BAB III PEMBAHASAN. Pada bab ini akan dibahas mengenai ring embedding dan faktorisasi. tunggal pada ring komutatif tanpa elemen kesatuan.

Transkripsi

1 BAB III PEMBAHASAN Pada bab n akan dbahas mengena rng embeddng dan faktorsas tunggal pada rng komutatf tanpa elemen kesatuan. A. Rng Embeddng Defns 3.1 (Malk et al. 1997: 318 Suatu rng R dkatakan embedded ke dalam suatu rng S jka ada suatu monomorfsma rng dar R ke S. Defns d atas mengandung art bahwa suatu rng R dkatakan embedded ke dalam suatu rng S jka ada suatu subrng T d S sehngga R T. Proposs 3.2 Untuk setap rng R, hmpunan S ( a, p + ( b, q = ( a + b, p + q ( ( ( = R dengan operas a, p b, q = ab + qa + pb, pq, a, b R, p, q merupakan rng dengan elemen kesatuan. Selan tu, : a ( a,0 suatu homomorfsma njektf (monomorfsma dar R ke S. Bukt: θ a merupakan Msalkan R suatu rng dan S = R. ( a, p,( b, q R, defnskan ( a, p + ( b, q = ( a + b, p + q ( ( ( a, p b, q = ab + qa + pb, pq, a, b R, p, q. 14

2 15 a Akan dtunjukkan bahwa R merupakan suatu rng dengan elemen kesatuan. R dkatakan rng dengan elemen kesatuan jka memenuh: I. R Karena R, merupakan suatu rng, maka R, suatu grup abelan akbatnya ada elemen nol, 0 R R dan 0, sehngga ( 0 R,0 R. II. ( R, + grup abelan. Memenuh sfat tertutup Ambl sembarang ( ( ( a, p + ( b, q = ( a + b, p + q ( c, r =. a, p, b, q R, dengan a, b R dan p, q. Karena R dan merupakan suatu rng maka a + b = c R dan + = sehngga dperoleh ( c, r p q r. Memenuh sfat Asosatf R. Akan dtunjukkan bahwa (,,(,,(, ( ( ( a p b q c r R berlaku ( (( ( ( a, p + b, q + c, r = a, p + b, q + c, r. Ambl sembarang ( a, p,( b, q,( c, r R, dengan,, p, q, r. ( ( ( ( ( ( a, p + b, q + c, r = a, p + b + c, q + r ( a ( b c, p ( q r = a b c R dan

3 16 (( a b c, ( p q r = ( a b, p q ( c, r = (( a, p ( b, q ( c, r = Terdapat elemen nol yatu ( 0,0 merupakan elemen nol. Ambl sembarang ( ( a, p + ( 0,0 = ( a + 0, p + 0 R R R, dengan 0 R R dan 0 a, p R, dengan a R dan p. Sehngga, R ( a, p =. v. Memlk elemen nvers terhadap penjumlahan Ambl sembarang ( dar ( a, p. Sehngga, ( a, p ( x, y ( 0,0 + = R ( a x, p y ( 0,0 + + =. Perhatkan, karena a R, p dan, ( p. R Sehngga, a, p R, a R, p, msalkan (, x y nvers R merupakan rng maka ( a R, dan a + x = 0 R p + y = 0 ( a + a + x = ( a + 0 R ( p p y ( p = + 0 R + x = ( a 0 + y = ( p x = ( a y = ( p

4 17 ( x, y = a, p. dperoleh ( ( ( Jad, ( ( a, p R, a, p R berlaku ( ( ( ( ( a, p + a, p = a a, p + p ( 0,0 =. v. Memenuh sfat komutatf Akan dtunjukkan bahwa (,,(, Ambl sembarang ( ( ( a, p + ( b, q = ( a + b, p + q R a p b q R berlaku ( a, p ( b, q ( b, q ( a, p + = +. a, p, b, q R, dengan a, b R dan p, q. ( b a, q p = + + ( b, q ( a, p = +. Karena,,, v, dan v terpenuh maka ( R, + grup abelan. III. ( R, memenuh sfat:. asosatf Akan dtunjukkan bahwa (,,(,,(, a p b q c r R berlaku ( ( ( ( ( ( ( ( a, p b, q c, r = a, p b, q c, r. Ambl sembarang ( a, p,( b, q,( c, r R, dengan,, p, q, r. ( = ( ( + + ( ( ( a, p b, q c, r a, p bc rb qc, qr a b c R dan

5 18 ( a ( bc rb qc qra p( bc rb qc, p( qr = ( abc arb aqc qra pbc prb pqc, ( pq r = (( abc aqc pbc ( arb qra prb pqc, ( pq r = (( ab qa pb c ( ab qa pb r pqc, ( pq r = ( ab qa pb, pq( c, r = + + (( a, p( b, q ( c, r =.. Terdapat elemen kesatuan yatu ( 0 R,1 elemen nol dan 1 merupakan elemen kesatuan. Ambl sembarang ( R, dengan 0 R R merupakan a, p R, a R dan p. Sehngga, ( ( a, p.( 0,1 = a a + p.0,( p.1 ( a, p R R R =. IV. Bersfat dstrbutf penjumlahan terhadap perkalan. Dstrbutf kr Akan dtunjukkan bahwa (,,(,,(, ( ( ( a p b q c r R berlaku ( ( ( ( ( a, p b, q + c, r = a, p b, q + a, p c, r. Ambl sembarang ( a, p,( b, q,( c, r R, dengan,, p, q, r. ( + = ( ( + + ( ( ( a, p b, q c, r a, p b c, q r ( a ( b c ( q r a p( b c, p ( q r = ( ab ac qa ra pb pc, pq pr = a b c R dan

