BAB 3 PRINSIP INKLUSI EKSKLUSI

Transkripsi

1 BAB 3 PRINSIP INKLUSI EKSKLUSI. Tentukan banyak blangan bulat dar sampa dengan yang tdak habs dbag 4, 6, 7 atau 0. Jawab: Msal: S = {, 2, 3, 4, 5,..., 0.000} a = {sfat habs dbag 4} a 2 = {sfat habs dbag 6} a 3 = {sfat habs dbag 7} a 4 = {sfat habs dbag 0} N(a ) = banyak anggota S yang habs dbag 4 N(a ) = N(a 2 ) = banyak anggota S yang habs dbag 6 N(a ) = N(a 3 ) = banyak anggota S yang habs dbag 7 N(a ) = = =.666 =.428 N(a 4 ) = banyak anggota S yang habs dbag 0 N(a ) = =.000 N(a a 2 ) = banyak anggota S yang habs dbag 4 dan 6 N(a a ) = = 46 N(a a 3 ) = banyak anggota S yang habs dbag 4 dan 7 N(a a ) = = 357 N(a a 4 ) = banyak anggota S yang habs dbag 4 dan 0 N(a a ) = = 250

2 N(a 2 a 3 ) = banyak anggota S yang habs dbag 6 dan 7 N(a a ) = = 238 N(a 2 a 4 ) = banyak anggota S yang habs dbag 6 dan 0 N(a a ) = = 66 N(a 3 a 4 ) = banyak anggota S yang habs dbag 7 dan 0 N(a a ) = = 42 N(a a 2 a 3 ) = banyak anggota S yang habs dbag 4, 6 dan 7 N(a a a ) = = 54 N(a a 2 a 4 ) = banyak anggota S yang habs dbag 4, 6 dan 0 N(a a a ) = = 4 N(a 2 a 3 a 4 ) = banyak anggota S yang habs dbag 6, 7 dan 0 N(a a a ) = = 23 N(a a 2 a 3 a 4 ) = banyak anggota S yang habs dbag 4, 6, 7 dan 0 N(a a a a ) N(a a a a ) = = 5 = N N(a ) + Na a Na a a + Na a a a,,,,,, = N N (a ) N (a 2 ) N (a 3 ) N (a 4 ) + N (a a 2 ) + N (a a 3 ) + N (a a 4 ) + N (a 2 a 3 ) + N (a 2 a 4 ) + N (a 3 a 4 ) N (a a 2 a 3 ) N (a a 2 a 4 ) N (a 2 a 3 a 4 ) + N (a a 2 a 3 a 4 ) = = Jad, banyak blangan bulat dar sampa dengan yang tdak habs dbag 4, 6, 7, dan 0 adalah 4857.

3 2. Tentukan banyak blangan bulat dar sampa dengan yang tdak habs dbag blangan kuadrat sempurna kurang dar 20 (<20) atau blangan cacah pangkat 3 kurang dar 30 (<30). Jawab Mssal: S = {,2,3, } a = sfat habs dbag 4 a = sfat habs dbag 9 a = sfat habs dbag 6 a = sfat habs dbag 8 a = sfat habs dbag 27 N = ISI = N(a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 4 = (000000/4) = N(a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 9 = (000000/9) = N(a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 6 = (000000/6) = N(a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 8 = (000000/8) =25000 N(a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 27 = (000000/27) =37037 N(a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 4 dan 9 = (000000/36) = N(a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 4 dan 6 = (000000/64) = 5625 N(a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 4 dan 8 = (000000/32) = 3250 N(a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 4 dan 27 = (000000/08) = 9259 N(a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 9 dan 6 = (000000/44) = 6944 N(a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 9 dan 8 = (000000/72) = 3888 N(a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 9 dan 27 = (000000/243) = 45

