APLIKASI SISTEM LINEAR MAX-PLUS INVARIANT PADA SISTEM PRODUKSI TEMPE SUPER DANGSUL DI YOGYAKARTA

Transkripsi

1 APLIKASI SISTEM LINEAR MAX-PLUS INVARIANT PADA SISTEM PRODUKSI TEMPE SUPER DANGSUL DI YOGYAKARTA A7 Hendra Lstya Kurnawan 1, Musthofa 2 1 Mahasswa Program Stud Matematka Jurusan Penddkan Matematka FMIPA UNY, 2 Jurusan Penddkan Matematka FMIPA Unverstas Neger Yogyakarta 1 hendra.lstya.kurnawan@gmal.com, 2 musthofa@uny.ac.d Abstrak Peneltan n bertujuan untuk membuat model, menganalss nput-output serta mengoptmalkan waktu produks Tempe Super Dangsul. Langkah awal dalam peneltan n adalah dengan memodelkan waktu produks Tempe Super Dangsul dalam Sstem Persamaan Lner Aljabar Max-Plus. Setelah model terbentuk, dapat dlakukan analss nput-output sehngga produsen dapat mengetahu waktu produks tempe akan selesa. Namun apabla pemesan menentukan waktu pengamblannya terlebh dahulu, maka produsen dapat mengoptmalkan waktu mula produks dengan mencar subpenyelesaan terbesar dan waktu smpangannya. Hasl peneltan menunjukkan bahwa Sstem Lnear Max-Plus Invarant produks Tempe Super Dangsul merupakan Sstem Event Dskret (SED) yang dapat dnyatakan dengan pemodelan unsur-unsur dalam sstem produks Tempe Super Dangsul. Produsen Tempe Super Dangsul dapat membuat jadwal pesanan selesa dkerjakan dengan analss nput-output dan membuat jadwal waktu dmulanya produks apabla pemesan menetukan waktu pengamblan produk. Kata kunc : optmas, sstem produks, sstem lnear Max-Plus Invarant PENDAHULUAN Aljabar Max-Plus telah banyak dgunakan dalam menyelesakan persoalan d berbaga bdang sepert teor graf, kombnatorka, teor sstem, teor antran dan proses stokastk. Hal n telah dbahas dalam beberapa buku dan jurnal sepert Bacell,et.al (2001), Hedergott, (1999), B. De Schutter dan T. van den Boom (2000), I. Necoara, B. De Schutter, T. van den Boom, dan H. Hellendoor (2008). Selanjutnya Aljabar Max-Plus n akan dgunakan dalam peneltan sstem produks tempe. Tempe merupakan makanan yang banyak dkonsums karena gz dan harganya yang relatf terjangkau untuk semua kalangan masyarakat. Berdasarkan hal tersebut, ndustr tempe kn menngkat menjad ndustr yang berskala tngg dan menyerap banyak tenaga kerja sehngga perlu adanya suatu peneltan tentang optmsas sstem produks untuk dapat memberkan pelayanan yang terbak kepada konsumen. Salah satu ndustr tempe Makalah dpresentaskan dalam Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka dengan tema Kontrbus Penddkan Matematka dan Matematka dalam Membangun Karakter Guru dan Sswa" pada tanggal 10 November 2012 d Jurusan Penddkan Matematka FMIPA UNY

