PEMODELAN GELOMBANG BUNYI DALAM AIR DAN SOLUSINYA DWI PUSPA ANGGRAINI G

Transkripsi

1 PEMODELAN GELOMBANG BUNYI DALAM AIR DAN SOLUSINYA DWI PUSPA ANGGRAINI G533 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2 ABSTRACT DWI PUSPA ANGGRAINI Modeing and Soution fo Acoustic Wave in Wate Supevised by ENDAR H NUGRAHANI and ALI KUSNANTO Sound is poduced by vibation of an object, it foms an acoustic wave and speads though a medium fom a ocation to anothe Wave equation is a hypeboic second ode patia diffeentia equation In this case, the occued pocess depends on time vaiabe This indicates that the esut of the pocess wi be detemined by the initia conditions To buid a one dimensiona acoustic wave mode, thee chaacteistics ae being assumed This mode is soved using d Aembet method The soution of the coesponding -dimensiona wave equation is a paticua soution which fufis some additiona conditions This soution is obtained by using Fouie method, poa coodinate tansfomation, and Besse soution The esuting paticua soution is iustated by dispaying some thee dimensiona gaphica epesentation

3 ABSTRAK DWI PUSPA ANGGRAINI Pemodean Geombang Bunyi Daam Ai dan Sousinya Dibimbing oeh ENDAR H NUGRAHANI dan ALI KUSNANTO Bunyi meupakan suatu geombang yang dihasikan oeh objek yang begeta dan menyeba meaui sebuah medium dai satu okasi ke okasi ainnya Pesamaan geombang atau getaan temasuk daam pesamaan difeensia pasia ode dua betipe hipeboik Daam kasus PDP hipeboik, poses yang tejadi akan begantung tehadap waktu Ha tesebut mengindikasikan bahwa hasi dai suatu poses yang begantung tehadap waktu akan sangat ditentukan oeh keadaan poses tesebut pada saat awa Tiga kaakteistik diasumsikan untuk membangun mode geombang bunyi di daam ai dimensi, yang mana sousinya dicai dengan menggunakan metode d Aembet Penyeesaian PDP ode dua yang akan dicai adaah hingga penyeesaian khusus yang unik seta memenuhi syaat tambahan tetentu Sousi khusus mode geombang bunyi daam ai dimensi dicai dengan menggunakan metode gabungan antaa koodinat poa, metode Fouie, dan sousi Besse Sousi khusus yang didapatkan diiustasikan dengan menyajikan bebeapa gamba gafik 3 dimensi

4 PEMODELAN GELOMBANG BUNYI DALAM AIR DAN SOLUSINYA Skipsi Sebagai saah satu syaat untuk mempeoeh gea Sajana Sains pada Fakutas Matematika dan Imu Pengetahuan Aam Institut Petanian Bogo Oeh: DWI PUSPA ANGGRAINI G533 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

5 Judu : PEMODELAN GELOMBANG BUNYI DALAM AIR DAN SOLUSINYA Nama : Dwi Puspa Anggaini NIM : G533 Menyetujui: Pembimbing I, Pembimbing II, D I Enda H Nugahani, MS Ds Ai Kusnanto, MSi NIP 3 NIP Mengetahui: Dekan Fakutas Matematika dan Imu Pengetahuan Aam Institut Petanian Bogo D dh Hasim, DEA NIP Tangga Luus:

6 PRAKATA Puji dan syuku penuis panjatkan kepada Aah SWT atas impahan ahmat dan kaunia-nya sehingga kaya imiah ini behasi diseesaikan Shaawat dan saam semoga tecuah kepada manusia temuia, Muhammad SAW Tema yang dipiih daam penuisan kaya imiah ini adaah pencaian sousi mode suatu Pesamaan Difeensia Pasia, dengan judu Pemodean Geombang Bunyi Daam Ai dan Sousinya Kaya imiah ini disusun sebagai saah satu syaat untuk mempeoeh gea Sajana Sains pada Depatemen Matematika Teimakasih penuis ucapkan kepada Ibu D I Enda H Nugahani, MS dan Bapak Ds Ai Kusnanto, MSi sebagai pembimbing seta Bapak D Toni Bakhtia, MSc sebagai penguji yang teah banyak membeikan pengaahan, saan dan masukan sehingga penuis dapat menyeesaikan kaya imiah ini Penghagaan penuis sampaikan kepada seuuh Dosen atas imu yang teah dibeikan beseta seuuh staf Depatemen Matematika dan teman-teman atas bantuanya daam peaksanaan penuisan dan penyusunan skipsi Ungkapan teima kasih juga disampaikan kepada Papa, Mama, Mba Ika dan De Sai, seta seuuh keuaga atas doa, kasih sayang, dan doongan moi yang teah dibeikan, kepada teman-teman Math, adik-adik Math,, 3, teman-teman di Wisma Ayu, ekan-ekan Biu Muda, Fusi dan Keuaga ATE atas dukungan dan semangat Semoga kaya imiah ini bemanfaat Bogo, Januai Dwi Puspa Anggaini

7 RIWAYAT HIDUP Penuis diahikan di Bandung pada tangga Oktobe 95 dai ayah Mohammad Effendie dan ibu Nuu Ayni Penuis meupakan puti kedua dai tiga besaudaa Tahun 3 penuis uus dai SMU Negi Ciebon dan pada tahun yang sama uus seeksi masuk Institut Petanian Bogo (IPB meaui jau Undangan Seeksi Masuk IPB (USMI Penuis memiih Pogam Studi Matematika, Depatemen Matematika, Fakutas Matematika dan Imu Pengetahuan Aam Seama mengikuti pekuiahan, penuis menjadi asisten paktikum mata kuiah Pendidikan Agama Isam tahun ajaan 5/6 dan 6/7 Penuis juga aktif daam oganisasi GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika, seta Lembaga Dakwah Fakutas SERUM-G, dan kepanitiaan yang diseenggaakan oeh Badan Eksekutif Mahasiswa FMIPA pada peiode /5 dan peiode 5/6

8 DAFTAR ISI DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN Haaman vii viii ix I PENDAHULUAN Lata Beakang Tujuan II LANDASAN TEORI III MODEL GELOMBANG BUNYI DALAM AIR -DIMENSI 3 Mode -Dimensi 3 Sousi Mode -Dimensi IV MODEL GELOMBANG BUNYI DALAM AIR -DIMENSI Mode -Dimensi Tansfomasi Koodinat Katesian ke Koodinat Poa 3 Sousi Mode -Dimensi Pemisahaan Peubah Peubah t Peubah θ dan 5 Sousi Deet 6 Iustasi Gafik SIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN vii

9 DAFTAR GAMBAR Gamba u( x, t dengan Gamba u( x, t dengan 3 Gamba (, t Gamba u(,, t 5 Gamba u(,, t 6 Gamba u(,, t 7 Gamba u(,, t Gamba u(,, t 9 Gamba u(,, t Gamba u(,, t Gamba u(,, t x, t t, x u x t dengan dan x θ dengan θ, seta niai paamete λ, dan m θ dengan θ π, seta niai paamete λ, dan m θ dengan θ π, seta niai paamete λ, dan m θ dengan θ dengan Haaman θ π, seta niai paamete λ, dan m θ, seta niai paamete λ, dan m 5 θ dengan θ, niai paamete λ, dan m θ dengan θ, seta niai paamete λ 3, dan m θ dengan θ, seta niai paamete λ 3, dan m viii

10 DAFTAR LAMPIRAN Haaman Langkah mendapatkan pesamaan (7 Menyatakan opetao Lapace dua dimensi daam koodinat poa 3 Tansfomasi pesamaan geombang 3 Mencai pesamaan ( 5 Langkah-angkah mendapatkan pesamaan (3 6 Menentukan pesamaan ( 5 7 Langkah-angkah mendapatkan pesamaan (9 5 Mencai pesamaan (3 6 9 Langkah-angkah mendapatkan pesamaan (3 7 Menentukan pesamaan (3 7 Membuktikan J ( m J ( m m ix

