Ring Bersih Kanan Right Clean Rings

Transkripsi

1 ng esh Kanan ght Clean ngs Cyena Novella Ksnamt Pogam Std Penddkan Matematka FKIP USD Kamps III Pangan, Magwohajo,Sleman, STK Peneltan n etjan ntk mengenal, memaham mennjkkan ahwa sfatsfat pada ng esh elak ntk ng esh kanan ng esh kanan mepakan pelasan da sat ng esh Sfat-sfat dalam ng esh elak jga pada ng esh kanan Peneltan n mepakan peneltan std pstaka Hal-hal yang akan dahas ntk mendkng tentang sfat-sfat ng esh kanan seelmnya akan dahas tentang dekomposs Pece matk yang dpemm, mempelaja tentang ng esh sfatsfat ng esh kanan Peneltan n menghaslkan eeapa hal yat : Setap ng yang gn da elemen-elemen dempoten adalah ng esh kanan jka hanya jka ng tamanya mepakan ng esh kanan, setap ng yang mepakan gangan hmpnan sema elemen nt k, hmpnan sema elemen nt kanan hmpnan sema elemen nlpoten mepakan ng esh kanan ng esh k, setap ng matks atas ng esh kanan mepakan ng esh kanan Kata knc : dempotent othogonal lengkap, nt kanan, nlpotent, ng esh kanan STCT Ths stdy ams to ecognze, ndestand and demonstate that the popetes of the clean ale to ght clean ngs ght clean ng ae explaned clean ngs The popetes of the clean ngs also can e ale to ght clean ngs Ths eseach ased to stdy lteate T hngs that wll e dscssed fo sppot of the popetes ght clean ngs efoe wll e dscssed on Pece decomposton and genealzed matx, lean aot the ng clean and popetes of ght clean ngs The stdy podced seveal thngs: Each ng s constcted fom elements dempotent ae ght clean ngs f only f the ng s pmaly ght clean ngs, each ng whch s a comned set of all elements of the left nt, the set of all elements of the ght nt and the set of all elements nlpotent a ght clean ng and left clean ng, each ng matx ove ght clean ng s ght clean ng Key wods : othogonal dempotenst, ght nt, nlpotent,ght clean ngs

2 Pendahlan ng mepakan stkt aljaa yang tehadap opeas penjmlahan mepakan gp aelan, tehadap opeas pekalan mepakan semgp seta tehadap opeas pekalan penjmlahan esfat dsttf Secaa mm, dalam tlsan n ng yang dgnakan mepakan ng yang mempnya elemen satan ng dengan elemen satan mempnya elemen-elemen stmewa d antaanya elemen dempoten elemen nt Pada ng dengan elemen satan, sat elemen dset elemen esh jka elemen teset mepakan hasl da penjmlahan da elemen dempoten elemen nt Contoh da elemen esh adalah elemen 0 pada ng 6 kaena 0 5 dmana adalah elemen dempoten da ng 6 5 adalah elemen nt d ng 6 Secaa mm, ng dset ng esh jka ntk setap elak e, ntk sat elemen dempoten e elemen nt Contoh da ng esh adalah ng 6, kaena setap elemen da ng 6 dapat dnyatakan seaga penjmlahan da elemen dempoten elemen nt Pada mmnya tdak sema ng mempnya elemen nt da ss Jka adalah ng yang mempnya elemen nt sat ss, elemen yang dapat dnyatakan seaga jmlah elemen nt sat ss(kanan/k) elemen dempoten dset elemen esh kanan/k Sat ng yang elemen-elemennya mepakan elemen esh sat ss (kanan/k) dset ng esh sat ss Defns sfat-sfat da ng esh sat ss dkenalkan oleh Călgăean pada tahn 00 Demkan jga ntk modl jga tedapat modl yang esfat esh sat ss Metode Peneltan Peneltan n dlakkan dengan std lteat da eeapa k atkel lmah yang ehngan dengan ng, ng esh ng esh kanan Langkahlangkah peneltan yang dlakkan seaga ekt : Mempelaja tentang dekomposs Pece matks yang dpemm Mempelaja tentang ng esh sfat-sfat yang elak pada ng esh 3 Mempelaja tentang ng esh kanan sfat-sfat yang elak pada ng esh kanan