6 19 (( ab qa pb ( ac ra pc, pq pr = ( ab qa pb, pq ( ac ra pc, pr = ( a, p( b, q ( a, p( c, r = +.. Dstrbutf kanan Akan dtunjukkan bahwa (,,(,,(, a p b q c r R berlaku (( a, p ( b, q ( c, r ( a, p( c, r ( b, q( c, r + = +. Ambl sembarang ( a, p,( b, q,( c, r R, dengan,, p, q, r. (( a, p + ( b, q ( c, r = ( a + b, p + q( c, r (( a b c r ( a b ( p q c, ( p q r = ( ac bc ra rb pc qc, pr qr = (( ac ra pc ( bc rb qc, pr qr = ( ac ra pc, pr ( bc rb qc, qr = ( a, p( c, r ( b, q( c, r = +. a b c R dan Karena I, II, III, dan IV terpenuh maka R merupakan rng dengan elemen kesatuan. b Msalkan R { 0} R, selanjutnya akan dtunjukkan bahwa R { 0} subrng dar S = R. R { 0} dkatakan suatu subrng jka memenuh:

7 20. R { 0} Karena R merupakan suatu rng, maka R suatu grup abelan. Akbatnya terdapat elemen nol, yakn 0 R R sehngga ( 0 R,0 R { 0 }. Dengan kata lan, R { 0}.. Ambl sembarang ( a,0,( b,0 R { 0} ( a,0 ( b,0 ( a b,0 ( b. =, karena a, b R dan R suatu rng maka R sehngga a b R. Ambl sembarang ( a,0,( b,0 R { 0} ( a,0 ( b,0 ( ab,0, akbatnya ( a b,0 R { 0}.. =, karena a, b R dan R suatu rng maka ab R sehngga ( ab,0 R { 0}. Karena,, terpenuh maka R { 0} subrng dar R. c Msalkan : R R { 0} θ, r R defnskan θ : r θ ( r = ( r,0 a. Akan dtunjukkan θ merupakan homomorfsma njektf (monomorfsma.. θ well defned Ambl sembarang r 1, r 2 R, msalkan r = r θ 1 r2 = 0 r ( r r = θ ( 0 ( r r = (,0 0,0

8 21 ( r,0 ( r,0 = ( 0,0 ( r,0 = ( r,0 θ. θ homomorfsma rng Ambl sembarang r 1, r 2 ( r r ( r r θ + = + θ,0 ( r θ ( r =. R, ( r,0 ( r,0 = + ( r θ ( r = θ + ( r. r = ( r. r,0 (( r1. r2 0. r1 r2. 0,0 = + + = ( r,0. ( r,0 ( r. ( r = θ θ.. θ pemetaan njektf Akan dtunjukkan jka θ ( r θ ( r = maka r 1 = r 2. θ r, θ r R 0 dengan r, r R Ambl sembarang ( ( { } θ ( r = θ ( r ( r,0 = ( r,0 ( r,0 ( r,0 = ( 0,0 ( r r = (,0 0 0,0

9 22 r 1 r2 = 0 r = r. Karena,, dan terpenuh maka θ suatu monomorfsma. Selanjutnya akan dsajkan suatu teorema yang menunjukkan bahwa setap rng dapat embedded ke dalam suatu rng yang memuat elemen kesatuan. Teorema 3.3 Setap rng R dapat dembedded ke dalam suatu rng S dengan elemen kesatuan sedemkan sehngga R merupakan deal d S. Jka R komutatf maka S komutatf. Pada karya tuls n, pembuktan hanya dbatas pada rng yang bersfat komutatf. Berkut n akan dtunjukkan bahwa suatu rng komutatf dapat embedded ke dalam rng komutatf yang memuat elemen kesatuan. Bukt: Msalkan R suatu rng dan S = R. ( a, p,( b, q R, defnskan ( a, p + ( b, q = ( a + b, p + q ( ( ( a, p b, q = ab + qa + pb, pq, a, b R, p, q. Telah dbuktkan sebelumnya pada Proposs 3.2 bahwa S = R merupakan suatu rng dengan elemen kesatuan. Selanjutnya akan dtunjukkan bahwa Jka R komutatf maka S komutatf, artnya (,,(, ( a, p( b, q ( b, q( a, p =. Ambl sembarang ( ( a p b q R berlaku a, p, b, q R, dengan a, b R dan p, q.

10 23 ( a, p( b, q = ( ab + qa + pb, pq ( ba aq bp, qp = + + ( b, q( a, p =. Karena R bersfat komutatf maka R merupakan rng komutatf dengan elemen kesatuan. Msalkan R { 0} R, pada pembuktan Proposs 3.2 dketahu bahwa R { 0} subrng dar R. Selanjutnya akan dtunjukkan bahwa { 0} R. Ambl sembarang ( r,0 R { 0} dan ( a, p ( a, p( r,0 ( ra pr,0 R { 0} R. R deal d = +. Karena R bersfat komutaf maka ( a, p( r,0 = ( r,0 ( a, p = ( ra + pr,0 R { 0}, sehngga { 0} deal d R. R merupakan Msalkan : R R { 0} θ, r R defnskan ( r ( r,0 θ =. Akan dtunjukkan θ merupakan suatu somorfsma, berdasarkan Proposs 3.2 dketahu bahwa θ merupakan suatu monomorfsma, dan karena ( r,0 R { 0} ( ( r R θ r = r, 0 maka θ merupakan pemetaan surjektf. Akbatnya θ suatu somorfsma, sehngga R R { 0}. Berdasarkan Defns 3.1, maka R dkatakan embedded ke dalam suatu rng S dengan elemen kesatuan. Karena ( { } r R dengan r,0 R 0 sehngga dapat dpandang R deal d S.

