Frekuensi Getar Alami Balok Kantilever Timoshenko. Resmi Bestari 1) Amrinsyah Nasution 2)

Transkripsi

1 Bestai, Vo. 11 Nasution. No. Oktobe una TEKNIK SIPIL Fekuensi Geta Aami Baok Kantieve Timoshenko Resmi Bestai 1) Aminsyah Nasution ) Abstak Teoi geak dinamis sistem dengan sifat beban tebagi ata pada baok umumnya menggunakan teoi Eue- Benoui, ha mana anggapan bidang penampang tegak uus sumbu baok akan tetap tegak uus seteah tejadi defomasi akibat beban. Didaam mempehitungkan pengauh defomasi akibat gaya gese, ketetapan ini tidak agi beaku, bahwa bidang penampang tidak tegak uus agi tehadap sumbu baok seteah tejadi defomasi [Wang, 1995]. Efek defomasi gese ini mempunyai pengauh yang beati tehadap fekuensi geta aami stuktu, bia ukuan penampang eatif besa dibandingkan dengan panjang stuktu/baok, disamping momen inesia akibat pecepatan otasi dai penampang baok juga tak dapat diabaikan. Anaisis sistem sepeti ini diseesaikan bedasakan teoi dai Timoshenko yang mempehitungkan pengauh defomasi gese dan inesia otasi pada baok. Makaah ini membahas penyeesaian eksak fekuensi geta aami baok dengan mempehitungkan pengauh defomasi gese dan inesia otasi pada baok. Jumah agam geta yang tejadi menjadi tetentu, jika kedua pengauh tesebut dipehitungkan. Kata-kata kunci : Baok Thimoshenko, defomasi gese & inesia otasi, sousi eksaks, jumah agam geta dan fekuensi geta aami. Abstact Eact soution fo dynamic system with distibuted mass in eastic state is commony anayzed by Eue- Benoui theoy, that is pane coss sections pependicua to the ais of the beam emains pane and pependicua to the ais afte defomation [Wang, 1995]. Due to effect of tansvese shea defomation, the pane coss sections emain pane but not necessaiy noma to the ongitudina ais afte defomation. This effect may have significant infuence on the natua fequency of the age and deep beam. Aso, the inetia esistance to otationa acceeation of the beam coud not be ignoed fo the age and deep beam. Investigation is made fo these two conditions by the use of Timoshenko s beam theoy. This pape pesents eact soution of natua fequency, of which shea defomation and otay inetia effects ae incuded in the anaysis. Numbes of mode-shapes become definite if which shea defomation and otay inetia effects ae incuded in the anaysis Keywod : Timoshenko s beam theoy, shea defomation and otay inetia, mode-shapes. 1. Pendahuuan Banyak masaah nyata mempunyai peiaku dinamik yang kompeks. Ha ini mengakibatkan mode matematika yang mempesentasikan peiaku dinamik tesebut juga besifat kompeks kaena meibatkan banyak vaiabe dan paamete. Anaisis dinamik stuktu baok menjadi kompeks, bia dipehitungkan pengauh gaya inesia yang dihasikan akibat adanya pepindahan stuktu yang dipengauhi besaan massa. Anaisis yang paing sesuai dan mendekati kondisi sesungguhnya pada kasus ini, kaena massa baok tedistibusi sepanjang bentang, pepindahan dan pecepatan yang haus 1. - Mahasiwa S3, Depatemen Teknik Sipi, Institut Teknoogi Bandung. - Staf Pengaja Juusan Teknik Sipi, Univesitas Mecu Buana, Jakata.. Staf Pengaja & Guu Besa Depatemen Teknik Sipi, Institut Teknoogi Bandung. Catatan : Usuan makaah dikiimkan pada 13 Desembe dan diniai oeh pee eviewe pada tangga 6 Desembe - 7 Januai 5. Revisi penuisan diakukan antaa tangga 13 Januai 5 hingga 16 Pebuai 5. Vo. 11 No. Oktobe 171