4 N(a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 6 dan 8 = (000000/28) = 782 N(a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 6 dan 27 = (000000/432) = 234 N(a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 8 dan 27 = (000000/26) = 4629 N(a a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 4, 9 dan 6 = (000000/576) = 736 N(a a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 4, 9 dan 8 = (000000/288) = 3472 N(a a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 4, 9 dan 27 = (000000/972) = 028 N(a a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 9, 6 dan 8 = (000000/52) = 868 N(a a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 9, 6 dan 27 = (000000/3888) = 257 N(a a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 6, 8 dan 27 = (000000/3456) = 289 N(a a a a ) = Banyak anggota S yang habs dbag 4, 9, 6 dan 8 = (000000/4608) = 27 N(a a a a, a ) = (000000/2446) = 8 3. Tentukan banyaknya permutas dar {, 2, 3, 4, 5, 6} hngga pola-pola 24 dan 35 tdak muncul Jawab S = hmpunan p. Semua permutas dar {,2,3,4,5,6} a = pola 24 muncul a = pola 35 muncul N = ISI = 6!

5 N(a ) = banyak permutas d S pola 24 muncul = banyaknya permutas dar {,2,3,4,5,6} = 4! (atau: ((6-3+)!=4!) N(a ) = banyak permutas d S pola 35 muncul = banyaknya permutas dar {,2,3,4,5,6} = 5! (atau: ((6-2+)!=5!) N(a a ) = banyak permutas d S pola 24 dan 35 muncul = banyaknya permutas dar {,2,3,4,5,6} = 3! N(a a ) = banyak permutas d S pola 24 dan 35 tdak muncul = N N(a ) N(a ) + N(a a ) = 6! - 4! - 5! + 3! = =582 4 Sebuah kata sand dengan panjang 9 dbentuk dar angka-angka 0, dan 2 sedemkan hngga tap angka muncul tga kal dan tga angka berurutan dalam kata sand tersebut tdak boleh sama.ada berapa kata sand yang dapat dbentuk? Jawab: Msal: S :{permutas sebuah kata sand dengan panjang 9 dar angka-angka 0, dan 2 tap angka muncul 3x dan tga angka muncul tdak boleh sama} :{ 0, 0, 0,,,, 2,, 2, 2 } a : sfat kode 0 muncul 3x = muncul pola 000 a 2 : sfat kode muncul 3x = muncul pola a 3 : sfat kode 2 muncul 3x = muncul pola 222 Dtanya : N(a a a )=banyaknya kata sand yang dapat dbentuk dengan panjang 9, dmana tga angka berurutan tdak boleh sama. N = S =!!!! = 680 N = (a ) = Banyaknya anggota S yang punya sfat muncul kode 000 dar {0,0,0,,,,2,2,2} atau = { 000,,,2,2,2} =!!! = 40

6 N =(a 2 ) =Banyaknya anggota S yang punya sejens muncul kode dar {0,0,0,,,,2,2,2} =!!! = 40 N = (a 3 ) =40 N = (a a 2 ) =Banyaknya anggota yang punya sfat muncul kode 000 dan dar {0,0,0,,,,2,2,2} =!! = 20 N =(a a 3 ) = N(a 2 a 3 )=20 N = (a a 2 a 3 ) = Banyaknya anggota S yang punya sfat muncul kode 000,, 222, dar {0,0,0,,,,2,2,2} = 3! =6 N (a a a ) = N Na a a j a a jak, jberbeda, j, kberbeda = 680 3(40) + 3(20) 6 = 34 cara 5. Delapan kecelakaan terjad dalam satu mnggu dengan prnsp nklus dan eksklus, htung probabltas bahwa terdapat palng sedkt satu kecelakaan tap har. Jawab : Banyak kecelakaan Har sen sel rab kam jum sab mng Ms : S : {semua kejadan kecelakaan yang mungkn terjad } a : sfat bahwa har kne- tdak terjad kecelakaan dengan = { sen sel rab kam jum sab mng} 8 N = 5 7 a 7,I E {,2,...7} : N = 8 N = 8 aaj 7 2 j N = 8 aajak 7 3,,j,k berbeda N = aa 2... a N = aa 2... a7 N Na Na a j... 7 Naa2... a7, jberbeda

