [6], [7] dan metode Sliding Mode Contol [3], [4], [5] untuk menstabilkan pendulum pada posisi tebaliknya (sudut adian tehadap gais vetikal) dan posisi keeta beada pada titik tengah lintasan el keeta. Sliding Mode Contol adalah suatu metode kontol yang mampu bekeja baik pada sistem linea maupun sistem nonlinea. Metode pengontolan sliding mode contol adalah menggunakan kontol penyaklaan bekecepatan tinggi untuk men-dive tayektoi state dai plant menuju sebuah pemukaan khusus yang ditentukan dalam uang state, yang biasa disebut pemukaan luncu (poses ini disebut eaching mode) dan kemudian mempetahankan tayektoi state dai plant tetap beada sepanjang pemukaan luncu (geak tesebut disebut sliding mode). Metode sliding mode contol akan didesain menggunakan ackemann s fomula [1] untuk membeikan kekokohan sistem, sehingga dihasilkan kineja kontol yang lebih baik. Metode kontol fuzzy digunakan untuk menghasilkan sinyal kontol pada setiap daeah keja yang bebeda. Untuk meepesentasikan sistem nonlinea pada sistem pendulumkeeta digunakan model fuzzy Takagi-Sugeno (T-S). Dengan menggunakan model fuzzy Takagi-Sugeno, sistem pendulum-keeta dapat digambakan sebagai bebeapa model linea yang mewakili untuk setiap daeah opeasi yang bebeda. Model keseluuhan sistem adalah gabungan dai model-model linea tesebut. II. MODEL MATEMATIKA SISTEMPENDULUM-KERETA Sistem pendulum-keeta tedii dai keeta dan pendulum. Keeta dapat begeak ke kii dan ke kanan pada lintasan yang tebatas dan pendulum dapat beotasi tehadap sumbu otasi yang tedapat pada sisi keeta. Diagam fisik sistem pendulum-keeta dapat dilihat pada Gamba 1 dan pada Gamba 2 dapat dilihat komponen gaya yang tedapat pada sistem pendulum-keeta. memaksa sistem pendulum-keeta begeak mengikuti sinyal efeensi tetap mempetahankan batang pendulum pada posisi tebaliknya. Suatu sistem nonlinea sepeti sistem pendulum-keeta, apabila tidak dikontol akan

2 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 3, No. 1, (214) ISSN: ( Pint) B-54 = s μ 1 s μ 2 (s μ n ) = s n + α 1 s n α n 1 s + α n (5) Teoema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa A memenuhi pesamaan kaakteistik sebagai beikut: φ A = A n + α 1 A n α n 1 A + α n I (6) Gamba 1 Diagam Fisik Sistem Pendulum-Keeta Maka Gain kontol K dapat dipeoleh dai pesamaan ackemann s fomula. K = e T φ(a) (7) e T = [ 1][B AB A n 1 B] -1 Gamba 2 Komponen Gaya Sistem Pendulum-Keeta Sistem pendulum-keeta memiliki empat elemen vekto state yang dinyatakan dalam x. Keempat elemen vekto state tesebut adalah: x 1 : Posisi keeta (diuku dai titik tengah el), x x 2 : Sudut pendulum tehadap gais vetikal, θ P x 3 : Kecepatan keeta, v x 4 : Kecepatan sudut pendulum, ω P Dan jika ditulis dalam vekto x sebagai beikut: x = [x 1 x 2 x 3 x 4] T (1) Model matematika dalam bentuk pesamaan state dapat dituliskan menjadi: x 1 = x 3 x 2 = x 4 x 3 = a(u T c μx 2 4 sin x 2 ) + l cos x 2 μg sin x 2 f p x 4 J + μl sin 2 x 2 x 4 = l cos x 2 (u T c μx 2 4 sin x 2 ) + μg sin x 2 f p x 4 J + μl sin 2 (2) x 2 : a = l 2 J + m c + m p μ = m c + m p l III. FUZZY-SLIDING MODE