11 I PENDAHULUAN Lata Beakang Saah satu kajian oseanogafi adaah mendeteksi geombang di daam ai (undewate wave, di mana saah satu yang menjadi pehatian adaah masaah geombang bunyi Bunyi meupakan suatu geombang yang dihasikan oeh objek-objek yang begeta dan menyeba meaui sebuah medium dai satu okasi ke okasi ainnya Apikasi yang sangat penting mengenai geombang bunyi di daam ai (undewate acoustics adaah sona untuk mendeteksi, meneusui dan mengkasifikasi kapa seam Secaa umum pesamaan geombang atau getaan temasuk daam Pesamaan Difeensia Pasia (PDP ode dua betipe hipeboik Daam kasus PDP hipeboik, pada umumnya poses yang tejadi akan begantung tehadap waktu Ha tesebut mengindikasikan bahwa hasi dai suatu poses yang begantung tehadap waktu akan sangat ditentukan oeh keadaan poses tesebut pada saat awa Daam ha ini, maka dipeukan syaat tambahan beupa syaat awa dan syaat batas yang memenuhi suatu keadaan tetentu dengan fungsi PDP yang diketahui Bebagai bentuk syaat tambahan yang beaku pada suatu PDP: a Masaah niai awa (MNA, apabia hanya dibeikan syaat awa saja b Masaah niai batas (MNB, apabia hanya ada syaat batas c Masaah niai awa dan batas (MNAB, apabia baik syaat awa maupun syaat batas dibeikan keduanya Untuk PDP hipeboik biasanya beaku MNA dan MNAB Pemasaahan yang dapat dinyatakan daam bentuk PDP sangatah beagam sehingga sousi PDP akan sangat beagam Tidak semua PDP dapat dicai sousinya secaa mudah Dengan pekembangan aat bantu kompute yang sangat pesat, maka teknik penyeesaian PDPpun dapat dipeoeh dengan menggunakan metode numeik Akan tetapi tetap saja, tidak semua masaah dapat diseesaikan secaa numeik, sehingga pemahaman anaitik daam penyeesaian PDP tetap meupakan ha yang paing utama Tiga kaakteistik yang diasumsikan, dapat digunakan untuk membangun sebuah pesamaan bunyi di daam ai, yaitu: a Pepindahan bunyi pada sejumah ai ke posisi bau b Peubahan kepekatan sebanding dengan peubahan tekanan oka c Ketidaksamaan tekanan menghasikan pegeakan di daam ai Daam kaya imiah Lestai ( teah dipeoeh peambatan geombang bunyi daam ai dengan menggunakan pesamaan paaboik dua dimensi Ha tesebut meata beakangi kaya imiah ini untuk mencai pesamaan geombang bunyi dengan menggunakan metode ainnya Metode yang digunakan daam menyeesaikan pesamaan difeensia pasia inea homogen pada mode -dimensi adaah dengan menggunakan sousi anaitik biasa, sedangkan pada mode -dimensi dengan menggunakan koodinat poa, metode Fouie, dan sousi Besse Tujuan Tujuan penuisan kaya imiah ini adaah: a Mencai pesamaan geombang bunyi - dimensi dengan menggunakan tiga kaakteistik timbunya geombang dan sousinya dengan menggunakan metode d Aembet b Mencai sousi khusus -dimensi dengan menggunakan metode gabungan antaa koodinat poa, metode Fouie, dan sousi Besse

12 II LANDASAN TEORI Definisi (Tuunan Fungsi f Tuunan fungsi f pada biangan a dinyatakan dengan f ( a adaah f ( a+ h f ( a f ( a im, ( h h jika imit ini ada (Keysig, 993 Definisi (Tuunan Pasia Misakan f adaah fungsi dua vaiabe x dan y, dengan x adaah vaiabe yang beubah-ubah dan y adaah vaiabe tetap Dimisakan y b dengan b adaah suatu konstanta, sedemikian sehingga fungsi vaiabe tungga x adaah g ( x f ( x, b Jika g mempunyai tuunan di a, maka tuunan pasia dai f tehadap x di ( ab, dinyatakan dengan f x ( ab, Jadi f ( ab, g ( a x ( dengan g ( x f ( x, b Menuut pesamaan (, maka pesamaan ( menjadi f ( a+ h, b f ( a, b f ( a, b im (3 x h h Jika dimisakan titik ( ab, beubah-ubah daam pesamaan (3 maka f x menjadi fungsi dua vaiabe Jika f adaah fungsi dua vaiabe, tuunan pasianya adaah fungsi f x yang didefinisikan oeh f ( x + h, y f ( x, y f x ( x, y im h h (Stewat, 993 Pesamaan Difeensia Biasa (PDB Linea Suatu Pesamaan Difeensia Biasa (PDB ode ke-n adaah inea ketika pesamaan tesebut dapat dituiskan daam bentuk n n d y d y a ( x + a n ( x n dx dx + dy + an ( x + an ( x y dx f ( x a x ( Fungsi a ( x a ( x a ( x,,, n disebut koefisien pada pesamaan difeensia, jika f ( x maka disebut PD tak homogen Sedangkan pesamaan difeensia dikatakan homogen jika f ( x Ketika koefisien adaah fungsi konstan, pesamaan difeensia dapat dikatakan memiiki koefisien konstan Kecuai jika keadaan sebaiknya, haus seau diasumsikan bahwa koefisien adaah fungsi kontinu dan a ( x di setiap inteva pada suatu pesamaan adaah tedefinisi Jika suatu PDB ode ke-n tidak dapat dituis pada bentuk umum di atas maka disebut PDB takinea ode ke-n (Faow, 99 Sousi PDB Linea Ode Dua Pesamaan difeensia inea ode ke-dua mempunyai bentuk ay + by + cy dengan a, b dan c konstanta dan a Pesamaan a + b + c disebut pesamaan kaakteistik dai pesamaan difeensia di atas Aka-aka dan dapat dicai dengan b± b ac menggunakan umus a Sifat ( b ac > Jika aka-aka dan dai pesamaan kaakteistik adaah ea dan bebeda maka sousi umum dai ay + by + cy adaah x x y ce + ce Sifat ( b ac Jika pesamaan kaakteistik mempunyai satu aka ea, maka sousi umum dai ay + by + cy adaah x x y ce + c xe Sifat 3 ( b ac < Jika aka-aka pesamaan kaakteistik adaah biangan kompeks α + iβ dan α iβ maka sousi umum dai ay + by + cy adaah αx y e ( c cos β x + c sin β x c dan c adaah konstanta ea (Faow, 99 PDP Linea Ode Dua Bentuk umum pesamaan difeensia pasia ode dua daam dua vaiabe dinyatakan daam Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu G (

13 3 dengan A, BC,, DEFG,,, adaah konstanta ea dan u adaah fungsi dai x dan y yang dibeikan Jenis (Pesamaan Eiptik Jika pesamaan difeensia pasia di atas memenuhi B AC < maka pesamaan ( memiiki tipe eiptik Jenis (Pesamaan Paaboik Jika pesamaan difeensia pasia di atas memenuhi B AC maka pesamaan ( memiiki tipe paaboik Jenis 3 (Pesamaan Hipeboik Jika pesamaan difeensia pasia di atas memenuhi B AC > maka pesamaan ( memiiki tipe hipeboik (Faow, 99 Niai dan Vekto Eigen Jika A adaah matiks n n, maka vekto takno x di daam R n dinamakan vekto eigen (eigen vecto dai A jika Ax adaah keipatan skaa dai x yaitu, Ax λx untuk suatu skaa λ Skaa λ dinamakan niai eigen (eigenvaue dai A dan x dikatakan vekto eigen yang besesuaian dengan λ (Anton, 9 Titik Biasa dan Titik Singua Titik x x disebut sebagai titik biasa pada pesamaan difeensia y + P x y + Q x y P x dan jika Q x masing-masing anaitik di x x Setiap titik yang bukan titik biasa pada pesamaan di atas, maka disebut sebagai titik singua (Goode, 99 Titik Singua Regua dan Tak-Regua Titik x x disebut sebagai titik singua egua pada pesamaan difeensia y + P( x y + Q( x y jika dan hanya jika diikuti dua kondisi yang memenuhi : x adaah titik singua pada pesamaan di atas p x x x P x dan Fungsi ( q( x ( x x Q ( x x x anaitik di Titik singua yang tidak memenuhi ( disebut sebagai titik singua tak-egua (Goode, 99 Deet Tayo Andaikan f adaah suatu fungsi dengan n + f x ada untuk tuunan ke- ( n +, yaitu setiap x pada suatu seang buka I yang mengandung a Maka untuk setiap x di I beaku f ( a f ( x f ( a + f ( a( x a + ( x a! ( n f ( a n + + ( x a + R ( x dengan sisa n ( n + f ( c n! R x dibeikan oeh umus ( n + Rn x x a! n + dan c suatu titik antaa x dan a (Puce, 97 Deet Fobenius Asumsikan bahwa x adaah titik singua egua pada pesamaan difeensia daam bentuk P( x y ( x + Q( x y ( x + R( x y( x (5 Suatu deet Fobenius daam bentuk n n+ n n n n y x x c x c x dengan c n suatu konstanta, dapat digunakan untuk menyeesaikan pesamaan difeensia Paamete haus dipiih sedemikian sehingga ketika deet tesebut disubstitusi ke daam pesamaan difeensia, koefisien pangkat tekeci pada x adaah no Ha tesebut dinamakan sebagai Pesamaan Indeks (Goode, 99 Pesamaan Indeks Misakan tedapat PD homogen ode ke- y + a( x y + b( x y, dengan asumsi bahwa x meupakan titik singua egua Dibeikan deet Fobenius daam bentuk n n+ n n n n y x x c x c x dengan koefisien c, c, dan ditentukan sehingga deet tesebut memenuhi pesamaan difeensia Diasumsikan c Penuunan pada deet Fobenius akan dihasikan n,,