2 Fekuensi Geta Aami Baok Kantieve Timoshenko tedefinisi untuk setiap titik sepanjang bentang, adaah pesamaan diffeensia [Paz, 199]. Kadangkaa diakukan penyedehanaan masaah. Massa baok dianggap tekonsentasi pada sejumah titik tetentu. Demikian juga pepindahan dan pecepatan hanya ditinjau pada titik tetentu itu pua (koodinat diskit). Caa ini menguntungkan jika bentuk stuktunya cukup umit, namun hasi yang dipeoeh tentuah kuang mendekati kondisi sesungguhnya. Pemodean geak dinamik baok daam bentuk pesamaan diffeensia dimana posisi setiap titik pada baok meupakan vaiabe yang tepisah, biasa dikena juga dengan sistim dengan paamete/sifat-sifat tebagi ata. Caa ini meupakan usaha mempesentasikan kondisi nyata baok yang paing mendekati kondisi sesungguhnya. Sehingga metoda ini meupakan teoi eksak daam penyeesaian geak dinamik stuktu baok.. Geak Dinamik Baok Geak dinamik baok dapat dimodekan daam bentuk :.1 Sistim bekoodinat diskit dan paamete tekeompok Pada sistim ini masa baok dianggap tekeompok pada tempat-tempat yang ditentukan guna penyedehanaan masaah. Sistem ini cukup paktis dan mudah diseesaikan pada geak dinamik sembaang stuktu. Namun hasi yang dipeoeh hanyaah meupakan pendekatan dai sifat geak dinamik yang sebenanya, kaena pegeakan sistim diwakii oeh bebeapa tempat yang ditentukan. Pengauh inesia pada stuktu dengan sistim ini dapat bebentuk :.1.1 Massa tekeompok (umped-mass) Caa ini adaah caa temudah daam meninjuau sifat inesia sebuah sistim dinamis. Massa stuktu dianggap tekeompok/tekonsentasi pada tempat / titik tetentu (koodinat moda) dimana tejadi pepindahan tansasi..1. Massa sepadan (consistent-mass) Dengan menggunakan massa sepadan, sistim pegeakan dinamis stuktu ebih asiona dibanding massa tekeompok, dimana pengauh inesia otasi pada keompok massa ikut dipehitungkan.. Sistim dengan paamete yang tebagi ata (distibuted - paamete systems) Ada teoi yang azim digunakan pada sistim ini, yakni :..1 Teoi Eue-Benoui Teoi Eue-Benoui mengasumsikan bahwa bidang penampang yang tegak uus sumbu baok akan tetap tegak seteah tejadi defomasi pada baok (ihat Gamba.1). Bedasakan keseimbangan gaya dan momen pada feebody Gamba.1 (b), seta mempehatikan hubungan gaya gese dengan momen dan hubungan momen dengan y EI + m = p(, t) (.1) t keengkungan, dipeoeh pesamaan geak baok Eue Benoui sebagai beikut [Cough and Penzien, 1975],.. Teoi Timoshenko Teoi Timoshenko meupakan pengembangan dai teoi Eue-Benoui. Penampang yang tegak uus tehadap sumbu baok / stuktu sebeum bedefomasi, tidak tegak uus agi tehadap sumbu tehadap sumbu baok seteah tejadi defomasi. (ihat Gamba.). Ada dua fakto tambahan yang ikut dipehitungkan pada teoi Timoshenko ini, yaitu defomasi sudut akibat gaya gese dan inesia otasi akibat pecepatan y M V d p(,t) m, EI, a. Baok dengan beban meata f 1 p(,t) M + M V + V f 1 = (m d) b. Badan bebas seteah defomasi Gamba.1 Baok Eue-Benoui dengan massa dan beban tebagi ata [Cough and Penzien, 1975] 17 Juna Teknik Sipi

