SOLUSI TERBESAR PERTIDAKSAMAAN A O KROSS X KURANG DARI X DARI B O DOT X MENGGUNAKAN RESIDUASI MATRIKS ATAS SEMIRING IDEMPOTEN

Transkripsi

1 J Sans Dasar (1) SOLUSI TRBSR PRTIDKSMN O KROSS X KURNG DRI X DRI B O DOT X MNGGUNKN RSIDUSI MTRIKS TS SMIRING IDMPOTN TH BST SOLUTION OR INQULITIS O O CROSS X LOWR THN X ROM B O DOT X USING HIGH MTRIX RSIDUTION O IDMPOTNT SMIRING ka Suslowat,1 dan r Suparwanto 2 1 Jurusan Matematka, Unverstas PGRI duana, Suraaya 2 Jurusan Matematka, akultas MIP, Unverstas Gadjah Mada, Yogyakarta emal: ekasuslowat@malugmacd Dterma 4 Desemer 2015 dsetuju 4 Maret 2016 strak Semrng dempoten lengkap mempunya struktur yang sama dengan lattce lengkap Karena struk-tur yang sama dengan lattce lengkap, maka pertdaksamaan atas semrng dempoten lengkap dapat dperoleh solusnya melalu teor resduas Salah satu pertdaksamaan yang dahas adalah pertdaksamaan X B dmana matrk,x,b dengan entr - entrnya elemen dar semrng dempoten lengkap S Leh lanjut, dperkenalkan dual produk, yatu merupakan operas ner yang dlengkapkan dalam semrng dempoten lengkap S dan ukan termasuk dalam de ns standar semrng dempoten lengkap Solus pertdaksamaan X B dapat dperoleh dengan menggu-nakan teor resduas Karena adanya jamnan ahwa untuk setap pemetaan soton pada lattce lengkap selalu mempunya fxed pont, maka hal terseut juga terjamn dalam semrng dempoten lengkap Dengan demkan, karakterstk n yang dgunakan untuk dapat memperoleh solus teresar X X B X Kata kunc: dual Kleene Star, dual produk, lattce lengkap, semrng dempoten lengkap, teor resduas stract complete dempotent semrng has a structure whch s called a complete lattce Because of the same structure as the complete lattce then nequalty of the complete dempotent semrng can e solved a soluton y usng resduaton theory One of the nequalty whch s explaned s X B where matrces,x,b wth entres n the complete dempotent semrng S urthermore, ntroduced dual product, e nary operaton endowed n a complete dempotent semrngs S and not ncluded n the standard defnton of complete dempotent semrngs soluton of nequalty X B can e solved y usng resduaton theory Because of the guarantee that for each sotone mappng n complete lattce always has a fxed pont, then s also exst n a complete dempotent semrngs Ths of the characterstcs s used n order to otan the greatest soluton of nequalty X X B X Keywords: complete lattce, complete dempotent semrng, dual Kleene Star, dual product, resduaton theory Pendahuluan Semrng dempoten S merupakan se-mrng yang operas penjumlahan yang ersfat dempoten Operas penjumlahan dan pergandaan memlk elemen netral yang dnotaskan dan e Semrng dempoten dkatakan lengkap jka jumlahan tak hngga elemennya tertutup dan operas pergandaan ersfat dstrutf terhadap jumlahan tak hngga [1]

2 41 ka dkk/ J Sans Dasar (1) Dengan adanya sfat dempoten terhadap penjumlahannya, semrng dempoten dapat dlengkap dengan relas urutan yang dnotaskan Semrng dempoten lengkap mempunya struktur yang sama dengan lattce lengkap Karena struktur yang sama dengan lattce lengkap, maka pertdaksamaan atas semrng dempoten lengkap dapat dperoleh solusnya melalu teor resduas Selan dalam skalar, konsep resduas juga dapat dterapkan untuk persamaan semrng dempoten matrk Salah satu persamaan yang dahas adalah pertdak-samaan X B dengan, X, B matrk dengan entr - entrnya elemen dar semrng dempoten lengkap S Solus teresar pertdaksamaan X B dapat dperoleh