BAB III BAGAN CUSUM Dasar statistik bagan kendali Cumulative Sum untuk rata-rata

Transkripsi

1 3 BAB III BAGAN CUSUM 3.. Dasa statstk bagan kendal Cumulatve Sum untuk ata-ata Bagan Cusum dgunakan untuk mendeteks pegesean kecl pada mean atau vaans dalam poses oleh kaena adanya penyebab khusus secaa lebh efsen. Bagan n akan mendeteks pegesean, da 0,5 sgma ke sgma dalam waktu sekta setengah da bagan Shewhat dengan ukuan sampel yang sama (Montgomey 990: 73-74). Gafk Cusum dbuat dengan menghtung dan meencanakan jumlah kumulatf bedasakan data. Msalkan,,..., n mewakl n ttk data. Langkah-langkah menghtung jumlah kumulatf S 0, S,..., S n dhtung sebaga bekut:. Petama menghtung ata-ata: = + + K + n n (3..). Dmula dengan jumlah kumulatf da nol dengan menetapkan S 0 = Jumlah kumulatf dhtung dengan menambahkan antaa jumlah sebelumnya dengan pebedaan antaa nla sekaang dengan ata-ata yatu: ( ) S = S + untuk =,,...,n (3..) Da umus d atas jka dpehatkan jumlah kumulatf akan beakh pada nol (S n = 0).

2 Ukuan subgub n = Untuk n = yatu ketka masng-masng bagan secaa otomats teuku oleh mesn. Bagan Cusum efektf untuk ukuan subkelompok satu. Dan n memungknkan untuk dgunakan dengan pengukuan otomats bag tap benda dan pengendalan pada jalu dengan menggunakan mkokompute langsung d tempat keja. 3.. Desan Cusum Ada caa untuk memantau poses poduks dengan menggunakan metode Cusum, yatu bagan kendal V-mask dan Algotma 3... Bagan kendal V-Mask Kneja da bagan kendal dpengauh oleh desan V-Mask, yang dgunakan untuk menentukan batas-batas kendal Cumulatve Sum. V-Mask adalah sebuah lembaan penutup dalam bentuk huuf V pada ss-ssnya yang dlapskan pada gaf. Ttk ogn pada V-Mask dtempatkan pada puncak da ttk Cusum teakh. Selama semua ttk-ttk sebelumnya teletak dantaa ss V-Mask, maka poses tekendal, sebalknya (jka satu ttk teletak dlua) maka poses tdak tekendal. Paamete V-Mask adalah sudut (θ ) yang menentukan ukuan V, dan jaak (d) yang menentukan jaak lokas veteks V da subgup yang ada.

3 Angle (θ ) θ k = tan (3...) Dmana adalah ukuan pegesean mean dalam poses yang ddeteks, dan k adalah fakto skala yang behubungan dengan unt skala vetkal ke unt skala hozontal. Nla k dhaapkan antaa σ dan σ Jaak Utama (d) dhtung da : Jaak utama (d) yang menentukan lokas veteks V da subkelompok d β α = ln (3...) dan jka β dplh sangat kecl maka pesamaannya menjad d ln = ( α ) (3...) Dmana α adalah peluang kesalahan da penympulan bahwa poses beada dlua kendal padahal poses dalam keadaan tekendal dan β adalah peluang kesalahan da kelemahan untuk mendekteks peubahan paamete dalam poses dan penympulan bahwa poses dalam keadaan tekendal padahal poses beada d lua kendal, sedangkan adalah = σ &&& (3...3)

4 35 Dmana adalah besa peubahan ata-ata dalam poses yang ngn ddeteks, dan σ adalah standa devas da ARL (Aveage Run Length) Nla ARL mewakl ata-ata da ttk-ttk yang haus dplot sebelum keadaan d lua kontol tendkas. ARL befungs sebaga pengatan kecl (alam palsu). Untuk bagan kendal Shewhat, jka p adalah peluang da sebuah ttk akan jatuh d lua batas kontol maka ARL dbekan oleh ARL = p Untuk batas 3σ pada bagan Shewhat nla p ka-ka ketka poses dalam kendal., kaena tu nla ARL untuk bagan Shewhat yang menunjukkan kendal adalah ARL = = 385. Jka poses dalam keadaan tekendal maka setap sampel ke-385 akan menunjukkan poses d lua kendal.. ARL untuk cusum basanya lebh besa da sebuah bagan Shewhat.. Untuk sebuah bagan cusum dengan kesalahan sebandng, ARL sekta 500. Jad jka poses tekendal, maka setap sampel ke-500 akan dndkas sebuah konds d lua kendal Menghtung bagan Cusum untuk ARL khusus Msal L( ) ddefnskan sebaga ARL yang dngnkan ketka pegesean kecl pada ata-ata poses da. Sebuah kuva ARL dplot da melawan ARL L( ). Untuk poses tekendal yatu ketka = 0 maka nla L(0) adalah besa. Untuk nla spesfk da maka nla L( ) yang dngnkan akan