2 yang saat n sedang berkembang d Yogyakarta adalah UD. Super Dangsul. Penuls memlh Industr Tempe Super Dangsul sebaga lokas dalam peneltan n karena ndustr tempe n merupakan ndustr tempe yang terkenal d Yogyakarta. Peneltan dalam sstem produks n menggunakan Sstem Lner Max-Plus Invarant. Sebuah sstem dkatakan waktu nvarant, jka respon terhadap suatu urutan nput tertentu tdak tergantung pada waktu mutlak dan determnstk (sstem yang operasnya dapat dpredks secara tepat). Sstem Lner Max-Plus Invarant dapat dgunakan untuk menganalss nput-output serta mengoptmalakan sstem produks Tempe Super Dangsul. PEMBAHASAN Sstem Event Dskret dan Sstem Lner Max-Plus Invarant Sstem event dskret (SED) ddefnskan sebaga suatu sstem terkendal kejadan yang mempunya keadaan dskret. Salah satu karakterstk dar SED adalah sstem yang terkendal (event-drven system). Event-drven system ddefnskan bahwa perubahan keadaan merupakan hasl dar kejadan sebelumnya (Necoara et.al., 2008:1). Defns 1. Sstem Lnear Max-Plus Waktu Invarant (Schutter, 1996: 5) Sstem Lnear Max-Plus Waktu-Invarant adalah SED yang dapat dnyatakan dengan persamaan berkut: x(k+1) = A x(k) B u(k+1) y(k) = C x(k) Pemodelan Sstem Produks Tempe Super Dangsul dengan Sstem Lner Max-Plus Invarant a) Sstem Produks Tempe Super Dangsul Proses-proses tahapan dalam sstem produks Tempe Super Dangsul yang dsajkan dalam graf pada Gambar 1. Dan ddapatkan model sebaga berkut menurut graf sstem produks Tempe Super Dangsul menurut Gambar 1 : x 1 (k+1) = 627 x 1 (k) 4 u(k+1) x 2(1) (k+1) = 1256 x 1 (k) 207 x 2(1) (k) 633 u(k+1) x 2(2) (k+1) = 1256 x 1 (k) 183 x 2(2) (k) 633 u(k+1) x 2(3) (k+1) = 1256 x 1 (k) 195 x 2(3) (k) 633 u(k+1) x 3 (k+1) = 1465 x 1 (k) 416 x 2(1) (k) 368 x 2(2) (k) 392 x 2(3) (k) 102 x 3 (k) 842 u(k+1) x 4(1) (k+1) = 1568 x 1 (k) 519 x 2(1) (k) 471 x 2(2) (k) 495 x 2(3) (k) 205 x 3 (k) 1307 x 4(1) (k) 945 u(k+1) x 4(2) (k+1) = 1569 x 1 (k) 520 x 2(1) (k) 472 x 2(2) (k) 496 x 2(3) (k) 206 x 3 (k) 1312 x 4(2) (k) 946 u(k+1) x 4(3) (k+1) = 1569 x 1 (k) 520 x 2(1) (k) 472 x 2(2) (k) 496 x 2(3) (k) 206 x 3 (k) 1324 x 4(3) (k) 946 u(k+1) x 4(4) (k+1) = 1570 x 1 (k) 521 x 2(1) (k) 473 x 2(2) (k) 497 x 2(3) (k) 207 x 3 (k) 1319 x 4(4) (k) 947 u(k+1) Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 54