7 = = = = 420 Jad banyaknya semua perstwa yang mungkn d mana ada 7 har terjad kecelakaan yatu 420 Dengan demkan, peluang perstwa dmana tap har terjad kecelakaan : N a a2.... a7 420 P = 8 = 0, = 0,02 N Untuk suatu blangan cacah n, banyaknya solus bulat dar persamaan X + X 2 +X X k = n, X 0,2,3 n k,...k adalah gunakan PIE untuk n menentukan banyaknya solus bulat dar banyaknya solus bulat dar setap persamaan berkut. a) x + x 2 + x 3 = 6, 0 7, b) x + x 2 + x 3 = 4, 7, X,2,3 X,2,3 c) x + x 2 + x 3 = 20, X 6, 0 X X 8, 2 X d) x + x 2 + x 3 + x 4 = 28, X 5 Jawab a) x + x 2 + x 3 = 6, 0 7,,2,3,4 X,,2,3 bulat dar persamaan X + X 2 + X 3 = 6, 0 7,2,3 mssal a menyatakan sfat X N= S 6 6 a. Msalkan S hmpunan semua solus X,,2,3 N = banyaknya anggota S yang mempunya sfat a untuk setap

8 = banyaknya solus bulat x + x 2 + x 3 =6, x 8, x 0, x = banyaknya solus bulat x 8 + x 2 + x 3 = 8, x 8 0, x 0, x = banyaknya solus bulat x + x 2 + x 3 = 8, x 8 0, x 0, x N a = = 8 8 = banyaknya anggota S yang mempunya sfat a = banyaknya solus bulat x + x 2 + x 3 =6, x 0, x 8., x = banyaknya solus bulat x + x x 3 = 8, x 0, x 8 0 2, x 3 0 = banyaknya solus bulat x + x x 3 = 8, x 0, x 0, x = = 8 8 Dengan cara yang sama dperoleh N a 3 = 0 8 N a a = banyaknya anggota S yang mempunya sfat 2 a dan a 2 = banyaknya solus bulat x + x 2 + x 3 =6, X 8, X 8., X = banyaknya solus bulat x 8 3 x 8 + x x 3 = 0, x 8 0, x 8 0, 2 = banyaknya solus bulat x = = 0 = x + Dengan cara yang sama dperoleh N a a 3 = x + x 3 = 0, 8 0, 8 0, 2 x x 2 N a a = 2 2 = N aa 2q3 = banyaknya anggota S yang mempunya sfat = tak mungkn = 0 a, a2 dan a 3

9 a2a3 N a = N - a + a + a a a j a j jk j k = b) X + X 2 + X 3 = 4, 7 Mssal : X,,2,3 X + X 2 + X 3 = 4 -, 0 6 X + X 2 + X 3 = 3, 0 6 X,,2,3 X,,2,3 S = semua solus bulat dar persamaan X + X 2 + X 3 =3, X 0, X 0., 2 X 0 3 a = sfat X 7 a 2 = sfat X 2 7 a 3 = sfat X 2 7 Maka ddapat N = S 3 3 N a = banyaknya anggota S yang mempunya sfat a = banyaknya solus bulat dar persamaan X + X 2 + X 3 =3, dengan X 7, X 0., X = banyaknya solus bulat dar persamaan X X 2 + X 3 = 6, X 7 0, X 0, X = banyaknya solus bulat dar persamaan X + X 2 + X 3 = 6, X 0, X 0, X = = 8 6 = 28