CONTROL Suatu sistem: x = Ax + Bu eq (1) u eq = Kx (2) Pesamaan (1) sistem dapat diubah menjadi x = (A BK)x (3) A = A BK (4) Pesamaan kaakteistik yang diingikan adalah si A + BK = si A Pemukaan luncu dinyatakan sebagai beikut: s = c T x (8) c T = e T (A λ 1 I)(A λ 2 I) (A λ n 1 I) (9) λ 1, λ 2, λ n 1 meupakan eigen value dinamis didalam plane s = c T x =. Sedangkan untuk mendesain sinyal kontol natual digunakan analisis kestabilan Liapunov. Sebuah fungsi definit positif dipilih sebagai kandidat Liapunov sebagai beikut: V(t) = 1 2 s2 (1) sehingga tuunan fungsi Liapunov menjadi: V (t) = s s (11) s = c T Ax + B u n + u eq s = (c T Ax + c T Bu n ) + c T Bu eq = c T Bu n = u n Mengacu pada syaat kestabilan Lyapunov, V (t) < maka V (t) < s s < s u n < Syaat ini akan tepenuhi jika: a) s <, maka u n > b) s >, maka u n < Maka akan tejadi penyaklaan untuk mempetahankan tayektoi state tetap beada pada pemukaan luncu. Sinyal kontol natual diumuskan dalam pesamaan sebagai beikut: u n = q sgn(s) (12) Untuk menguangi chatteing yang timbul akibat fungsi penyaklaan, maka dilakukan peubahan sinyal kontol, sehingga sinyal kontol natual menjadi:

3 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 3, No. 1, (214) ISSN: ( Pint) B-55 u n = q sat (s) (13) Model fuzzy Takagi-Sugeno digunakan untuk meepesentasikan sistem nonlinea menjadi bebeapa model linea. Beikut ini meupakan caa penulisan atuan If-Then: Atuan plant ke-i: If z 1 (t)is M i1 AND... AND z j (t) is M ij, Then x (t) = A i x(t) + B i u(t) y(t) = C i x(t) + D i u(t) i = 1, 2,, j = 1, 2,, p (14) M ij adalah himpunan fuzzy, adalah jumlah atuan fuzzy, dan p adalah jumlah himpunan fuzzy dalam satu atuan, vekto state x(t) R n, vekto kontol masukan u(t) R m, dan vekto keluaan sistem y(t) R q, sedangkan vaiabel pada bagian pemis yang dapat beupa fungsi dai vaiabel state adalah z(t) R j, dan gangguan ekstenal. Diasumsikan bahwa vaiabel pada bagian pemis bukan fungsi dai vaiabel masukan u(t). Model linea diepesentasikan A i x(t) + B i u(t) yang disebut subsystem. Pada infeensi fuzzy yang menggunakan logika penghubung AND (opeato poduct) dan metode fuzzifikasi cente (weighted) aveage, maka model fuzzy Takagi- Sugeno secaa keseluuhan dapat dituliskan sebagai beikut: x (t) = w i z(t) [A i x(t) + B i u(t)] y(t) = w i z(t) [C i x(t) + D i u(t)] w i z(t) = μ i z(t) ; μ μ i (z(t) i z(t) i p = M ij z j (t) j=1 (15) (16) (17) Pembobot w i z(t) dan deajat keanggotaan μ i z i (t) memiliki sifat sebagi beikut: w i z(t) ; w i z(t) = 1 (18) μ i z(t) ; μ i z(t) > 1 (19) Dai atuan plant yang ada, dapat disusun atuan kontole fuzzy konsep PDC sebagai beikut: Atuan kontole ke-i: If z 1 (t) is M i1 AND AND z j (t) is M ij Then u(t) = K i x(t) i = 1, 2,, j = 1, 2,, p (2) Secaa keseluuhan, keluaan dai kontole fuzzy dapat dituliskan sebagai beikut: u(t) = w i z(t) [ K i x(t) ] (21) Maka model fuzzy Takagi-Sugeno dapat dituliskan menjadi sistem lup tetutup sebagai beikut: x (t) = w i z(t) w j z(t) [ A i B i K j x(t) j=1 y(t) = w i z(t) w j z(t) [ C i D i K j x(t) j=1 (22) (23) Dengan mengacu pada Pesamaan (18) dan (19), maka model pada Pesamaan (22) dan (23) disedehanakan menjadi: x (t) = A i B i K j x(t) (24) y(t) = C i D i K j x(t) (25) i = 1, 2,, j = 1, 2,, p IV. SIMULASI DAN IMPLEMENTASI PADA SISTEM PENDULUM-KERETA Pada bagian ini dilakukan pengujian simulasi dan implementasi sistem kontol yang telah diancang. Sistem pendulum-keeta akan dilineaisasi pada dua titik keja yaitu di titik keja x * 2 = adian dan x * 2 = ±,3 adian. Untuk titik keja petama, dipeoleh: x = A 1 x + B 1 u (26) 1 1 A 1 = ; B,25256,13 1 = 15,4211,791 Dan untuk titik keja kedua, dipeoleh:, ,23699 (27) x = A 2 x + B 2 u (28) 1 1 A 2 = ; B,269,1 2 = 14,2737,79,8254 1,1791 (29) Model fuzzy Takagi-Sugeno yang digunakan memiliki dua atuan dan satu vaiabel pemis, yaitu posisi sudut pendulum. Dai Pesamaan (14), menggunakan model linea pada Pesamaan (27) dan (29), maka model fuzzy Takagi-Sugeno dibentuk atuan sebagai beikut: Atuan model plant ke-1: If x 2 is M 1 (sekita adian) Then x = A 1 x + B 1 u y = C 1 x (3) Atuan model plant ke-2:

4 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 3, No. 1, (214) ISSN: ( Pint) B-56 If x 2 is M 2 (sekita ±,3 adian) Then x = A 2 x + B 2 u y = C 2 x (31) Sesuai konsep PDC maka dapat disusun suatu atuan kontole yang besesuaian atuan plant pada Pesamaan (3) dan (31) yaitu: Atuan kontole plant ke-1: If x 2 is M 1 (sekita adian) Then u eq = K 1 x u n = q 1 sat s 1 (32) Atuan kontole plant ke-2: If x 2 is M 2 (sekita ±,3 adian) Then u eq = K 2 x u n = q 2 sat s 2 (33) Gamba 3 Fungsi Keanggotan M 1 dan M 2 Simulasi dilakukan initial condition pada sudut pendulum sebesa,4 adian. Dan dibei gangguan sebesa,5 adian. Dai model fuzzy Takagi-Sugeno tesebut maka dipeoleh sinyal kontol yang dituliskan sebagai beikut: 2 u eq = M i (x 2 ) [ K i x] (34) 2 u n = M i (x 2 ) [ q i sat s i ] (35) Fungsi keanggotan M 1 yang digunakan adalah fungsi keanggotaan gaussian dan fungsi keanggotaan M 2 yang digunakan meupakan komplemen dai fungsi keanggotaan M 1. Fungsi keanggotaan M 1 memiliki paamete c = dan σ =,1. Fungsi Keanggotaan M 1 dan M 2 dapat dilihat pada Gamba 3. Pada makalah ini akan digunakan infeensi fuzzy metode defuzzifikasi yang digunakan adalah eata bebobot. Dai Pesamaan (7) didapatkan nilai gain kontol sebagai beikut: K 1 = [ 65,65 254,85 58,46 61,72] (36) K 2 = [ 112,33 491,72 124,88 121,33] (37) closed loop pole untuk titik keja petama memiliki kaakteistik t s = 2 sec dan asio peedaman ξ =,85. Dan untuk titik keja kedua memiliki kaakteistik t s = 2 sec dan asio peedaman ξ = 1. Sedangkan pemukaan luncu didesain bedasakan Pesamaan (8), paamete c T yang didapatkan dai Pesamaan (9) yaitu T c 1 = [,13 1,422,721,8567] (38) c 2 T = [,18 1,4922,758,912] (39) Gamba 4 Hasil Simulasi Respons Posisi Keeta, Posisi Sudut Pendulum, dan Sinyal Kontol dibei Gangguan w(t) Pada Gamba 4 ditunjukkan espons posisi keeta yang telah dibei gangguan w(t), pada detik ke-3 keeta akan begeak kii yang beati sistem melawan gangguan yang dibeikan sebesa,5 Newton dan pada saat detik ke-12 sistem begeak ke kanan saat dibeikan gangguan sebesa -,5 Newton. Posisi keeta menyimpang tidak telalu jauh dai titik tengah el yaitu sebesa -,8 m pada detik ke-3 dan,8 pada detik ke-12. Dan pada hasil espons posisi sudut pendulum, dapat dilihat sudut pendulum tidak telalu begese dai sudut adian yaitu sekita ±,2 adian. Sedangkan pada espon simulasi siyal kontol dapat dilihat bahwa pada detik ke-3 saat sistem dibei gangguan sebesa,5 N, sinyal kontol begese sebesa -5 N, dan pada detik ke-12 saat sistem dibei gangguan sebesa -5N, sinyal

5 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 3, No. 1, (214) ISSN: ( Pint) B-57 sistem pendulum-keeta Digital pendulum Mechanichal Unit 33-2 menggunakan softwae MATLAB/Simulink Batang pendulum akan diayunkan ke daeah stabilisasi menggunakan tangan. Hasil implementasi tanpa gangguan dan gangguan dapat dilihat pada Gamba 5 dan Gamba 6. Gangguan dibeikan pada sistem pendulum-keeta pada detik ke-1 sampai detik ke-15 dan pada detik ke-2 sampai detik ke-25. Dai hasil implementasi pada Gamba 5 dapat dilihat bahwa posisi keeta dapat beada di titik tengah el dan posisi sudut pendulum beada pada sudut adian. Dan pada saat sistem dibei gangguan sistem dapat tetap menjaga kestabilannya, yang dapat ditunjukkan pada Gamba 6, dapat dilihat posisi keeta hanya begese sebesa -,5 pada detik ke-1 dan,5 pada detik ke-2. Sedangkan pada posisi sudut pendulum tejadi pegesean yang sangat kecil. Gamba 5 Hasil Implementasi Respons Posisi Keeta, Posisi Sudut Pendulum, dan Sinyal Kontol V. KESIMPULAN Dengan menggunakan kontole Fuzzy-Sliding Mode Contol sistem pendulum-keeta mampu menstabilkan batang pendulum pada posisi adian dan keeta beada di titik tengah el, seta pada saat dibei gangguan sistem pendulum keeta tahan tehadap gangguan. Kontole Fuzzy-Sliding Mode membeikan espon yang lebih baik dibandingkan meggunakan kontole Sliding Mode, yang ditunjukkan hasil espon yang memiliki undeshoot yang lebih kecil. Untuk penelitian beikutnya kontole Fuzzy-Sliding Mode dihaapkan dapat digunakan pada plant lain yang besifat nonlinea dan tidak stabil pada sistem MIMO (Multi Input Multi Output). DAFTAR PUSTAKA [1] Ogata, K., Moden Contol Engineeing 3 d ed, Pentice-Hall, New Jesey, [2], Digital Pendulum Contol in MATLAB Envionment (MATLAB 6.5 Vesion), Feedback Instument Ltd., 24. [3] Panya, S., T., Benjana, S., Nundakwang, J., Ngamwiwit, dan N., Komine., Hybid Contolle fo Inveted Pendulum System, Intenational Symposium on Communications and Infomation Technologies (ISCIT) IEEE, 28. [4] Utkin, V., J., Guldne, dan J., Shi, Sliding Mode Contol in Electomechanical System,Taylo & Fancis,1999 [5] Slotine J., dan Li, W., Applied Nonlinea Contol, Pentice- Hall, New Jesey, [6] Pasino, K., dan Yukovich, S., Fuzzy Contol, Addison Wesley Longman, Califonia, [7], Fuzzy Logic Toolbox Fo Use With Matlab, The Math Wok Inc., 22. Gamba 6 Hasil Implementasi Respons Posisi Keeta, Posisi Sudut Pendulum, dan Sinyal Kontol Gangguan kontol begese sebesa 5 N. Hal ini dapat disimpulkan bahwa sistem mampu stabil tehadap gangguan yang dibeikan. Implementasi dilakukan menggunakan plant nyata