f ( x ) 0 maka disebut PD tak homogen.

Transkripsi

1 II LANDASAN TEORI Defiisi (Tuua Fugsi f ) Tuua fugsi f pada biaga a diyataka dega f ( a) adaah f ( a+ h) f ( a) f ( a) = im () h h jika imit ii ada (Keyszig 993) Defiisi (Tuua Pasia) Misaka f adaah fugsi dua vaiabe x da y dega x adaah vaiabe yag beubah-ubah da y adaah vaiabe tetap Dimisaka y = b dega b adaah suatu kostata sedemikia sehigga fugsi vaiabe tugga x adaah g ( x ) = f ( x Jika g mempuyai tuua di a maka tuua pasia dai f tehadap x di ( ab ) diyataka dega f x ( ab ) Jadi f ( ab ) g ( a) x = () dega g ( x ) = f ( x Meuut pesamaa () maka pesamaa () mejadi f ( a+ h f ( a f ( a = im (3) x h h Jika dimisaka titik ( ab ) beubah-ubah daam pesamaa (3) maka f x mejadi fugsi dua vaiabe Jika f adaah fugsi dua vaiabe tuua pasiaya adaah fugsi f x yag didefiisika oeh f ( x + h y ) f ( x y ) f x ( x y ) = im h h (Stewat 993) Pesamaa Difeesia Biasa (PDB) Liea Suatu Pesamaa Difeesia Biasa (PDB) ode ke- adaah iea ketika pesamaa tesebut dapat dituiska daam betuk d y d y a ( x ) + a ( x ) dx dx + dy + a ( x ) + a ( x ) y dx = f ( x ) a x ( ) Fugsi a ( x ) a ( x ) a ( x ) disebut koefisie pada pesamaa difeesia jika f ( x ) maka disebut PD tak homoge Sedagka pesamaa difeesia dikataka homoge jika f ( x ) = Ketika koefisie adaah fugsi kosta pesamaa difeesia dapat dikataka memiiki koefisie kosta Kecuai jika keadaa sebaikya haus seau diasumsika bahwa koefisie adaah fugsi kotiu da a ( x ) di setiap iteva pada suatu pesamaa adaah tedefiisi Jika suatu PDB ode ke- tidak dapat dituis pada betuk umum di atas maka disebut PDB takiea ode ke- (Faow 994) Sousi PDB Liea Ode Dua Pesamaa difeesia iea ode ke-dua mempuyai betuk ay + by + cy = dega a b da c kostata da a Pesamaa a + b + c = disebut pesamaa kaakteistik dai pesamaa difeesia di atas Aka-aka da dapat dicai dega b± b 4ac megguaka umus = a Sifat ( b 4ac > ) Jika aka-aka da dai pesamaa kaakteistik adaah ea da bebeda maka sousi umum dai ay + by + cy = adaah x x y = ce + ce Sifat ( b 4ac = ) Jika pesamaa kaakteistik mempuyai satu aka ea maka sousi umum dai ay + by + cy = adaah x x y = ce + c xe Sifat 3 ( b 4ac < ) Jika aka-aka pesamaa kaakteistik adaah biaga kompeks = α + iβ da = α iβ maka sousi umum dai ay + by + cy = adaah αx y = e ( c cos β x + c si β x ) c da c adaah kostata ea (Faow 994) PDP Liea Ode Dua Betuk umum pesamaa difeesia pasia ode dua daam dua vaiabe diyataka daam Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = G (4)