dengan menggunakan teor resduas walnya, Baccell (1992) menelt agamana solus teresar dar pertdaksamaan X B dengan S n n dan X S n 1 Kemudan, peneltan dlanjutkan mengena solus teresar dar pertdaksamaan X B dengan S n n dan X S n n Selanjutnya, dtelt agamana solus teresar dar pertdaksamaan X B, apala ukuran semrng dempotent matrks duah menjad S n p dan X S p m Sepert yang telah dketahu, semrng dempoten lengkap memlk sfat operas pergandaan dstrutf terhadap penjumlahan Secara umum, dalam se-mrng dempoten lengkap, sfat operas dstrutf terhadap tdak terpenuh, karena hanya erlaku ahwa a ( c) (a ) (a c) Sfat dstrutf terhadap dalam semrng dempoten lengkap dapat terpenuh apala derkan syarat cukup, yatu elemen a mempunya nvers, maka a ( c) = (a ) (a c) Dengan adanya konds terseut, maka dapat ddefnskan suatu operas aru yang memlk sfat operas pergandaannya dstrutf terhadap Hardoun memperkenalkan dualty dar operas pergandaan yatu dual produk yang memlk sfat operas dstrutf terhadap Selan dual produk pada semrng dempoten, derkan juga dual produk pada semrng dempoten matrk yang dnotaskan X, ddefnskan operas X a x dengan k1,2,, n k kj j merupakan atas awah teresar Selanjutnya, mengena persamaan fxed pont dalam lattce lengkap juga dapat dterapkan dalam semrng dempoten lengkap pala derkan semrng dempoten lengkap S dan pemetaan soton f : S S maka dapat dhmpun hmpunan tak kosong x S f x x Karena adanya relas urutan pada S, maka dapat pula dhmpun hmpunan tak kosong x S f x x dan x S f x x Dalam kasus matrk, juga dapat dhmpun hmpunan tak kosong nm X S f X X, nm X S f X X dan nm X S f X X dengan f pemetaan soton pala seelumnya dtelt mengena solus pertdaksamaan X B dengan mendefnskan pemetaan soton L : X X maka dengan sfat soton pemetaan L, dapat dhmpun nm hmpunan tak kosong X S L X X dan hmpunan tak kosong nm X S L X X Peneltan dlanjutkan tentang agamana solus terkecl dar pertdaksamaan X B dengan mendefnskan pemetaan soton : X X maka dengan sfat soton pada pemetaan dapat dhmpun hmpunan tak nm kosong X S X X dan hmpunan X S X X Dengan nm tak kosong terjamnnya adanya X yang memenuh pertdaksamaan L X X dan X X serta adanya karakterstk X X X \ X X X X \ X dan X B X X B X X B X X B X, maka penuls dapat menelt agamana karakterstk solus X yang memenuh pertdaksamaan X X B X Metode Peneltan Pertama, dpelajar mengena teor semrng terutama pada pengertan dan sfat dar semrng dempoten lengkap S Kemudan dtelt apakah ada huungan antara semrng dempoten lengkap dan lattce lengkap Setelah dketahu ternyata kesamaan struktur antara semrng dempoten lengkap dan lattce lengkap, dpaham teor resduas yang erlaku dalam lattce lengkap, khususnya defns pemetaan lower semcontnuous dan pemetaan upper-semcontnuous, defns dan sfat pemetaan resduas dan dual pemetaan resduas Karena adanya kesamaan struktur antara semrng dempoten lengkap dan lattce lengkap, maka erdasarkan defns pemetaan lower sem-contnuous dan pemetaan

