PROSES IDENTIFIKASI DAN ESTIMASI VARIABEL KEADAAN PADA MODEL TEREDUKSI

Transkripsi

1 ESIS-SM 45 PROSES IDENIFIKASI DAN ESIMASI VARIABEL KEADAAN PADA MODEL EREDUKSI RIFENA PUNANA LESNUSSA 5 DOSEN PEMBIMBING D. Didik Khusnul Aif, S.Si., M.Si. D.Dieky Adzkiya, S.Si, M.Si PROGRAM MAGISER DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU EKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 7

2

3 HESIS-SM 45 IDENIFICAION AND ESIMAION PROCESS ON SAE VARIABLES OF REDUCED MODEL RIFENA PUNANA LESNUSSA NRP 5 PROSPECIVE SUPERVISORS D. Didik Khusnul Aif, S.Si., M.Si. D. Dicky Adzkiya, S.Si, M.Si MASER S DEGREE MAHEMAICS DEPARMEN FACULY OF MAHEMAICS AND NAURAL SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSIUE OF ECHNOLOGY SURABAYA 7

4

5 i

6 ii

7 PROSES IDENIFIKASI DAN ESIMASI VARIABEL KEADAAN PADA MODEL EREDUKSI Nama Mahasiswa : ifena Punana Lesnussa NRP : 5 Pembimbing :. D. Didik Khusnul Aif, S.Si., M.Si. D. Dieky Adzkiya, S.Si, M.Si. ABSRAK Sistem teeduksi meupakan sistem bau yang memiliki dimensi yang lebih kecil sebagai hasil penyedehanaan dai sistem awal. Kaena dimensi yang bebeda maka sistem teeduksi tidak dapat dibandingkan dengan sistem awal. Identifikasi vaiabel beguna untuk melacak kesesuaian antaa vaiabel keadaan pada sistem teeduksi dan sistem awal sehingga menghasilkan vaiabel yang besesuaian antaa kedua sistem tesebut. Dalam esis ini, membahas tentang poses identifikasi dan estimasi vaiabel keadaan pada model teeduksi. Metode eduksi model yang digunakan adalah metode pemotongan setimbang. Poses dimulai dengan membentuk sistem setimbang. Kemudian, hilangkan vaiabel dai sistem setimbang yang memiliki pengauh tekecil tehadap sistem. Hasil eduksi sistem kemudian diidentifikasi. Setelah itu, dapat disimpulkan bahwa vaiabel keadaan sistem teeduksi memiliki dimensi yang sama dengan sistem awal. Selanjutnya, estimasi vaiabel keadaan dai sistem awal dan sistem teeduksi menggunakan algoitma filte Kalman. eakhi, bandingkan hasil estimasi sistem teeduksi teidentifikasi dan sistem awal. Hasil estimasi disimulasikan menggunakan MALAB R3b. Hasil pebandingan tesebut telihat bahwa estimasi sistem awal lebih baik dai pada sistem teeduksi teidentifikasi. Ini telihat dai eo estimasi sistem awal yang lebih kecil dai pada eo estimasi sistem teeduksi teidentifikasi. Namun, waktu komputasi dai estimasi sistem teeduksi lebih cepat dai pada waktu komputasi untuk estimasi sistem awal. Kata kunci: Reduksi model, Metode Pemotongan setimbang, Identifikasi vaiabel, Algoitma Kalman filte iii

8 iv

9 IDENIFICAION AND ESIMAION PROCESS ON SAE VARIABLES OF REDUCED MODELS Name : ifena Punana Lesnussa NRP : 5 Supevisos :. D. Didik Khusnul Aif, S.Si.,M.Si.. D. Dieky Adzkiya, S.Si, M.Si. ABSRAC he educed system is a new system that has smalle dimensions as a esult of simplification of the initial system. Because of diffeent dimensions, the educed system can not be compaed with the initial system. Identification of vaiables is useful fo tacking the suitability between state vaiables on the educed model and the initial system so as to poduce the coesponding vaiables between the two systems. In this hesis, we discuss the identification and estimation pocess on state vaiables of educed models. A educed models method used is balanced tuncation. his pocess begins with the constuction of balanced system. hen, we eliminate vaiables of the balanced system that have a small influence on the system. We identified the esult of a educed system. Subsequently, we concluded that the state vaiables of the educed system have the same dimension as the one in the initial system. Futhemoe, we estimate state vaiables on the oiginal system and educed system using a Kalman filte algoithm. Finally, we compae the estimation esult of the identified educed system and oiginal system. he estimation esult ae simulated by using MALAB R3b. he esult of compaison shows that the initial system estimate is bette than the identified educed system. his is seen fom the estimation eo in the oiginal system is quite close to the eo in the identified educed system. Howeve, the computational time fo estimation in the educed system is faste than the computational time fo estimation in the oiginal system. Kata kunci: Reduced Models, he Balance uncation Method, Identification Vaiables, he Kalman Filte Algoithm v

10 vi

11 KAA PENGANAR Segala Puji dan syuku ke hadiat uhan Yang Maha Esa, atas segala penyetaan dan cuahat kasih kaunia-nya yang tak tehingga sehingga penulis dapat menyelesaikan esis yang bejudul. Poses Identifikasi dan Estimasi Vaiabel Keadaan pada Sistem eeduksi esis ini disusun sebagai salah satu syaat kelulusan Pogam Studi Stata (S-) Pogam Magiste Juusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA), Institut eknologi Sepuluh Nopembe (IS) Suabaya. Dalam penyelesaian esis ini, banyak kendala dan hambatan dalam pengejaannya. Namun, bekat bimbingan, aahan, bantuan seta dukungan dai bebagai pihak, sehingga penulis dapat menyelesaikan esis ini dengan baik. Oleh kaena itu, penulis mengucapkan teima kasih dan penghagaan kepada semua pihak, teutama kepada.. Dekan MIPA Institut eknologi Sepuluh Nopembe.. Ketua Depatemen Matematika Institut eknologi Sepuluh Nopembe. 3. Ketua Pogam Studi Pascasajana Matematika IS. 4. Bapak D. Subiono, M.Sc selaku dosen wali yang telah membimbing dan membei aahan selama mengikuti pekuliahan di IS. 5. Bapak D. Didik Khusnul Aif, S.Si.,M.Si dan Bapak D. Dieky Adzkiya, S.Si, M.Si., selaku dosen pembimbing atas segala bantuan, bimbingan, aahan dan motivasinya dalam mengejakan esis sehingga dapat teselesaikan dengan baik. 6. Bapak D. Mahmud Yunus, M.Si, Ibu Pof. D. Ena Apiliani, M.Si, dan Ibu Endah Rokhmati, S.Si, M, Ph.D., selaku dosen penguji atas semua kitik dan saan yang telah dibeikan demi pebaikan esis ini. vii

12 7. Seluuh dosen, staf dan kayawan Juusan Matematika IS yang telah membeikan bekal ilmu pengetahuan dan juga atas segala bantuan, kemudahan dan kelancaan selama penulis mengikuti poses pekuliahan. 8. Kedua oang tua tecinta Ayah MP. Lesnussa dan Ibu Nince Bata teima kasih atas segala kesabaan, pehatian, motivasi dan waktu seta dukungannya yang telah dibeikan selama menempuh studi di IS. 9. Saudaaku Kakak Delsi Lesnussa dan Adik anggun Lesnussa seta dua ponakan kesayangan Cyta dan Ayco yang telah mendoakan dan membeikan semangat kepada penulis.. eman sepejuangan Mas Ridho Alfaisi, Mbak Ida Ayu Putu Ai Utai, Echa Ayu Fatmawati dan Mbak isna Rusdiana Dewi yang telah menemani, membantu dan membeikan semangat kepada penulis selama kuliah di IS.. eman-teman di keluaga besa Pascasajana Matematika IS 5 yang telah menemani, membantu, mendoakan, dan membeikan semangat kepada penulis.. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu pesatu, Semoga uhan membalas semua kebaikannya. Penulis menyadai dalam esis ini masih tedapat kekuangan. Oleh kaena itu, kitik dan saan yang besifat membangun sangat penulis haapkan untuk kesempunaan esis ini. Akhinya, penulis behaap semoga esis ini dapat bemanfaat bagi semua pihak dan khususnya dalam mempelajai eduksi model. Suabaya, Juni 7 Penulis viii

13 DAFAR ISI Hal LEMBAR PENGESAHAN... i ABSRAK... iii ABSRAC... v KAA PENGANAR... vii DAFAR ISI... i DAFAR GAMBAR... i DAFAR ABEL... iii BAB. PENDAHULUAN.... Lata Belakang.... Rumusan Masalah....3 Batasan Masalah ujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 4 BAB. KAJIAN PUSAKA DAN DASAR EORI Penelitian-Penelitian ekait Sifat Linea Waktu Diskit Kestabilan Sistem Linea Waktu Diskit..... Ketekontolan Keteamatan Gamian Ketekontolan dan Gamian Keteamatan Reduksi Model Sistem Setimbang Reduksi Sistem Setimbang Identifikasi Vaiabel Keadaan Algoitma Filte Kalman... 4 BAB 3. MEODE PENELIIAN ahapan Penelian Diagam Ali Penelitian i