3 Bestai, Nasution. y d peputaan sudut. δ dy d gais tegak uus pemukaan potongan gais sumbu baok δ =sudut gese a. Defomasi badan bebas baok p(,t) M + M M f 1 V + V m I θ m I = V b. Gaya-gaya yang bekeja pada badan bebas baok Gamba.. Effek defomasi gese dan inesia otasi pada baok Timoshenko [Cough and Penzien, 1975] EI + ρa E ρ = p EI p p + D e n g a n E (.) mempehatikan keseimbangan gaya vetika & momen, hubungan gaya gese dengan momen dan hubungan momen dengan keengkungan, seta hubungan gaya gese V dengan sudut gese δ (V = k A G δ [Cough and Penzien, 1975]) pada badan bebas Gamba.b, dipeoeh pesamaan geta baok Timoshenko [Cough and Penzien, 1975] Pesamaan (.1) dengan mudah dapat diseesaikan secaa anaitik & numeik yang sedehana [Cough EI + ρa E (3.1) and Penzien, 1975], [Paz, 199], namun tidak demikian hanya untuk pesamaan (.), dipeoeh y(, t) ρ I + ρ I + = ( Bcos( ωt) + C sin( ωt) ) = φ() f (t) = φ() (3.) pesamaan yang cukup umit, sehingga penyeesaian bentuk ini seing diakukan secaa diskit dengan { a s b ω s + ω ( cω 1) } EI a = ; b = ( ) I pada E + 1 ; c = A sub bab s 1 = ( h) massa sepadan Getaan Bebas Baok ; Timoshenko h = E EA 1 + Getaan bebas baok ω Timoshenko dipeoeh dengan membei niai sesudah tanda sama dengan pada pesamaan (.), jakni Misakan sousi pesamaan (3.1) di atas adaah : Akan dipeoeh pesamaan kaakteistik yang behubungan dengan pesamaan (3.1) di atas sbb : dipeoeh, dimana + =, dimana : ρa ω & 1 c 1 + ω 1 = ω ; E c 1 = +1 E ω = ρ s = ( h) 1 c 1 (3.3) ω (3.) 1. φ() a = cosβ + D sin + ; ω D1 3 β3 D 3 (3.5). φ ) = D cosβ + D sin β + D cosβ + D sin β ; ( b (3.6) 3. φ ) = D cosh β + D sinh β + D cos β + D sinβ ; ( c (3.7) ρ E E EA β 1 = ω (3.8) E ω ρ E EA E β = ω (3.9) E ω ρ E E EA β + 3 = ω (3.1) E ω Vo. 11 No. Oktobe 173

4 Fekuensi Geta Aami Baok Kantieve Timoshenko { } s a ω = (.1) Ada tiga kemungkinan yang tejadi pada niai S 1, yaitu : c 1 = h, c 1 ) h atau c 1 (h, φ ) = D cos β + D sinβ + D coshβ+ D sinh, dimana ( 1 3 β β = ω a baok, yakni y sehingga dipeoeh 3 kemungkinan bentuk pesamaan poa geta φ() ρ, A, E, I Gamba 5.1. Baok kantieve (.) Pada ujung tejepit ( = ) dai baok, simpangan dan peputaan sudut haus sama dengan no dan pada 3 3 ψ dan ψ 1 (5.) ψ ujung bebas ( = ) momen entu dan gaya intang haus sama dengan no. Sehingga dipeoeh syaat batas = { } ω ω ρ I tidak mungkin 3 3 cos β β + β β ψ 1 cos 3 sin 1 sin 3 a) Substitusi syaat batas (5.1) ke pesamaan (3.), dipeoeh β + β3 + β β3 cosh β cosβ3 + (5.5) Dengan demikian kondisi tidak tejadi. b) Substitusi syaat batas (5.1) ke pesamaan (3.5), didapat pesamaan kaakteistik Dimana D 1, D, D 3, dan D, meupakan konstanta yang dipeoeh dai syaat batas, dan φ ( ) = φ ( ) = φ () = φ ( ) = (5.1). Getaan tg β3 = 1 Bebas Baok Eue- Benoui ω = Untuk baok Eue-Benoui, dimana pengauh gaya gese dan peputaan sudut diabaikan maka suku ke 3 dan ke dai pesamaan (3.1) tidak ada, atau pengauh koefisien b dan c pada pesamaan 3 bentuk pesamaan poa geta φ() baok β1β3 cosβ1 cosβ3 + sin β1 sin β3( β3 + β1β3 ) β3 = ( β1 + β3 ) (3.3) tidak ada, sehingga (5.) β1 bentuk pesamaan kaakteistik dai baok Eue-Benoui ebih sedehana, yakni ω = ψ ω 5. Ragam Geta d a n Fekuensi G e t a Aami Baok Kantieve ω Dipeoeh satu pesamanaan dengan vaiabe yang beum diketahui yaitu β 1 dan β 3. Namun jika dipehatikan pesamaan (3.18) dan (3.19), teihat cosh β cos β = 1 bahwa kedua vaiabe (5.6) tesebut saing behubungan. Untuk itu dipekenakan suatu fakto/vaiabe bau Ψ, dimana : π β, dimana n =,5,. dst. (5.7) n ( n 1) Ψ beniai > 1, untuk kondisi, dan beniai < 1 untuk kondisi Untuk penampang empat pesegi, maka ( [Cough and Penzien, 1975] ha 319), sehingga pesamaan (5.) menjadi Akan dipeoeh bahwa tidak ada niai yang dapat memenuhi pesamaan (5.), sehingga kondisi juga tidak mungkin tejadi c) Akhinya kondisi yang memungkinkan adaah jika f ( ψ ) = A + B cosh β cosβ3 + Substitusi C sinhβ syaat sinβ 3 = batas (5.1) ke (5.8) A = β + β3 β β 3 ; B = ; C = β β (β β ) 3 3 (5.9) 17 Juna Teknik Sipi