2 3 dega A BC DEFG adaah kostata ea da u adaah fugsi dai x da y yag dibeika Jeis (Pesamaa Eiptik) Jika pesamaa difeesia pasia di atas memeuhi B 4AC < maka pesamaa (4) memiiki tipe eiptik Jeis (Pesamaa Paaboik) Jika pesamaa difeesia pasia di atas memeuhi B 4AC = maka pesamaa (4) memiiki tipe paaboik Jeis 3 (Pesamaa Hipeboik) Jika pesamaa difeesia pasia di atas memeuhi B 4AC > maka pesamaa (4) memiiki tipe hipeboik (Faow 994) Niai da Vekto Eige Jika A adaah matiks maka vekto tako x di daam R diamaka vekto eige (eige vecto) dai A jika Ax adaah keipata skaa dai x yaitu Ax = λx utuk suatu skaa λ Skaa λ diamaka iai eige (eigevaue) dai A da x dikataka vekto eige yag besesuaia dega λ (Ato 988) Titik Biasa da Titik Sigua Titik x = x disebut sebagai titik biasa pada pesamaa difeesia y + P x y + Q x y = P x da jika Q x masig-masig aaitik di x = x Setiap titik yag buka titik biasa pada pesamaa di atas maka disebut sebagai titik sigua (Goode 99) Titik Sigua Regua da Tak-Regua Titik x = x disebut sebagai titik sigua egua pada pesamaa difeesia y + P( x ) y + Q( x ) y = jika da haya jika diikuti dua kodisi yag memeuhi : x adaah titik sigua pada pesamaa di atas p x = x x P x da Fugsi ( ) q( x ) ( x x ) Q ( x ) x = x = aaitik di Titik sigua yag tidak memeuhi () disebut sebagai titik sigua tak-egua (Goode 99) Deet Tayo Adaika f adaah suatu fugsi dega + f x ada utuk tuua ke- ( + ) yaitu setiap x pada suatu seag buka I yag megadug a Maka utuk setiap x di I beaku f ( a) f ( x ) = f ( a) + f ( a)( x a) + ( x a )! ( f ) ( a) + + ( x a ) + R ( x ) dega sisa ( + f ) ( c)! R x dibeika oeh umus ( + ) R x = x a! + da c suatu titik ataa x da a (Puce 987) Deet Fobeius Asumsika bahwa x = adaah titik sigua egua pada pesamaa difeesia daam betuk P( x) y ( x) + Q( x) y ( x) + R( x) y( x) = (5) Suatu deet Fobeius daam betuk + = = y x = x c x = c x dega c suatu kostata dapat diguaka utuk meyeesaika pesamaa difeesia Paamete haus dipiih sedemikia sehigga ketika deet tesebut disubstitusi ke daam pesamaa difeesia koefisie pagkat tekeci pada x adaah o Ha tesebut diamaka sebagai Pesamaa Ideks (Goode 99) Pesamaa Ideks Misaka tedapat PD homoge ode ke- y + a( x ) y + b( x ) y = dega asumsi bahwa x = meupaka titik sigua egua Dibeika deet Fobeius daam betuk + = = y x = x c x = c x dega koefisie c c da ditetuka sehigga deet tesebut memeuhi pesamaa difeesia Diasumsika c Peuua pada deet Fobeius aka dihasika

3 4 y = + c x + = + ( ) y = + + c x = Substitusi y y da y ke daam PD homoge ode ke- yag dibeika + ( )( ) cx = ( + ) + = ax cx bx cx = = Pesamaa di atas dapat dituis sebagai beikut ( ) = c x ( + ) + = xa x c x x b x c x = = (6) Kaea x = meupaka titik sigua x b x memiiki egua maka xa( x ) da peuasa deet pagkat daam betuk 3 xa x = α + α x + α x + α x + 3 x b x = β + β x + β x + β x Substitusi peuasa deet pagkat di atas ke daam pesamaa (6) aka meghasika ( ) + α + β Cx + ( + ) C+ + α C + αc + β C + βc x + = ] (7) [Lihat Lampia ] Pesamaa tesebut aka memeuhi jika da haya jika koefisie pagkat x tekeci sama dega o Daam ha ii ( ) + α + β C = kaea asumsi c maka + α + β = Pesamaa kuadat pada disebut sebagai pesamaa kuadatik / pesamaa ideks pada PD homoge ode ke- (Adews 99) Opeato Lapace Suatu opeato yag diyataka sebagai u u u = + x y disebut opeato Lapace dua dimesi daam koodiat katesia Sedagka u u u u = + + θ disebut opeato Lapace dua dimesi daam koodiat poa [Lihat Lampia ] (Habema 987) Pesamaa Hemhotz Pesamaa Hemhotz memiiki betuk φ + λφ = dega adaah opeato Lapace λ adaah kostata da φ adaah suatu fugsi 3 yag tedefiisi pada uag Eucid R dimesi atau 3 Pesamaa Hemhotz temasuk pada pesamaa difeesia pasia eiptik (Habema 987) Pesamaa Besse Suatu pesamaa difeesia iea ode kedua yag diyataka sebagai w v + v + v = s s dega s tedefiisi pada [ ] da w adaah kostata takegatif disebut sebagai pesamaa Besse ode ke-w (Faow 994) Defiisi 3 (Fugsi Gamma) Fugsi Gamma didefiisika sebagai p t Γ p = t e dt p > Lemma (Fugsi Gamma) Utuk semua p > Γ p + = pγ p Bukti: ( p ) Γ + = p t t e dt p t p t = t e + p t e dt = pγ ( p ) (Goode 99) (Goode 99) Metode Pemisaha Peubah Misaka dibeika PDP ode kedua dimesi u u u = c + (8) t x y Metode pemisaha peubah dimuai dega meujukka bahwa peubah waktu t dapat dipisahka dai peubah x da y dega pemisaha pekaia daam betuk u( x y t) = h( t) φ ( x y ) (9) φ ( x y ) adaah fugsi yag beum diketahui pada peubah x da y