14 y n + c x n+ n n n+ n y n + n + c x n Substitusi y, y dan y ke daam PD homogen ode ke- yang dibeikan n+ ( n ( n cnx n n+ n+ ( + n + n ax n cx bx cx n n Pesamaan di atas dapat dituis sebagai beikut n n n c x n+ + + n + n+ n+ ( + n + n xa x n c x x b x c x n n (6 Kaena x meupakan titik singua x b x memiiki egua maka xa( x dan peuasan deet pangkat daam bentuk 3 xa x α + α x + α x + α x + 3 x b x β + β x + β x + β x Substitusi peuasan deet pangkat di atas ke daam pesamaan (6 akan menghasikan ( + α + β Cx + ( + C+ + α C + αc + β C + βc x + ] (7 [Lihat Lampian ] Pesamaan tesebut akan memenuhi jika dan hanya jika koefisien pangkat x tekeci sama dengan no Daam ha ini ( + α + β C, kaena asumsi c maka + α + β Pesamaan kuadat pada disebut sebagai pesamaan kuadatik / pesamaan indeks pada PD homogen ode ke- (Andews, 99 Opeato Lapace Suatu opeato yang dinyatakan sebagai u u u + x y disebut opeato Lapace dua dimensi daam koodinat katesian Sedangkan u u u u + + θ disebut opeato Lapace dua dimensi daam koodinat poa [Lihat Lampian ] (Habeman, 97 Pesamaan Hemhot Pesamaan Hemhot memiiki bentuk φ + λφ dengan adaah opeato Lapace, λ adaah konstanta, dan φ adaah suatu fungsi 3 yang tedefinisi pada uang Eucid R dimensi atau 3 Pesamaan Hemhot temasuk pada pesamaan difeensia pasia eiptik (Habeman, 97 Pesamaan Besse Suatu pesamaan difeensia inea ode kedua yang dinyatakan sebagai w v + v + v, s s dengan s tedefinisi pada [, ] dan w adaah konstanta taknegatif disebut sebagai pesamaan Besse ode ke-w (Faow, 99 Definisi 3 (Fungsi Gamma Fungsi Gamma didefinisikan sebagai p t Γ p t e dt, p > Lemma (Fungsi Gamma Untuk semua p >, Γ p + pγ p Bukti: ( p Γ + p t t e dt p t p t t e + p t e dt pγ ( p (Goode, 99 (Goode, 99 Metode Pemisahan Peubah Misakan dibeikan PDP ode kedua dimensi u u u c + ( x y Metode pemisahan peubah dimuai dengan menunjukkan bahwa peubah waktu t dapat dipisahkan dai peubah x, dan y dengan pemisahan pekaian daam bentuk u( x, y, t h( t φ ( x, y (9 φ ( x, y adaah fungsi yang beum diketahui pada peubah x, dan y

15 5 Substitusi pesamaan (9 ke daam pesamaan ( didapatkan d h φ φ φ ( x, y c h ( t + dt x y Seteah pemisahan peubah akan dipeoeh d h φ φ + λ c h dt φ x y Untuk h( t dan φ ( x, y masig-masing akan dipeoeh PDB dan PDP beikut d h φ φ λc h dan + λφ dt x y Untuk pesamaan PDP yang dipeoeh, dapat dipisahkan agi antaa peubah x dan y dengan caa yang sama sepeti metode pemisahan peubah waktu t dengan peubah x dan y u x, y, t h t φ x, y Dengan demikian adaah penyeesaian dai u tt c ( uxx uyy + (Habeman, 97 Metode d Aembet Metode d Aembet diiustasikan untuk sebuah sousi pesamaan geombang - dimensi Langkah awa adaah membuat kuadat padanan pesamaan geombang - dimensi, sehingga dai kuadat padanan tesebut didapatkan pesamaan kaaktestik Seanjutnya mentansfomasi sousi pesamaan kaakteistik, dengan memisakan ξ x ct dan η x + ct yang kemudian akan dipeoeh tansfomasi akhi untuk u( x, t ω ( ξη, Langkah beikutnya adaah menuunkan pesamaan u( x, t ω ( ξη, secaa pasia dan mensubtitusikannya ke daam pesamaan geombang -dimensi sehingga hasi akhi akan dipeoeh u( x, t F ( x ct + G ( x + ct Dengan F dan G adaah fungsi sembaang yang dapat dituunkan dua kai (Andews, 99 Metode Fouie Sousi PDP ode dua dapat beupa sousi deet Fouie Beikut ini sousi deet Fouie dipeoeh dengan iustasi sebuah pesamaan geombang Misakan diketahui pemasaahan niai awa dan niai batas homogen beikut utt a uxx, u( x, ϕ( x, ut ( x, ψ ( x u, t, u, t, x, t Langkah : Penentuan penyeesaian khusus dai PDP dengan pemisaan pekaian u( x, t X ( x T ( t Substitusi ke daam PD didapat X ( x T ( t a X ( x T ( t Seteah pemisahan peubah akan dipeoeh X T X a T λ konstanta Untuk masing-masing X ( x dan T ( t dipeoeh PDB beikut X x λ X x T t λ a T t, dengan penyeesaiannya adaah X ( x dan T ( t Dengan demikian u X T adaah penyeesaian dai u tt a uxx Langkah : Dengan memasukkan penyeesaian ke daam syaat batas, dipeoeh X T ( t, X ( T ( t, untuk semua t Untuk X dipeoeh pesamaan niai eigen X λ X dengan syaat niai batas X X ( Penyeesaian tak tiva hanya didapatkan untuk niai eigen n π λ n ( n,, 3, yaitu fungsi nπ eigen X n ( x Cnsin x Untuk λ λn didapatkan penyeesaian pesamaan difeensia bagi T, yaitu nπa nπa Tn ( t An cos t Bn sin t Dengan mendefinisikan konstanta C n A n dan C n B n sebagai A n dan B n kembai, dipeoeh (, cos n π a n n nsin n π u x t A t B a t sin n π + x sebagai penyeesaian pesamaan difeensia homogen utt a uxx, dengan syaat niai u, t u, t batas Langkah 3: Pemenuhan syaat niai awa untuk penyeesaian dengan bentuk deet beikut (, n (, u x t u x t n nπa nπa nπ Ancos t + Bnsin t sin x n (