11 24 Berkut akan dberkan suatu contoh embeddng rng, d mana contoh tersebut sangat menunjang pada bab berkutnya. Contoh 3.4 Dketahu bahwa merupakan rng komutatf dengan elemen kesatuan 1. {, dan elemen prma d } p = pr r p merupakan subrng dar yang tdak memuat elemen kesatuan. Akan dtunjukkan bahwa p dengan operas bner dengan pr1, pr3 kesatuan. ( p, +, ( pr1, r2 + ( pr3, r4 = ( pr1 + pr3, r2 + r4 ( pr, r ( pr, r = ( pr. pr + r. pr + pr. r, r. r p dan r2, r4, merupakan rng komutatf dengan elemen dkatakan rng dengan elemen kesatuan jka memenuh: I. p Karena merupakan suatu rng dan p subrng dar maka p dan merupakan suatu grup abelan akbatnya terdapat elemen nol, yakn 0 R dan 0, sehngga ( 0 R,0 R. R II. ( p, + grup abelan. Memenuh sfat tertutup Ambl sembarang (,,(, r2, r4, pr1 r2 pr3 r4 p, dengan pr1, pr3 p dan

12 25 ( pr, r ( pr, r ( pr pr, r r + = Perhatkan bahwa p dan merupakan suatu rng karena pr1, pr3 p dan r 2, r 4, pr1 + pr3 = p r1 + r3 = pr p, r 2 + r 4 = r. Sehngga maka ( ( pr, r + ( pr, r = ( pr + pr, r + r ( pr, r = p.. Memenuh sfat asosatf Akan dtunjukkan bahwa (,,(,,(, pr r pr r pr r p berlaku (( pr1, r2 ( pr3, r4 ( pr5, r6 ( pr1, r2 ( pr3, r4 ( pr5, r6 ( + + = + +. Ambl sembarang (,,(,,(, pr r pr r pr r p, dengan pr1, pr3, pr5 p dan r 2, r 4, r 6, (( pr1, r2 + ( pr3, r4 + ( pr5, r6 = ( pr1, r2 + ( pr3, r4 + ( pr5, r6. Terdapat elemen nol yatu ( 0 p,0 0 merupakan elemen nol. Ambl sembarang ( ( ( pr pr, r r ( pr, r = (( pr1 pr3 pr5,( r2 r4 r6 = ( pr1 ( pr3 pr5, r2 ( r4 r6 = ( ( pr, r ( pr, r ( pr, r = p, dengan 0 p p dan pr, r p, pr R dan r. Sehngga,

13 26 ( pr1, r2 + ( 0 p,0 = ( pr1 + 0 p, r2 + 0 = ( pr r,. v. Memlk elemen nvers terhadap penjumlahan Ambl sembarang ( ( px, y nvers dar ( pr, r pr, r p, pr R dan r, dan msalkan ( pr1, r2 + ( px, y = ( 0 p,0 ( pr1 px, r2 y ( 0 p,0 + + =. Perhatkan,, sehngga karena pr1 p dan r2 serta R, merupakan rng maka ( pr p dan ( 1, r 2 sehngga, pr1 + px = 0 p r2 + y = 0 ( pr + pr + px = ( pr + ( r r y ( r p = = ( 0 + y = ( r 2 0 p x pr 1 dperoleh ( ( x = ( pr 1 y = ( r 2 ( px, y = pr, r. v. Memenuh sfat komutatf Akan dtunjukkan bahwa (,,(, pr r pr r p berlaku 3 4 ( pr, r ( pr, r ( pr, r ( pr, r + =

14 27 Ambl sembarang (,,(, r2, r4. ( pr, r + ( pr, r = ( pr + pr, r + r pr1 r2 pr3 r4 p, dengan pr1, pr3 p dan ( pr pr, r r = ( pr, r ( pr, r = Karena,,, v, dan v terpenuh maka ( p, + grup abelan. III. ( p, memenuh sfat:. asosatf Akan dtunjukkan bahwa (,,(,,(, ( ( ( pr r pr r pr r p berlaku ( ( ( ( ( pr, r pr, r pr, r = pr, r pr, r pr, r Ambl sembarang (,,(,,(, pr r pr r pr r p, dengan pr1, pr3, pr5 p dan r 2, r 4, r 6. ( = ( ( + + ( ( ( pr, r pr, r pr, r pr, r pr. pr r. pr r. pr, r. r ( (..., (. pr1 pr3 pr5 r6 pr3 r4 pr5 r4 r6 pr1 = r2 pr3 pr5 r6 pr3 r4 pr5 r2 r4 r pr1. pr3. pr5 + pr1. r6. pr3 + pr1. r4. pr5 + r4. r6. pr1 = + r2. pr3. pr5 + r2. r6. pr3 + r2. r4. pr5,( r2. r4 r6 ( pr1. pr3. pr5 + pr1. r4. pr5 + r2. pr3. pr5 + ( ,(. = pr1 r6 pr3 r4 r6 pr1 r2 r6 pr3 r2 r4 pr5 r2 r4 r 6

