RUANG FUNGSI GELOMBANG PARTIKEL TUNGGAL (ONE-PARTICLE WAVE FUNCTION SPACE)

Transkripsi

1 RUANG FUNGSI GELOMBANG PARTIKEL TUNGGAL (ONE-PARTICLE WAVE FUNCTION SPACE) Intepetas pobablstk a fungs gelombang t suatu patkel telah kta pelaa yatu t yang menyatakan peluang menemukan patkel paa waktu t sekta alam volume = yz. Peluang total menemukan patkel suatu tempat alam uang sama engan satu. seluuh uang t 1 (4.1) A. Stuktu Da Suatu Ruang Fungs Gelombang f 1. f sebaga vekto space Dengan muah apat tunukkan bahwa f memenuh seluuh ktea sebaga vekto space. Contoh ka 1 an aalah elemen a f maka: engan 1an aalah ua blangan kompleks. 1 1 f (4.). Pouk skala Defns : D (4.) seluuh uang.1d (4.4) aalah pouk skala a oleh (ntegal n selalu konvegen ka an f). Sfat-sfat Pouk Skala : 1.. lne

2 ant lne 4. Jka 0 maka katakan an otogonal satu sama lan 5. 1 sebut tenomalsas 6. menghaslkan blangan eal an postf an akan behaga nol ka an hanya ka 0 7. sebut Nom a B. Opeato Lne Defns: Opeato lne A aalah suatu besaan matematk yang beasosas engan setap fungs lne. ' f menghaslkan fungs lan engan koesponens A ' (4.5) A 1 1 1A 1 A (4.6) 1. Bebeapa contoh opeato lne : a. Opeato Patas Defns (yz) = (--y-z) b. Opeato Dffeensal y z Defns D y z c. Pekalan engan suatu fungs V() Defns X (yz) = (yz). Pekalan engan suatu konstanta Dua opeato A an B sebut sama A = B ka hasl oppeasnya tehaap fungs yang mana saa aalah entk.. Jumlah Opeato Defns A B A B konsekuensnya

3 A B C A B C A B C Bla A B B A maka sebut komut.. Pekalan opeato-opeato Msalkan  an aalah ua opeato lne maka pekalan A an B efnskan sebaga bekut: Aˆ Aˆ (4.7) uutannya: petama bekea telebh ahulu paa yang menghaslkan B bekutnya bau  beopeas paa fungs bau. Sfat-sfat: A ˆAˆ ˆ A A ˆAA ˆ ˆ A ˆ ABC A( BC) ( AB) C C. Sfat Tak Komutatf Pekalan Opeato Secaa umum Contoh: A ˆ ˆ an A ˆ B ˆ Aˆ Aˆ A ˆ 1 Ja Aˆ Aˆ Selanutnya kaena belaku untuk setap maka apat tuls 1 1 kalkan keua uas engan XP PX engan Ja opeato X an P tak komut XP P sebut opeato momentum. PX.

4 D. Komutato Da Opeato-Opeato Komutato a opeato A an B tulskan [AB] an efnskan: Aˆ AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ. (4.8) Bla A an B komut maka [ A ˆ B ˆ] 0 Contoh: [A ] = 0 engan konstanta [Af(A)] = 0 [XV()] = 0 [PX] = 0 Sfat-sfat Komutato 1. [AB] = - [BA]. [AB + C] = [AB] + [BA]. [ABC] = B [AC] + [AB] C 4. [A.k] =0 engan k konstanta 5. [A + BC] = {AC] + [BC] 6. [ABC] = [AC] B + A [BC] 7. [A[BC]] + [B[CA]] + [C[AB]] = 0 Contoh pembuktan : Buktkanlah sfat komutato ke [ABC] = ABC BCA = ABC BCA + BAC BAC = BAC BCA + ABC BAC = B[AC] + [AB]C Lathan! 1. Buktkan sfat-sfat komutato yang lannya. Htung komutato a [XD]. Htunglah [XP ] [X P] [X P ] 4. Buktkanlah [XP n ] = n P n-1 5. Buktkanlah [X n P] = n X n-1 6. Htung [DX ] () = X () 7. Buktkanlah [A1/B] = -(1/B) [AB] (1/B)