5 36 dpeoleh. Kemudan nla dua paamete lanya yatu d dan θ yang memenuh dapat dtentukan. Bekut n tabel Bowke dan Lebeman (Amtava, 998) untuk memlh paamete d dan θ yang secaa obyektf memnmalkan L( ) yang dbekan oleh, = devas da Tabel 3. Plhan Bagan Kontol Cusum Bedasakan ARL khusus L(0) = ekspektas ARL ketka poses tekontol Nla taget (k/ σ )tanθ d L(0.5) (k/ σ )tanθ d L(0.50) (k/ σ )tanθ d L( 0.75) (k/ σ )tanθ d L(.0) (k/ σ )tanθ d L(.5) (k/ σ )tanθ d L(.0)

6 Intepetas V-Mask Cusum Sampel Gamba 3. Bagan kendal Cusum Pada dagam d atas, V-Mask menunjukkan sebuah konds d lua kendal kaena sebuah ttk teletak d atas lengan atas da V-Mask. Dengan menggese V-Mask kebelakang sedemkan sehngga ttk ogn mencakup jumlah kumulatf ttk-ttk data, dapat dtentukan ttk petama yang menandakan konds d lua kendal. Hal n beguna untuk menngetahu penyebab yang tejad sehngga konds d lua kendal. Analsa bagan kendal n adalah apabla poses tetap tekendal da nla taget, maka jumlah kumulatf yang ddefnskan pada pesamaan (3..) hauslah beubah-ubah secaa andom d sekta nol. Tetap jka mean begese ke atas ke nla µ > µ o, maka penympangan ke atas atau postf akan tejad dalam jumlah kumulatf S m. Sebalknya jka mean begese ke bawah ke µ < µ o, maka penympangan ke bawah atau negatf akan tejad dalam S m.

7 38 Dengan demkan, jka dalam ttk-ttk yang tegamba tejad kecendeungan ke atas atau ke bawah, konds n dpandang sebaga fakta bahwa mean poses telah begese, dan haus dlakukan pencaan tehadap sesuatu sebab khusus atau teduga. Posedu keputusan dbuat dengan menempatkan V-Mask pada bagan pengendal Cusum dengan ttk nol pada nla S m teakh. Jka semua jumlah kumulatf sebelumnya S, S,..., S m teletak d dalam dua lengan V-mask, maka poses dalam keadaan tekendal Tabula (Algotma) Cusum Chat Posedu tabula (algotma) lebh banyak dplh dapada V-Mask. V- Mask sebenanya pemndahan da masa pa-kompute. Metode tabula (algotma) dapat dengan cepat dmplementaskan oleh peangkat lunak speadsheet standa. Untuk menghaslkan bentuk tabula n dgunakan paamete H dan K dnyatakan dalam satuan data asl atau menggunakan satuan sgma., K meupakan nla efeens dan H adalah nteval keputusan atau batas kendal. Menuut pedoman umum (Montgomey) K dplh setengah dan jka pegesaean dnyatakan dalam bentuk standa devas maka K dbekan oleh K = σ, H = hσ, h dplh 4-5. Jumlah kumulatf dhtung sebaga bekut: C = max (0, x - ( ˆ µ + K) + C ) (3...) + + o - C = max (0, ( ˆ µ - K ) - x + C ) (3...) - + o - Dmana + C adalah Cusum atas ( Uppe Cusum)