15 28 ( pr1. pr3 + r4. pr1 + r2. pr3 pr5 + ( ,(. = pr1 pr3 r4 pr1 r2 pr3 r6 r2 r4 pr5 r2 r4 r 6 ( pr. pr r. pr r. pr, r. r r ( pr, r = (( pr1, r2 ( pr3, r4 ( pr5, r6 =.. Terdapat elemen kesatuan yatu ( 0 p,1 p, dengan 0 p p merupakan elemen nol dan 1 merupakan elemen kesatuan. Ambl sembarang( pr, r p, dengan pr R dan r. Sehngga ( pr1, r2.( 0 p,1 = ( pr1.0 p + 1. pr1 + r2.0 p,( r2.1 = ( pr1, r2.. Komutatf Akan dtunjukkan bahwa (,,(, pr r pr r p berlaku 3 4 ( pr, r ( pr, r ( pr, r ( pr, r + = Ambl sembarang (, dan (, dan r 2, r 4, pr1 r2 pr3 r4 p, dengan pr1, pr3 p ( pr, r ( pr, r = ( pr. pr + r. pr + pr. r, r. r ( pr. pr r. pr r. pr, r. r = ( pr, r ( pr, r =. 3 4 IV. Bersfat dstrbutf penjumlahan terhadap perkalan. Dstrbutf kr Akan dtunjukkan bahwa (,,(,,(, ( ( ( pr r pr r pr r p berlaku ( ( ( ( ( pr, r pr, r + pr, r = pr, r pr, r + pr, r pr, r

16 29 Ambl sembarang (,,(,,(, pr r pr r pr r p, dengan pr1, pr3, pr5 p dan r 2, r 4, r 6. ( + = ( ( + + ( ( ( pr, r pr, r pr, r pr, r pr pr, r r ( pr1 ( pr3 pr5 ( r4 r6 pr1 ( pr3 pr5 r2, r2 ( r4 r6 = ( pr. pr pr. pr r. pr r. pr pr. r pr. r, r. r r. r = (( pr1. pr3 r4. pr1 pr3. r2 ( pr1. pr5 r6. pr1 pr5. r2, r2. r4 r2. r6 = ( pr. pr r. pr r. pr, r. r ( pr. pr r. pr r. pr, r. r = ( pr, r ( pr, r ( pr, r ( pr, r = Dstrbutf kanan Akan dtunjukkan bahwa (,,(,,(, pr r pr r pr r p berlaku (( pr1, r2 ( pr3, r4 ( pr5, r6 ( pr1, r2 ( pr5, r6 ( pr3, r4 ( pr5, r6 + = +. Ambl sembarang (,,(,,(, pr r pr r pr r p, dengan pr1, pr3, pr5 p dan r 2, r 4, r 6. (( pr1, r2 + ( pr3, r4 ( pr5, r6 = ( pr1 + pr3, r2 + r4 ( pr5, r6 (( pr1 pr3 pr5 r6 ( pr1 pr3 ( r2 r4 pr5,( r2 r4 r6 = ( pr. pr pr. pr r. pr r. pr r. pr r. pr, r. r r. r = (( pr1. pr5 r6. pr1 r2. pr5 ( pr3. pr5 r6. pr3 r4. pr5, r2. r6 r4. r6 = (( ( ( = pr. pr + r. pr + r. pr, r. r + pr. pr + r. pr + r. pr, r. r ( pr, r ( pr, r ( pr, r ( pr, r =

17 30 Karena I, II, III, dan IV terpenuh maka p merupakan rng komutatf dengan elemen kesatuan. Selanjutnya akan dtunjukkan bahwa θ : p p merupakan suatu monomorfsma. I. θ suatu pemetaan Ambl sembarang pr1, pr2 p., dengan θ ( pr = ( pr, 0 pr = pr θ pr pr = 0 ( pr pr = θ ( 0 ( pr pr = (,0 0,0 ( pr,0 ( pr,0 = ( 0,0 ( pr,0 ( pr,0 =. II. θ suatu homomorfsma Ambl sembarang pr1, pr2 ( pr pr = ( pr pr,0 θ + + θ p. ( pr + ( pr =,0,0 ( + θ ( = θ pr pr ( pr. pr = ( pr. pr,0 ( pr pr + pr + pr =. 0..0,0

18 31 ( pr ( pr =,0.,0 ( pr. ( pr = θ θ. III. θ pemetaan njektf Ambl sembarang ( pr ( pr θ ( p,0,0. ( pr,0 = ( pr,0 ( pr,0 ( pr,0 = ( 0,0 ( pr pr = (,0 0 0,0 pr 1 pr2 = 0 pr = pr. Karena I, II dan III terpenuh maka θ suatu monomorfsma, sehngga berdasarkan Defns 3.1 p dapat embedded ke p. B. Faktorsas Tunggal pada Rng Komutatf tanpa Elemen Kesatuan Sebelum membahas faktorsas tunggal pada rng komutatf tanpa elemen kesatuan, terlebh dahulu akan dulas generalsas dar defns sfat-sfat elemen pada rng komutatf yang memuat elemen kesatuan. B.1 Defns dan Contoh Elemen Neo-Irreducble dan Assocate D bawah n merupakan generalsas dar defns elemen rreducble dan elemen assocate yang sangat menunjang terhadap faktorsas tunggal pada rng komutatf tanpa elemen kesatuan.