3 ka dkk/ J Sans Dasar (1) upper-semcontnuous yang erlaku dalam lattce lengkap, juga dapat ddefnskan dalam semrng dempoten lengkap Begtupula dengan sfat - sfat pemetaan resduas dan dual pemetaan resduas erlaku dalam semrng dempoten lengkap Dengan demkan, teor resduas dapat dgunakan untuk memperoleh solus teresar dar pertdaksamaan X B dan solus terkecl dar pertdaksamaan X B dengan matrks, B, X atas semrng dempoten lengkap Selanjutnya, ddefnskan pemetaan closure dan sfatnya dgunakan untuk memperoleh solus terkecl pertdaksamaan X B Peneltan kemudan dlanjutkan mencar solus teresar dar pertdaksamaan X B dengan menggunakan sfat sfat dar pemetaan resduas Pertama dtelt terleh dahulu teresar dar pertdaksamaan n n X B dmana matrks S n 1 dan X S Selanjutnya, dtelt solus teresar dar pertdaksamaan X B dmana matrks n n S n n dan X S dan solus teresar dar pertdaksamaan X B dmana matrks X Kemudan dtnjau mengena operas pergandaan yang dlengkapkan dalam semrng dempoten Karena sfat dstrutf operas pergandaan terhadap operas, maka ddefnskan operas aru yang dnamakan dual produk pada suatu semrng dan dual produk pada matrks atas semrng Peneltan dlanjutkan n p S dan p m S mengena solus terkecl pertdaksamaan X B dengan mementuk dual pemetaan resduas X X Setelah tu, duktkan mengena karakterstk solus dar pertdaksamaan X X B X Dalam memahas mengena karakterstk solus dar pertdaksamaan X X B X, dperlukan pemahaman mengena persamaan dan pertdaksamaan fxed pont, maka dtnjau terleh dahulu defns dan sfat dar persamaan dan pertdaksamaan fxed pont Dalam jurnal yang dahas Hardoun dan Ouergh memahas mengena solus teresar dar pertdaksamaan X X B X dan X G namun dsyaratkan matrks B entr - entrnya dalam grup retculated Hal n dkarenakan adanya sfat dstrutf operas pergandaan terhadap operas yang terjamn dalam grup retculated Namun, dalam tess n telah ddefnskan operas dual produk yang memlk sfat dstrutf terhadap operas, maka syarat matrk B yang entr - entrnya dalam grup retculated dapat dperlemah menjad matrk yang entr - entrnya semrng dempoten lengkap Sehngga memunculkan teorema aru akat perlemahan syarat entr - entr matrk pada pertdaksamaan X X B X Teor Teor Resduas Resduas ertujuan untuk mencar solus tunggal persamaan f () x dengan menggunakan proses nvers ("nvertng") pemetaan soton f dar semrng dempoten lengkap C ke semrng dempoten lengkap D 1 f tdak surjektf f () x tdak mempunya solus untuk suatu nla 2 f tdak njektf f () x mempunya solus tdak tunggal Solus f () x merupakan susolus f () x, yatu nla x yang memenuh f () x dan supersolus f () x, yatu nla x yang memenuh f () x Berkut n merupakan langkah - langkah yang dgunakan dalam mencar susolus f () x : 1 Hmpunan susolus tdak kosong 2 Plh atas atas dar hmpunan susolus 3 Jka atas atasnya ada, maka perlu dcek apakah atas atas terseut merupakan susolus f () x Dengan kata lan, hmpunan agan susolus f () x memuat elemen maksmum, yang selanjutnya dnotaskan f () sehngga dapat dperoleh f ( ) x dan f ( f ( )) { x f ( x) } 4 Setelah memperoleh elemen maksmum dar hmpunan agan susolusnya, dapat dcek apakah elemen maksmumnya, dalam hal n f (), memenuh persamaan f () x Jka ya, maka f () merupakan solus persamaan f () x Selan dengan mencar susolus f () x, dalam mencar solus f () x dapat juga dengan mencar supersolus f () x, yatu nla x yang memenuh f () x dengan langkah - langkah seaga erkut : 1 Jka hmpunan agan supersolus tdak kosong, maka dapat dplh atas awah dar hmpunan supersolus f () x 2 Jka atas awahnya ada, maka perlu dcek