5 E. Bass Otonomal Dskt Dalam Ruang Fungs Gelombang (Wave Functon Space) 1. Defns Tnau satu set tehtung paa f yang tana oleh neks skt I (I= 14 n) an U 1 () U () U () U n () f. Set {U ()} aalah otonomal ka: U U U ( ) U ( ) (4.9) engan aalah fungs elta konecke mana 1 untuk 0 untuk Set {U ()} meupakan bass ka setap fungs f apat ekspanskan (abakan) alam tem U () atau: N 1 C U ( ) (4.10) bla U () meupakan bass maka fungs f namakan fungs lengkap (complete set of functon.. Komponen-komponen Suatu Fungs Gelombang alam Bass U seluuh uang. Kalkan pesamaan N 1 C U ( ) engan U () an ntegaskan melput U U C U C U U C (4.11) bla = maka: U C C. (4.1) yang menyatakan komponen ke C a (). Dengan caa yang sama maka peoleh: U C U ( ) ( ) (4.1) aalah komponen ke C a () yang sama engan pouk skala () oleh U. Set blangan C katakan meepesentaskan () alam bass U ().. Pouk Skala alam Tem Komponen-komponennya Msal () an () aalah ua fungs gelombang yang abakan alam bassbassnya sebaga bekut:

6 ( ) b U ( ) an ( ) c U ( ) (4.14) pouk skalanya aalah: ( ) b U ( ) c U ( ) (4.15) b c U ( ) U ( ) b c (4.16) untuk haga = maka : Dengan caa yang sama akan peoleh: b c. (4.17) (4.18) Ja pouk skala a fungs gelombang (atau kuaat a nom suatu fungs gelombang) apat seehanakan alam tem komponen-komponen a fungs gelombang tesebut alam bass {U ()}. c 4. Relas Closue Hubungan U U U ( ) U ( ) sebut otonomal yang menyatakan bahwa fungs-fungs yang nyatakan engan bass U () tenomalsas an otogonal satu sama lan. Jka U () aalah bass alam f maka setap fungs gelombang () fapat abakan ke alam komponennya sebaga bekut: seangkan c U maka : ( ) c U ( ) (4.19) ( ) ( U ) U ( ) U ( ') ( ') ' U ( ) (4.0) tukakan letak an sehngga : ( ) ( ') U ( ) U ( ') (4.1) pesamaan yang beaa alam kuung peseg meupakan fungs yang namakan fungs kaaktestk ( ' ) atau: ( ') U ( ) U ( '). (4.)

7 Hubungan tesebut namakan elas Closue. Sehngga : ( ) ' ( ') ( ') (4.) Kebalkannya ka set otonomal {U ()} memenuh elas Closue maka U () meupakan bass. Setap fungs () apat tuls alam bentuk pes.(4.). Dengan mempetukakan letak sumas an ntegal pes.(4.1) maka: ( ) Ja {U ()} meupakan bass. U ( ') ( ') ' U ( ) (4.4) ( U ) U ( ) c U ( ) (4.5) 5. Opeato Aont (Setangkup Hemt) an Opeato Hemt. Tekat engan suatu opeato  aalah suatu opeato yang namakan opeato Aont atau setangkup hemtnya notasnya A +. Defns : ( Ψ A + ) = ( A Ψ ) (4.6) untuk setap Ψ an. Dalam bentuk ntegal mena: Ψ * A + = ( A Ψ ) * (4.7) Ja suatu opeato alam pouk skala boleh kta pnahkan a suatu uang ke uang lannya namun alam pemnahan tu opeato tesebut haus gantkan engan setangkup hemtnya (Aontnya). Contoh : ( ) + = * engan blangan kompleks X + = X (/) + = - / buktkan! Bukt : ( Ψ (/) + ) = ( Ψ/ ) = (Ψ/) * = Ψ * / = Ψ * - - Ψ * / = Ø + Ψ * (-/) = ( Ψ ( -/) a (/) + = - / (tebukt)