10 N(a a 2 ) = banyaknya solus bulat dar persamaan x +x 2 +x 3 =3, x 7, x 2 7, x 3 0 = banyaknya solus bulat dar x -7+x 2-7+x 3 =-, x -7 0, x 2-7 0, x 3 0 = banyaknya solus bulat dar persamaan x +x 2 +x 3 =-, x 0, x 2 0, x 3 0 = 0 Dengan cara yang sama dperoleh N(a a 3 )= N(a 2 a 3 ) = 0 N(a a 2 a 3 ) = banyaknya solus bulat dar persamaan x +x 2 +x 3 =3, x 7, x 2 7, x 3 7 = 0 N(a a a ) = N- N(a ) +, Na a,, N(a a a ) = = 2 Jad banyaknya solus bulat dar persamaan x +x 2 +x 3 =4, x2 7, {,2,3} adalah 2. c) x + x 2 + x 3 + x 4 = 20, x 6, 0 x 2 7, 4 x 3 8, 2 x 4 6 Maka, x + x 2 + x 3 + x 4 = ; 0 x 5, 0 x 2 7, 0 x 3 4, 0 x 4 4 Msal S{semua solus bulat dar x + x 2 + x 3 + x 4 = 3 dengan 0 x 5, 0 x 2 7, 0 x 3 4, 0 x 4 4} a = sfat x 6, a 3 = sfat x 3 5 a 2 = sfat x 2 8, a 4 = sfat x 4 5 N = S = = 6 = N(a ) = banyaknya solus bulat x + x 2 + x 3 = x 4 = 3 dengan x 6, x 2 0, x 3 0, x 4 0 = banyak solus bulat x 6 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0 = = 0 = 20 7 N(a 2 ) = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 3; x 0, x 8, x 0, x 0 = banyaknya solus bulat x + x 8 + x +x = 5; x 0, x 8 0, x 0, x 0

11 = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 5; x 0, x 0, x 0, x 0 = = N(a ) = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 3; x 0, x 0, x 5, x 0 = banyaknya solus bulat x + x 8 + x 5 + x = 8; x 0, x 0, x 0, x 0 = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 5; x 0, x 0, x 0, x 0 = = = 65 8 N(a ) = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 3; x 0, x 0, x 0, x 5 = = = 65 8 N(a a ) = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 3 dengan x 6, x 8, x 0, x 0 = banyaknya solus bulat x 6 + x 8 + x +x =, x 6 0, x 8 0, x 0, x 0 = 0 (tdak mungkn) N(a a ) = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 3 dengan x 6, x 0, x 5, x 0 = banyaknya solus bulat x 6 + x + x 5 + x = 2 ; x 6 0, x 0, x 5 0, x 0 = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 2 ; x 0, x 0, x 0, x 0 = = 5 = 0 2 2

12 N(a a ) = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 3 dengan x 6, x 0, x 0, x 5 = = 5 = N(a a ) = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 3 dengan x 0, x 8, x 5, x 0 = banyaknya solus bulat x + x 8 + x 5 + x = 0 dengan x 0, x 8 0, x 5 0, x 0 = = 0 N(a a ) = N(a a ) = N(a a ) = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 3 dengan x 0, x 0, x 5, x 5 = banyaknya solus bulat x + x + x 5 + x 5 = 3 dengan x 0, x 0, x 5 0, x 5 0 = = 6 = N(a a a ) = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 3 = 0 dengan x 6, x 8, x 5, x 0 N(a a a ) = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 3 = 0 dengan x 6, x 8, x 0, x 5 N(a a a ) = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 3 = 0 dengan x 6, x 0, x 5, x 5 N(a a a ) = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 3 = 0 dengan x 0, x 8, x 5, x 5 N(a a a a ) = banyaknya solus bulat x + x + x +x = 3 = 0 dengan x 6, x 8, x 5, x 5