16 6 pada syaat niai awa u x, ϕ x, u x, ψ x, dengan t pemiihan konstanta A n dan B n yang sesuai, dipeoeh nπ nπa nπ Ansin x ϕ( x, Bnsin x ψ( x n n Dengan demikian didapat nπa A n dan B n ϕ x dan sebagai koefisien deet fouie dai ψ ( x pada pembentukan deet Fouie bagi pembentukan fungsi eigen sin n π a x Untuk ϕ x dan mempeoeh umus ini, misakan ψ ( x adaah fungsi ganji dengan peiode, kemudian dengan menggunakan umus koefisien Fouie dipeoeh nπ An ϕ( x sin x dx, nπ Bn ψ ( x sin x dx nπa ( Dengan demikian pesamaan ( dengan koefisen A n dan B n sepeti pada pesamaan ( adaah penyeesaian masaah niai awa dan niai batas homogen yang dicai (Nugahani, 5

17 III MODEL GELOMBANG BUNYI DALAM AIR -DIMENSI 3 Mode -Dimensi Untuk meumuskan pesamaan geombang bunyi daam ai -dimensi didefiniskan peubah yang menggambakan pemasaahan tesebut Misakan x dan t masing-masing meupakan peubah jaak dan waktu u( x, t : simpangan titik pada jaak dan waktu tetentu ρ x, t : kepekatan atau kepadatan p ( xt, : tekanan Sebeum begeak, ai memiiki kepekatan ρ dan tekanan p o, keduanya bebas tehadap x dan t Untuk kemudahan pehitungan maka ditetapkan tempeatu adaah tetap Tedapat tiga cii yang diasumsikan untuk membangun sebuah pesamaan bunyi di daam ai : a Pepindahan bunyi pada sejumah ai ke posisi bau b Peubahan kepekatan sebanding dengan peubahan tekanan oka c Ketidaksamaan tekanan menghasikan pegeakan di daam ai Misakan massa ai pada saat voume awa adaah M ρo AΔ x (3 dengan A adaah uas penampang dan Δ x adaah peubahan jaak Dai cii yang petama, asumsikan bahwa pepindahan geak ai dai voume awa ( V ( antaa x dan x +Δ x ke voume akhi ( V ( antaa u( x, t dan u( x +Δ x, t Sehingga untuk voume akhi didefinisikan V A pepindahan geak ai V A x +Δ x + u( x +Δx, t x u( x, t ( +Δ, (, u x x t u x t A Δ x + Δx Didefinsikan massa ai adaah M ρ xt, V maka ux ( +Δxt, uxt (, M ρ( x, t AΔ x + Δx (3 Andaikan tidak ada peubahan massa awa, dai (3 dan (3 ( +Δ, (, ( +Δ, (, ux xt uxt ρ AΔ x ρ( x, t AΔ x + Δx ux xt uxt ρ ρ( xt, + Δx Dengan mengambi Δx maka dipeoeh ( +Δ, (, ux xt uxt ρ ρ( xt, + im Δx Δx (, uxt ρ( xt, + (33 x Pepindahan bunyi pada sejumah ai ke posisi bau dapat mempengauhi kepekatan, sehingga peubahan pada kepekatan dapat didefinisikan sebagai beikut ( x, t ( x, t ερ ρ ρ (3 kaena teah diasumsikan Δx, maka peubahan pada kepekatan diasumsikan pua sangat keci ερ ( x, t, ρ sehingga pesamaan (3 dapat diteapkan pada pesamaan (33 menjadi ερ ( x, t u( x, t ρ x (35 Dai cii yang kedua, dapat ditejemahkan ke daam suatu pesamaan yaitu p ( x, t p + ρ ( x, t (36 ε p( x, t dengan Daam pembahasan cii p yang kedua ini akan digunakan suatu hubungan umum antaa tekanan pada medium p dan kepekatan ρ, misakan p f ( ρ (37 Seanjutnya p + εp x, t f ρ + ε ρ x, t (3 ( Diasumsikan ( x, t ερ keci, sehingga jika dipeuas daam angkaian Tayo maka pesamaan (3 akan menjadi εp xt, + p f ρ + ερ xt, ( f ( ρ ερ ( x, t f ( ρ Dai asumsi ke- dihasikan p f ( ρ + (39 Substitusikan ke daam pesamaan (39 sehingga ε p x, t ερ x, t f ρ, (3 7

18 dengan f ( ρ memiiki dimensi pecepatan kuadat Dengan mendefinisikan v x f ( ρ (3 akan dipeoeh εp ( x, t v x ε ρ( x, t (3 Pada cii yang ketiga untuk mempeoeh pesamaan difeensia pasia bagaimana jaak beubah tehadap waktu, maka digunakan Hukum Newton pada suatu titik massa F m a di mana besanya pecepatan sebanding dengan besanya gaya Pada hukum Newton, geakan hoionta pada bidang hoionta dianggap sangat keci sehingga pesaamaan pada bidang hoionta dapat diabaikan Pesamaan bidang vetika tehadap pepindahan kedudukan adaah tota massa ρ ( x Δ x A dikai dengan komponen vetika pada pecepatan ( u yang ekivaen dengan peubahan gaya pada aah positif x dan aah negatif x ditambah dengan kumpuan gaya pada bidang vetika Gaya pada aah positif x adaah F + A p( x, t dan gaya pada aah negatif F A p x +Δ x, t sehingga : x adaah uxt (, ρ AΔ x Apxt (, Apx ( +Δxt, (, ( x x q( xt, + ρ Δ uxt ρaδ x A p ( x, t p( x +Δx, t + ρ ( x Δx q( x, t, dengan q( x, t adaah kumpuan gaya pada bidang vetika pe unit massa Bagi kedua uas pada pesamaan di atas dengan Δ x dan anggap Δ x sangat keci yaitu Δx uxt (, ρaδx A pxt (, px ( +Δxt, Δx Δx ρ ( x Δx q( x, t + Δx uxt (, p( x+δx, t p( x, t ρ A A Δx + ρ x q x, t im ρ A t (, p( x+δx, t p( x, t uxt A im Δ x Δ x Δ x ( x q( x t + im ρ, (, pxt (, Δx uxt ρ A A + ρ( x q( x, t x Untuk kasus pesamaan geombang bunyi dimensi satu, jika kumpuan gaya pe unit q x, t massa adaah suatu gaya beat maka pada pesamaan di atas beniai ( g Daam bebeapa keadaan, gaya beat tesebut sangat p ( x, t keci ( ρ g A sehingga x dapat diabaikan Maka pesamaan tesebut menjadi : (, p( x, t u x t ρ A A x u ( x, t p( x, t ρ x u ( x, t ρ ( p ( x, t t x u ( x, t ρ ( ε p ( x, t + p x (33 Substitusi pesamaan (35 ke pesamaan (3 dipeoeh u( x, t εp( x, t v x ρ (3 x Substitusi pesamaan (3 ke pesamaan (33 menjadi : uxt (, ρ ( εp( xt, + p x uxt (, uxt (, v xρo + p ρ x x uxt (, uxt (, v xρo p ρ x x ρ x ρ uxt uxt,, v x ( ρ x x ρ uxt (, uxt (, v x x uxt (, uxt (, v x (35 x Pesamaan (35 dapat dituis sebagai u u c (36 x dengan c adaah kecepatan geombang bunyi Pesamaan (36 adaah pesamaan geombang -dimensi 3 Sousi Mode -Dimensi Daam subbab ini akan dicai sousi mode pesamaan (36 dengan menggunakan metode d Aembet

