81 Bab 6 Ruang Hasilkali Dalam

Transkripsi

1 8 Bab Rang Haslkal Dalam Bab RUANG HASIL KALI DALAM Rang hasl kal dalam merpakan rang ektor yang dlengkap dengan operas hasl kal dalam. Sepert halnya rang ektor rang haslkal dalam bermanfaat dalam beberapa metode optmas sepert metode least sqare dalam pemnmman error dalam berbaga bdang rekayasa. 5. HASIL KALI DALAM Msalnya V adalah sat rang ektor dan V maka notas < dnamakan hasl kal dalam jka memenh keempat aksoma sebaga berkt: () < < (Smetrs) () < < < (Adttas) () ntk sat k R berlak < k < k k < (Homogentas) () < ntk setap dan < (Postftas) Rang ektor yang dlengkap dengan hasl kal dalam dnamakan rang haslkal dalam (RHD). Jka V merpakan sat rang hasl kal dalam maka norm (panjang) sebah ektor dnyatakan oleh yang ddefnskan oleh : Contoh. : < Rang Hasl Kal Dalam Eldes ( R n )

2 8 Bab Rang Haslkal Dalam Msalkan R n maka maka < (.. n ) / <... n n Contoh. : Jaab : Msalnya W R yang dlengkap dengan operas hasl kal berbentk : < W Bktkan baha W adalah rang haslkal dalam ( RHD). Msalnya W () < < (terbkt smetrs) () < < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < < (terbkt adttas) () ntk sat k R < k <(k k k ) ( ) k k k k. k k. k < < k <(k k k ) ( ) k k k k k k < k (terbkt homogentas) () <

3 Aljabar Lnear Elementer Adjaya 8 Contoh.: Jelas baha < ntk setap dan < terbkt memenh sfat postftas. Tnjkan baha < merpakan hasl kal dalam bkan Jaab : Msalkan ( ) W Perhatkan < Jelas baha saat : maka < < In mennjkan tdak memenh sfat postftas Jad < bkan merpakan hasl kal dalam. Contoh.4 : Jaab : Dketah < ad f dmana (a b ) dan (d e f) Apakah < merpakan hasl kal dalam?. Sfat Smetrs < ad f da f <.(terpenh). Sfat Adttas Msalkan ( g h ) < <( a d b e f ) ( g h ) ( a d )g ( f ) (ag ) (dg f ) < <..(terpenh)

4 84 Bab Rang Haslkal Dalam. Sfat Homogentas <k ( kad kf) k (ad f) k <.. (terpenh) 4. Sfat Posttas < ( a ) Tetap ada sedemkan hngga < Karena saat ( ) dperoleh <. Aksoma terakhr tdak terpenh. Jad < ad f bkan merpakan hasl kal dalam. 5. HIMPUNAN ORTONORMAL DAN PROSES GRAMM- SCHMIDT Sebah hmpnan ektor pada rang hasl kal dalam dnamakan hmpnan ortogonal jka sema pasangan etor yang berbeda dalam hmpnan tersebt adalah orthogonal (salng tegak lrs). Sebah hmpnan orthogonal yang setap ektornya memlk panjang (normnya) sat dnamakan hmpnan ortonormal. Agar lebh memdahkan dalam pemahaman msalkan T {... n} pada sat RHD.. T dkatakan hmpnan ektor ortogonal jka : Sema ektor ddalam T yat < j Untk setap j j n. T dkatakan hmpnan ortonormal jka : T merpakan hmpnan ortogonal dan ntk setap T maka (setap ektor d T merpakan ektor satan) Contoh.5 :. - A Pada RHD Eldes A bkan hmpnan ortogonal.

5 Aljabar Lnear Elementer Adjaya 85. B - Pada RHD Eldes B merpakan hmpnan ortonormal. Msal S { d d K } d n merpakan bass bag sat RHD V dan merpakan hmpnan ortonormal maka S dnamakan Bass Ortonormal. Jka S {... n}adalah bass ortonormal ntk rang hasl kal dalam V dan adalah sembarang ektor d rang ektor V maka : k k... k (.) n n Perhatkan baha ntk sat n maka berlak : < < k k... knn Dengan menggnakan sfat adtftas dan homogentas haslkal dalam maka < k < k <... k <... kn < n Karena S merpakan hmpnan ortonormal yat < ntk setap dan < j ntk setap j Jad ntk setap berlak < k Sehngga kombnas lnear (.) dapat dtls dalam bentk : < <... < n n Contoh. : Tentkan kombnas lnear ektor a pada RHD Eldes berpa bdang yang dbangn oleh