3 Hasl Pemahasan ng esh kanan adalah keja yang leh mm da ng esh ekt defns da ng esh kanan Defns (Călgăean, 00) Dekan ng ng dset ng esh kanan apala setap elemen da ng teset dapat dnyatakan seaga penjmlahan da sat elemen dempoten sat elemen nt kanan d Selanjtnya hmpnan sema nt kanan da sat ng dnotaskan U ekt dekan sat sfat da ng esh kanan Lemma (Călgăean,00) Dketah S adalah ng esh kanan Jka pemetaan : S sat epmofsma maka Im S adalah ng esh kanan Dketah adalah ng esh kanan Hasl kal mepakan ng esh kanan jka hanya jka adalah ng esh kanan ntk setap I kt : Daml seaang x Im Oleh kaena t tedapat pemetaan : S sat epmofsma sehngga x Kaena adalah ng esh kanan maka dengan U a a Id, sehngga a Kaena adalah homomofsma dpeoleh a a kan dtnjkkan ahwa S as dengan U S a Id S S a Im memat elemen nt Kaena adalah epmofsma adalah ng dengan elemen satan maka jelas ahwa Sehngga ImS S memat elemen nt d S Im memat elemen dempotent Kaena adalah ng esh kanan eat memat elemen dempotent Daml seaang a adalah elemen dempotent d sehngga a a a Kaena adalah homomofsma ng, sehngga a a a a a Kaena a a maka dpeoleh ahwa as a S a S Sehngga ImS memat elemen dempotent d S Da a maka a a S

4 S as Sehngga kanan Im S adalah ng esh adalah ng esh kanan jka hanya jka ntk setap I adalah ng esh kanan a kan dtnjkkan jka adalah ng esh kanan maka adalah ng esh kanan ntk setap I dengan I ata dapat dnyatakan I adalah ng esh kanan sehngga a dmana I I I a Id U a ment I I I defns penjmlahan pada system asan dpeoleh a I I Dengan menggnakan defns pesamaan dalam dpeoleh a sstem asan dmana U a Id Maka adalah ng esh kanan kan dtnjkkan jka ng esh kanan ntk setap I maka adalah ng esh kanan Daml seaang asan I dengan Kaena dketah ahwa adalah ng esh kanan maka a dengan U adalah a Id a I I Dlan phak ment defns penjmlahan pada sstem asan dpeoleh a I I I Sehngga dpeoleh adalah ng esh kanan Da a tekt Da Lemma tekt ekt dekan teoema yang menjelaskan tentang ng yang gn oleh ng esh kanan mepakan ng esh kanan Teoema 3 (Călgăean, 00) Dekan ng,, modl C 0 C dengan opeas penjmlahan pekalan pada matks ng adalah ng esh kanan jka hanya jka ng adalah ng esh kanan kt : 3

5 kan dtnjkkan jka 0 C adalah ng esh kanan maka ng adalah ng esh kanan Dentk sat pemetaan f da ke yang ddefnskan f : dengan defns pemetaan a f 0 c a, g da ke yang ddefnskan g : a g 0 dengan defns pemetaan c dengan a, c C Untk mennjkkan ahwa ng adalah ng esh kanan ckp dengan memktkan ahwa f, g mepakan epmofsma a kan dtnjkkan f epmofsma yat kan dtnjkkan f tedefns dengan ak Daml seaang, a 0 Hal n eat c dengan a,a c,c,, a 0 c C dengan Ment kesamaan matks maka a a, c c a f 0 a c a a maka dpeoleh a f 0 c a, kaena a c a c f f f f kan dtnjkkan f homomofsma Daml seaang, eat a 0,, a 0 c c dengan a,a c,c Dpehatkan ahwa, C a c a c f f a a c c f f f a a a c a c f f f f f f 4