19 9 Bentuk kuadat padanan dai pesamaan (36 adaah ϕ ( ξ, ξ ξ c ξ dengan ξ utt dan ξ u xx Bentuk kuadat padanan pada pesamaan (36 temasuk jenis pesamaan difeensia pasia hipeboik kaena : D x, t b x, t a x, t c x, t ( c c > Pesamaan kaakteistik dai bentuk kuadat padanan tesebut adaah : ( x c ( x c ( x c( x + c x c, x c Sousi pesamaan kaakteistik : x c x c x ct + a x ct + a a x ct a x + ct Misakan a ξ dan a η Dengan mentansfomasi ξ x ct dan η x + ct, akan dipeoeh penyeesaian untuk x dan t : η x t substitusi ke x ξ + ct sehingga c x ξ + ct η x x ξ + c c x ξ + η x x ξ + η x ( ξ + η Substitusi η x x ( ξ + η ke daam t c didapatkan η ( ξ + η η η ξ t c c η ξ c ( η ξ c Sehingga tansfomasi akhi untuk u adaah : (, u, ( η ξ ξ + η u x t c ω ( ξη, ( x ct, x ct ω + Tuunan ξ dan η tehadap x dan t masingmasing adaah : ξx ηx ξt c ηt c Dengan menuunkan pesamaan u( x, t ω ( ξη, secaa pasia, dan mensubstitusikan tuunan ξ dan η tehadap x dan t, dipeoeh : ux ( x, t ωξ ξx + ωη ηx ωξ ( + ωη ( ωξ + ωη uxx ( x, t ωξξ ξx + ωξη ηx + ωηξ ξx + ωηη ηx ωξξ + ωξη + ωηη ut ( x, t ωξ ξt + ωη ηt ωξ ( c + ωη ( c cωξ + cωη utt ( x, t c( ωξξ ξt + ωξη ηt + ω ξ + ω η ( t t ( ωξξ ωξη ( ωηξ ωηη c ηξ ηη c c + c + c c + c c ωξξ c ωξη c ωηξ + c ωηη Substitusi tuunan-tuunan pasia di atas ke daam pesamaan (36 : utt c ux x c ω c ω c ω + c ω ξξ ξη ηξ ηη ( ωξξ ωξη ωηη c + + c ω c ω c ω + c ω ξξ ξη ηξ ηη c ωξξ c ωξη c ωηη c ω ξη c ω ξη c ω ξη ω ξη Sousi pesamaan difeensia : ω ω dη F ξ ξ ξη (, F d F + G (, ω ( ξη, (, ( ξ + ( η (, ω ξη ξ ξ ξ η u x t u x t F G u x t F x ct + G x + ct (37 Dengan F dan G adaah fungsi sembaang yang dapat dituunkan dua kai Pesamaan tesebut menunjukkan bahwa peambatan geombang ke kanan atau ke kii

20 sebagai suatu keadaan yang tetap begese sepanjang sumbu x ditentukan oeh kecepatan bunyi c Ketika geombang meambat sepeti itu, maka disebut geombang data kaena sifat geombang adaah konstan di atas bidang pada x tetap Beikut ini akan diiustasikan pesamaan (37 dengan pesamaan u( x, t sin( x ct + cos( x + ct dengan c m/s, dengan mengambi x tetap dan t bevaiasi (Gamba, t tetap dan x bevaasi (Gamba, seta x dan t bevaiasi (Gamba 3 u@x,td x Gamba Gamba u( x, t dengan t, x u@x,td t Gamba Gamba (, t u x t dengan x, Gamba 3 Gamba u( x, t t dan x 6 dengan

21 IV MODEL GELOMBANG BUNYI DALAM AIR -DIMENSI Mode -Dimensi Pesamaan geombang -dimensi, memiiki bentuk pesamaan u c u ( x, y f ( x, y, t, dengan f ( x, y, t adaah gaya yang bekeja dai ua Jika tidak ada gaya dai ua yang bekeja tehadap memban, maka pesamaan difeensia homogennya adaah u c u ( x, y Masaah Niai Awa Batas (MNAB akan ditentukan dengan mengasumsikan bahwa memban memiiki pepindahan sebesa no (memban beada daam keadaan diam di sekita batas tepi,, a Tansfomasi Koodinat Katesian ke Koodinat Poa Sebeum mencai penyeesaian pada masaah di atas, angkah petama adaah mentansfomasi koodinat katesian ke koodinat poa Tansfomasi tesebut akan u menghasikan c u (, θ ( [Lihat Lampian 3] Dengan syaat niai batas dan niai awa (simpangan awa dan kecepatan awa diasumsikan diketahui utt c u, u,, t u a, θ, t, ( θ ; (, π, t ; u( t (, θ, α(, θ, (, θ, β(, θ, u u, π,, ( ut a; π θ π ; t 3 Sousi Mode -Dimensi Bebeapa caa penyeesaian masaah untuk pesamaan bunyi pada dimensi yang ebih tinggi diantaanya adaah dengan menggunakan koodinat poa, sousi deet Fouie, atau dengan sousi Besse Pada bagian sousi mode seanjutnya akan dipiih penyeesaian mode -dimensi pada pesamaan bunyi dengan menggunakan metode gabungan antaa koodinat poa, sousi deet Fouie dan sousi Besse, sehingga untuk angkah awa pesamaan difeensia pasia di atas dipecahkan dengan menggunakan koodinat poa dengan kasus u u, θ, t Pemisahan Peubah Peubah t Misakan angkah seanjutnya adaah memisahkan peubah waktu t dai peubah dan θ u(, θ, t φ(, θ h( t (3 Substitusikan pesamaan (3 ke daam pesamaan (, maka didapatkan h( t φ(, θ c h( t φ(, θ sehingga h( t φ (, θ c h( t φ(, θ λ Pesamaan tesebut dipenuhi untuk suatu daeah tetentu apabia kedua sisi pesamaan adaah sama dengan suatu konstanta tetentu, misakan λ, yang disebut sebagai konstanta pemisah Dipeoeh h( t λ, ( cht (, θ (, θ φ λ (5 φ Notasi λ dipiih sebagai konstanta pemisah kaena pesamaan difeensia ( begantung pada waktu dan akan memiiki sousi jika h t λ > Dapat ditunjukkan bahwa h( t memenuhi λcht Sousi pesamaan ( diseesaikan secaa angsung dengan menggunakan metode pesamaan difeensia biasa h t λcht h + λ c h Pesamaan kaakteistiknya adaah x + λ c dengan aka x dan x adaah x ± a b b ac ± ( λc ± λ c

22 dengan c meupakan kecepatan pada bunyi sehingga c seau beniai positif Kaena λ adaah konstanta beniai positif, maka akaaka dai pesamaan kaakteistik di atas bebentuk biangan kompeks, yaitu c i x λ c λi c λ i dan x c λ i Maka sousi umum dai h + λ c h adaah ( ( cos λ sin λ ht A c t+ A c t (6 dengan A dan A adaah konstanta ea Ketika λ > maka h adaah kombinasi inea pada sin c λ t dan cos c λ t yang bekisa pada fekuensi c λ Peubah θ dan Teah diasumsikan bahwa medium memiiki pepindahan sebesa no kaena pada kondisi batas ( a, simpangan tetap (medium beada daam keadaan diam di sekita batas tepi, a sehingga φ( a, θ Pemisahan peubah yang diakukan pada angkah awa tehadap MNAB dai ( membeikan : φ, θ + λφ, θ, u (, θ ; u(, π ; a; π θ π u a, θ, (7 u, π, Untuk memudahkan mendapatkan sousi pada pesamaan (5 digunakan pemisahan koodinat poa, misakan φ (, θ f ( g ( θ untuk batas tepi memban a, π θ π Pesamaan (3 akan ekivaen dengan u(, θ, t f ( g ( θ h( t Daam koodinat poa diketahui bahwa φ φ φ + θ (Habeman, 97 Substitusi φ (, θ f ( g ( θ ke daam pesamaan (5 sehingga, φ, θ + λφ, θ φ φ + + λφ (, θ θ ( f ( g ( θ + ( f ( g ( θ + λφ(, θ g( θ ( f ( + ( f ( g ( θ + λφ(, θ g( θ f f ( g + f λ + ( g( θ θ Dengan demikian dan θ dapat dipisahkan dengan mengaikan pesamaan tesebut dengan dan membaginya dengan f g θ sehingga : f g g( θ + f ( f + ( g θ λ θ f g + λ + f ( g( θ θ g f λ μ + μ g( θ θ f ( adaah bentuk konstanta pemisah ke dua Dengan demikian tebentukah pesamaan difeensia : g μg yang dapat dituis sebagai θ g ( θ + μg ( θ ( f + λ μ (9 f ( Kaikan kedua uas pada pesamaan (9 dengan f ( f + λf ( μ f ( f ( + f ( + λf ( μf ( f + f + λf μf ( λ μ + + f f f ( Pesamaan ( dan ( adaah pesamaan Hemhot, yang eatif suit untuk diseesaikan Untuk memudahkan, maka akan dicai penyeesaiannya daam bentuk khusus yang memenuhi masaah niai awa batas yang teah ditentukan Dapat ditunjukkan φ (, θ memenuhi φ(, θ + λφ(, θ dengan mempehatikan syaat niai batas dai (7 dipeoeh pesamaan niai eigen beikut : g θ + μg θ, ( λ μ + +, f f f g ( π, g ( π, f (, f ( a Pesamaan Hemhot pada pesamaan ( dan ( meupakan pesamaan eiptik dengan fungsi yang dicai tidak begantung