8 39 - C adalah Cusum bawah ( Lowe Cusum ) dengan + C 0 dan - C 0 adalah 0. Ketka + C > H atau - C < H, maka poses d lua kendal Desan ARL untuk Tabula (Algotma) Cusum Chat Dengan mendefnskan H = hσ dan K = kσ dan h dplh 4-5, k = 0,5, maka ARL untuk Tabula Cusum Chat secaa umum dtunjukkan sebaga bekut, Tabel 3. ARL untuk Tabula Cusum Chat Pegesean (pekalan da σ ) h = 4 h = Untuk menghtung ARL dgunakan umus, exp( ) + b ARL = Dmana = * k untuk Cusum satu ss bagan atas C + atau bawah C

9 40 b = h µ µ 0 * = ( ) σ Jka = 0 mka ARL = b ARL untuk Cusum dua ss dpeoleh da ARL satu ss, dumuskan sebaga bekut = + + ARL ARL ARL 3.3. Hubungan Bagan Cusum dengan SPRT Johnson(96) mempeoleh fomula sedehana untuk mendesan paamete d dan θ da skema V-Mask dengan mempehatkan bahwa aplkas skema V-Mask ekuvalen dengan aplkas SPRT. (Woodall dan Adam (993)) Tetap pendesanan skema V-Mask dengan metode n tdak menghaslkan nla ARL yang dhaapkan Dasumskan bahwa,,..., m adalah sebuah basan yang bedstbus nomal, dentk, dan ndependen.. Dengan µ adalah ata-ata yang dhaapkan dan σ adalah vaans. SPRT dgunakan untuk membedakan antaa hpotess-hpotess sedehana. Dasumskan 3 hpotess yang akan duj yatu: H µ µ : = 0 (tejad pegesean negatf mean) H : µ = µ 0 0 H : µ = µ + (tejad pegesean postf mean) 0

10 4 Ddefnskan Z ', Z ',..., Z ' m sebaga ' m µ o Z = dan σ Z µ =, dst σ ' m o Untuk menguj Ho melawan H - dgunakan uj aso Lkelhood bedasakan Z ', Z ',..., Z ' m. Pehtungannya sebaga bekut; λ / exp ( Z ') π = = / exp ( Z ' + ) π = = exp + ' Z (3.3.) = Ktea pengujannya, dengan a < b, jka λ < a maka H - dtema dan jka λ > b maka Ho dtema. Jka a λ b, maka dputuskan mengambl pengamatan Z + dan membandngkan aso Lkelhood λ + batas tesebut. Nla a dan b dplh sesua dengan α, yatu peluang menema H - padahal Ho bena, dan β adalah peluang menema Ho padahal salah. Pendekatan untuk menentukan a dan b oleh α dan β yatu ) α a = dan β ) α b = β Ketka a ) dan b ) dgunakan sebaga batas, dputuskan menema H - pada pengamatan jka, = ( α ) ( β ) log log Z ' < + (3.3.) Sebalknya menema Ho jka, = ( α ) ( β ) log log Z ' > + (3.3.3)

11 4 Dalam kasus pemantauan untuk pegesean mean, β haus dplh sama dengan nol sehngga dputuskan Ho tdak akan dtema. Jka Ho tdak dtema tu atnya samplng teus dan telah tejad pegesean mean. In beat menema H - (hpotess bahwa telah tejad pegesean negatf mean) jka pesamaan (3.3.4) belaku. = ( α ) log Z ' < + (3.3.4) Dengan analog yang sama untuk membedakan antaa Ho dan H dengan pendekatan pobabltas kesalahan yang sama, dpeoleh atuan menema hpotess H (telah tejad pegesean postf dalam mean) jka petdaksamaan (3.3.5) belaku = ( α ) log Z ' > (3.3.5) Pemantauan pegesean postf dan negatf dalam mean dlakukan dengan menggabungkan kedua peatuan d atas. Uj gabungan dlustaskan pada gamba bekut n, = Z ' log( α) log( α) log( α) log( α) log( ) α +

12 43 Gamba 3. SPRT untuk Pengujan Pegesean Rata-ata Negatf dan Postf Da gamba (3.) telhat bahwa batas wlayah kontnu membentuk V-mask tebalk. Jka kedua pesamaaan (3.3.4) dan (3.3.5) dgabungkan dan peluang kesalahan menolak Ho menjad α dpeoleh gas log ( α ) + dan log( α ) yang bepotongan dengan ( α ) log = sedemkan sehngga dpeoleh d ( α ) log = dan tanθ = n juga sebaga bukt da pesamaan (3...)