5 Bestai, Nasution. 1 ψ β = ψ ; β3 = αβ ;. β.15 β ma Pasangan niai Ψ, β & β 3 yang membeikan f(ψ) = meupakan sousi pesamaan (5.8). Dan niai Ψ yang membeikan = petama kai, ke, ke 3 dst meupakan agam (mode) ke 1, ke, ke 3 dst dai getaan bebas baok kantieve. Niai tesebut dapat ditentukan secaa numeik dengan metoda Newton-Raphson menuut pesamaan Iteasi diakukan sampai dengan niai Ψ bau mendekati niai Ψ, atau Ψ bau - Ψ < toeansi yang ditentukan. Mengingat Ψ yang haus ditentukan ebih dai satu, yaitu untuk agam 1,, 3 dst, maka Ψ awa untuk masing-masing agam didekati dengan dimana Ψ n adaah Ψ awa untuk agam ke n Ψ n = fekuensi geta aami stuktu kantieve tanpa pengauh inesia otasi dan defomasi gese Niai β n dipeoeh dai penyeesaian secaa numeik pesamaan (5.7) Untuk masing-masing Ψ n yang dipeoeh dapat dihitung pua fekuensi geta aami agam getanya menuut pesamaan, 1 ψ n ωn = (5.1) ρ Jika dipehatikan pesamaan (5.1), β meupakan fungsi aka dai sepeti Gamba 1 α = ψ ψ (5.1) f( ψ ) ψ bau = ψ ; f ( ψ ) adaah tuunan f ( ψ ) petama f(ψ) pada titik Ψ ωn ω n ρ ψ ; n = = (5.11) = ( β n ) EI m.1.5 ψ Gamba 5.. Gafik hubungan dengan pada =. Hanya ada satu pasangan niai Ψ dan β untuk setiap agam geta pada penyeesaian pesamaan (5.8) diatas. Untuk itu yang memenuhi syaat hanyaah < β < β ma. Untuk penampang empat pesegi β ma =.3661/, dimana = jai-jai giasi penampang. Dengan tebatasnya niai β, maka tebatas jugaah jumah agam geta baok Timoshenko. 6. Studi Kasus Studi kasus diakukan pada baok kantieve dengan bentuk penampang empat pesegi peja ukuan 33 ft dan empat pesegi beubang (hoow) dengan ukuan ua 55 ft dan ukuan daam ft.panjang baok bekisa dai ft s/d 7 ft, atau keangsingan baok (pebandingan antaa jai-jai giasi penampang dengan panjang baok - / ) bekisa antaa.13 s/d.1. Moduus Eastisitas bahan b/ft, Poisson s atio.15 dan apat massa bahan =.658 b-det /ft. Dengan caa yang teah disebutkan di atas dipeoeh besaan fekuensi geta aami baok sepeti Tabe 6.1 untuk penampang peja dan Tabe 6. untuk penampang beubang. Bedasakan kedua tabe tesebut dipeoeh gafik hubungan antaa fekuensi geta aami stuktu dengan / pada Gamba 6.1 dan 6.. Pasangan haga dan / dipiih sedemikian upa sehingga dapat teihat dengan jeas bentuk peubahan Gafik hubungan fekwensi geta aami baok tehadap peubahan /. Disamping itu juga dapat diihat pebandingan antaa fekwensi geta aami baok Timoshenko bepenampang beubang dengan penampang peja pada Tabe 6.3. Vo. 11 No. Oktobe 175