4 43 ka dkk/ J Sans Dasar (1) apakah atas awah terseut merupakan supersolus f () x Dengan kata lan, hmpunan agan supersolus f () x memuat elemen mnmum, yang selanjutnya dnotaskan f () sehngga dapat dperoleh f ( ) x dan f ( f ( )) { x f ( x) } 3 Setelah memperoleh elemen mnmum dar hmpunan agan supersolusnya, dapat dcek apakah elemen mnmumnya, dalam hal n f (), memenuh persamaan f () x 4 Jka ya, maka f () merupakan solus persamaan f () x Defns 31 Derkan hmpunan teru-rut D dan dan relas urutan Pemetaan yang mengawetkan urutan f:d dkatakan pemetaan resduas jka untuk setap y, atas atas terkecl dar hmpunan agan xd f x y ada dan merupakan anggota dar hmpunan agan terseut(elemen maksmumnya ada), elemen maksmumnya dnotaskan f y lemen x yang memenuh persamaan f x susolus persamaan f(x) = y y dnamakan Defns 32 Pemetaan g dkatakan dual pemetaan resduas jka untuk setap y, atas awah teresar dar hmpunan agan xd g x y ada dan merupakan anggota dar hmpunan agan terseut(elemen mnmumnya ada), elemen mnmumnya dnotaskan g (y) lemen x yang g x y dnamakan memenuh persamaan supersolus persamaan g x y Teorema 33 Jka derkan pemetaan soton f : dengan, adalah semrng dempoten lengkap, elemen ottom dar dnotaskan, elemen top dar dnotaskan maka pernyataan erkut ekuvalen : 1 Pemetaan f merupakan pemetaan resduas f f x f x 2 dan xx xx untuk setap X ( yatu f merupakan lower semcontnuous) f y f y f dan 3 yy untuk setap Y ( yatu upper semcontnuous) yy f merupakan Teorema 34 Jka derkan pemetaan soton g : dengan, adalah semrng dempoten lengkap, elemen ottom dar dnotaskan, elemen top dar dnotaskan maka pernyataan erkut ekuvalen : 1 Pemetaan g merupakan dual pemetaan resduas g T g x g x 2 dan xx xx untuk setap X ( yatu g merupakan upper semcontnuous) g g y g y 3 dan yy untuk setap Y ( yatu lower semcontnuous) Pemetaan Closure yy g merupakan Dalam agan n, durakan mengena pemetaan closure dan huungannya dengan pemetaan resduas dan dual pemetaan resduas Defns 35 Derkan semrng dem-poten S dan pemetaan soton h : S S Jka h h h IdS maka h merupakan pemetaan closure Jka h h h Id S maka h merupakan dual pemetaan closure Teorema 36 Derkan semrng S Jka pemetaan h : S S merupakan pemetaan resduas, maka erlaku sfat erkut : 1 h merupakan pemetaan closure h merupakan dual pemetaan closure h h h h h h Solus Teresar Pertdaksamaan X B dengan S n p dan B S n m Untuk mencar solus pertdak-samaan X B dengan S n p dan B S n m menggunakan teor resduas Dalam memperoleh solus pertdaksamaan X B dengan S n p dan B S n m seaga erkut: Derkan semrng dempoten lengkap S, matrk S n p dan B S n m Ddefnskan pemetaan L S n p S n m yatu : L : X X (1) Secara umum, solus pertdaksamaan X B

5 ka dkk/ J Sans Dasar (1) untuk S n p, X S p m dan B S n m adalah n L B j 1 j \ jk k \ B k Karena untuk setap B S n m, terdapat elemen maksmal L B yang X B maka dapat dentuk pemetaan soton L : S n m S p m Selanjutnya, pemetaan L yang ddefnskan untuk setap X S n m L : S n m S p m X \ X dengan \ X n j1 j \ x jk k dkatakan resdual pemetaan L dengan S n p Solus Terkecl Pertdaksamaan X B dengan S n p dan B S n m Dual Produk Sfat dstrutf pergandaan terhadap tdak terpenuh dalam semrng dempoten secara umum, dperlukan syarat cukup ahwa semrng dempoten merupakan semfeld Hal n memunculkan defns operas yang dnamakan dual produk Defns 51 Derkan semrng dempoten lengkap S Dual produk dalam S dnotaskan merupakan operas ner yang dasumskan memlk sfat 1 Operas memenuh sfat asosatf 2 (S, ) mempunya elemen netral e 3 Operas ersfat dstrutf terhadap dar elemen tak hngga, a S a a, I I yatu 4 lemen top seaga elemen penyerap terhadap operas, yatu a S, a a Selanjutnya, akan derkan defns dual produk matrk seaga erkut : Defns 52 Derkan semrng dempoten lengkap S Matrk S n p,b S p m, maka B ddefnskan seaga erkut: B j k1,2,, p