13 Jad, N(a a a a ) = N N(a ) N(a ) N(a ) N(a ) + + N(a a ) + N(a a ) + N(a a ) + N(a a ) + N(a a ) + N(a a ) N(a a a ) N(a a a ) N(a a a ) N(a a a ) N(a a a a ) = = d) x + x + x +x = 28, x 5, ε{,2,3,4} Msal x + x + x +x = , 0 x 4 x + x + x +x = 8, 0 x 4, 0 x 8, Msalkan 0 x 2, 0 x 6 S = {semua solus bulat dar X + X + X + X = 8 } a = Sfat X 5 a = Sfat X 4 a = Sfat X 3 a = Sfat X 7 N = s = = = 330 N(a ) = banyak nya solus bulat dar x + x + x + x = 8 dengan x 5, x 0, x 0, x 0 = banyak nya solus bulat dar x 5 + x + x + x = 3 = dengan x 5, x 0, x 0, x 0 = = 560 N(a ) = banyak nya solus bulat dar x + x + x + x = 8 = dengan X 0, X 9, X 0, X 0 = = 220

14 N(a ) = banyak nya solus bulat dar x + x + x + x = 8 = dengan x 0, x 0, x 3, x 0 = = 56 N(a ) = banyak nya solus bulat dar x + x + x + x = 8 dengan x 0, x 0, x 0, x 7 = = = 4 N(a a ) = banyak nya solus bulat dar x + x + x + x = 8 dengan X 5, X 4, X 0, X 0 = = = 35 N(a a ) = banyak nya solus bulat dar x + x + x + x = 8 dengan X 5, X 0, X 3, X 0 = = = N(a a ) = N(a a ) = N(a a ) = (a a ) = 0 N(a a a ) = N(a a a ) = N(a a a ) = (a a a ) = 0 N(a a a a ) = 0 N(a a a a ) = N N(a ) N(a ) N(a ) N(a ) + N(a a ) + N(a a ) + N(a a ) + N(a a ) + N(a a ) 0 = = Terdapat 0 orang plot dan 5 pesawat terbang d bandara A. Kesepuluh plot tersebut d tugas oleh atasannya untuk menerbangkan ke-5 pesawat tersebut bersama-sama ke bandara udara B. Ada berapa cara yang mungkn untuk mengelompokkan plot-plot tersebut ke dalam pesawat. Jawab : Msalkan : S = {semua kejadan yang mungkn} E = kejadan bahwa pesawat ke- kosong a = sfat bahwa kejadan E muncul, {, 2,, 0}

15 a = sfat pesawat ke- tdak mempunya plot, {, 2, 3, 4, 5} N (a ) = banyaknya cara mengelompokkan 0 plot ke dalam pesawat 7 pesawat ke- kosong = (5 ) = 4 Kta peroleh : N = S = 5 N (a ) = (S ) = 4 N a a = (S 2) = 3 N a a a = (S 3) = 2 N (a a a ) = (S 5) = 0 N a a a = N N(a ) + Na a Na a a + + N(a a a ) = 5 5 (5 ) (5 2) 5 3 (5 3) (5 4) 5 5 (5 5) + 0 Banyak cara yang dmaksud adalah : = Tentukan banyaknya permutas dar {, 2,, 0} sehngga : a. tdak ada blangan ganjl menempat tempatnya semula b. terdapat tepat 3 blangan menempat tempatnya semula c. terdapat tepat 6 blangan menempat tempatnya semula Jawab : a. S = {semua permutas dar {, 2,, 0}} a = sfat bahwa unsur menempat tempatnya semula a = sfat bahwa unsur 3 menempat tempatnya semula a = sfat bahwa unsur 5 menempat tempatnya semula a = sfat bahwa unsur 7 menempat tempatnya semula a = sfat bahwa unsur 9 menempat tempatnya semula Karena terdapat 0 blangan maka N = S = 0!

