UJI PRIMALITAS. Sangadji *

Transkripsi

1 UJI PRIMALITAS Sangadj * ABSTRAK UJI PRIMALITAS. Makalah n membahas dan membuktkan tga teorema untuk testng prmaltas, yatu teorema Lucas, teorema Lucas yang dsempurnakan dan teorema Pocklngton. D sampng tu, makalah n juga membahas satu contoh aplkas untuk dsesuakan oleh tga teorema tersebut, sehngga dapat menunjukkan efsens relatf dar ketga teorema. ABSTRACT PRIMALITY TESTING. Ths paper dscusses and proves three theorems for prmalty testng,.e. Lucas theorem, mproved Lucas theorem, and Pocklngton s theorem. Besdes, ths paper also dscusses one example to be solved by the tree theorems, and thereby showng the relatve effcences of the three theorems. PENDAHULUAN Blangan bulat postf n > dsebut kompost bla terdapat faktorsas n = ab dengan a dan b blangan bulat postf dengan a < n & b < n. Bla tdak demkan blangan n tersebut dsebut prma. Sesua dengan namanya, blangan-blangan prma berperan sangat pentng dan fundamental dalam Teor Blangan. Perlu dketahu bahwa terdapat tak berhngga banyak blangan-blangan prma. Bukt dar pernyataan atau teorema n dapat dperoleh dalam buku-buku teks Teor Blangan. Dalam Teorema Fundamental Artmetk a dnyatakan bahwa setap blangan alam yang lebh besar dar adalah produk dar blangan-blangan prma dengan penyajan atau penulsan yang tunggal, terlepas dar urutan faktor-faktornya. D sn kta tdak membuktkan Teorema Fundamental Artmetka tersebut. Bukt dar teorema n juga dapat dperoleh dalam buku-buku teks Teor Blangan. Uj prmaltas adalah suatu ujan untuk menentukan apakah sebarang blangan alam yang lebh besar dar satu yang dberkan adalah blangan prma atau bukan. Uj prmaltas adalah salah satu masalah yang sangat pentng dalam konsep blangan. * Pusat Pengembangan Teknolog Informas dan Komputas - BATAN

2 Metode klask yang cukup dkenal adalah Eratosthenes yang dkenal dengan nama Seve of Eratosthenes. Metode tersebut berdasar pada ujan apakah ada blangan bulat mula 2 sampa dengan [ n ] yang merupakan faktor dar n, d mana [ n ] adalah blangan bulat terbesar yang lebh kecl atau sama dengan n. Bla blangan tersebut dapat dtemukan, maka n adalah blangan kompost atau bukan prma. Bla tdak demkan maka blangan tersebut adalah blangan prma. Kelemahan dar metoda tersebut adalah bahwa, meskpun dlakukan oleh komputer yang canggh, metode tersebut tdak prakts dan banyak memerlukan waktu. Bukt dar metode Eratosthenes dapat dperoleh dalam sebagan besar buku-buku teks tentang Teor Blangan. Dalam makalah n dbahas tga teorema untuk uj prmaltas, yatu teorema Lucas, teorema Lucas yang dsempurnakan dan teorema Pocklngton. Sebaga pelengkap dbahas juga satu contoh aplkas dar tga teorema tersebut. UJI PRIMALITAS Sebelum kta membahas dan membuktkan tga teorema d muka, terlebh dulu kta perkenalkan beberapa defns dan termnolog yang dperlukan. Blangan bulat x congruent dengan blangan bulat y modulo n dengan n blangan bulat postf, dtuls x y (mod n), bla x-y pembag dar n, dtuls x y n. Bla blangan-blangan bulat x dan y yang keduanya bukan blangan nol mempunya sfat bahwagcd( x, y) =, maka x dan y dsebut prma relatf. Untuk setap blangan bulat postf n, fungs ϕ(n) menyatakan banyaknya blangan alam yang lebh kecl atau sama dengan n yang prma relatf terhadap n. Fungs ϕ (n) n dsebut fungs ph Euler. Jelas bahwa untuk blangan prma p, maka ϕ ( p) = p. Msalkan n blangan bulat dengan n >. Msalkan juga blangan bulat a dan n keduanya prma relatf. Yang dmaksud dengan order dar a modulo n adalah blangan alam terkecl k sedemkan sehngga a k (mod n). D bawah n berturut-turut dbahas dan dbuktkan tga teorema, yatu teorema Lucas, teorema Lucas yang dsempurnakan dan teorema Pocklngton.