ak kj untuk setap 1,2,, n dan j 1,2,, m Solus Terkecl Pertdaksamaan X B dengan S n p dan B S n m Teorema 53 Derkan semrng dempoten lengkap S dan matrk S n p Pemetaan p m n m : S X X merupakan dual pemetaan resduas dan dual resdualnya dapat dnotaskan nm : S pm S X X dengan defns operas n X j k1 k xkj (2) serta x, x,dan Hasl dan Pemahasan Persamaan dan Pertdaksamaan xed Pont Defns 61 Derkan hmpunan dan fungs f : lemen a dkatakan fxed pont dar fungs f jka f () a a Leh lanjut, a dapat dkatakan solus atau penyelesaan dar persamaan fxed pont x f () x Ketka hmpunan dlengkap dengan relas urutan, dapat ddefnskan prefxed pont dar fungs f, yatu a dkatakan prefxed ponts dar fungs f jka f () a a Selan tu, dapat juga ddefnskan post-fxed pont dar fungs f, yatu a dkatakan post-fxed ponts dar fungs f jka f () a a Karena semrng dempoten lengkap S merupakan hmpunan terurut dengan relas urutan maka dapat ddefnskan persamaan fxed pont dar pemetaan soton f : S S seaga erkut: f ( x) x (3) dan pertdaksamaan fxed pont dar pemetaan soton f : S S seaga erkut: f ( x) x (4) Kleene Star f ( x) x (5) Defns 62 Derkan semrng dem-poten lengkap S Kleene star merupakan pemetaan k : S S, a a a dengan a +1 = a a dan a 0 = e 0

6 45 ka dkk/ J Sans Dasar (1) Kleene star juga dapat daplkaskan ke matrk ujur sangkar dalam semrng dempoten lengkap Defns 63 Derkan S semrng dem-poten lengkap Kleene Star dar matrk S n n ddefnskan dengan 0 k = k 1 n n n n 0 K : S S, =, matrk denttas dan Sfat 64 Derkan S semrng dem-poten lengkap Matrk S n n dan X S n p Pemetaan L : S n p S n p, X X merupakan pemetaan closure, oleh karena tu, X X Seaga akatnya, pernyataan erkut ekuvalen : X X X Im L (3) Lemma 65 Derkan semrng dempoten lengkap S dan matrk S n n dan X S n p Pernyataan erkut ekuvalen : 1X \ X 2X X 3X X 4 X \ X Dual Kleene Star Dalam defns Kleene Star djelaskan Kleene Star merupakan jumlahan tak hngga suatu elemen dalam semrng dempoten lengkap, Berkut dualty dar Kleene Star yatu dual Kleene Star yang merupakan meet tak hngga suatu elemen dalam semrng dempoten lengkap Defns 66 Derkan semrng dem-poten lengkap S Dual Kleene Star merupakan pemetaan 0 l : S S, 1 dengan dan 0 e Selanjutnya, pendefnsan dual star dapat pula daplkaskan dalam kasus ma-trk, seagamana djelaskan mengena dual star pada matrk Defns 67 Derkan S semrng dem-poten lengkap Dual Kleene Star dar ma-trk B S n n ddefnskan: B B k0 1 dengan B B B dan B k 0 Sfat 68 Derkan B S n n Pemetaan B merupakan pemetaan upper semcontnuous dan menurut Defns 56, pemetaan : np np B S S, X B X merupakan dual pemetaan closure Oleh karena tu, B B X B X (4) Sehngga erakat X B X X Im B (5) Proposs 69 Derkan semrng S dan matrk B S n n dan X S n p, maka pernyataan n ekuvalen : 1 X B X 2 X B X 3 X B X 4 X B X Proposs 610 Derkan semrng dempoten lengkap S dan, B S n n dan X S n m Pernyataan erkut ekuvalen : Im Im X X B X X L B Proposs 611 Derkan semrng dempoten lengkap S, dan matrk, B, G S n n Solus teresar X yang memenuh X X B X dan X G adalah X B \ G Bukt : 1 kan dtunjukkan X X B X dan X G X Xˆ Berdasarkan Proposs 610, X X B X X Im L Im B Hal n erart X harus memenuh X B ( X ) X B ( X ) X B X ( ) ) X (( B ) ) \ X Dengan demkan, X X B X dan