14 BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Sistem Linea Waktu Diskit Gamian Ketekontolan Gamian Keteamatan Reduksi Model Realisasi Setimbang Pembentukan Matiks ansfomasi Sistem Setimbang Reduksi Sistem Setimbang Identifikasi Vaiabel Keadaan Filte Kalman Filte Kalman Sistem Filte Kalman Sistem ( ) Identifikasi Sistem eeduksi Filte Kalman Contoh Kasus Kasus BAB 5. KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saan DAFAR PUSAKA LAMPIRAN BIODAA PENULIS.. 63

15 DAFAR GAMBAR Gamba 3. Diagam Ali Penelitian... Hal 9 Gamba 4.. Estimasi vaiabel keadaan sistem pada iteasi ke-. (kasus ) Estimasi sistem A i, dan sistem ( Gamba 4.. pada iteasi ke-. (kasus ) Gamba 4.3. Estimasi vaiabel keadaan sistem pada iteasi ke-. (kasus ) Estimasi sistem A i, dan sistem ( Gamba 4.4. pada iteasi ke-. (kasus ) i

16 ii

17 DAFAR ABEL Hal abel 4. Nilai eigen matiks dengan abel 4. Nilai singula Hankel sistem awal abel 4.3 Nilai eigen matiks dengan abel 4.4 Nilai eigen matiks untuk abel 4.5 Eo estimasi sistem i A, dengan sistem (kasus )... 4 abel 4.6 Waktu komputasi untuk poses estimassi pada sistem dan sistem i A, 4 (kasus)... abel 4.7 Nilai eigen matiks dengan... 4 abel 4.8 Nilai singula Hankel sistem untuk abel 4.9 Nilai absolut eigen matiks untuk abel 4. Nilai eigen matiks dengan abel 4. Eo estimasi sistem i A, dengan sistem. (kasus ) abel 4. Waktu komputasi untuk poses estimasi pada sistem dan sistem i A, 49 (kasus )... iii

18 iv

19 BAB PENDAHULUAN. Lata Belakang Masalah Fenomena alam yang tejadi di dalam kehidupan sehai-hai, khususnya dalam bidang sains dan teknik semakin mengalami pekembangan. Pemasalahan yang muncul semakin banyak sebagai imbas dai pekembangan tesebut. Aga memudahkan dalam menyelesaikan pemasalahan yang ada, digunakan pemodelan matematika yang dapat meepesentasikan pemasalahan dalam kehidupan nyata. Model meupakan penyedehanaan fenomena-fenomena nyata dalam bentuk matematika. Model matematika yang dihasilkan dapat beupa suatu pesamaan, petidaksamaan, sistem pesamaan atau lainnya yang tedii atas sekumpulan vaiabel atau besaan dengan menggunakan opeasi matematika. Sistem meupakan suatu kesatuan yang tedii dai bebeapa komponen sepeti masukan (input), poses dan keluaan (output) yang bekeja besama-sama untuk mencapai tujuan tetentu. Input dan output sistem dapat disajikan dalam bentuk fungsi dai waktu, yang mana dapat beupa waktu kontinu atau waktu diskit yang memiliki sifat yang sama jika dianalisa. Dai analisa sistem tesebut tedapat sistem yang stabil dan tidak stabil. Sistem yang tedapat di alam kemudian diepesentasikan dengan model matematika selanjutnya diubah menjadi instuksi dai suatu kompute. Hal ini memungkinkan sistem dapat dimodelkan dengan ode yang lebih besa dan kompleks. Semakin besa ode dai suatu sistem diakibatkan kaena banyaknya vaiabel keadaan dai sistem tesebut. Semakin banyak vaiabel yang digunakan maka model matematika yang digunakan semakin mendekati nilai fenomena atau sistem nyata yang sebenanya. Namun kebutuhan akan model dengan tingkat akuasi yang tinggi memunculkan bebagai pesoalan bau diantaanya lamanya waktu komputasi dan memoi yang besa, kesulitan dalam hal analisa, optimasi dan desain kendali. Sehingga dibutuhkan apoksimasi model dengan ode yang lebih kecil namun tetap memiliki peilaku dinamik yang sama atau hampi sama dengan model awal. Oleh sebab itu dibutuhkan penyedehanaan sistem yang beode besa, aga memiliki ode yang lebih kecil tanpa kesalahan yang

20 signifikan. Penyedehanaan sistem inilah yang dimaksud dengan eduksi model (Aif, 4). Metode eduksi model yang seing digunakan diantaanya apoksimasi petubasi singula (Geen, M. & Limebee, 995), Pemotongan setimbang dan apoksimasi noma Hankel. Diantaa metode eduksi model tesebut, metode pemotongan setimbang paling seing digunakan kaena kesedehanaan metodenya dan kontuksinya bedasakan dekomposisi ajaba linea biasa. Metode ini juga menjamin sifat-sifat dai sistem awal selalu dipetahankan. Hasil eduksi dai sistem dengan menggunakan metode ini akan mempunyai sistem yang sama dengan sifat sistem semula yaitu stabil, tekendali dan teamati (Aif, 4). Dalam sistem yang besa, pada umumnya tidak semua vaiabel diketahui sehingga pelu dilakukan estimasi. Estimasi ini beguna untuk menguku besabesaan pada sistem yang tidak dapat diuku (Aif, 4). Salah satu metode estimasi yang telah banyak diaplikasikan adalah algoitma filte Kalman. Algoitma ini petama kali dipekenalkan pada tahun 96 oleh penemunya yaitu Rudolph E. Kalman dalam suatu penyelesaian pada masalah filteing data diskit yang linea, sehingga dinamakan filte Kalman (Asfihani, ). Filte Kalman adalah algoitma ekusif untuk mengestimasi vaiabel keadaan dai sistem dinamik stokastik. Estimasi dengan menggunakan metode ini dilakukan dengan caa mempediksi vaiabel keadaan bedasakan dinamika sistem dan data pengukuan (Lewis, 99). Ketika algoitma filte Kalman diaplikasikan pada sistem beskala besa maka dibutuhkan waktu komputasi yang lama. Dalam Constuction Of the Kalman Filte Algoithm On the Model Reduction (Aif dkk, 4) telah dikembangkan algoitma filte Kalman pada model teeduksi. Namun ada kesulitan untuk membandingkan hasil estimasi pada model teeduksi dengan sistem awal kaena ode yang bebeda. Ode yang bebeda antaa kedua sistem tesebut mengakibatkan vaiabel yang ada juga bebeda. Oleh sebab itu dibutuhkan identifikasi vaiabel untuk mengetahui hubungan antaa vaiabel pada sistem awal dan sistem teeduksi. Hal ini betujuan untuk mendapatkan vaiabel yang besesuaian, sehingga hasil estimasi pada model teeduksi dapat

21 dibandingkan dengan model awal. Dalam penelitian ini akan dibahas mengenai identifikasi vaiabel pada sistem awal dan sistem teeduksi.. Rumusan Masalah Bedasakan uaian lata belakang pemasalahan diatas, umusan masalah pada penelitian ini yaitu :. Bagaimana poses identifikasi vaiabel keadaan pada sistem teeduksi?. Bagaimana peneapan identifikasi vaiabel pada estimasi dengan filte Kalman?.3 Batasan Masalah Batasan masalah yang dibeikan dalam penelitian ini adalah sebagai beikut:. Model yang digunakan adalah sistem linea waktu diskit stabil.. Metode eduksi model yang digunakan adalah metode pemotongan setimbang. 3. Sofwae yang digunakan adalah MALAB R3b.4 ujuan Penelitian ujuan penelitian bedasakan umusan masalah yang telah dipapakan adalah sebagai beikut:. Mengetahui langkah-langkah identifikasi vaiabel keadaan pada sistem teeduksi.. Mengetahui peneapan identifikasi vaiabel pada estimasi dengan filte Kalman..5 Manfaat Penelitian Manfaat yang dipeoleh dai penelitian ini adalah menambah wawasan mengenai identifikasi dan estimasi vaiabel keadaan pada eduksi model untuk sistem yang stabil dan peneapannya pada model matematika yang memiliki ode besa sehingga dapat mempemudah pehitungan dan analisis. Selain itu juga, kajian ini dapat menjadi efeensi atau ujukan bagi paa peneliti. 3