6 Selanjtnya, daml seaang eat a Hal n a 0 c dengan,, c C Dpehatkan ahwa, a f f c a c f f 0 f a a c f f f f kan dtnjkkan f sjektf Daml seaang a ment defns pemetaan f : maka tedapat a mengakatkan ntk sat sehngga a 0 f a yang c c Jad tekt ahwa f sjektf C Da,, dpeoleh ahwa f epmofsma kan dtnjkkan g epmofsma kan dtnjkkan g tedefns dengan ak Daml seaang, Hal n eat, a 0 c a 0 c,c c dengan a,a, C dengan Ment kesamaan matk maka a a, c c a g 0 c maka dpeoleh a g 0 c, kaena a c a c g g g g kan dtnjkkan g homomofsma Daml seaang, Hal n eat a 0,, c a 0 dengan a,a c,c Dpehatkan ahwa c C 5

7 a c a c g g a a c c g g g a c a c g g g g g g Selanjtnya daml seaang a 0 c eat dengan a,, c C Dpehatkan ahwa, a g g c a c g g 0 g a c g g g g kan dtnjkkan g sjektf Daml seaang ment defns pemetaan g : maka tedapat tedapat yang a 0 a c c mengakatkan ntk sat C sehngga sedemkan sehngga g Jad tekt ahwa g sjektf Da,, dpeoleh ahwa g epmofsma Jad f g epmofma Jelas ahwa adalah ng esh kanan kan dtnjkkan elak jka ng adalah ng esh kanan maka 0 C adalah ng esh kanan Daml seaang Kaena 0 C maka a 0 c ntk sat a,, c C Kaena adalah ng esh kanan Hal n eat a e e dengan U, Id e dengan, e Id U Kaena U eat tedapat v sedemkan hngga v kaena U eat tedapat v sedemkan hngga v Pehatkan ahwa, 6

8 a 0 c v s x t y sehngga e c 0 e c e 0C 0 Selanjtnya, dtnjkkan ahwa c 0 mepakan elemen nt kanan e 0 d dempotent d C mepakan elemen Dpehatkan ahwa, e 0C e 0C e e 0C e Kaena e Id e Id maka e 0C e 0C e 0C e 0 0 C Jad Id e c pakah 0 mepakan elemen nt kanan d? eat tedapat v sedemkan sehngga v v eat c s t 0 0 x y 0 s cx t cy 0 x y 0 Ment kesamaan matks maka dpeoleh s cx () x 0 () t cy 0 () y (v) Da pesamaan () maka dpeoleh ahwa x 0, da pesamaan (v) maka dpeoleh ahwa y v Da pesamaan () x 0 maka dpeoleh s v Da pesamaan () maka dpeoleh ahwa t cy 0 t cv 0 t v c v Da hasl datas maka dpeoleh s t v v c v x y Maka 0 v dpeoleh ahwa 0 c mepakan elemen nt kanan d 7

9 Da jelas ahwa 0 adalah ng esh kanan Da teoema tekt C ng dengan elemen satan tedapat palng tdak tedapat da elemen dempoten Elemen-elemen dempoten dapat memangn stkt ng a ekt n, tedapat teoema yang menyatakan ahwa ng esh kanan yang gn oleh elemen-elemen dempotent mepakan ng esh kanan Teoema 4 (Călgăean, 00) Dekan ng dengan mempnya elemen dempoten e e Jka ee e e adalah ng esh kanan maka mepakan ng esh kanan kt : Kaena e e e e e ee e e 0, maka e e mepakan elemen dempoten othogonal lengkap dpeoleh : ee e e e e e e Daml seaang ee e e e e e e a x y Hal n eat a ee y ; x e e ; e e ; e e Kaena ng ee adalah ng esh kanan maka a f f dengan U ee Id ee Kaena ng e e adalah ng esh kanan maka v g dengan v U e e g Id e e Kaena x e e maka x e e ntk sat y () e e maka y sat () Kaena U ee 3 ee eat () e e ntk maka tedapat e e ntk sat Da pesamaan,, dpeoleh 3 y x e e e e e e y x e e3 e e y x e e3 e e Kaena ;e ;3 ; maka e 3e sehngga dpeoleh ahwa y x e e Leh lanjt lag, kaena e e 3 Kaena 8