6 Fekuensi Geta Aami Baok Kantieve Timoshenko Tabe 6.1 Fekuensi geta aami stuktu (penampang pesegi peja) mode 1 mode mode 3 mode L(ft) /L ω ω (%) ω ω (%) ω ω (%) ω ω (%) Keteangan : ω = fekuensi geta baok Timoshenko ω = fekuensi geta aami baok Eue-Benoui = 9.38 ft = pesentase pebedan fekuensi fekw ensi ( ad/det ) 6 MODE 1..1 fekw ensi ( ad/det ) 3 1 MODE.1.11 fekw ensi ( ad/det ) MODE = ω = ω Gamba 6.1. Gafik hubungan fekuensi geta aami baok dengan penamang empat pesegi peja fekw ensi ( ad/det ) MODE pada mode 1,,3 dan untuk Tabe 6.. Fekuensi geta aami baok penampang pesegi beubang (hoow) mode 1 mode mode 3 mode L(ft) /L ω ω (%) ω ω (%) ω ω (%) ω ω (%) Keteangan : ω = fekuensi geta aami aami baok ω = fekuensi geta aami baok Eue- Benoui = 9.38 ft = pesentase pebedaan fekuensi 176 Juna Teknik Sipi

7 Bestai, Nasution. fekwensi ( ad/det ) 8 6 MODE fekw ensi ( ad/det ) 3 1 MODE..1 fekw ensi ( ad/det ) MODE = ω = ω fekw ensi ( ad/det ) MODE Gamba 6.. Gafik hubungan fekuensi geta aami baok dengan pada mode 1,,3 dan untuk penamang empat pesegi beubang Tabe 6.3. Pebandingan fekwensi geta aami penampang beubang (hoow) dengan penampang peja pada baok Timoshenko Fekwensi geta aami ( ω ) mode 1 mode mode 3 mode L(ft) /L hoow peja (%) hoow peja (%) hoow peja (%) hoow peja (%) Keteangan : : pesentase pebedaan fekuensi geta aami antaa penampang beubang dengan penampang peja pada baok Timoshenko Vo. 11 No. Oktobe 177

8 Fekuensi Geta Aami Baok Kantieve Timoshenko 7. Kesimpuan Dai hasi studi kasus yang diakukan teihat bahwa : 7.1. Dengan menggunakan teoi Timoshenko yang mempehitungkan pengauh inesia otasi dan defomasi gese, keangsingan baok (/) menentukan jumah agam geta (mode) baok. Ini teihat dai Tabe 6.1, dan 6. maupun Gamba 6.1 dan 6.. Makin besa /, makin sedikit jumah agam geta baok. Untuk penampang empat pesegi dengan / >.1 jumah agam geta yang tejadi hanya satu macam yaitu agam ke satu saja. Sedangkan jika digunakan teoi Eue-Benoui jumah agam geta baok yang tejadi tak tehingga untuk semua ukuan baok. 7.. Pada / yang keci, pengauh inesia otasi dan defomasi gese sangat keci. Dai Gamba 6.1 s/ d 6., makin besa / makin beati juga pengauh inesia otasi dan defomasi gese, teutama pada mode yang endah Pengauh inesia otasi dan defomasi gese agak kuang beatuan pada agam geta Dai Tabe 6.3 teihat bahwa pebedaan fekuensi geta aami antaa baok Timoshenko bepenampang peja dengan baok bepenampang beubang (hoow) untuk / yang sama, sangat keci yaitu dibawah 6 %. Dengan kata Fekuensi Geta baok Timoshenko hanya dipengauhi oeh niai / penampang. Dafta Pustaka Cough, R. W., Penzien, J., 1975, Dynamics of Stuctues, McGaw-Hi Intenationa Editions. Paz M., 199, Dinamika Stuktu, Teoi dan Pehitungan, Eangga, Edisi kedua. Wang, C. M., 1995, Timoshenko Beam-Bending Soutions in Tems of Eue-Benoui Soutions, Jouna of Engineeing Mechanics, Vo 11 No. 6. June, ASCE. Nasution, A., Mekanika Benda Peja, Penebit ITB. 178 Juna Teknik Sipi