22 4

23 BAB KAJIAN PUSAKA DAN DASAR EORI Pada bab ini dibahas mengenai kajian pustaka yang bekaitan dengan penelitian-penelitian sebelumnya dan dasa-dasa teoi yang digunakan dalam penelitian ini diantaanya pembahasan mengenai sistem linea waktu diskit, sifatsifat sistem, eduksi model dan algoitma filte Kalman.. Penelitian-Penelitian ekait Penelitian-penelitian tekait yang penah dilakukan sebelumnya yaitu sebagai beikut:. Dynamic Model Reduction: An Oveview of Available echniques With Application to Powe System (Dukic dkk, ). Dalam penelitian ini dikaji metode eduksi yang seing digunakan kaena kesedehanaan metodenya yaitu metode pemotongan setimbang dan modal tuncation. Metode tesebut diaplikasikan untuk meeduksi sistem daya dan geneato. Metode pemotongan setimbang memotong 6 dan 9 vaiabel keadaan, sedangkan modal tuncation memotong hanya 77 vaiabel keadaan yang kuang bepengauh tehadap sistem, tetapi metode pemotongan setimbang tidak mempetahankan steady state dai model awal.. Analisis Reduksi Model pada Sistem Linea Waktu Diskit (Sai, D. I, 6). Hasil penelitian ini mempelihatkan bahwa sistem awal dan sistem teeduksi menunjukan kesamaan sifat dan semakin kecil vaiabel yang dieduksi pebandingan eo yang dihasilkan juga semakin kecil. 3. Balanced Realization and Model Reduction fo Unstable Systems (Zhou dkk, 999). Dalam penelitian ini, dipekenalkan ealisasi setimbang dan metode eduksi model untuk sistem tidak stabil, dengan mendefinisikan Gamian ketekontolan dan Gamian keteamatan yang bau. Dipeoleh hasil bahwa metode ini lebih efektif dibanding eisting metode. 4. Konstuksi dan Implementasi Algoitma Filte Kalman pada Model eeduksi (Aif, D.K, 4). Dalam penelitian ini dijelaskan bahwa implementasi algoitma filte Kalman pada sistem teeduksi pada masalah distibusi konduksi panas. Estimasi distibusi konduksi panas pada kawat 5

24 dimensi satu ini meupakan salah satu contoh sistem yang beukuan besa. Hasil simulasi menunjukkan bahwa estimasi filte Kalman pada sistem teeduksi mempunyai hasil yang lebih akuat dan waktu komputasi yang lebih kecil jika dibandingkan dengan filte Kalman pada sistem semula, namun ada kesulitan untuk membandingkan hasil estimasi pada model tedahulu dengan sistem awal dikaenakan dimensi yang bebeda.. Sistem Linea Waktu Diskit Suatu sistem linea dinamik waktu diskit dinyatakan dalam bentuk pesamaan sebagai beikut : (Ogata, 995) dengan :, (.), (.) adalah vaiabel keadaan pada waktu k, adalah vekto masukan deteministik pada waktu k, adalah vekto pengukuan pada waktu k, masing-masing adalah matiks-matiks konstan dengan ukuan yang besesuaian. Dimensi atau ode dai suatu model didefinisikan dengan banyaknya vaiabel keadaan yaitu bekaitan dengan ukuan dai matiks. Selanjutnya sistem diskit yang dinyatakan dalam Pesamaan (.) dan (.) disebut sistem (A,B,C,D)... Kestabilan Sistem Linea Waktu Diskit Konsep kestabilan sistem linea waktu diskit dapat dinyatakan menuut definisi beikut. Definisi. (Ogata, 997) Dibeikan sistem linea diskit (.3) dengan adalah vaiabel keadaan pada waktu dan adalah matiks konstan dengan ukuan yang besesuaian. Misalkan disebut titik setimbang. 6

25 . itik setimbang dikatakan stabil bila untuk setiap, tedapat sedemikian hingga untuk setiap solusi yang memenuhi maka belaku untuk setiap.. itik setimbang dikatakan stabil asimtotik jika stabil dan bila tedapat sedemikian upa sehingga untuk setiap solusi yang memenuhi maka belaku. Bedasakan Definisi., maka untuk menyelidiki kestabilan sistem dapat dilihat dai penyelesaian Pesamaan (.). Penyelesaian Pesamaan (.) adalah sebagai beikut (Sai, 6) Kaena nilai benilai konstan, maka nilai dai penyelesaan begantung pada, dengan adalah matiks buju sangka sembaang beukuan dengan nilai-nilai eigen. Oleh kaena itu, untuk menentukan pelu dilihat bedasakan bentukbentuk dai matiks A, yaitu: a. Jika adalah matiks diagonal, dengan A n maka k A k k k n b. Jika adalah matiks yang dapat didiagonalkan maka haus diubah ke dalam bentuk Jodan. 7

26 8 yang memiliki penyelesaian sistem yaitu dengan dai bentuk Jodan ini, dapat dipeoleh: Selanjutnya, J n J J, maka k n k k J J J dan, k i k i k i d k i ij d k i k i k i k k k d k k k J ij ij!!! Jadi telihat bahwa jika,, maka menuju ke nol untuk. Jadi stabil asimtotik jika. Bedasakan pada penyelesaian sistem, maka syaat kestabilan sistem bedasakan nilai kaakteistik dapat ditentukan bedasakan teoema beikut. eoema. (Kwakenaak,97; Ogata, 997) Sistem linea diskit, sepeti yang dinyatakan pada Pesamaan (.), adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika untuk dengan adalah nilai eigen matiks. Sedangkan jika, maka sistem diskit adalah stabil.

27 .. Ketekontolan Beikut akan dijelaskan mengenai konsep ketekontolan sistem diskit yang dinyatakan dalam bentuk ( ) (.4) dengan adalah vekto keadaan beukuan, sebagai vekto masukan, adalah matiks non singula beukuan, adalah matiks beukuan, dan sebagai peiode sampling. Diasumsikan adalah konstan untuk. Keadaan awal diambil sembaang, sedangkan keadaan akhinya adalah titik asal. Pengetian ketekontolan sistem diskit dibeikan oleh definisi beikut. Definisi.3 (Ogata,997) Sistem diskit sepeti yang dibeikan pada Pesamaan (.4) adalah tekontol jika tedapat potongan konstan dai vekto masukan yang didefinisikan atas bilangan behingga dai peiode sampling,, sedemikian sehingga, mulai dai setiap keadaan awal dapat ditansfe atau dibuat nol untuk pada keadaan dalam peiode sampling. Jika setiap keadaan adalah tekontol, maka sistem disebut tekontol sempuna. Bedasakan Defenisi.3 tesebut, dipeoleh syaat pelu dan cukup sistem tekontol sebagai beikut. eoema. (Ogata, 997) Sistem diskit yang dibeikan pada Pesamaan (.4) tekontol sempuna jika dan hanya jika dengan, disebut sebagai matiks ketekontolan...3 Keteamatan Beikut ini dijelaskan mengenai konsep keteamatan dai sistem diskit yang dinyatakan dalam bentuk ( ) (.5) (.6) 9

28 dengan adalah vekto keadaan beukuan, adalah vekto output beukuan, adalah matiks beukuan, adalah matiks beukuan, dan sebagai peiode sampling. Pengetian keteamatan sistem diskit yang dinyatakan pada Pesamaan (.5) dan (.6) dapat dinyatakan dalam defenisi beikut. Definisi.4 (Ogata, 997) Sistem pada Pesamaan (.5) dan (.6) dikatakan teamati sempuna jika setiap keadaan awal dapat ditentukan dai pengamatan selama selang waktu yang tehingga. Oleh kaena itu, suatu sistem teamati sempuna jika setiap tansisi keadaannya mempengauhi setiap elemen vekto keluaan. Bedasakan Defenisi.4, syaat pelu dan cukup dai keteamatan dapat beikan pada teoema beikut ini. eoema.3 (Ogata, 997) Sistem diskit yang didefinisikan pada Pesamaan (.5) dan (.6) teamati sempuna jika dan hanya jika, dengan disebut sebagai matiks keteamatan...4 Gamian Ketekontolan dan Gamian Keteamatan Dibeikan sistem linea diskit. Pada sistem juga didefenisikan Gamian ketekontolan M dan Gamian keteamatan N, sebagai beikut, (.7), (.8) Hubungan antaa sifat kestabilan, ketekontolan dan keteamatan sistem dengan Gamian ketekontolan M dan Gamian keteamatan N dapat dinyatakan dalam teoema beikut (Aif, 4)

29 eoema.4 (Siep Weiland, 9) Dibeikan sistem (A,B,C,D) yang stabil, tekontol dan teamati. Gamian ketekontolan M dan Gamian keteamatan N, masing-masing meupakan penyelesaian tunggal dan definit positif dai pesamaan Lyapunov (.9) (.) Pada eoema.4, sistem stabil asimtotik. Sehingga, sistem tekontol dan teamati. yang dimaksud stabil adalah sistem adalah sistem yang stabil asimtotik,.3 Reduksi Model Reduksi model meupakan salah satu metode yang digunakan untuk penyedehanaan suatu sistem. Penyedehanaan ini nantinya dihaapkan dapat mempekecil ode sistem tanpa kesalahan yang signifikan. Metode eduksi model yang digunakan pada penelitian ini adalah Metode Pemotongan Setimbang. Misalkan dibeikan sebuah sistem sepeti pada Pesamaan (.) dan diasumsikan sistem stabil, tekontol dan teamati sehingga sistem dapat dilakukan pemotongan setimbang. Beikut langkah-langkah pada metode pemotongan setimbang..3. Sistem Setimbang Sistem setimbang adalah sistem bau yang mempunyai Gamian ketekontolan dan Gamian keteamatan yang sama dan meupakan matiks diagonal. Sistem setimbang dipeoleh dengan caa mentansfomasi sistem awal tehadap matiks tansfomasi. Dai sistem awal dapat dibentuk suatu sistem yang mempunyai Gamian ketekontolan dan Gamian keteamatan yang sama dan meupakan matiks diagonal dengan ( ). Jika hal ini dipenuhi maka sistem dikatakan setimbang. Selanjutnya dai sistem. disebut Gamian kesetimbangan