10 e e sat ng sehngga y x e e edasakan asms, e e mepakan ng esh kanan Oleh kaena t, y x v g dengan v U e e g Id e e katnya v g y x Dengan demkan, a x f x y y v g y x a x x f 0 y y v y x Sekaang tnggal dtnjkkan x U y v y x x y v y x Hal n eat mempnya nves d Untk menca nves da matks teset menggnakan metode opeas as elemente Kaena ng adalah ng dengan elemen satan maka dpeoleh elemen satan da adalah e 0 0 e Pehatkan ahwa, x y v y x e 0 0 e dengan menggnakan Opeas as Elemente dpeoleh ahwa x y v y x ahwa U Sekaang tnggal mennjkkan ahwa f 0 0 Id g mennjkkan Ekvalen dengan f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f f 0 g Kaena f Id ee g Id e e maka f f f gg g sehngga f 0 f 0 f 0 Oleh kaena t, f 0 0 g tekt ahwa Id Jad e e e e e e e e a x y mepakan elemen esh kanan seaang Hal n eakat ahwa ng e e e e e e e e maka ahwa mepakan ng esh kanan 9

11 ekt dekan sat akat ahwa ng matk yang gn oleh ng esh kanan mepakan ng esh kanan kat 5 (Călgăean, 00) Jka adalah ng esh kanan maka M adalah ng esh kanan n n ng dengan elemen satan mempnya elemen-elemen stmewa sepet elemen nt, elemen nlpotent Hmpnan gangan da hmpnan nt k, nt kanan hmpnan nlpotent da ng teset mepakan ng esh kanan sekalgs ng esh k Untk leh jelasnya ekt dekan teoema yang menyatakan hal teset Teoema 6 (Călgăean, 00) Setap ng U U N adalah l ng esh kanan ng esh k kt : kan dtnjkkan ng esh kanan Daml seaang eat l U U N Msalkan l U eat tedapat s yang memenh s s Pehatkan ahwa, s s s s s s s s s s Dpeoleh ahwa s adalah elemen dempoten d Kaena s adalah elemen dempoten d dpeoleh s mepakan elemen dempoten d jga Selanjtnya, tnggal mennjkkan ahwa s elemen nt kanan d Dentk mepakan x s s s s sehngga dpeoleh s s s s s Sehngga tekt ahwa adalah ng esh kanan kan dtnjkkan ng esh k Daml seaang eat l U U N Msalkan U eat tedapat s sedemkan sehngga s s, maka s s s s s s s s s s Dpeoleh ahwa s adalah elemen dempotent d 0

12 Kaena s adalah elemen dempoten d dpeoleh s jga mepakan elemen dempoten d Tnggal dtnjkkan ahwa s mepakan elemen nt k d Dengan caa yang analog dengan () maka tekt ahwa adalah ng esh k Sekaang daml seaang N eat n 0 ntk n Pesamaan n 0 ekvalen dengan n Kaena n maka U Dpehatkan Kaena adalah ng maka dpeoleh, sehngga dengan U Id Oleh kaena t, adalah ng esh kanan Selanjtnya, kaena n n maka sehngga dpeoleh Kaena adalah ng maka, sehngga dpeoleh dengan Id Ul Oleh kaena t, adalah ng esh k Jad tekt ahwa l U U N adalah ng esh kanan ng esh k Kesmplan edasakan pemahasan d atas dapat dtak kesmplan seaga ekt : Setap ng yang gn da elemenelemen dempoten adalah ng esh kanan jka hanya jka ng tamanya mepakan ng esh kanan Setap ng yang mepakan gangan hmpnan sema elemen nt k, hmpnan sema elemen nt kanan hmpnan sema elemen nlpoten mepakan ng esh kanan ng esh k 3 Setap ng matks atas ng esh kanan mepakan ng esh kanan Pstaka CălgăeanG, 00, One-sded Clean ngs, Stda Matematca, No3, vol55, pp83-86 Camllo, VP, and ndeson, DD, 00, Commtatve ngs whose elements

13 ae a sm of nt and dempotent, Commncatons n lgea, No7, vol30, pp Han, J, and Ncholson, W K, 00, Extensons of clean ngs, Comm lgea, No6, vol9, pp Hazenwngkel,M, Nadya G, and Kchenko, VV, 005, lgeas, ngs and Modles, vol, Klwe cademc, New Yok