23 3 pada waktu, sehingga tidak dipeukan syaat awa Yang peu dipehatikan adaah syaat niai batas yaitu f ( a, dengan u( a, θ, t Teah diketahui bahwa a dan π θ π, sehingga, baik θ dan tedefinisi pada jaak yang tebatas g ( θ μg ( θ θ g ( θ + μg ( θ θ g + μg Pesamaan kaakteistiknya adaah x + μ Jika aka x dan x dicai, akan didapatkan : b ± b ac x a ± μ ± μ, dengan μ adaah suatu konstanta Kasus μ < Jika μ < maka aka-aka dai pesamaan kaakteistik diatas adaah ea dan bebeda tanda ( μ μ x μ ( μ μ x μ Sehingga sousi umum dai g + μg μ θ μ θ adaah g ( θ Be + Be Dengan mensubstitusikan niai batas untuk pesamaan niai eigen g ( π dan g ( π maka akan dipeoeh ; μπ μπ g ( π Be + B e μπ e B B μπ e μπ μπ g π B e + B e μπ e μπ μπ B e + B e μπ e 3 μπ μπ Be B e μπ 3 μπ + B e e B B Sehingga sousi adaah tivia yaitu g ( θ Kasus μ Jika μ maka aka-aka dai pesamaan kaakteistik memiiki satu aka ea x ± ± x Sehingga sousi umum dai g + μg g θ B + Bθ adaah Dengan mensubstitusikan niai batas untuk pesamaan niai eigen g ( π dan ( π ( π g maka akan dipeoeh ; g B + B π B Bπ g ( π B Bπ Bπ Bπ B π B B Sehingga sousi adaah tivia yaitu g ( θ Kasus μ > Jika μ > maka aka-aka dai pesamaan kaakteistik adaah biangan kompeks ( μ μ i x μ i ( μ μ i x μ i Sehingga sousi umum dai g + μg adaah g θ B cos μθ + B sin μθ ( Dengan mensubstitusikan niai batas untuk pesamaan niai eigen g ( π dan g ( π maka akan dipeoeh ; g π B cos μ π + B sin μ π Bcos μ π Bsin μ π sin μ π B B cos μ π g π B cos μ π + B sin μ π B cos μ ( π B sin μ ( π sin μπ B cos μπ Bsin μπ cos μπ B sin μπ B sin μπ B sin μπ

24 B atau sin μ π μ π mπ μ m μ m m, ±, ±, Biangan μ m m, m, ±, ±, (kecuai μ disebut sebagai niai eigen dai g Kaena μ μm maka pesamaan ( menjadi f ( + f ( + ( λ m f( ( Pesamaan ( tedii atas dua paamete, m dan λ Dipiih m suatu intege tak negatif dan teah didefiniskan sebeumnya bahwa niai λ yang memenuhi, tejadi pada saat λ > Untuk memudahkan mencai sousi (, baik secaa numeik maupun meaui sousi eksak dimisakan suatu tansfomasi λ yang dapat menghiangkan kebegantungan pesamaan difeensia tehadap λ Sehingga pesamaan ( menjadi f + f + m f ( < < (3 Pesamaan (3 adaah pesamaan difeensia Besse ode- m atau pesamaan difeensia inea ode- dengan koefisien vaiabe 5 Sousi Deet Secaa umum pesamaan difeensia inea ode- adaah d f df + a ( d d + b( f ( b memiiki deet Tayo Jika a( dan yang anaitik di maka adaah suatu titik biasa Daam kasus tesebut semua sousinya dapat diepesentasikan dengan kekonvegenan deet Tayo, f a a + a + a + Pesamaan (3 memiiki titik singua yang bebas pada saat dan tidak memiiki titik ainnya daam biangan kompeks Jika adaah titik singua maka semua sousinya tidak dapat dinyatakan daam deet Tayo Untuk memudahkan mencai sousi yang anaitik di R ( S ( dimisakan a( dan b( dengan R ( dan S memiiki deet Tayo Kasus tesebut biasa disebut dengan tiitk egua singua Maka bentuk pesamaan ( menjadi d f df m + + f (5 d d dengan R ( dan S ( m keduanya memiiki deet Tayo yang anaitik di Ubah pesamaan (5 sedemikian sehingga menjadi bentuk pesamaan (3 dengan caa mengaikan kedua uas pesamaan (5 dengan peubah, sehingga didapatkan d f df + + ( m f d d Dai uaian di atas dapat disimpukan bahwa meupakan titik egua singua pada pesamaan difeensia Besse Untuk memudahkan mempeoeh sousi substitusikan R dan S ( m R ( dengan dengan S Maka akan didapatkan f ( f ( m f ( + (6 Untuk titik egua singua yang anaitik di, maka pesamaan difeensia Besse di atas memiiki sousi deet daam bentuk f a a (7 yang disebut sebagai deet Fobenius konvegen untuk daeah (, adaah saah satu sousi dai pesamaan indeks kuadat, yaitu pesamaan yang dipeoeh dengan mensubtitusi Untuk mempeoeh pesamaan indeks kuadat substitusikan f kedaam pesamaan (6 f df d, df, d d f (, d substitusikan ke daam pesamaan d f df + m f d d menghasikan + m f ( ( m + + m + m

25 5 aka-aka yang dihasikan adaah m Jika m m dan, maka dihasikan dua sousi pendekatan yang bebas inea, m f dan f m ( Jika m hanya dihasikan satu sousi bebas inie, f Sousi kedua yaitu f n yang dapat dituunkan angsung dai pesamaan (6 Sehingga untuk m akan dihasikan f dan f n (9 Oeh kaena m adaah suatu intege yang tak negatif, maka deet Fobenius akan menghasikan dua sousi bebas inea Penuunan f ( deet Fobenius f ( a + f + a menghasikan + f + + a, Substitusikan ke daam pesamaan (3, sehingga didapatkan m a + a n ( [Lihat Lampian ] Ketika, pesamaan ( akan menghasikan ± m ( Ketika, pesamaan ( akan menghasikan + m a, ( dan untuk, pesamaan ( akan menghasikan + m a a,,3, (3 [Lihat Lampian 5] Asumsikan aka petama m Pada kasus ( dihasikan bahwa ( m + a, sehingga kaena m maka a ( Sedangkan pesamaan (3 menghasikan a a k m +,,3, (5 Dai ( dan (5 didapatkan bahwa niai untuk semua koefisien ganji adaah no, sehingga a +, k,,, (6 k Untuk koefisien genap, dai pesamaan (5 dihasikan a a, ( m + a a i ( m + ( m + a a ii6( m + ( m + ( m + 6 a a 6 i i i i( m+ ( m+ ( m+ 6( m+ a 6 k ( ( m( m+ ( m+ ( m+ k i i i k a k,, 3, k ( ( m ( m+ ( m+ ( m+ k a k a i i i yang seanjutnya dapat dituis sebagai k ( a k a k k! ( m+ ( m+ ( m+ k k,, 3, (7 Dengan mensubstitusi pesamaan (7 ke daam pesamaan (7, maka dihasikan m k k k k ( ( + ( + ( + f m a k! m m k m ( [Lihat Lampian 6] Dengan caa yang sama, untuk aka m akan dipeoeh pesamaan k k ( m f m ( b k k k! ( m( m ( k m (9 [Lihat Lampian 7] a dan b adaah konstanta yang seau beubah Dipiih a, dan m Γ ( + m b, Γ ( x adaah fungsi m Γ( m Gamma yang didefinisikan sebagai t x t e dt x Γ Menuut Lemma, maka ( k m ( k m ( m( m ( m, ( k m ( k m ( m( m ( m Γ Γ + Γ + Γ Substitusikan ke daam pesamaan ( dan (9 maka kedua pesamaan tesebut dapat dituis sebagai