30 Kemudian akan ditentukan matiks sedemikian sehingga belaku. Diketahui bahwa Gamian ketekontolan M dan Gamian keteamatan N non singula, maka juga non singula. Selanjutnya dikontuksi matiks dan dilakukan diagonalisasi pada sedemikian sehingga belaku dengan adalah matiks unitay maka yang beati bahwa dan masing-masing meupakan matiks non singula dan, dengan, maka jelas bahwa non singula dan non singula. Selanjutnya didefenisikan matiks non singula sebagai (.) dengan matiks,, masing-masing adalah matiks non singula, maka hal ini meupakan jaminan bahwa matiks tansfomasi adalah non singula. Hubugan antaa sistem setimbang dengan Gamian ketekontolan dan Gamian keteamatan sistem, dapat dilihat pada defenisi beikut. Defenisi.5 (Siep Weiland, 9) Sistem disebut sistem setimbang dai sistem (A,B,C,D) jika sistem mempunyai Gamian ketekontolan dan Gamian keteamatan yang meupakan solusi tunggal dai pesamaan Lyapunov,, Sedemikian sehingga memenuhi. dengan menyatakan nilai singula Hankel dai sistem (A,B,C,D) yang dapat didefenisikan sebagai dengan (.) adalah nilai-nilai eigen dai MN..3. Reduksi Sistem Setimbang Sistem teeduksi adalah sistem bau yang mengalami pemotongan vaiabel keadaan pada sistem setimbang yang sulit dikontol dan diamati. Vaiabel

31 keadaan yang sulit dikontol dan diamati yang dimaksud adalah vaiabel keadaan yang mempunyai pengauh kecil tehadap sistem dan besesuaian dengan nilai singula Hankel yang kecil. Sistem yang teeduksi akan memiliki sifat yang hampi sama dengan sistem awal (Gigoiadis, 995). Metode Pemotongan Setimbang meupakan salah satu metode eduksi model, yang dikembangkan oleh Sigud (), Siep Weiland (9) dan Bempoad (). Pemotongan vaiabel keadaan yang sulit untuk dikontol dan sulit diamati pada sistem setimbang sehingga tebentuk sistem teeduksi yang mempunyai vaiabel keadaan lebih sedikit dai pada vaiabel keadaan pada sistem semula. Penjelasan mengenai pemotongan tehadap vaiabel keadaan yang sulit dikontol dan sulit diamati dapat dilihat pada teoema beikut eoema.5 (Siep Weiland, 9) Dibeikan sistem yang stabil, tekontol, teamati dan setimbang dengan Gamian Jika maka sistem teeduksi dengan ode juga akan stabil, tekontol dan teamati seta memenuhi, dengan dan masing-masing adalah fungsi tansfe sistem teeduksinya. dan sistem Menuut eoema.5, pemotongan vaiabel keadaan pada sistem setimbang dapat dilakukan dengan menentukan uutan nilai singula Hankel dimana tejadi loncatan yang besa. Sehingga dipeoleh sistem teeduksi yang beukuan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: (.3) (.4).3.3 Identifikasi Vaiabel Keadaan Identifikasi vaiabel beguna untuk melacak kesesuaian vaiabel keadaan yang ada pada sistem dan sistem ( ). Misalkan dibeikan pesamaan sepeti sebagai beikut (Siep,9). (.5) 3

32 Dengan adalah vaiabel keadaan dai sistem beukuan, adalah vaiabel keadaan dai sistem ( ) beukuan dan adalah matiks tansfomasi non singula beukuan..4 Algoitma Filte Kalman Filte Kalman meupakan salah satu metode untuk mengestimasi vaiabel keadaan dai sistem dinamik stokastik yang petama kali dipekenalkan oleh Rudolf E. Kalman pada tahun 96. Estimasi dengan menggunakan metode ini dilakukan dengan caa mempediksi vaiabel keadaan bedasakan dinamika sistem dan data pengukuan (Lewis, 99). Pada pemodelan sistem, tidak ada model matematika dai suatu sistem yang sempuna. Hal ini dapat disebabkan kaena adanya fakto deau yang mempengauhi sistem. Oleh sebab itu, pelu ditambahkan fakto stokastik pada sistem deteministik Pesamaan (.) dan (.) yang beupa deau sistem dan deau pengukuan, sehingga menjadi sistem dinamik stokastik beikut: (.6) (.7) dengan meupakan vaiabel keadaan pada waktu k, adalah vekto masukan deteministik pada waktu k, adalah vekto pengukuan, dan masingmasing adalah deau sistem dan deau pengukuan pada waktu k yang meupakan besaan stokastik. adalah matiks-matiks dengan ukuan yang besesuaian. Deau sistem dan deau pengukuan diasumsikan bedistibusi Nomal-Gauss dengan mean nol dan secaa betuut-tuut memiliki kovaiansi dan atau bisa dinotasikan dengan dan. Asumsi ini dipelukan supaya filte Kalman yang dihasilkan adalah optimal. Matiks kovaiansi dan diasumsikan sebagai matiks simeti dan definit positif seta belaku (Aif, 4) Algoitma filte Kalman tedii dai 4 bagian. Bagian petama dan kedua membeikan model sistem dan model pengukuan seta nilai awal (inisialisasi), sedangkan bagian ketiga dan keempat adalah tahap pediksi dan tahap koeksi. Pada tahap pediksi didefinisikan suatu estimasi keadaan pada waktu 4

33 (pioi state estimate), kemudian dihubungkan dengan kovaiansi kesalahan (pioi eo covaiance). Sedangkan pada tahap koeksi membeikan koeksi bedasakan pengukuan pada waktu untuk menghasilkan estimasi dan kovaiansi kesalahan, masing-masing disebut posteioi state estimate dan posteioi eo covaiance (Lewis, 986). Algoitma filte Kalman secaa lengkap dapat dituliskan sebagai beikut: Model Sistem dan Model Pengukuan ( ) Inisialisasi ; ahap Pediksi (time update) Kovaiansi kesalahan : Estimasi : ahap Koeksi (Measuement Update) Kovaiansi kesalahan : (( ) ) Estimasi : Dai algoitma di atas hasil akhi dalam poses estimasi adalah update estimasi. Untuk menentukan kovaian sistem dan kovaian pengukuan kita mengambil nilai sangat kecil. Sedangkan noise dai sistem dan pengukuan meupakan nilai acak. 5

34 6

35 BAB 3 MEODE PENELIIAN Pada bab ini diuaikan metode penelitian yang meliputi tahapan penelitian dan diagam ali penelitian. Beikut penjelasan dai metode penelitian tesebut. 3. ahapan Penelitian ahapan penelitian secaa umum yang dilakukan adalah sebagai beikut. Studi Liteatu Pada tahap ini dilakukan identifikasi pemasalahan dengan caa mencai efeensi yang menunjang penelitian. Refeensi bisa dai bebagai sumbe pustaka beupa buku, tugas akhi, junal, disetasi maupun atikel tekait yang behubungan dengan pemasalahan pada penelitian ini.. Pembentukan Sistem Awal Pada tahap ini dilakukan pembentukan sistem awal. Sistem awal dibentuk dengan caa mengkonstuksi matiks konstan sembaang sedemikian upa sehingga menghasilkan sistem yang stabil. 3. Analisis Sistem Awal Setelah didapatkan sistem awal yang stabil, selanjutnya dilakukan analisis sistem. Analisis yang dimaksud meliputi analisis sifat dan peilaku sistem, diantaanya analisis kestabilan, ketekontolan dan keteamatan seta pembentukan Gamian ketekontolan M dan Gamian keteamatan N pada sistem tesebut. 4. Reduksi Model Pada tahap ini akan dilakukan eduksi model dengan menggunakan pemotongan setimbang. Namun sebelum dilakukan eduksi model pelu dilakukan bebeapa tahapan awal sebagai beikut a. Pembentukan Sistem Setimbang Pada tahap pembentukan sistem setimbang ini, pelu dipehatikan sistem haus stabil secaa asimtotik dan memiliki Gamian ketekontolan M dan Gamian keteamatan N yang sama dan meupakan matiks diagonal. Setelah itu dibentuk sebuah matiks 7