19 32 Defns 3.4 (Fletcher and Agargun, 1997: 402 Msalkan R merupakan rng komutatf dengan elemen kesatuan, p R dan p bukan unt dsebut elemen neo-rreducble jka p dapat dnyatakan sebaga yp = ya..., 1 an y R, maka ya yp, untuk suatu. Pada bab sebelumnya telah dbuktkan bahwa p, dengan p elemen prma d merupakan rng komutatf dengan elemen kesatuan. Proposs berkut memberkan gambaran mengena elemen neo-rreducble d p. Proposs tersebut sangat menunjang pada pembuktan proposs selanjutnya. Proposs 3.5 yakn, Msalkan p elemen prma d, elemen neo-rreducble d p. ( ρ 1, ρ ±, dengan ρ merupakan suatu elemen prma d dan ρ ± 1( mod p ;. ( ρ 1, ± 1 m, dengan ρ merupakan suatu elemen prma d dan ρ ± 1( mod p ;. ( σ τ, τ, dengan, ( mod p σ τ ; v. ( ± p ( ± p ( ± p m p 0,,,0, 2, ; v. ( ± p m p,. σ τ merupakan elemen prma d dan σ ±1( mod p /,

20 33 Bukt:. Akan dtunjukkan ( ρ 1, ρ ±, dengan ρ merupakan suatu elemen prma d dan ρ ± 1( mod p merupakan elemen neo-rreducble. a Untuk ( ρ + 1, ρ dengan ρ prma d dan 1( mod p ρ. Karena ρ 1( mod p maka p ρ 1 jka dan hanya jka ρ 1 = pk, untuk suatu k. Dengan kata lan, ρ = pk + 1. Dperoleh, ( ρ 1, ρ ( pk, pk 1 + = +. Karena pk + 1 prma maka faktor dar pk + 1 hanya 1 dan drnya sendr. Sehngga ( pk, pk + 1 = ( 0,1 ( pk, pk + 1. Msalkan ( pz, z berlaku ( pz, z( pk, pk 1 ( pz, z( 0,1 ( pk, pk 1 + = +. Karena ( pz, z( pk, pk 1 ( pz, z( pk, pk 1 p + +, begtu juga sebalknya maka ( pz, z( pk, pk + 1 ( pz, z( pk, pk + 1. Sehngga ( ρ + 1, ρ merupakan neo-rreducble d p. b Untuk ( ρ 1, ρ dengan ρ prma d dan 1( mod p ρ. Karena ρ 1( mod p maka p ρ + 1 jka dan hanya jka ρ + 1 = pk, untuk suatu k. Dengan kata lan, ρ = pk 1. Dperoleh, ( ρ 1, ρ ( pk, pk 1 =. Karena pk 1 prma maka faktor dar pk 1 hanya 1 dan drnya sendr.

21 34 Sehngga ( pk, pk 1 = ( 0,1 ( pk, pk 1. Msalkan ( pz, z berlaku ( pz, z( pk, pk 1 ( pz, z( 0,1 ( pk, pk 1 =. Karena ( pz, z( pk, pk 1 ( pz, z( pk, pk 1 p,, begtu juga sebalknya maka ( pz, z( pk, pk 1 ( pz, z( pk, pk 1. Sehngga ( ρ 1, ρ merupakan neo-rreducble d p.. Akan dtunjukkan ( ρ m 1, ± 1, dengan ρ merupakan suatu elemen prma d dan ρ ± 1( mod p merupakan elemen neo-rreducble. a Untuk ( ρ 1,1 dengan ρ prma d dan 1( mod p ρ. Karena ρ 1( mod p maka p ρ 1 jka dan hanya jka ρ 1 = pk, untuk suatu k. Dperoleh, ( 1,1 ( pk,1 ρ =. Karena faktor dar 1 hanya drnya sendr maka ( pk,1 = ( 0,1 ( pk,1. Msalkan ( pz, z p, berlaku ( pz, z( pk,1 ( pz, z( 0,1 ( pk,1 =. Karena ( pz, z( pk,1 ( pz, z( pk,1, begtu juga sebalknya maka ( pz, z( pk,1 ( pz, z( pk,1. Sehngga dperoleh ( 1,1 ρ merupakan neorreducble d p. b Untuk ( ρ + 1, 1 dengan ρ prma d dan 1( mod p ρ.

22 35 Karena ρ 1( mod p maka p ρ + 1 jka dan hanya jka ρ + 1 = pk, untuk suatu k. Dperoleh, ( 1, 1 ( pk, 1 ρ + =. Karena faktor dar -1 hanya 1 dan drnya sendr, sehngga ( pk, 1 = ( 0,1 ( pk, 1. Msalkan ( pz, z berlaku ( pz, z( pk, 1 ( pz, z( 0,1 ( pk, 1 Karena ( pz, z( pk, 1 ( pz, z( pk, 1 =. p,, begtu juga sebalknya maka ( pz, z( pk, 1 ( pz, z( pk, 1. Sehngga dperoleh ( 1, 1 neo-rreducble d p.. Akan dtunjukkan ( σ τ, τ dan σ / ±1( mod p dan σ τ ( mod p Karena σ τ ( mod p suatu k. ρ + merupakan, dengan σ, τ merupakan elemen prma d merupakan elemen neo-rreducble. maka p σ τ jka dan hanya jka σ τ = pk, untuk Dperoleh, ( σ τ, τ ( pk, τ =. Karena τ prma maka faktor dar τ hanya 1 =. dan drnya sendr. Sehngga ( pk, τ ( 0,1 ( pk, τ Msalkan ( pz, z p, berlaku ( pz, z( pk, τ ( pz, z( 0,1 ( pk, τ Karena ( pz, z( pk, ( pz, z( pk, =. τ τ, begtu juga sebalknya maka ( pz, z( pk, τ ( pz, z( pk, τ. Sehngga dperoleh ( σ τ, τ neo-rreducble d p. merupakan