4 5 Substitusi pesamaa (9) ke daam pesamaa (8) didapatka d h φ φ φ ( x y ) = c h ( t) + dt x y Seteah pemisaha peubah aka dipeoeh d h φ φ = + λ = c h dt φ x y Utuk h( t ) da φ ( x y ) masig-masig aka dipeoeh PDB da PDP beikut d h φ φ = λc h da + = λφ dt x y Utuk pesamaa PDP yag dipeoeh dapat dipisahka agi ataa peubah x da y dega caa yag sama sepeti metode pemisaha peubah waktu t dega peubah x da y u x y t = h t φ x y Dega demikia adaah peyeesaia dai u tt c ( uxx uyy ) = + (Habema 987) Metode d Aembet Metode d Aembet diiustasika utuk sebuah sousi pesamaa geombag - dimesi Lagkah awa adaah membuat kuadat padaa pesamaa geombag - dimesi sehigga dai kuadat padaa tesebut didapatka pesamaa kaaktestik Seajutya metasfomasi sousi pesamaa kaakteistik dega memisaka ξ = x ct da η = x + ct yag kemudia aka dipeoeh tasfomasi akhi utuk u( x t) = ω ( ξη ) Lagkah beikutya adaah meuuka pesamaa u( x t) = ω ( ξη ) secaa pasia da mesubtitusikaya ke daam pesamaa geombag -dimesi sehigga hasi akhi aka dipeoeh u( x t) = F ( x ct) + G ( x + ct) Dega F da G adaah fugsi sembaag yag dapat dituuka dua kai (Adews 99) Metode Fouie Sousi PDP ode dua dapat beupa sousi deet Fouie Beikut ii sousi deet Fouie dipeoeh dega iustasi sebuah pesamaa geombag Misaka diketahui pemasaaha iai awa da iai batas homoge beikut utt a uxx = u( x ) = ϕ( x ) ut ( x ) = ψ ( x ) u t = u t = x t Lagkah : Peetua peyeesaia khusus dai PDP dega pemisaa pekaia u( x t) = X ( x ) T ( t) Substitusi ke daam PD didapat X ( x ) T ( t) a X ( x ) T ( t) = Seteah pemisaha peubah aka dipeoeh X T = X a T = λ kostata Utuk masig-masig X ( x ) da T ( t ) dipeoeh PDB beikut X x λ X x T t λ a T t = = dega peyeesaiaya adaah X ( x ) da T ( t ) Dega demikia u = X T adaah peyeesaia dai u tt = a uxx Lagkah : Dega memasukka peyeesaia ke daam syaat batas dipeoeh X T ( t ) = X ( ) T ( t ) = utuk semua t Utuk X dipeoeh pesamaa iai eige X λ X = dega syaat iai batas X = X ( ) = Peyeesaia tak tiva haya didapatka utuk iai eige π λ = ( = 3 ) yaitu fugsi π eige X ( x ) = Csi x Utuk λ = λ didapatka peyeesaia pesamaa difeesia bagi T yaitu πa πa T ( t) = A cos t B si t Dega medefiisika kostata C A da C B sebagai A da B kembai dipeoeh ( ) cos π a si π u x t A t B a t si π = + x sebagai peyeesaia pesamaa difeesia homoge utt a uxx = dega syaat iai u t = u t = batas Lagkah 3: Pemeuha syaat iai awa utuk peyeesaia dega betuk deet beikut ( ) = ( ) u x t u x t = πa πa π = Acos t + Bsi t si x = ()

5 6 pada syaat iai awa u x = ϕ x u x = ψ x dega t pemiiha kostata A da B yag sesuai dipeoeh π πa π Asi x = ϕ( x) Bsi x = ψ( x) = = Dega demikia didapat πa A da B ϕ x da sebagai koefisie deet fouie dai ψ ( x ) pada pembetuka deet Fouie bagi pembetuka fugsi eige si π a x Utuk ϕ x da mempeoeh umus ii misaka ψ ( x ) adaah fugsi gaji dega peiode kemudia dega megguaka umus koefisie Fouie dipeoeh π A = ϕ( x) si x dx π B = ψ ( x) si x dx πa () Dega demikia pesamaa () dega koefise A da B sepeti pada pesamaa () adaah peyeesaia masaah iai awa da iai batas homoge yag dicai (Nugahai 5)