36 tansfomasi yang dipeoleh dai hasil konstuksi dan diagonalisasi matiks M dan matiks N yang non singula. b. Meeduksi Sistem Setimbang Menggunakan Pemotongan Setimbang Pada tahap ini dilakukan eduksi atau pemotongan dengan caa membuang vaiabel keadaan yang memiliki pengauh yang kuang signifikan tehadap sistem. Sehingga didapat sistem bau dengan ode yang lebih kecil yang disebut sebagai sistem teeduksi. c. Mengidentifikasi Vaiabel Keadaan. Pada tahap ini dilakukan identifikasi tehadap vaiabel keadaan pada sistem awal dan sistem teeduksi yang akan menghasilkan vaiabel yang besesuaian antaa kedua sistem tesebut. 5. Estimasi dengan Menggunakan Algoitma Filte Kalman Pada tahap ini dilakukan estimasi vaiabel keadaan pada sistem awal dan sistem teeduksi dengan menggunakan algoitma filte Kalman. Estimasi dai masing-masing sistem di atas menghasilkan dua vaiabel keadaan yaitu vaiabel keadaan sebenanya dan vaiabel keadaan estimasi. Selanjutnya kedua vaiabel keadaan dai masing-masing sistem di atas dibandingkan sehingga menghasilkan eo estimasi dai masing-masing sistem. 6. Meneapkan Hasil Identifikasi Vaiabel Keadaan pada Hasil Estimasi Sistem eeduksi Pada tahap ini hasil identifikasi vaiabel keadaan yang dipeoleh pada poses eduksi model diteapkan ke dalam hasil estimasi sistem teeduksi. Sehingga menghasilkan sistem dengan ukuan yang sama dengan sistem awal. Sistem ini dinamakan sistem teeduksi filte Kalman teidentifikasi. Selanjutnya vaiabel keadaan dai sistem teeduksi filte Kalman teidentifikasi ini dibandingkan dengan vaiabel keadaan sebenanya dai sistem awal. Sehingga menghasilkan eo estimasi antaa kedua sistem tesebut. 7. Simulasi Hasil dan Analisis Pada tahap ini dilakukan simulasi hasil untuk mengetahui keakuasian hasil estimasi dengan menggunakan sofwae MALAB R3b. 8

37 8. Penaikan Kesimpulan dan Saan Pada tahap ini dilakukan penaikan kesimpulan dan saan bedasakan pada hasil simulasi dan analisis pada tahap sebelumnya. 3. Diagam Ali Penelitian Alu dai penelitian ini digambakan dalam diagam beikut. SUDI LIERAUR PEMBENUKAN SISEM AWAL ANALISIS SISEM AWAL REDUKSI MODEL Pembentukan Sistem Setimbang Identifikasi Vaiabel Keadaan Meeduksi Model dengan Pemotongan Setimbang ESIMASI DENGAN MENGGUNAKAN ALGORIMA FILER KALMAN MENERAPKAN HASIL IDENIFIKASI VARIABEL KEADAAN PADA HASIL ESIMASI SISEM EREDUKSI SIMULASI HASIL DAN ANALISIS PENARIKAN KESIMPULAN DAN SARAN Gamba 3. Diagam Ali Penelitian 9

38

39 BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai poses identifikasi dan estimasi vaiabel keadaan dai model teeduksi. Metode eduksi model yang digunakan adalah metode pemotongan setimbang. Selanjutnya akan dijelaskan pula estimasi vaiabel keadaan dai sistem dengan menggunakan algoitma filte Kalman. Hasil estimasi vaiabel keadaan tesebut kemudian akan dibandingkan dengan sistem awal menggunakan hasil identifikasi vaiabel keadaan sistem teeduksi. Selanjutnya dilakukan simulasi eduksi model dan estimasi vaiabel dengan menggunakan MALAB R3b. 4. Sistem Linea Waktu Diskit Pada penelitian ini sistem yang digunakan adalah sistem linea waktu diskit sepeti pada Pesamaan (.) dan (.). Sistem tesebut beupa matiks konstan sembaang yang dikonstuksi sedemikian upa sehingga menghasilkan sistem yang stabil. Meujuk pada eoema., untuk mendapatkan sistem yang stabil nilai eigen dai matiks A haus kuang dai atau sama dengan satu. Selanjutnya sistem pada Pesamaan (.) dan (.) dinamakan sistem. 4.. Gamian Ketekontolan Didefinisikan Gamian ketekontolan yang dinotasikan dengan pada sistem sepeti pada Pesamaan (.7) sebagai beikut, (Siep, 9). Untuk menghitung Gamian ketekontolan, jumlahan tak behingga pada Pesamaan (.7) di atas dapat diuaikan sebagai beikut

40 Sistem diasumsikan stabil, tekontol dan teamati sehingga Gamian ketekontolan adalah definit positif. 4.. Gamian Keteamatan Didefinisikan Gamian keteamatan yang dinotasikan dengan pada sistem sepeti pada Pesamaan (.8) sebagai beikut, (Siep, 9). Untuk menghitung Gamian keteamatan N, jumlahan tak behingga pada Pesamaan (.8) di atas dapat diuaikan sebagai beikut Sistem keteamatan adalah definit positif. diasumsikan stabil, tekontol dan teamati sehingga Gamian 4. Reduksi Model Pada bagian ini akan dilakukan eduksi model dengan menggunakan metode pemotongan setimbang. Metode pemotongan setimbang diawali dengan pembentukan sistem setimbang telebih dahulu. Beikut langkah-langkah eduksi model dengan menggunakan metode pemotongan setimbang adalah sebagai beikut.

41 4.. Realisasi Setimbang Realisasi vaiabel keadaan dikatakan setimbang jika Gamian ketekontolan M dan Gamian keteamatan N adalah sama dan meupakan matiks diagonal, yaitu dengan adalah bilangan eal positif dan, Sistem ( ) dipeoleh dengan caa mentansfomasi sistem. Dai sistem, kita akan mengkonstuksi sebuah sistem bau. Sebelum dilakukan langkah-langkah untuk mengkonstuksi sistem bau tesebut, pelu dipehatikan bahwa sistem haus stabil secaa asimtotik, memiliki Gamian ketekontolan dan Gamian keteamatan yang sama dan meupakan matiks diagonal. 4.. Pembentukan Matiks ansfomasi Matiks tansfomasi adalah matiks yang mentansfomasikan sistem menjadi sistem ( ). Beikut adalah langkah-langkah pembentukan matiks tansomasi, (Siep, 9). Cek sistem stabil secaa asimtotik, tekontol dan teamati. Menentukan Gamian ketekontolan M dan Gamian keteamatan N dai sistem menggunakan Pesamaan (.7) dan (.8). 3 Gunakan faktoisasi Cholesky pada M untuk menentukan matiks sedemikian sehingga belaku. Kaena M adalah matiks non singula maka adalah matiks singula. 4 Mendapatkan matiks U (unitay) dan matiks Matiks unitay adalah matiks yang dibangun oleh nilai eigennya. Langkah-langkah untuk mendapatkan matiks U dan matiks adalah: Petama, konstuksi matiks. Selanjutnya, lakukan diagonalisasi pada matiks sedemikian sehingga belaku. 3

42 Bedasakan pembahasan sebelumnya, matiks dan matiks adalah matiks non sinula. Maka dapat disimpulkan juga bahwa matiks meupakan matiks non singula. Dengan demikian matiks juga meupakan matiks non singula. Matiks U didefenisikan sebagai maka dapat disimpulkan bahwa matiks dan matiks masing-masing meupakan matiks non singula. Kaena matiks meupakan matiks non singula, maka juga meupakan matiks non singula. Pada pembahasan selanjutnya dinamakan Gamian kesetimbangan. 5 Mendapatkan matiks tansfomasi Matiks tansfomasi didefenisikan sepeti pada Pesamaan (.). Dengan meneapkan matiks tansfomasi pada ealisasi awal, dipeoleh ealisasi setimbang ( ), (Siep,9) Sistem Setimbang Sistem setimbang adalah sistem yang memiliki vaiabel keadaan yang telah teuut bedasakan pengauh tebesa pada sistem. Vaiabel keadaan yang memiliki pengauh paling besa tehadap sistem beada paling atas diikuti oleh vaiabel keadaan selanjutnya yang pengauhnya kuang hingga vaiabel keadaan yang pengauhnya paling kecil tehadap sistem. Sistem setimbang yang dinotasikan sebagai sistem meupakan sistem bau yang memiliki Gamian ketekontolan M dan Gamian keteamatan N yang sama dan meupakan matiks diagonal. Misalkan dibeikan matiks tansfomasi yang memenuhi Pesamaan (.5), (Siep,9). Selanjutnya, Pesamaan (.3) dapat ditulis sebagai beikut (4.) untuk, maka Pesamaan (4.) menjadi (4.) 4

43 Jika Pesamaan (.5) dan (4.) disubstitusikan pada Pesamaan (4.) maka dipeoleh hasil sebagai beikut (4.3) Substitusi Pesamaan (4.) ke Pesamaan (4.3) sehingga dipeoleh (4.4) Substitusi Pesamaan (.5) ke dalam Pesamaan (4.) sehingga dipeoleh (4.5) sehingga didapat,,,, dan Apabila disubstitusikan pada Pesamaan (.5) dan (4.) maka dipeoleh hasil sebagai beikut (4.6) (4.7) Sistem pada Pesamaan (4.6) dan Pesamaan (4.7) disebut sebagai sistem setimbang dan dinotasikan sebagai sistem, dengan,,, dan. (Siep, 9) Reduksi Sistem Setimbang Dibeikan sistem ( ), dimana Gamian kesetimbangan dinotasikan sebagai. Pelu diingat bahwa Gamian ketekontolan dan Gamian keteamatan adalah sama dan meupakan matiks diagonal. Beikut akan dipapakan langkahlangkah eduksi dengan menggunakan metode pemotongan setimbang, (Zhow, 996). 5