23 36 v. Akan dtunjukkan ( 0, p, ( p,0, ( 2 p, p p. ± ± ± m elemen neo-rreducble d a Untuk ( 0, ± p, karena p prma maka faktor dar p hanya 1 dan drnya sendr. Sehngga, ( 0, ± p = ( 0,1( 0, ± p. Msalkan ( pz, z ( pz, z( 0, p ( pz, z( 0,1( 0, p Karena ( pz, z( 0, p ( pz, z( 0, p ± = ±. p berlaku ± ±, begtu juga sebalknya maka ( pz, z( 0, ± p ( pz, z( 0, ± p. Sehngga dperoleh ( 0, p elemen neo-rreducble d p. ± merupakan b Untuk ( ± p,0, karena p prma maka faktor dar p hanya 1 dan drnya sendr. Sehngga, ( p,0 ( 0,1 ( p,0 Msalkan ( pz, z ± = ±. p berlaku ( pz, z( p,0 ( pz, z( 0,1 ( p,0 Karena ( pz, z( p,0 ( pz, z( p,0 ± = ±. ± ±, begtu juga sebalknya maka ( pz, z( ± p,0 ( pz, z( ± p,0. Sehngga dperoleh ( p,0 elemen neo-rreducble d p. ± merupakan c Untuk ( 2 p, p ± m, karena p prma maka faktor dar p hanya 1 dan drnya sendr. Sehngga, ( ± 2 p, p = ( 0,1( ± 2 p, p Msalkan ( pz, z p berlaku m m.

24 37 ( pz, z( ± 2 p, p = ( pz, z( 0,1( ± 2 p, p Karena ( pz, z( ± 2 p, m p ( pz, z( ± 2 p, p m m. m, begtu juga sebalknya maka ( pz, z( ± 2 p, m p ( pz, z( ± 2 p, m p. Sehngga dperoleh ( 2 p, p neo-rreducble d p. v. Akan dtunjukkan bahwa ( p, p Untuk ( p, p ± m elemen ± m elemen neo-rreducble d p. ± m, karena p prma maka faktor dar p hanya 1 dan drnya sendr. Sehngga, ( ± p, p = ( 0,1 ( ± p, p Msalkan ( pz, z m m. p berlaku ( pz, z( ± p, p = ( pz, z( 0,1 ( ± p, p Karena ( pz, z( ± p, m p ( pz, z( ± p, p m m. m, begtu juga sebalknya maka ( pz, z( ± p, m p ( pz, z( ± p, m p. Sehngga dperoleh ( p, p ± m elemen neo-rreducble d p. Defns 3.6 (Fletcher and Agargun, 1997: 402 Msalkan R merupakan rng komutatf dengan elemen kesatuan, dan T R. a, b R dkatakan ass( T jka y T, ya yb dtuls a b. T merupakan relas ekuvalen yang mereduks ke relas basa jka 1 T. T B.2 Defns dan Contoh UFR terhadap Suatu Monomorfsma Rng Msalkan R rng komutatf, R suatu rng komutatf dengan elemen kesatuan, dan θ : R R suatu monomorfsma rng. Melalu embeddng rng

25 38 dperoleh bahwa R dapat d embedded ke dalam rng R dengan R ( R θ, sehngga faktorsas elemen-elemen d R dapat dtentukan melalu faktorsas elemen-elemen dar θ ( R d R. Berkut n merupakan defns faktorsas tunggal rng terhadap suatu monomorfsma. Defns 3.7 (Fletcher and Agargun, 1997: 403 Msalkan R suatu rng komutatf, R suatu rng komutatf dengan elemen kesatuan, serta θ : R R suatu monomorfsma dengan ( R d R. R dkatakan suatu UFR terhadap θ : R R jka θ merupakan deal UFR 1: Setap non unt elemen θ ( a d R mempunya U-Decomposton dalam neo-rreducble d R. UFR 2 : Jka θ ( a = ( p... p ( p... p = ( q... q l ( q... q merupakan dua 1 k 1 n 1 1 m U-Decomposton pada non unt elemen θ ( a θ ( R maka m = n dan p ( R q θ untuk = 1,..., n setelah pengndeksan kembal pada q. Karena setap hasl kal dar elemen-elemen neo-rreducble dapat dnyatakan ke dalam suatu U-Decomposton, maka sfat dar UFR 1 ekuvalen dengan setap non unt elemen θ ( a d R dapat dnyatakan sebaga hasl kal elemen-elemen neo-rreducble d R.

26 39 Berkut akan durakan beberapa proposs yang merupakan contoh dar faktorsas tunggal rng terhadap suatu monomorfsma. Proposs 3.8 Msalkan p elemen prma d maka p merupakan suatu UFR terhadap θ : p p Bukt: pr pr,0., dengan θ ( = ( I. Pada bab sebelumnya telah dbuktkan bahwa p dengan operas bner pada Proposs 3.2 merupakan rng komutatf dengan elemen kesatuan ( 0,1, dan : p ( pr,0 θ a merupakan suatu monomorfsma dar p ke p. Selanjutnya akan dtunjukkan bahwa θ ( pr = ( pr, 0 deal d p. a Akan dtunjukkan terlebh dahulu bahwa θ ( p subrng dar p. θ ( p Karena merupakan suatu rng, maka suatu grup abelan akbatnya ada elemen nol, 0. Ambl r = 0 sehngga, (,0 (.0,0 ( 0,0 pr = p = p.. Ambl sembarang ( pr,0,( pr,0 θ ( p ( pr,0( pr,0 = ( pr. pr + 0. pr + 0. pr,0 = = ( pr. pr,0 ( p( pr1 r2,0 ( pr,0 θ ( p =