8 Sfat-sfat lannya : ( A + ) + = A (4.8) ( A ) + = * A + (4.9) ( A + B ) + = A + + B + (4.0) ( A B ) + = B + A + (4.1) konugas hemt a pekalan ua opeato sama engan pekalan opeato konugas hemtnya engan menukakan letak tempatnya. Buktkan ( A B ) + = B + A + Bukt : ( AB Ψ ) = ( (AB) + Ψ) tetap uga ( AB Ψ ) = ( B A + Ψ ) = ( B + (A + Ψ)) = ( B + A + Ψ) maka ( (AB) + Ψ) = ( B + A + Ψ) atau (AB) + = B + A + tebukt. Opeato-opeato yang sama engan setangkup hemtnya namakan opeato Hemt  = A +. Contoh opeato hemt blangan eal X V() an P. Contoh : Buktkan Opeato P aalah Hemt! P + = [ћ/. /] + = [ћ/ ] + [/] + = -ћ/. / = ћ/. / = P tebukt. Untuk opeato Hemt belaku: ( Ψ A ) = ( AΨ ) (4.) Kaena opeato-opeato besaan nams (poss momentum) besfat hemt maka opeato V() an K uga hamltonan besfat Hemt. (Buktkan!). Soal : Buktkanlah [AB] aalah Hemt ka A an B hemt!

9 6. Opeato nves Jka = A Ψ an Ψ = B maka opeato B tesebut opeato nves a A an notaskan engan A -1. Bebeapa sfat opeato nves : A -1 A = A A -1 = 1 (4.) ( A 1 ) -1 = A (4.4) ( AB ) -1 = B -1 A -1 (4.5) Buktkanlah pes.(4.5)! 7. Opeato Unte Jka suatu opeato U setangkup hemtnya sama engan nvesnya U + =U 1 maka opeato U sebut opeato unte maka untuk opeato unte : Sfat opeato unte tak mengubah nla pouk skalanya. Contoh soal : a. Buktkan ( UΨ U ) = ( Ψ ) U + U = U U + = 1. (4.6) Bukt : ( UΨ U ) = (U + U Ψ ) = ( Ψ ) qe. b. Jka H aalah opeato Hemt buktkanlah bahwa : U 1 1 awab U 1 1 H H H H aalah opeato unte kaena H hemt maka apat tuls: U ( 1 H ) = ( 1 + H )...(*) ( 1 H ) U = ( 1 + H )...(**) kalkan pesamaan (*) engan U + a sebelah k U + U ( 1 H ) = U + ( 1 + H )...(***) Ambllah aont pesamaan (**) [( 1 H ) U] + = (1 + H ) + U + ( 1 H ) + = ( 1 - H )...(****) Da pesamaan (***) an (****) peoleh : U + U = 1 a U aalah opeato unte.

10 8. Fungs Egen an Haga Egen A Ψ a = a Ψ a. (4.7) AC Ψ a = CA Ψ a = C a Ψ a = a C Ψ a (4.8) 9. Nla Egen Opeato Hemt Bla opeato yang bekea paa fungs egen beupa opeato hemt maka: 1. Nla egennya semua eal. Fungs-fungs egennya a nla egen yang bebea othogonal sesamanya. Msalkan set nla egen {a} a opeato Hemt A seluuhnya skt an tak beegeneas an bla plh fungs-fungs egen yang tenomalsas maka akan peoleh suatu set yang fungs egen { Ψ a } a A yang otonomal. ( Ψ a Ψ a ) = δ aa (4.9) Apabla A yang Hemt tu aalah opeato a suatu besaan nams kta selalu pula akan menambahkan bahwa set tu lengkap yatu fungs gelombang Ψ() sstem apat abakan tehaap set tesebut. Ψ() = a Ψ a (4.40) Untuk nla-nla egen kontnu othonomaltas tu mash bsa petahankan namun sekaang alam bentuk othonomaltas Dac. Contoh : Ψ() = 1/ ћ (p) e p/ћ p engan Ψ(p) = 1/ ћ () e p/ћ aalah fungs egen a opeato momentum P Ψ p () = p Ψ p () yang menunukkan nla egennya aalah p.