44 Petama, mempatisi Gamian menjadi, dan., dimana Dengan menggunakan patisi sebelumnya, patisi sistem ( ) memiliki kemiipan yang dibeikan sebagai beikut dengan ( ), ( ( ) ) dan. Selanjutnya, dilakukan pemotongan atau membuang vaiabel keadaan yang besesuaian dengan nilai-nilai singula Hankel yang kecil. Sehingga dipeoleh sistem dengan ode yang lebih kecil dai sistem. Sistem dengan ode yang lebih kecil ini dinamakan sistem. Sistem memiliki ode, dengan. Selanjutnya sistem dapat dinotasikan sebagai sistem, dimana,, dan. Selanjutnya akan disajikan sebuah poposisi yang menyatakan bahwa sifatsifat asli dai sistem sama dengan sistem yang telah tepotong atau tebuang. Poposisi (Lemma 4.) Dibeikan sistem dan diasumsikan stabil, tekontol, teamati dan setimbang dengan Gamian, Jika maka sistem ode akan stabil, tekontol, teamati, setimbang dan memenuhi dengan dan adalah fungsi tansfe dai dan sistem Identifikasi Vaiabel Keadaan Identifikasi vaiabel beguna untuk melacak kesesuaian vaiabel yang ada pada sistem dan sistem ( ). Sistem ( ) dipeoleh dengan caa mentansfomasi sistem tehadap matiks tansfomasi. Setelah sistem ( ) dieduksi maka akan dihasilkan sistem 6

45 7 dengan dimensi yang lebih kecil dai pada sistem. Sistem tidak dapat dibandingkan dengan sistem dikaenakan dimensi yang bebeda dai masing-masing sistem tesebut. Untuk itu dilakukan identifikasi tehadap vaiabel keadaan sistem aga mendapatkan ukuan atau dimensi yang sama dengan sistem. Misalkan dibeikan pesamaan sepeti pada Pesamaan (.5) sebagai beikut dengan adalah vaiabel keadaan dai sistem beukuan, adalah vaiabel keadaan dai sistem ( ) beukuan dan adalah matiks tansfomasi non singula beukuan. Pesamaan (.3) dapat ditulis dalam bentuk matiks sebagai beikut,,,,,,,,, n n n n nn n n n n n n n n n n Selanjutnya pada sistem yang telah teeduksi, didefinisikan matiks beukuan sebagai matiks yang mengalami pemotongan sebanyak lebih dai kolom dai matiks tansfomasi. Sehingga dipeoleh, n n n n,,,

46 8 Pesamaan (.3) menjadi,,,, n n n n n n Sehingga dipeoleh matiks teidentifikasi sebagai beikut,,, n n n n n n Matiks teidentifikasi di atas dapat dinyatakan kedalam pesamaan beikut (4.8) Dengan adalah vaiabel keadaan sistem teidentifikasi dai sistem beukuan, adalah vaiabel keadaan dai sistem beukuan dan adalah matiks non singula beukuan. 4.3 Filte Kalman Pada bagian ini akan dilakukan estimasi vaiabel keadaan menggunakan algoitma filte Kalman pada sistem, sistem dan sistem Filte Kalman Sistem Dibeikan sistem dinamik stokastik sepeti pada Pesamaan (.) dan (.) beikut

47 dengan adalah deau sistem pada waktu dan adalah deau pengukuan pada waktu. adalah matiks dengan ukuan yang besesuaian. Beikut langkah-langkah pembentukan algoitma filte Kalman pada sistem adalah sebagai beikut. Dibeikan sistem yang beupa sistem diskit - Dinamika sistem :, - Fakto pengukuan :.. Dibentuk sistem dinamik stokastik - Dinamika sistem : - Fakto pengukuan :, dengan dan. 3. Dilakukan estimasi vaiabel keadaan pada sistem stokastik menggunakan algoitma filte Kalman dengan mempetimbangkan sifat-sifat yang belaku pada poses eduksi model sepeti langkah-langkah beikut: i. Dibeikan model sistem dan model pengukuan dalam bentuk stokastik ii. - Dinamika sistem :, - Fakto pengukuan :, ahap Inisialisasi Pada tahap inisialisasi dibeikan nilai awal dai sistem ( ),,., yaitu iii. ahap Pediksi Pada tahap pediksi ini dilakukan estimasi dan penentuan kovaiansi kesalahan bedasakan dinamika sistemnya saja. Pada tahap ini dipeoleh: - Kovaiansi kesalahan :, - Estimasi :. 9

48 iv. ahap Koeksi Pada tahap ini dilakukan koeksi tehadap hasil yang telah dipeoleh pada tahap pediksi bedasakan data pengukuan yang dibeikan. Pada tahap koeksi ini dipeoleh: - Kovaiansi kesalahan : ( ), - Estimasi : ( ). Selanjutnya hasil filte Kalman sistem filte Kalman dan dinotasikan sebagai sistem ( ). disebut sebagai sistem 4.3. Filte Kalman Sistem eeduksi Beikut langkah-langkah langkah pembentukan algoitma filte Kalman pada sistem adalah sebagai beikut Dibeikan sistem yang beupa sistem diskit - Dinamika sistem :, - Fakto pengukuan :. Ditentukan Gamian ketekontolan,, dan Gamian keteamatan,, dai sistem diskit, yaitu,. 3 Dibentuk sistem ( ) yang mempunyai Gamian kesetimbangan dimana dan menyatakan nilai singula Hankel dai sistem. 4. Dibentuk sistem stokastik ( ) - Dinamika sistem :, - Fakto pengukuan :, dengan ( ) dan ( ). 5. Gamian kesetimbangan dipatisi bedasakan nilai menjadi ( *, dengan,,. 3

49 6. Vaiabel keadaan dan matiks-matiks pada sistem dipatisi besesuaian dengan patisi pada, yaitu - Patisi vaiabel keadaan : ( - Patisi matiks-matiks : ( *. ), ( ),. 7. Dilakukan estimasi vaiabel keadaan pada sistem stokastik menggunakan algoitma filte Kalman dengan mempetimbangkan sifat-sifat yang belaku pada poses eduksi model sepeti langkah-langkah beikut: i. Dibeikan model sistem dan model pengukuan dalam bentuk stokastik ( ) - Dinamika sistem : - Fakto pengukuan :, ii. ahap Inisialisasi, Pada tahap inisialisasi dibeikan nilai awal dai sistem, yaitu ( ),,. iii. ahap Pediksi Pada tahap pediksi ini dilakukan estimasi dan penentuan kovaiansi kesalahan bedasakan dinamika sistemnya saja. Pada tahap ini dipeoleh: - Kovaiansi kesalahan :, - Estimasi :. iv. ahap Koeksi Pada tahap ini dilakukan koeksi tehadap hasil yang telah dipeoleh pada tahap pediksi bedasakan data pengukuan yang dibeikan. Pada tahap koeksi ini dipeoleh: - Kovaiansi kesalahan : (( ) ), - Estimasi : ( ). 3

50 3 Selanjutnya hasil filte Kalman sistem teeduksi disebut sebagai sistem filte Kalman teeduksi dan dinotasikan sebagai sistem D C B A,,,. 4.4 Identifikasi Sistem eeduksi Filte Kalman Mengacu pada Pesamaan (4.8), maka dibeikan pesamaan beikut k k i ˆ, (4.9) dengan adalah vaiabel keadaan estimasi sistem teidentifikasi dai sistem beukuan, k adalah vaiabel keadaan estimasi dai sistem beukuan dan adalah matiks non singula beukuan. Selanjutnya sistem filte Kalman teidentifikasi dinotasikan dengan sistem i i i i D C B A,,,,,,,. Pesamaan (4.9) dapat ditulis dalam bentuk matiks sebagai beikut.,,, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n n n sehingga dipeoleh,,,, ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n n n

51 i Selanjutnya akan dibandingkan vaiabel keadaan estimasi sistem A, dengan vaiabel keadaan dai sistem. 4.5 Contoh 4.5. Kasus Pada bagian ini, petama kali akan diuaikan hasil simulasi untuk sistem. Sistem yang digunakan adalah matiks yang beukuan dan stabil. Sistem dapat disajikan sebagai beikut, (Sai, 6). k k u k z k k u ` 4 k Selanjutnya akan diselidiki kestabilan, ketekontolan dan keteamatan dai sistem tesebut. Stabilitas sistem dapat ditentukan bedasakan nilai eigen matiks A sepeti yang disajikan pada abel 4. abel 4. Nilai eigen matiks dengan Bedasakan abel 4. telihat bahwa bagian eal dai semua nilai eigen matiks A adalah kuang dai satu. Mengacu pada eoema., maka sistem stabil asimtotik. 33

52 Dai hasil simulasi juga dapat ditentukan Gamian ketekontolan M dan Gamian keteamatan N dai sistem, yaitu M N Kemudian dai matiks Gamian ketekontolan M dan matiks Gamian keteamatan N, dapat ditentukan nilai singula Hankel dai sistem, yaitu,, dengan adalah nilai eigen dai. Hasil pehitungan nilai singula Hankel disajikan pada abel 4. abel 4. Nilai singula Hankel sistem Bedasakan abel 4. telihat bahwa semua nilai singula Hankel adalah positif. Hal ini beati Gamian kesetimbangan adalah definit positif. Kaena 34