3 x 4(5) (k+1) = 1570 x 1 (k) 521 x 2(1) (k) 473 x 2(2) (k) 497 x 2(3) (k) 207 x 3 (k) 1320 x 4(5) (k) 947 u(k+1) x 4(6) (k+1) = 1569 x 1 (k) 520 x 2(1) (k) 472 x 2(2) (k) 496 x 2(3) (k) 206 x 3 (k) 1314 x 4(6) (k) 946 u(k+1) x 4(7) (k+1) = 1570 x 1 (k) 521 x 2(1) (k) 473 x 2(2) (k) 497 x 2(3) (k) 207 x 3 (k) 1313 x 4(7) (k) 947 u(k+1) x 4(8) (k+1) = 1569 x 1 (k) 520 x 2(1) (k) 472 x 2(2) (k) 496 x 2(3) (k) 206 x 3 (k) 1305 x 4(8) (k) 946 u(k+1) x 5(1) (k+1) = 2896 x 1 (k) 1847 x 2(1) (k) 1799 x 2(2) (k) 1823 x 2(3) (k) 1533 x 3 (k) 2616 x 4(1) (k) 2628 x 4(2) (k) 2651 x 4(3) (k) 211 x 5(1) (k) 2273 u(k+1) x 5(2) (k+1) = 2898 x 1 (k) 1849 x 2(1) (k) 1801 x 2(2) (k) 1825 x 2(3) (k) 1535 x 3 (k) 2653 x 4(3) (k) 2644 x 4(4) (k) 2644 x 4(5) (k) 2633 x 4(6) (k) 250 x 5(2) (k) 2275 u(k+1) x 5(3) (k+1) = 2888 x 1 (k) 1839 x 2(1) (k) 1791 x 2(2) (k) 1815 x 2(3) (k) 1525 x 3 (k) 2633 x 4(6) (k) 2631 x 4(7) (k) 2615 x 4(8) (k) 239 x 5(3) (k) 2265 u(k+1) x 6(1) (k+1) = 3110 x 1 (k) 2061 x 2(1) (k) 2013 x 2(2) (k) 2037 x 2(3) (k) 1747 x 3 (k) 2830 x 4(1) (k) 2842 x 4(2) (k) 2865 x 4(3) (k) 425 x 5(1) (k) 26 x 6(1) (k) 2265 u(k+1) x 6(2) (k+1) = 3110 x 1 (k) 2061 x 2(1) (k) 2013 x 2(2) (k) 2037 x 2(3) (k) 1747 x 3 (k) 2830 x 4(1) (k) 2842 x 4(2) (k) 2865 x 4(3) (k) 425 x 5(1) (k) 28 x 6(2) (k) 2487 u(k+1) x 6(3) (k+1) = 3150 x 1 (k) 2101 x 2(2) (k) 2053 x 2(2) (k) 2077 x 2(3) (k) 1787 x 3 (k) 2905 x 4(3) (k) 2896 x 4(4) (k) 2896 x 4(5) (k) 2885 x 4(6) (k) 502 x 5(2) (k) 29 x 6(3) (k) 2527 u(k+1) x 6(4) (k+1) = 3151 x 1 (k) 2102 x 2(1) (k) 2054 x 2(2) (k) 2078 x 2(3) (k) 1788 x 3 (k) 2906 x 4(3) (k) 2897 x 4(4) (k) 2897 x 4(5) (k) 2886 x 4(6) (k) 503 x 5(2) (k) 32 x 6(4) (k) 2528 u(k+1) x 6(5) (k+1) = 3130 x 1 (k) 2081 x 2(1) (k) 2033 x 2(2) (k) 2057 x 2(3) (k) 1767 x 3 (k) 2875 x 4(6) (k) 2873 x 4(7) (k) 2857 x 4(8) (k) 481 x 6(6) (k+1) x 5(3) (k) 30 x 6(5) (k) 2507 u(k+1) = 3130 x 1 (k) 2081 x 2(1) (k) 2033 x 2(2) (k) 2057 x 2(3) (k) 1767 x 3 (k) 2875 x 4(6) (k) 2873 x 4(7) (k) 2857 x 4(8) (k) 481 x 5(3) (k) 30 x 6(6) (k) 2507 u(k+1) x 7 (k+1) = 3185 x 1 (k) 2136 x 2(1) (k) 2088 x 2(2) (k) 2112 x 2(3) (k) 1822 x 3 (k) 2859 x 4(1) (k) 2871 x 4(2) (k) 2940 x 4(3) (k) 2931 x 4(4) (k) 2931 x 4(5) (k) 2920 x 4(6) (k) 2905 x 4(7) (k) 2889 x 4(8) (k) 454 x 5(1) (k) 537 x 5(2) (k) 513 x 5(3) (k) 54 x 6(1) (k) 57 x 6(2) (k) 61 x 6(3) (k) 66 x 6(4) (k) 56 x 6(5) (k) 62 x 6(6) (k) 274 x 7 (k) 2562 u(k+1) x 8 (k+1) x 9 (k+1) = 3465 x 1 (k) 2416 x 2(1) (k) 2368 x 2(2) (k) 2392 x 2(3) (k) 2102 x 3 (k) 3139 x 4(1) (k) 3151 x 4(2) (k) 3220 x 4(3) (k) 3211 x 4(4) (k) 3211 x 4(5) (k) 3200 x 4(6) (k) 3185 x 4(7) (k) 3169 x 4(8) (k) 734 x 5(1) (k) 817 x 5(2) (k) 793 x 5(3) (k) 334 x 6(1) (k) 337 x 6(2) (k) 341 x 6(3) (k) 346 x 6(4) (k) 336 x 6(5) (k) 342 x 6(6) (k) 554 x 7 (k) 1090 x 8 (k) 2842 u(k+1) = 4559 x 1 (k) 3465 x 2(1) (k) 3462 x 2(2) (k) 3486 x 2(3) (k) 3196 x 3 (k) 4233 x 4(1) (k) 4245 x 4(2) (k) 4314 x 4(3) (k) 4305 x 4(4) (k) 4305 x 4(5) (k) 4294 x 4(6) (k) 4279 x 4(7) (k) 4263 x 4(8) (k) 1828 x 5(1) (k) 1911 x 5(2) (k) 1887 x 5(3) (k) Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 55