7 ka dkk/ J Sans Dasar (1) X G X (( B ) ) \ X dan X G Dperhatkan ahwa erdasarkan Teorema 65, X (( B ) ) \ X ( B ) X X ( ) Karena B X X dan X G maka X Xˆ (( B ) ) \ G 2 kan dtunjukkan Xˆ G, Xˆ Xˆ Pertama akan dtunjukkan X ˆ ImL yang ekuvalen dengan Xˆ Xˆ \ Xˆ Berdasarkan Lemma 65, ˆX memenuh ˆ ˆ ( B ) X X ( B ) \ Xˆ (9) Karena L pemetaan soton dan Xˆ ( B ˆ ) \ X, maka Xˆ (( B ˆ ) \ X ) Sehngga ddapat \ Xˆ \ (( B ˆ ) \ X ) Dperhatkan ˆ \ (( B ) \ X ) (( B ) ) \ Xˆ B Xˆ ( ( )) \ ( B ˆ ) \ X katnya, ddapat \ Xˆ ( B ˆ ) \ X Menurut pertdaksamaan 9, ( B ˆ ˆ ) \ X X katnya, \ Xˆ ( B ˆ ˆ ) \ X X Jad dperoleh \ Xˆ Xˆ Selanjutnya, Xˆ \ Xˆ (karena ) maka \ Xˆ Xˆ, yatu Xˆ ImL Kedua, akan dtunjukkan Xˆ Im B, yatu Xˆ B ˆ ˆ X B X Dar persamaan 9 ddapat Xˆ ( B ˆ ˆ ˆ ) X B ( X ) B X (karena Xˆ Xˆ ) D ss lan, B Karena B pemetaan soton, maka B ˆ ˆ X X Dengan demkan, ddapat Xˆ B ˆ X Sehngga Xˆ B Xˆ B Xˆ karena B B G G Ketga ( ), maka ( ) katnya, ddapat ( B ) \ G G Jad ˆX G Smpulan Secara gars esar, dapat dsmpulkan ahwa kesamaan struktur semrng dempoten lengkap dengan lattce lengkap memerkan anyak keuntungan dalam menyelesakan pertdaksamaan atas semrng dempoten dengan menggunakan teor resduas Derkan S semrng dempoten lengkap, maka ddapat 1 Solus pertdaksamaan X B dengan n p S dan n m B S adalah n ( \ ) [ \ ] j1 j jk B k 2 Solus pertdaksamaan X B dengan n m B S adalah ( X ) ( x ) n p S dan n j k 1 k kj 3 Solus pertdaksamaan X X B X dan n n X G dengan, B, G S dapat dperoleh dengan menggunakan formula ˆ X (( B ) ) \ G Pustaka [1] Baccell,, Cohen, G, Olsder, J, dan Quadrat, JP, 1992, Synchronzaton and Lnearty, n lgera for Dscrete vent Systems, John Wley and Sons, New York [2] Gauert, S, 1997, Methodes and pplcaton of (max,+) Lnear lgera, Rapport de Recherche [3] Hardoun, L, Cottenceau, B, Le Corronc,, 2010, Control of uncertan (max,+)-lnear system n order to decrease uncertanty, Unversty of ngers [4] Hardoun, L, Cottenceau, B, Le Corronc,, 2010, On The Dual Product and The Dual Resdua-ton over Idempotent Semrng of Intervals, Unversty of ngers, Perancs [5] Judson, TW, 2010, stract lgera : Theory and pplcatons, Stephen ustn State Unversty [6] Lhommeau, M, Hardoun, L, Cot-tenceau, B, 2009, Dsturance Decouplng of Tmed vent Graphs y Output eedack Controller, Unversty of ngers [7] Houssn, L, Lahaye, S, dan Bomond, JL, (2008), Control of (Max,+) - Lnear Sys-tems Mnmzng Delays, Unversty of ngers, Perancs [8] Lhommeau, M, Hardoun, L, Cot-tenceau, B, Maa, C, 2010, Oserver Desgn for (max,plus) Lnear Systems, I Transacton

8 47 ka dkk/ J Sans Dasar (1) on utomatc Control vol 55-2 [9] Ouergh, I, dan Hardoun, L, 2006, Control Synthess for P-Temporal vent Graphs, Internatonal Workshop on Dscrete vent Systems, n ror, US [10] Tarsk,, 1955, Lattce Theoretcal xed Pont Theorem and Its pplcatons, Pac c Journal of Mathematcs 5 no [11] ndersen, M H, 2002, Max plus lgera: Propertes and pplcatons, Lamare, WY [12] Brunch, T, Hardoun, L, dan Rasch, J, 2011, Modelng Control of Nested Manufacturng Processes Usng Dod Models, In Peprnts of the 3rd Internatonal Workshop on Dependale Control of Dscrete Systems, Jerman [13] Brunch, T, Hardoun, L, Boutn, O, Cottenceau, B, Rasch, J, 2013, Dscrete vent Systems n a Dod ramework: Control Theory, Control of Dscrete vent Systems, Volume 433 of Lecture Notes n Control and Informaton Scences, Sprnger, Berln [14] Brunsch, T, 2014, Dssertaton : Modelng and Control of Complex Systems n Dod ramework, Berln [15] Cohen, G, Gauert, S, dan Quadrat, JP, 1998, Max plus lgera and System Theory : Where We re and Where to Go Now, IC Conference on Systems and Control