53 Gamian kesetimbangan definit positif, maka dijamin bahwa sistem adalah tekontol dan teamati. Selanjutnya dai hasil simulasi didapat matiks tansfomasi, yaitu Dai sistem akan dibentuk menjadi sistem ( ). Bedasakan hasil simulasi, dipeoleh sistem ( ) dengan matiks-matiks setimbangnya adalah A B , D C Selanjutnya, sama sepeti sistem, sistem ( ) juga haus diselidiki sifat kestabilan, ketekontolan dan keteamatannya. Kestabilan sistem ( ) dapat dilihat dai nilai absolut eigen matiks, yang ditampilkan pada abel

54 abel 4.3 Nilai eigen matiks dengan Bedasakan abel 4.3, telihat bahwa bagian eal nilai asolut eigen matiks adalah kuang dai satu, sehingga sistem ( ) adalah stabil asimtotik. Kemudian dai hasil simulasi juga dipeoleh Gamian ketekontolan dan Gamian keteamatan dai sistem ( ), yaitu.33 M N elihat bahawa Gamian definit positif. Sehingga dijamin bahwa sistem ( ) adalah sistem yang tekontol dan teamati. Selanjutnya, dai sistem ( ) dapat dibentuk menjadi sistem dengan, yaitu A

55 B C dan D Nilai eigen matiks dapat disajikan pada abel 4.4 abel 4.4 Nilai eigen matiks untuk Bedasakan abel 4.4 telihat bahwa semua nilai eigen dai matiks bagian ealnya adalah kuang dai satu. Sehingga sistem ( ) adalah stabil. Kaena Gamian pada sistem meupakan penyelesaian pesamaan Lyapunov dan definit positif, maka sistem ( ) juga meupakan sistem yang tekontol dan teamati. Selanjutnya dai hasil eduksi sistem di atas, didapat matiks sebagai beikut. adalah sistem ( Sehingga hasil identifikasi vaiabel keadaan dai sistem ) adalah sebagai beikut dan 37

56 Bedasakan hasil simulasi tesebut di atas, telihat bahwa sistem, sistem ( ) dan sistem ( ) yang telah tebentuk, masing-masing adalah sistem yang stabil, tekontol dan teamati. Oleh sebab itu, masing-masing sistem tesebut dapat diteapkan algoitma filte Kalman untuk melakukan estimasi vaiabel keadaan. Sistem dan sistem ( ) yang telah tebentuk meupakan sistem diskit yang stabil dengan kali iteasi. Beikut akan ditampilkan hasil simulasi estimasi vaiabel keadaan untuk sistem ( ) dengan nilai, nilai dan 38

57 Vaiabel Keadaan Vaiabel Keadaan Vaiabel Sistem Awal Estimasi Gamba 4. Estimasi vaiabel keadaan untuk sistem (Kasus ) pada iteasi ke-. Pada Gamba 4. telihat bahwa hasil estimasi sistem membeikan hasil yang baik. Ini telihat dai gafik antaa nilai sistem awal dan estimasi yang beimpit. Selanjutnya akan ditampilkan hasil estimasi sistem dan sistem i A, Vaiabel Sistem Awal Estimasi Sistem Awal Estimasi Sistem eeduksi eientifikasi Gamba 4. Estimasi sistem i A, pada iteasi ke-. (kasus ). dan nilai eal sistem 39

58 i Pada Gamba 4. telihat bahwa hasil estimasi untuk sistem membeikan hasil yang lebih baik dai pada hasil estimasi sistem A,. Ini telihat dai gafik nilai sistem awal dai sistem yang beimpit dengan nilai estimasinya. Untuk lebih jelas melihat sebeapa baik hasil estimasi dai sistem dan sistem i A, dapat dilihat dai besanya eo. Besa eo dai kedua sistem tesebut telihat dalam abel 4.5. Dalam abel 4.5 eo estimasi sistem yang paling kecil adalah. yaitu pada. Sedangkan eo estimasi sistem i A, yang paling kecil adalah.9895 yaitu pada. Dai nilai eo estimasi ini dapat disimpulkan bahwa hasil estimasi sistem lebih baik dai hasil estimasi sistem i A,. Hal ini dikaenakan eo estimasi dai sistem yang jauh lebih kecil dai pada sistem i A,. abel 4.5 Eo Estimasi sistem (Kasus ) Sistem i A, dengan sistem. Sistem eidentifikasi Eo A i,

59 Selanjutnya akan ditunjukan waktu komputasi dai kedua kasus di atas. Dalam kasus petama diuku waktu komputasi untuk estimasi pada sistem. Sedangkan dalam kasus kedua diuku waktu komputasi untuk estimasi pada sistem i A,. Waktu komputasi untuk poses estimasi pada sistem dan sistem A i, dapat dilihat pada abel 4.6. abel 4.6 Waktu komputasi untuk poses estimasi pada sistem sistem i A, (kasus ). Waktu Komputasi (Detik) dan Sistem.874 Sistem i A,.375 i Dalam abel 4.6, waktu komputasi untuk estimasi sistem A, bahwa estimasi sistem sistem adalah.73 dan waktu komputasi untuk estimasi sistem adalah Dai waktu komputasi tesebut dapat disimpulkan i A, jauh lebih cepat dai pada estimasi. Ini disebabkan kaena jumlah vaiabel keadaan dalam sistem lebih kecil dai pada jumlah vaiabel keadaan dalam sistem 4.5. Kasus. Pada kasus ke dua sistem yang digunakan adalah matiks yang beukuan dan stabil. Sistem dapat disajikan sebagai beikut. 4

60 k k uk k k u k z Selanjutnya akan diselidiki kestabilan, ketekontolan dan keteamatan dai sistem awal tesebut. Stabilitas sistem dapat ditentukan bedasakan nilai eigen dai matiks A sepeti yang disajikan pada abel 4.7. abel 4.7 Nilai eigen matiks A dengan

61 Bedasakan abel 4.7 telihat bahwa bagian eal dai semua nilai eigen matiks A adalah kuang dai satu, maka sistem adalah stabil asimtotik. Selanjutnya ditentukan nilai singula Hankel dai sistem. Hasil pehitungan nilai singula Hankel ditampilkan pada abel 4.8 beikut. abel 4.8 Nilai singula Hankel sistem untuk Bedasakan abel 4.8 telihat bahwa semua nilai singula Hankel positif. Hal ini beati Gamian kesetimbangan adalah definit positif. Kaena Gamian kesetimbangan definit positif, maka dijamin bahwa sistem adalah tekontol dan teamati. Selanjutnya dai hasil simulasi dapat ditentukan Gamian ketekontolan M dan Gamian keteamatan N dai sistem. Hasil Gamian ketekontolan M dan Gamian keteamatan N dapat dilihat dalam Lampian C. Selanjutnya, dai hasil simulasi juga didapat matiks tansfomasi yang dapat dilihat pada Lampian C. 43

62 Dai sistem, akan dibentuk menjadi sistem ( ). Hasil simulasi sistem ( ) dengan matiks-matiks setimbangnya adalah sebagai beikut. Selanjutnya diselidiki sifat kestabilan, ketekontolan dan keteamatan dai sistem ( ). Kestabilan sistem ( ) dapat dilihat dai nilai absolut eigen matiks yang ditampilkan pada abel 4.9 beikut. abel 4.9 Nilai absolut eigen matiks untuk abel 4.9 menunjukan bahwa bagian eal dai nilai absolut eigen matiks adalah kuang dai satu, sehingga sistem ( ) adalah stabil asimtotik. Selanjutnya dipeoleh juga Gamian ketekontolan dan Gamian keteamatan dai sistem ( ), yaitu 44

63 N M elihat bahwa Gamian definit positif. Sehingga dijamin bahwa sistem ( ) adalah sistem yang tekontol dan teamati. Selanjutnya dai hasil tansfomasi, tebentuk identifikasi vaiabel keadaan dai sistem dan sistem ( ) yang dapat dilihat pada Lampian C. Selanjutnya, dai sistem ( ) dapat dibentuk menjadi sistem dengan, yaitu A

64 B, 6 D C Nilai eigen matiks dapat dilihat pada abel 4. beikut. abel 4. Nilai eigen matiks dengan Bedasakan abel 4. telihat bahwa semua nilai absolut eigen dai matiks adalah kuang dai satu. Sehingga sistem adalah stabil asimtotik. Kaena Gamian kesetimbangan pada sistem meupakan penyelesaian Lyapunov dan definit positif, maka sistem juga meupakan sistem yang tekontol dan teamati. 46

65 Vaiabel Keadaan Bedasakan hasil simulasi di atas, telihat bahwa sistem sistem yang telah tebentuk masing-masing adalah sistem yang stabil, tekontol dan teamati. Oleh sebab itu, masing-masing sistem tesebut dapat diteapkan algoitma filte Kalman untuk melakukan estimasi vaiabel keadaan. Beikut akan ditampilkan hasil simulasi estimasi vaiabel keadaan untuk sistem dengan, nilai, nilai Vaiabel Sistem Awal Estimasi Sistem Awal Gamba 4.3 Estimasi sistem pada iteasi ke-. (kasus ). Pada Gamba 4.3 telihat bahwa hasil simulasi sistem membeikan hasil yang baik walaupun gafik antaa nilai sistem awal dan nilai estimasinya tidak beimpit. Selanjutnya akan ditampilkan hasil simulasi sistem dan sistem i A,. 47