26 6 k k + m Jm (, (3 k k! Γ + k + m [Lihat Lampian ] k k m J m ( (3 k k! Γ + k m [Lihat Lampian 9] Pesamaan (3 dan (3 masing-masing adaah sousi pesamaan Besse ode-m dan ode-(-m m J dan J ( m adaah dua sousi yang bebas inea jika m bukan suatu intege Kaena teah dipiih m suatu intege yang tak negatif, maka pesamaan Besse diatas dapat dituis sebagai k k + m ( Jm ( (3 k k!( k + m! [Lihat Lampian ] Pesamaan (3 disebut sebagai fungsi Besse petama Pada kasus m suatu intege tak negatif, fungsi Besse J m ( dan J m ( memiiki sifat begantung inea kaena J m m J m ( [Lihat Lampian ], sehingga untuk fungsi Besse petama pada ode m cukup diambi J m ( saja Daam menentukan fungsi Besse kedua yang bebas inea untuk m,,,, sebeumnya haus ditetapkan dahuu fungsi Besse kedua yang bebas inea untuk m bukan suatu intege Dengan mempetimbangkan m,,, dan hubungan kombinasi inea pada J m ( dan J m (, maka bentuk sousi fungsi Besse kedua pada ode m,,, adaah J m ( cos mπ J m ( Y m ( (33 sin mπ Dai pesamaan (33 dapat ditentukan fungsi Besse kedua yang bebas inea pada ode m,,, Kaena penyebut pada Y adaah no ketika m,,, maka m m Y ( adaah no, maka Y tidak tedefinisi Jika pembiang pada m Y m dapat didefinisikan sebagai niai imit Dengan menggunakan atuan L Hopita, dapat didefinisikan Y m ( ketika m,,, sebagai ( mπ J ( J ( cos m m Y m ( im m m sin mπ Sehingga sousi umum untuk pesamaan Besse pada ode m jika m,,, adaah f C J + C Y (3 m m, dengan C dan C adaah konstanta ea Kaena λ maka pesamaan (3 menjadi f ( CJm ( λ CY m ( λ + Untuk menentukan niai eigen pada f digunakan syaat batas homogen yaitu f ( a dan kaena pepindahan memban tebatas maka f < Kaena f < maka f behingga Di sisi ain dapat diihat bahwa niai yang Y tidak behingga dihasikan oeh m sehingga hausah C, maka m ( λ f C J (35 Untuk f ( a, niai eigennya adaah Jm ( λ a Dapat diihat bahwa λ a adaah aka dai fungsi Besse J m ( Sehingga aka ada tak tehingga banyaknya dai setiap fungsi Besse Jm ( Misakan mp adaah aka ke-p dai J m (, maka mp λa mp λmp a mp λmp a Untuk setiap m, tedapat biangan tak tehingga banyaknya niai eigen dan untuk setiap niai eigen tesebut tedapat fungsi eigen f ( Jm ( λmp Jm mp a Untuk m,,, dan p,,, Kaena λ λ maka pesamaan mp ( ( cos λ + sin λ ht A c t A c t menjadi ( cos λmp sin λmp h t A c t + A c t Dan kaena μ μ m m, maka cos + g θ B μθ B sin μθ menjadi

27 7 ( θ ( θ + ( θ g B cos m B sin m Dai semua sousi yang didapatkan pada f yaitu (6, (, h( t, g ( θ, dan (35 substituskan ke daam pesamaan (3, sehingga akan dipeoeh u, θ, t C J λ mp m mp ( Bcos ( mθ + Bsin ( mθ i ( A ( c λmp t + A ( c λmp t i cos sin (36 Untuk bentuk ajaba yang ebih sedehana, diasumsikan bahwa keadaan awa saat diam, u, θ, β, θ t sehingga sinc λ mpt pada pesamaan (36 dapat diabaikan kaena beniai Akibatnya (, θ, mp m ( λmp u t A J m p + m p cos ( mθ cos ( c λmp t ( λ sin( mθ cos ( c λ mp t B J mp m mp (37 dengan Amp CBA dan Bmp CBA adaah konstanta 6 Iustasi Gafik Beikut ini akan disajikan bebeapa gamba gafik tiga dimensi pada mode geombang bunyi -dimensi daam pesamaan (36 Dipiih untuk niai peubah t, dan menganggap konstanta A A B B C seta kecepatan bunyi di daam ai c 5 m s 5 θ -5 t 6 Gamba Gamba u(,, t 6 θ dengan θ, seta niai paamete λ, dan m Dai Gamba teihat bahwa engkungan geombang yang tejadi cukup teatu Akan tetapi pada kisaan niai peubah tetetu tejadi iakan geombang bunyi yang ebih tenang 5 θ -5 t 6 Gamba 5 Gamba u(,, t 6 θ dengan θ π, seta niai paamete λ, dan m 5 θ -5 t 6 Gamba 6 Gamba u(,, t 6 θ dengan θ π, seta niai paamete λ, dan m 5 θ -5 t 6 Gamba 7 Gamba u(,, t 6 θ dengan θ π, seta niai paamete λ, dan m Jika dipehatikan antaa Gamba, Gamba 5 Gamba 6 dan Gamba 7, tidak tejadi peubahan geombang yang cukup eatif Ha ini beati bahwa peubahan niai θ tidak

28 bepengauh tehadap ampitudo yang akan tejadi pada geombang bunyi 5 5 θ -5-5 t 6 Gamba Gamba u(,, t 6 θ dengan θ, seta niai paamete λ, dan m 5 5 θ t Gamba Gamba u(,, t θ dengan θ, seta niai paamete λ 3, dan m θ - t 6 Gamba 9 Gamba u(,, t niai paamete λ, dan m 6 θ dengan θ, Pada Gamba dan Gamba 9, ketika niai paamete m diubah menjadi ebih besa teihat bahwa geombang bunyi muai muncu pada pada semua kisaan waktu, daam ha ini t Ampitudo geombang pun tejadi pada kisaan 5 5 θ -5-5 t 6 Gamba Gamba u(,, t 6 θ dengan θ, seta niai paamete λ 3, dan m 5 Pada Gamba dan Gamba ketika niai paamete λ dipebesa akan dihasikan geombang bunyi yang ebih banyak Akibatnya panjang geombang yang dihasikan pun ebih pendek bia dibandingkan dengan sebeumya

29 SIMPULAN Tiga kaakteistik yang digunakan untuk membangun sebuah pesamaan bunyi daam ai menghasikan mode geombang bunyi u u dimensi c Dengan menggunakan x metode d Aembet, teah dipeoeh sousi daam bentuk u( x, t F( x ct G( x ct + +, F dan G fungsi sembaang Pada sousi mode geombang bunyi - dimensi, dihasikan sousi deet daam bentuk (, θ, mp m ( λmp cos( θ cos( λmp + mp m ( λmp sin( θ cos( λmp u t A J m c t B J m c t m p m p Gafik tiga dimensi yang ditampikan menyatakan bahwa peubahan niai θ tidak bepengauh secaa signifikan tehadap ampitudo yang akan tejadi pada geombang bunyi Semakin besa niai λ maka akan semakin pendek panjang geombang yang dihasikan oeh geombang bunyi di daam ai 9

30 DAFTAR PUSTAKA Andews, LC 99 Intoduction to Diffeentia Equations with Bounday Vaue Pobems Hape Coins Pubishes, Inc, New Yok Anton, H 99 Ajaba Linea Eemente Eangga Jakata Faow, SJ 99 An Intoduction to Diffeentia Equations and Thei Appications McGaw-Hi, Singapoe Goode, SW 99 An Intoduction to Diffeentia Equations and Linea Ageba Pentice-Ha, Inc, New Jesey Habeman, R 97 Eementay Appied Patia Diffeentia Equations Pentice- Ha, Inc, New Jesey Keysig, E 993 Matematika Teknik Lanjutan Ed ke- Tejemahan Bambang Sumanti Gamedia, Jakata Lestai, P Mode Matematika Tiga Dimensi Untuk Peambatan Bunyi Di Daam Ai [skipsi] Bogo: Fakutas Matematika dan Imu Pengetahuan Aam, Institut Petanian Bogo Meinhod P, Wagne, E 99 Pesamaan Difeensia Pasia Tejemahan Enda H Nugahani, Bogo Puce EJ 97 Cacuus with Anaytic Geomety, 5 th Edition Pentice-Ha, New Jesey Stewat, J Kakuus, Edisi keempat, Jiid Tejemahan Ds I Nyoman Susia, MSc dan Henda Gunawan, PhD Eangga, Bandung Tipe, PA 99 Fisika Untuk Sains dan Teknik Ed ke-3 Tejemahan Da Lea Pasetio, MSc dan Rahmad W Adi, PhD Eangga, Bandung Weinbege, HF 965 A Fist Couse in Pata Diffeentia Equations Baisde Pubishing Company, London