6 8 Bab Rang Haslkal Dalam Jaab : dan Terlhat baha ektor pembangn bdang merpakan bass ortonormal bag bdang tersebt sehngga kombnas lnear dapat dtls menjad : a < a < a a a Msal S { K } n merpakan bass bag sat RHD V dan bkan merpakan hmpnan Ortonormal maka S dapat dtransformas menjad Bass Ortonormal dengan sat proses yang dnamakan proses Gramm-Shmdt. Msal B {... n} merpakan bass ortonormal hasl proses Gramm-Shmdt dar bass S.. Msalkan merpakan perbahan dar ektor maka dmana.. Msal adalah hasl perbahan dar. Agar dapat memaham lebh jah berkt adalah lstras pembentkan ektor Vektor dproyekskan pada pada ektor terlhat pada gambar baha hasl proyeks berpa ektor p. Selanjtnya ambl komponen yang tegak lrs terhadap yat q. Sehngga dperoleh yat ektor yang searah dengan q dan normnya sama dengan sat.

7 Aljabar Lnear Elementer Adjaya 87 Berkt n adalah lstras perhtngan nla ektor yang ada pada gambar datas : q p Gambar. Ilstras gram Shmdt d Bdang p merpakan proyeks ektor terhadap (ektor ortonormal) sehngga : < p proy < Karena q merpakan komponen yang tegak lrs terhadap maka q p Akhrnya dperoleh ektor yat : q q ata < <

8 88 Bab Rang Haslkal Dalam. Msalkan adalah hasl perbahan dar. Agar dapat memaham lebh jah berkt adalah lstras pembentkan ektor adalah sebaga berkt : q p W Gambar. Ilstras gram Shmdt d Rang Vektor dproyekskan pada pada bdang W span( ) artnya W dbangn oleh da ektor yang ortonormal. Terlhat pada gambar baha hasl proyeks berpa ektor p. Ambl komponen yang tegak lrs terhadap bdang W yat q. Selanjtnya dperoleh yat ektor yang searah dengan q dan normnya sama dengan sat. Berkt n adalah lstras perhtngan nla ektor yang ada pada gambar datas : p merpakan proyeks ektor terhadap bdang W yang dbangn oleh da ektor ortonormal dan sehngga : p proyw < < Karena q merpakan komponen yang tegak lrs terhadap W maka

9 Aljabar Lnear Elementer Adjaya 89 p q Akhrnya dperoleh ektor yat q q ata < < < < Seara mm proses Gramm Shmdt ntk mentransformas bass { n S K } pada sat RHD V menjad bass ortonormal { } n B < < < < ntk setap n. Contoh.7 : Dketah R merpakan rang ektor dengan hasl kal dalam Eldes. Msalkan B merpakan bass pada rang ektor tersebt. Dengan proses Gram Shmdt transformaskan bass tersebt menjad bass Ortonormal! Jaab : Langkah.

10 9 Bab Rang Haslkal Dalam Langkah. proy proy Sementara t proy Karena t proy sehngga : Langkah. proy proy W W dmana W merpakan bdang yang dbangn oleh dan.

11 Aljabar Lnear Elementer Adjaya 9 proy W sehngga : Dengan demkan { } merpakan bass ortonormal ntk rang ektor R dengan hasl kal dalam Eldes. Contoh.8 : Dketah bdang yang dbangn oleh merpakan sbrang dar RHD Eldes R. Tentkan proyeks orthogonal dar ektor pada bdang tersebt.

12 9 Bab Rang Haslkal Dalam Jaab : Dketah membangn sbrang pada RHD tersebt. Jelas baha { } merpakan bass bag sbrang pada RHD tersebt karena dan salng bebas lnear (terlhat baha a tdak salng berkelpatan). Bass tersebt akan dtransformaskan menjad bass ortonormal. () () Perhatkan baha :

13 Aljabar Lnear Elementer Adjaya 9 < Sehngga: () Jad Bass Orthonormal bag bdang tersebt adalah :

14 94 Bab Rang Haslkal Dalam Proyeks Orthogonal Vektor pada bdang adalah: oy W Pr Perhatkan baha : < Sehngga < < 4 Dengan demkan oy W Pr 4

15 Aljabar Lnear Elementer Adjaya 95 Lathan Bab. Perksa apakah operas berkt merpakan hasl kal dalam a. < d R b. < d R. < d R. Tentkan nla k sehngga ektor (k k ) dan ektor (k 5 ) adalah orthogonal dalam rang Eldes!. Dketah { } bass bag R dengan hasl kal dalam Eldes. Gnakan proses Gram Shmdt ntk mentransformaskan bass tersebt menjad bass ortonormal! 4. W merpakan sbrang rang haslkal dalam eldes d R yang dbangn oleh dan. Tentkan proyeks orthogonal pada W!