66 Vaiabel Keadaan Vaiabel Sistem Awal Estimasi Sistem Awal Estimasi Sistem eeduksi eientifikasi Gamba 4.4 Estimasi sistem i iteasi ke-. (kasus ). A, dan sistem, pada i Pada Gamba 4.4 telihat bahwa hasil estimasi untuk sistem membeikan hasil yang lebih baik dai pada hasil estimasi sistem A,. Untuk lebih jelas melihat sebeapa baik hasil estimasi dai sistem dan sistem i A, dapat dilihat dai besanya eo. Besa eo dai kedua sistem tesebut telihat dalam abel 4.. Dalam abel 4. eo estimasi sistem yang paling kecil adalah.53 yaitu pada. Sedangkan eo estimasi sistem i A, yang paling kecil adalah.663 yaitu pada. Dai nilai eo estimasi ini dapat disimpulkan bahwa hasil estimasi sistem lebih baik dai hasil estimasi sistem A i,. Hal ini dikaenakan eo estimasi dai sistem yang lebih kecil dai pada sistem i A,. 48

67 abel 4. Eo Estimasi sistem i (Kasus ) A, dengan sistem. Sistem eeduksi Sistem eidentifikasi Eo A i, Selanjutnya akan ditunjukan waktu komputasi dai kedua kasus di atas. Waktu komputasi untuk poses estimasi pada sistem dan sistem i A, dapat dilihat pada abel 4. beikut. abel 4. Waktu komputasi untuk poses estimasi pada sistem dan sistem i A, (kasus ). Waktu Komputasi (Detik) Sistem Sistem i A,

68 i Dalam abel 4., waktu komputasi untuk estimasi sistem A, bahwa estimasi sistem sistem adalah.566 dan waktu komputasi untuk estimasi sistem adalah Dai waktu komputasi tesebut dapat disimpulkan i A, jauh lebih cepat dai pada estimasi. Ini disebabkan kaena jumlah vaiabel keadaan dalam sistem lebih kecil dai pada jumlah vaiabel keadaan dalam sistem. 5

69 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN Bab ini beisi tentang kesimpulan yang dihasilkan bedasakan penelitian yang telah dilaksanakan seta saan yang dibeikan untuk mengembangkan penelitian beikutnya tentang eduksi model. 5. Kesimpulan Bedasakan hasil dan pembahasan pada Bab 4, dapat disimpulkan hasil penelitian sebagai beikut.. Model sistem linea waktu diskit stabil yang telah dieduksi dengan menggunakan metode pemotongan setimbang dan diestimasi dapat dibandingkan dengan sistem awal dengan menggunakan hasil identifikasi vaiabel keadaan pada sistem teeduksi.. Bedasakan hasil simulasi eo estimasi sistem A i, dengan sistem pada semua vaiabel keadaan, estimasi sistem lebih baik dai pada sistem i dai hasil simulasi eo estimasi beikut. A,. Ini telihat a. Untuk kasus, sistem bedimensi dengan menghasilkan eo estimasi yang paling kecil unuk sistem adalah. pada dan sistem A i, adalah.9895 pada. b. Untuk kasus, sistem bedimensi dengan menghasilkan eo estimasi yang paling kecil unuk sistem adalah.53 pada dan sistem A i, adalah.663 pada. 5

70 3. Waktu komputasi untuk simulasi hasil estimasi sistem A i, lebih cepat dai pada sistem. Ini disebabkan kaena jumlah vaiabel keadaan dalam sistem teeduksi lebih kecil dai pada jumlah vaiabel keadaan dalam sistem. 5. Saan Bedasakan hasil yang dipeoleh pada esis ini, bebeapa saan yang dapat digunakan untuk pengembangan selanjutnya diantaanya yaitu:. Pada penelitian ini, model yang digunakan adalah sistem linea waktu diskit stabil, pada penelitian selanjutnya dapat digunakan sistem linea waktu diskit tidak stabil dan sistem linea waktu kontinu.. Untuk penelitian selanjutnya, dapat digunakan metode apoksimasi petubasi singula dan apoksimasi noma Hankel untuk meeduksi model menjadi lebih sedehana. 3. Metode estimasi yang lain, dapat digunakan metode Ensemble filte Kalman. 4. Untuk penelitian selanjutnya dapat dilakukan eduksi sampai bebeapa ode aga hasil yang dipeoleh lebih akuat dan bisa lebih meepesentasikan keadaan yang sebenanya. 5

71 DAFAR PUSAKA Aif, D. K. (4). Constuction of the Kalman Filte Algoithm on the Model Reduction. Intenational Jounal Contol and Automation (IJCA), Vol 7. No.9, Dukic, S.D. dan Saic, A., (). Dynamic Model Reduction: An Oveview of Available ecniques with Application to Powe Systems, in Sebian Jounal of Electical Eingineeing. Vol.9, no, pp:3-69 Geen, M dan Limebee, D. J. N. (995). Linea Robust Contol. New Jesey: Pentice-Hall, Inc Gigoiadis, K.M., (995). Optimal Model Reduction via Linea Mati Inequalities: Continous and Discete-ime Cases, Elsevie, System and Contol Lette 6:3-333 Lewis, F. L. (986). Optimal Estimation With An Intoduction Stochastic Contol heoy. USA Mustofa, M.W. (7). Reduksi Ode Model Sistem Linea Paamete Vaying Melalui Linea Mati Inequalities. Bandung: Institut ekniligi Bandung. Ogata, K, (7), Discete-ime Contol Systems, Pentice Hall Inc,USA Ogata, K. (). Moden Contol Engineeing. Pentince-Hall, One Lake Seet, Uppe Saddle Rive, New Jesey. Rochmah, M., Fatmawati. (3). Reduksi Ode Model Sistem Linea Waktu Diskit dengan Metode Singula Petubation Appoimation. Suabaya: Univesitas Ailangga. Sai, Y. I (6). Analisis Reduksi Model Pada Sistem Linea Waktu Diskit. Suabaya: Institut eknologi Sepuluh Nopembe. Zhou, K., Doyle, J. C., & Glove, K. (996). Robust and Optimal Contol. Pentice-Hall, Englewood Cliff, New Jesey. Zhou, K. Salomon, G dan Wu, E. (999), Balanced Realization and Model Reduction fo Unstable Systems. Intenational jounal Robust Nonlinea Contol, Vol 9, p83-98 Al-Saggaf, U. M, (99), Model Reduction fo Discete Unstable Systems Based on Genealized Nomal Repesentations, Int. J. of Contol. 55,

72 54

73 LAMPIRAN A KASUS Vaiabel keadaan dai sistem State Iteasi Vaiabel keadaan estimasi dai sistem State Iteasi Vaiabel keadaan estimasi dai sistem A i, State Iteasi

74 Eo estimasi antaa vaiabel keadaan sistem dan estimasinya. State Iteasi Eo estimasi antaa vaiabel keadaan sistem dan sistem i A,. state Iteasi

75 57 LAMPIRAN B KASUS Gamian Ketekontolan M M Gamian Keteamatan N N

76 58 Matiks ansfomasi Identifikasi Vaiabel Keadaan

77 Vaiabel keadaan dai sistem State Iteasi Vaiabel keadaan estimasi dai sistem State Iteasi

78 Vaiabel keadaan estimasi dai sistem A i, State Iteasi Eo estimasi antaa vaiabel keadaan sistem dan estimasinya State Iteasi

79 Eo estimasi antaa vaiabel keadaan sistem dan sistem i A,. State Iteasi E

80 6

81 BIODAA PENULIS Penulis memiliki nama lengkap ifena Punana Lesnussa yang lahi di Akelamo, Kabupaten Halmahea Baat, Maluku Utaa pada tanggal Apil 99 dan meupakan anak kedua dai tiga besaudaa. Lahi dai pasangan suami-isti Bapak MP. Lesnussa dan Ibu Nince Bata. Penulis yang memiliki hobby mendenga musik dan membaca ini telah menempuh pendidikan fomal yaitu, SD Impes Jikumeasa pada tahun 997-3, SMPN obelo, Halmahea Utaa pada tahun 3-6 dan SMAN obelo, Halmahea Utaa pada tahun 6-9. Setelah lulus dai SMAN, penulis melanjutkan S di Juusan Matematika Univesitas Halmahea dan diteima sebagai mahasiswa angkatan 9. Setelah dinyatakan lulus dan mendapat gela Sajana di Univesitas Halmahea, penulis aktif menjadi Asisten Dosen selama tahun yakni dai tahun 3-5 di Univesitas Halmahea. Selain itu, pada kuun tahun yang sama penulis juga aktif menjadi tenaga pendidik (guu) di SMA BPD obelo Selatan, Kabupaten Halmahea Utaa. Pada tahun 5, penulis mendapat beasiswa S dai pemeintah Povinsi Maluku Utaa yang bekeja sama dengan kampus Univesitas Halmahea pada Pogam Pascasajana Matematika FMIPA Institut eknologi Sepuluh Nopembe Suabaya. Dan pada tahun 7, Puji uhan penulis dapat menyelesaikan studi dan mendapat gela Magiste Sains (M.Si). Jika ingin mengenal lebih dekat, membentuk jaingan atau membutuhkan infomasi yang behubungan dengan esis ini, penulis dapat dihubungi melalui tifenapunanalesnuss@gmail.com. 63