27 40 ( ( pr ( pr = pr + ( pr,0,0,0 ( pr pr = 1 2,0 ( p( r1 r2,0 = ( pr,0 θ ( p =. b Akan dtunjukkan bahwa θ ( p deal d p. Ambl sembarang ( pr θ ( p dan ( pr, r 1,0 2 3 ( pr,0( pr, r = ( pr. pr + r. pr + 0. pr,0 3 3 p = ( p( pr1 r2 + p( r3 r1,0 ( pr,0 θ ( p Karena p bersfat komutatf, maka =. ( pr r ( pr = ( pr ( pr r = ( pr θ ( p,,0,0,, II. Selanjutnya akan dtunjukkan bahwa p merupakan suatu UFR terhadap θ : p p.. Setap elemen tak unt ( pr,0 dapat dnyatakan sebaga U-Decomposton dar elemen neo-rreducble. Berdasarkan Proposs 3.5 faktor-faktor dar ( pr,0 adalah ( ρ m 1, ± 1, ( 0,σ, dan ( p,0 k ±. Msalkan pr = p r1... rl s1... s m merupakan faktorsas prma dengan r ± 1( mod p dan s 1( mod p maka ( = ( k ( m ± ( m ± ( ( pr,0 p,0 r 1, 1... r 1, , s... 0, s m. 1 l 1 γ / ±,

28 41. Untuk menunjukkan ketunggalan, msalkan elemen neo-rreducble pada { } U ( pr,0 dengan r 0 adalah ( ρ 1, ρ ±, jka (( ( ρ ( ( ( ( 1m 1, ± 1... ρ 1, 1,...,... 0, h m ± σ1 τ1 τ1 σ k τ k τ k ± p ρ ± ρ m n ( ± p,0 ( ± 2 p, m p l 1,.... Merupakan suatu U-Decomposton pada ( pr,0, maka dperoleh 1 h 1 l m ( ( ( pr = ρ... ρ σ... σ ± p ± p ± p dengan ρ ± 1( mod p dan σ ± 1( mod p k n, /. Karena h dan k tunggal, begtu juga dengan l + m + n. Sehngga UFR 2 terpenuh karena neorreducble pada bagan,, dan v pada Proposs 3.5 berkorespondens dengan h, k dan + m + n Jka 0 sebaga ( l dan merupakan ass ( p θ. r =. ( pr,0 = ( 0,0 maka U-Decomposton pada ( 0,0 dnyatakan ( ( = ( rreducble ( ± p m p( ± p 0,0 beberapa elemen dengan jumlah terbatas,,0. { } Sehngga, pada ( ± p, p( ± p,0 m setap pasangan elemen-elemen pada ( ± p, m p dan setap pasangan elemen-elemen pada ( p,0 ass ( ( p θ. ± merupakan Karena I dan II terpenuh maka p merupakan suatu UFR terhadap θ : p p.

29 42 Proposs 3.9 Msalkan n elemen bukan unt dan bukan prma d maka n bukan suatu UFR terhadap θ : n n Bukt: nr nr,0., dengan θ ( = ( Karena n merupakan suatu elemen bukan unt maka θ ( n = ( n,0 bukan unt. Karena n bukan prma maka n kompost, msalkan n = n1n 2 dengan < < sehngga ( n,0 ( n,0( n,0 1 n, n n dan n, n =. Akan dseldk bahwa ( n,0 elemen neo-rreducble. Msalkan ( y,0 n, ( y,0 ( n,0 ( y,0 ( n,0( n,0 =. Karena n1, n 2 faktor dar n dengan 1 < n1, n2 < n, maka n / n1 dan n / n2. Sehngga ( n,0 / ( n,0 dan ( n,0 / ( n,0. Akbatnya ( y,0 ( n,0 ( y,0 ( n,0 1 2 /, ( y,0 ( n,0 / ( y,0 ( n,0 dengan kata lan ( y,0 ( n,0 ( y,0 ( n,0 ( y,0 ( n,0 / ( y,0 ( n,0 sehngga (,0 2 setap faktorsas pada ( n,0 adalah ( n,0 2 / dan n bukan elemen neo-rreducble. Karena ± akbatnya UFR 1 tdak terpenuh. Jad, n bukan suatu UFR terhadap θ : n n. 1 1 B.3 Keterkatan antara UFR pada Rng Komutatf dengan Elemen Kesatuan dan UFR terhadap Suatu Monomorfsma Rng Berkut n akan durakan suatu lemma yang menjelaskan keterkatan antara elemen rreducble dengan elemen neo-rreducble pada suatu UFR. Serta

30 43 keterkatan elemen rreducble dengan elemen neo-rreducble pada suatu UFR terhadap 1: R R. Lemma tersebut merupakan penunjang untuk membuktkan bahwa suatu UFR ekuvalen dengan UFR terhadap 1: R R. Lemma 3.10 Msalkan R suatu rng komutatf dengan elemen kesatuan.. Jka R suatu UFR maka setap elemen rreducble d R merupakan elemen neo-rreducble.. Jka R merupakan suatu UFR terhadap 1: R Bukt: rreducble d R merupakan elemen neo-rreducble. R maka setap elemen. Msalkan R suatu UFR, akan dtunjukkan setap elemen rreducble d R merupakan elemen neo-rreducble. Ambl sembarang q R dengan q merupakan elemen rreducble. Sehngga q dapat dnyatakan sebaga q = a... 1 an, dengan a merupakan faktor dar q untuk 1 n. Msalkan y R berlaku yq = ya... 1 an...(1 Akan dtunjukkan bahwa yq ya untuk suatu, artnya ya yq dan yq ya.. Akan dtunjukkan ya yq. Untuk y R, y 0. Karena a merupakan faktor dar q untuk suatu, maka a q sehngga ya yq.