3 TEOREMA (LUCAS) Bla terdapat blangan bulat a sedemkan sehngga a n (mod n) ( n ) / p a (mod n) adalah blangan prma. dan untuk semua blangan prma p yang membag n, maka n BUKTI Msalkan a punya order k modulo n. Berdasarkan Teorema 8. pada Daftar Pustaka, konds a n (mod n) menghaslkan k n. Sehngga terdapat blangan bulat j sedemkan sehngga n = k j. Bla j > maka j akan mempunya pembag prma q. Jad terdapat blangan bulat h yang memenuh j = qh. Sebaga hasl dperoleh k h h ( a ) = (mod n) ( n ) / q a = yang kontradks dengan hpotess d atas. Jad dperoleh j = karena j adalah blangan bulat postf. Mengngat order dar a tdak melampau ϕ (n), maka n = k ϕ ( n) n yang berakbat ϕ( n) = n. Dar hasl terakhr n dapat dsmpulkan bahwa n adalah blangan prma. TEOREMA 2 (PENYEMPURNAAN DARI TEOREMA ) Bla untuk setap blangan prma p yang membag n terdapat blangan ( n ) / p bulat a sedemkan sehngga a n (mod n) tetap a (mod n), maka n adalah blangan prma. BUKTI k 2 Msalkan bahwa k k n = p r p2 L pr, d mana para p adalah blanganblangan prma yang berlanan. Msalkan juga h adalah order dar a modulo n.

4 Menggunakan fakta bahwa h n dan h tdak membag ( n ) / p dapat k dperoleh hasl bahwa p h. Sehngga untuk setap dperoleh h ϕ ( n) dan ddapat p k ϕ ( n). Jad n ϕ( n) dengan n blangan prma. TEOREMA 3 (POCKLINGTON) k k2 s Msalkan n = mj, d mana m = p p p k 2 L s, m n dan gcd( m, j) =. Bla untuk setap blangan prma, s terdapat blangan bulat a dengan a n ( n )/ (mod n) dan gcd( a p, n) =, maka n adalah blangan prma. BUKTI Msalkan p sebarang pembag prma dar n. Msalkan juga h adalah order dar a modulo p. Maka dperoleh h p. Mengngat bahwa (mod p) dperoleh ( n / juga h n. Dar hpotess gcd( a, ) ) p n = yang berakbat bahwa a (mod p), menghaslkan fakta bahwa tdaklah benar h ( n ) / p. Jad ( n ) / p p a n k dapat dsmpulkan bahwa p h sehngga dperoleh p k p. Karena n berlaku untuk setap maka m p. Mengngat bahwa setap pembag prma dar n harus lebh besar dar prma. m n maka tmbul suatu kontradks, sehngga n adalah blangan CONTOH PENGGUNAAN D bawah n dberkan contoh penggunaan dar uj prmaltas, berturut-turut sebaga aplkas dar Teorema, Teorema 2 dan Teorema 3 d atas. Contoh Menggunakan uj prmaltas dar Teorema, akan dseldk apakah 997 prma atau kompost.

5 Solus Dengan mengambl n = 997 dan bass a = 7, maka ddapat (mod 997). Karena n = 996 = , kta lakukan komputas berkut / 2 996/ 3 = 7 = 7 (mod 997), 304(mod 997), 996/ = 7 9(mod 997). Menggunakan Teorema d atas, dapat dsmpulkan bahwa 997 adalah blangan prma Contoh 2 Untuk membandngkan dua uj prmaltas dar dua teorema d atas, akan dseldk juga apakah 997 prma atau kompost menggunakan Teorema 2. Solus Ambl n = 997. Mengngat pembag-pembag prma dar n = 996 adalah 2, 3 dan 83, maka dengan bass-bass 3, 5 dan 7 dperoleh 996/ = 3 40(mod 997), 3 996/ 2 = 5 (mod 997), 996/ = 7 304(mod 997). Menggunakan Teorema 2 d atas, juga dapat dsmpulkan bahwa 997 adalah blangan prma. 498 Contoh 3 Menggunakan uj prmaltas dar Teorema 3, akan dseldk juga apakah 997 prma atau kompost. Solus Mengngat n = 996 = 2 83, d mana 83 > 997, maka dperlukan pemlhan bass yang sesua untuk 83, msalkan 2. Mengngat (mod 997) dan 996/ 83 gcd(2,997) = gcd(4095,997) =, dengan Teorema 3 d atas dapat dsmpulkan bahwa 997 juga prma.

6 KESIMPULAN Dar tga uj prmaltas d atas yang dnyatakan oleh Teorema, Teorema 2 dan Teorema 3, maka dapat dsmpulkan bahwa ketganya lebh bak dar metode Seve of Eratosthenes. Uj prmaltas dar Teorema 2 lebh bak dar uj prmaltas dar Teorema, sedangkan uj prmaltas dar Teorema 3 lebh bak dar dua uj prmaltas dar dua teorema sebelumnya. DAFTAR PUSTAKA. BURTON, DAVID M., Elementary Number Theory, Ffth Edton, McGraw-Hll Hgher Educaton, McGraw-Hll Company, New York (2002) 2. FLATH, DANIEL E., Introducton to Number Theory, John Wley & Sons Inc., New York (989) 3. NIVEN, I., ZUCKERMAN, H., and MONTGOMERY, H., An Introducton to the Theory of Numbers, Ffth Edton, John Wley & Sons Inc., New York (99)