31 LAMPIRAN

32 Lampian Langkah mendapatkan pesamaan (7 Diketahui PD Homogen ode ke- sebagai beikut : n+ n ( n + ( n + cnx + n n dengan peuasan deet pangkat : 3 xa( x α + αx + αx + α3x + αn x + n+ n n n xa x n + c x + x b x c x n n n n 3 x b( x β + βx + βx + β3x + β x Substitusi peuasan deet pangkat di atas ke daam PD Homogen ode ke- n+ n n+ n n+ ( n + ( n + cnx + αnx ( n cnx βnx cnx n n n n n n + + ( ( α α ( ( ( β βx ( Cx Cx C x C x x C x C x ( α ( Cx + + Cx + + Cx + + αcx + ( αcx + ( + αcx + βcx βcx βcx βcx ( + α + β Cx + ( + C+ ( + αc+ αcx + βc+ βc x + ( + αc + βc x + Lampian Menyatakan opetao Lapace dua dimensi daam koodinat poa Diketahui opeato Lapace dua dimensi daam koodinat katesian : u u u + ( x y Misakan : u u( x, y dengan x cos θ, y sin θ (* u Maka didapatkan : u x + uθθx, x u sehingga ( u x + uxx + ( u x u xx x θ θ + x θθ ( x u u ( u u (3 Dengan menggunakan atuan antai :, x x Diketahui bahwa : x + y, (** x x sehingga : x, ( x + y xx x x xx x x 3 3 y (5 3 θ x θθθx

33 3 Diketahui bahwa : θ actan y x y y y sehingga θx (6 y x x + y + x xy θxx y 3 x (7 Dengan mesubstitusi pesamaan (3, (, (5, (6, dan (7 ke pesamaan ( didapatkan : u x x y y y xy u + u u u 3 + θθ + θ x ( Dai (* juga didapatkan : u u y + uθθ y, y u sehingga ( u y + uyy + ( u y u yy y θ θ + θ y y (9 Dengan menggunakan atuan antai : ( u uy ( u y θ u y θθθ y ( Dai (** didapatkan y y y, x + y ( yy y y yy y y 3 3 x 3 ( x θ y (3 y x y + x + x x xy θ yy x 3 y ( Dengan mesubstitusi pesamaan (, (, (, (3 dan pesamaan ( ke pesamaan (9 u y y x x x xy didapatkan : u + u u u 3 + θθ + θ y (5 Kemudia dengan mensubstitusikan pesamaan ( dan pesamaan (5 ke pesamaan ( didapatkan : x y y xy y x x xy u u + 3 u + u u u θθ + θ + + u 3 + u u θθ + θ x + y x + y x + y u + u 3 + u θθ u + u + u θθ Lampian 3 Tansfomasi pesamaan geombang dimensi dai koodinat katesian ke koodinat poa u c u ( x, y

34 u u u x y c + u u u u c + + θ u, c u( θ Lampian Mencai pesamaan ( f a f + a + + f + + a d f + df + ( m f d d + + a ( + a + ( + ( + a + ( + + ( m + a + + ( + ( + + ( + m a m a + a a + + a m a + a Lampian 5 Langkah-angkah mendapatkan pesamaan (3 Substitusikan,3,, ke pesamaan ( ( + m a + + (( 3 (( (( + m a a m a m a m a a a m a a ( a ( + 3 m a a ( 3 a + + m a + + a + ( m a a m a a + m a a m a a 3

35 5 Lampian 6 Menentukan pesamaan ( f a k ak Substitusi pesamaan (7 k a m k k k k ( ( + ( + ( + k! m m m k Lampian 7 Langkah-angkah mendapatkan pesamaan (9 Diasumsikan aka kedua adaah m, maka pesamaan ( dihasikan bahwa : m + ( m + m b ( m + b ( m + b Kaena m maka b Seanjutnya pesamaan (3 menghasikan ( + m b b ( m+ m b b m + b b [ m+ ] b b b b,3,, m + [ ] Dengan mensubstitusi,3,, ke daam pesamaan di atas maka akan dipeoeh bentuk koefisien ganji dan koefisien genap secaa umum b b, ( m + b b 3 3( m + 3 b b b ( m + i( m + ( m + b b 5 5( m b b b 6 6( m + 6 ii6( m + ( m + ( m + 6 b b 7 7( m b b b ( m + 6 ii6ii( m + ( m + ( m + 6( m + b b 9 9( m dan seteusnya

36 6 Dai fomua diatas didapatkan untuk koefisien ganji adaah no, sehingga a k + untuk k,,, Untuk koefisien genap dipeoeh bentuk secaa umum b b k ( ( m( m + ( m + ( m + ( m + k k ( b ( m ( m ( m ( m ( m ( k m k ( b ( ( ( ( ( ii i k i i i 3 k b k! m m 3 m m k m k k Substitusikan bentuk umum koefisien genap yang dipeoeh ke daam pesamaan (7 f a k k a b k m k k k k ( ( ( ( ( ( k! m m 3 m m k m b k,, 3, Lampian Mencai pesamaan (3 ( ( + m + k t Γ + k+ m t e dt m+ k t t e dt m+ k t m+ k t t e ( m k t e dt ( m m+ k t m+ k t k t e ( m k t e dt ( m k ( m k m k t + m+ k 3 t t e ( m k t e dt ( m k ( m k ( m k m+ k 3 t m+ k t t e ( m k 3 t e dt m t ( 3 ( k m ( m( m ( m m+ k m+ k m+ k m+ k m+ m+ t e dt Γ + Substitusikan pesamaan di atas dan koefisien a o yang teah diasumsikan ke daam pesamaan (, dipeopeh : k k ( m f m ( a k k k!( + m ( + m ( k + m k k m ( m ( k Γ + m k k!( + m ( + m ( k + m k k + m ( k + m k! + m + m k + m Γ + m k

37 7 k k + m k k! Γ + k + m Lampian 9 Langkah-angkah mendapatkan pesamaan (3 ( ( m + k t Γ m+ k t e dt m+ k t t e dt m+ k t m+ k t t e ( m k t e dt ( m m k t + m+ k t k t e ( m k t e dt ( m k ( m k m k t + m+ k 3 t t e ( m k t e dt ( m k ( m k ( m k m k 3 t + m+ k t t e ( m k 3 t e dt m k m k m k m k m m m t t e dt ( 3 ( k m ( m( m ( m Γ Substitusikan pesamaan di atas dan koefisien b o yang teah diasumsikan ke daam pesamaan (9, dipeopeh : k k ( m f m ( b k k k!( m( m ( k m k k m ( m k ( m Γ k k!( m( m ( k m k k m ( k m k k!( m ( m ( k m Γ( m k k m ( k k! Γ + k m Lampian Menentukan pesamaan (3 Γ t t t te dt te e dt ( Γ + +Γ! t t t t e dt t e t e dt 3 t 3 t t Γ Γ! t e dt t e t e dt Γ Γ 3 3 3!

38 t t 3 t t e dt t e t e dt Γ Γ 3! Γ k + m + k + m Γ k + m k + m! J ( m ( ( ( + k k + m k k! Γ + k + m k k + m k k! k m! Dengan caa yang sama akan dipeoeh : J m ( k ( ( k k m k k! Γ + k m k k m k! k m! Lampian Membuktikan J m m J m ( ( Diketahui J m ( k k!( k m! k k + m ( Jm ( k k!( k + m! k ( k m!(( k m m! k k m m ( ( k k!( k m! k k m m ( ( k k!( k m! k k m k m ( k m + m + J ( m m m tebukti bahwa J ( J ( m m