31 44 Untuk y R, y = 0. Karena a merupakan faktor dar q untuk suatu, maka a q untuk y = 0 dperoleh 0. a 0. q = 0 0 artnya 0 = 0. k, untuk setap k.. Akan dtunjukkan yq ya. a Jka y merupakan nol atau unt. Karena y = 0 dan yq = ya... 1 an maka 0q = 0 a1... a n = 0, sehngga dperoleh 0 0, untuk setap k. b Jka y bukan nol dan bukan unt. Karena y R dengan y bukan elemen nol dan bukan elemen unt maka y dapat dnyatakan sebaga dekomposs dar elemen-elemen rreducble, tuls y = y y s Karena q merupakan elemen rreducble. Msalkan q U ( y y 1... s akbatnya α R sehngga y1... ys = qα y1... ys, karena y = y... 1 ys maka dapat dtuls y = qα y dan a R, ( α ya yq a =. Dengan kata lan Msalkan q U ( y y 1... s yq ya., dalam hal n melbatkan U-Decomposton. Tuls kedua ss pada persamaaan (1 sebaga suatu U-Decomposton ( y... y ( y... y q ( y... p...( y... p... t 1 s 1 t j j + =, dengan p merupakan faktor rreducble dar elemen- elemen a. Karena R suatu UFR, maka q y atau q p.

32 45 Msalkan q p, maka p = qβ dan a = qβ ' sehngga ya = yqβ ', dengan kata lan yq ya. Msalkan q y, dalam hal n dbag dalam dua kasus. +, maka y U ( y y q Untuk t 1 s 1... t akbatnya γ R sehngga dperoleh y1... ytq = yγ y1... ytq. Karena q y maka y = qδ dan y... y y = y... y y γδ q 1 t 1 t Sehngga, ya yq ( γδ a Untuk 1 t y = yγδ q. = dengan kata lan yq ya., maka ( y... y ( y... y... y q ( y... p...( y... p... t+ 1 s 1 t = j j y yang kedua dapat dpasangkan dengan q yang assocate dengan suatu y k, dan proses dulang. Sehngga dperoleh q merupakan elemen neorreducble.. Msalkan R suatu UFR terhadap 1: R R, akan dtunjukkan bahwa setap elemen rreducble d R merupakan elemen neo-rreducble. Ambl sembarang q R dengan q merupakan elemen rreducble. sehngga q dapat dnyatakan sebaga q = a... 1 an, dengan a merupakan faktor dar q untuk 1 n. Msalkan y R berlaku yq = ya... 1 an...( 2 Akan dtunjukkan bahwa yq ya untuk suatu, artnya ya yq dan yq ya.

33 46. Akan dtunjukkan ya yq. Untuk y R dan y 0. Karena a merupakan faktor dar q untuk suatu, maka a q sehngga ya yq. Untuk y R dan y = 0. Karena a merupakan faktor dar q untuk suatu, maka a q untuk y = 0 dperoleh 0. a 0. q = 0 0 artnya 0 = 0. k untuk setap k.. Akan dtunjukkan yq ya Msalkan y... y. q... q y... y. p... 1 s 1 k j s =...( 3 Merupakan hasl kal dar elemen neo-rreducble pada UFR terhadap 1: R R, dengan p merupakan faktor neo-rreducble pada a. Karena q rreducble d R maka q1 Msalkan q U ( y y = qσ, dan q... q k U ( q s maka α R sehngga y1... ys = q1α y1... ys, karena y... 1 ys = y maka y = q1α y = yqσα dan ya = yq ( σαa. Dengan kata lan yq ya. Msalkan q U ( y y s maka U-Decomposton akan berbentuk ( y... y q... q ( y... y... y q ( y... p...( y... p... t+ 1 s 2 k 1 t 1 = j j untuk proses pembuktan selanjutnya, sama sepert pada proses pembuktan sebelumnya pada bagan. Jad, dperoleh bahwa q merupakan elemen neo-rreducble.

34 47 Teorema 3.11 Msalkan R merupakan rng komutatf dengan elemen kesatuan, R suatu UFR jka dan hanya jka R merupakan suatu UFR terhadap 1: R Bukt: ( Jka R suatu UFR maka R suatu UFR terhadap 1: R R. R.. Msalkan R suatu UFR, maka setap elemen bukan unt pada R dapat dnyatakan sebaga U-Decomposton dar elemen-elemen rreducble. Karena setap elemen rreducble pada R merupakan elemen neo-rreducble (berdasarkan Lemma 3.10 maka elemen bukan unt pada R dapat dnyatakan sebaga U-Decomposton dar elemen neo-rreducble.. Msalkan ( p... p ( p... p ( q... q ( q... q = l dua U-Decomposton dar 1 k 1 n 1 1 m elemen-elemen neo-rreducble, maka berdasarkan Lemma 3.10 dperoleh U- Decomposton dar elemen-elemen rreducble. Karena R suatu UFR, maka setelah pengndeksan kembal p q untuk, dengan = 1... n, dan karena R R maka dperoleh p q adalah ass( R. Karena dan terpenuh maka R suatu UFR terhadap 1: R R. ( Jka R suatu UFR terhadap 1: R R maka R suatu UFR.. Msalkan R suatu UFR terhadap 1: R R, maka setap elemen bukan unt pada R dapat dnyatakan sebaga U-Decomposton dar elemen-elemen neorreducble. Karena setap elemen neo-rreducble pada R merupakan elemen rreducble (berdasarkan Lemma 3.10 maka elemen bukan unt pada R dapat dnyatakan sebaga U-Decomposton dar elemen-elemen rreducble.

35 48. Msalkan ( p... p ( p... p ( q... q ( q... q = l dua U-Decomposton dar 1 k 1 n 1 1 m elemen-elemen rreducble, maka berdasarkan Lemma 3.10 dperoleh U- Decomposton dar elemen-elemen neo-rreducble. Karena R suatu UFR terhadap 1: R R, maka setelah pengndeksan kembal p q untuk suatu, dengan = 1... n. Karena dan terpenuh maka R suatu UFR.