16 N (a ) = banyaknya permutas yang memenuh sfat a N (a ) = 9! N (a ) = 9! N (a ) = 9! N (a ) = 9! = (0 )! = 9! N (a a ) = banyaknya permutas yang memenuh sfat a dan a = (0 2)! = 8! N (a a ) = 8! N (a a ) = 8! N (a a ) = 8! N (a a ) = 8! N (a a ) = 8! N (a a ) = 8! N (a a ) = 8! N (a a ) = 8! N (a a ) = 8! N (a a a ) = banyaknya permutas yang memenuh sfat a, a dan a = (0 3)! = 7! N (a a a ) = 7! N (a a a ) = 7! N (a a a ) = 7! N (a a a ) = 7! N (a a a ) = 7! N (a a a ) = 7! N (a a a ) = 7! N (a a a ) = 7! N (a a a ) = 7! N (a a a a ) = (0 4) = 6! N (a a a a ) = 6! N (a a a a ) = 6! N (a a a a ) = 6! N (a a a a ) = 6! N (a a a a a ) = 5! P = N ( a a a a a ) = N - N(a)+ N(a a ),, N(a a a ) + N(a a a a ),,, - N(a a a a a ) P = 0! - 9! + 8! - 7! + 6! - 5! Banyaknya permutas dar {,2,,0} Ǝ tdak ada blangan ganjl menempat tempatnya semula adalah P

17 b. Msalkan S ={semua permutas {,2,,0} } a = menyatakan sfat dmana blangan ke- muncul, 0 N = S = 0! N(a ) = banyaknya permutas yang mungkn dmana blangan ke- muncul. = banyaknya permutas (n-) elemen = (n-)! N(a a ) = banyaknya permutas yang mungkn dmana blangan ke- dan ke-j muncul = (n-2)! Secara umum dperoleh : N(a, a,, a ) = (n-)! Karena ada cara memlh k sfat dar ketga n sfat yang ada, maka : S = N(a, a,, a ) = (n-k)! Dar T.3. (r = 0, m = 3),maka dperoleh : C = S - S + S - S + S - S + S - S = (0 3)! - (0 4)! + (0 5)! - (0 6)! + (0 7)! - (0 8)! + (0 9)! - = (0 0)!... banyaknya permutas dar {,2,...,0} Ǝ tepat 3 blangan menempat tempatnya semula = cara c. sepert jawaban b, akan tetap untuk tepat 6 blangan menempat tempat semula. Berart r = 0, m = 6 C = S - S + S - S + S = (0 6)! - (0 7)! + (0 8)! - (0 9)! + (0 0)! =!! 4! -!!!! =!!!!! 3! +!!!!!! -!!! +!!! -!!! +!!! 2! -!!!!!!! +!!!!

18 =! [ + + ]!!!!! 0. Htunglah banyaknya permutas dar {, 2, 3,..., n } sedemkan hngga terdapat tepat k blangan menempat tempatnya semula. Jawab : Dar teorema 33A E k = ( ) S K+P, dengan S K+P N(a... a ) M j = S = { Semua permutas dar {,2,3,..., n}} A = sfat dmana blangan ke- menempat tempatnya semula. {,2,3,..., n} Karena terdapat n blangan maka N = S = n! Selanjutnya dperoleh. N(a ) = banyak blangan mungkn dmana blangan ke- menempat tempatnya semula {,2,3,..., n} = banyaknya permutas (n-) elemen = (n-)! N(a ) = (n-)! N(a a j ) = banyaknya blangan yang mungkn dmana blangan ke- dan ke-j menempatkan tempatnya semula = banyaknya permutas (n-2) elemen = (n-2)! Secara umum dperoleh : N(a, a 2..., a k ) = (n - k)! Karena ada cara memlh k sfat dan n sfat yang ada, maka : S k = N(a, a , a ) = (n - k)! N (a a j ) = banyaknya permutas d S7 blangan dan j menempat tempat semula {,2,3,..., n} = (n - 2)! N(a a 2 ) = (n - 2)! N(a, a 2..., a k ) = menempat tempat semula = (n - k)! N(a, a , a ) = (n - k)! banyaknya permutas d S7 blangan, 2... k

19 Secara analog dperoleh N(a, a , a ) = n (k + p)! = (n- k p)! N(a, a...., a ) = n S k+p = Jad : (n - k - p)! E k = ( ) = ( ) E k = ()!!! ()!!! =!! (n - k - p)! (n - k - p)! ()! ()! ()! (n - k - p)!