4 1428 x 6(1) (k) 1431 x 6(2) (k) 1435 x 6(3) (k) 1440 x 6(4) (k) 1430 x 6(5) (k) 1436 x 6(6) (k) 1648 x 7 (k) 2184 x 8 (k) 47 x 9 (k) 3936 u(k+1) y(k) = x 9 (k) + 53 untuk k = 1, 2, 3,..., 25 d6 = 1307 P4(1) d17 = 26 d7 = 1312 t 16 d14 = 211 t 26 P6(1) d2 = 207 P2(1) t 8 P4(2) d8 = 1324 t 17 t 18 P5(1) t 27 d18 = 28 P6(2) t 32 t 9 P4(3) u(k) t 1 t 2 d1 = 627 d3 = 183 t 3 P1 P2(2) t 4 d4 = 195 t 5 d5 = 102 t 6 P3 t 7 t 10 d9 = 1319 t 11 P4(4) d10 = 1320 t 12 P4(5) t 13 t 14 d11 = 1314 t 19 t 20 t 21 t 22 d15 = 250 P5(2) t 28 t 29 d19 = 29 P6(3) d20 = 32 P6(4) t 33 t 34 d23 = 274 d24 = 1090 d25 = 47 P7 P8 P9 t 35 t 36 t 37 t 38 t 39 t 40 y(k) P2(3) t 15 P4(6) d12 = 1313 t 23 d16 = 239 t 30 d21 = 27 P6(5) P4(7) t 24 P5(3) d22 = 30 t 31 d13 = 1305 t 25 P6(6) P4(8) Gambar 1. Graf Sstem Produks Tempe Super Dangsul Keterangan : P1 : perendaman I P2 : perebusan I P3 : pengglngan P4 : perendaman II dan pencucan P5 : perebusan II P6 : pendngnan dan peragan P7 : pembungkusan produk P8 : penympanan produk P9 : pemulusan produk Perlu dperhatkan juga beberapa asums untuk penerapan sstem produks tempe Super Dangsul pada Aljabar Max-Plus n, dantaranya sebaga berkut : 1. Waktu aktftas dan barsan kejadan sstem produks adalah determnstk (operasnya dapat dpredks secara tepat) (Wetjen, 2004: 11). 2. Sstem produks melalu semua tahapan proses yang dberkan (Wetjen, 2004: 12). 3. Tdak ada mesn yang rusak (Wetjen, 2004: 12). Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 56

5 4. Pada nput sstem dan antara unt pemrosesan terdapat penyangga (buffer) yang berturut-turut dsebut buffer nput dan buffer nternal dengan kapastas yang cukup besar untuk menjamn tdak ada penyangga yang meluap (overflow). 5. Suatu unt pemrosesan hanya dapat mula bekerja untuk suatu produk baru jka telah menyelesakan pemrosesan produk sebelumnya dengan menggunakan bahan 1 ton kedela untuk sekal produks. 6. Sstem produks Tempe Murn Super Dangsul berjalan terus menerus selama pesanan mash ada. 7. Matrks dalam sstem persamaannya merupakan matrks konstan, yatu tdak tergantung pada parameter k sehngga sstemnya merupakan sstem waktu nvarant. Jka dtulskan dalam persamaan matrks dalam aljabar max-plus, persamaan-persamaan d atas menjad : xk xk ( ) 946 u( k 1) y( k) 53 x( k) untuk k = 1, 2, 3,..., 25 dengan x(k) = [x 1 (k), x 2(1) (k), x 2(2) (k), x 2(3) (k), x 3 (k), x 4(1) (k), x 4(2) (k), x 4(3) (k), x 4(4) (k), x 4(5) (k), x 4(6) (k), x 4(7) (k), x 4(8) (k), x 5(1) (k), x 5(2) (k), x 5(3) (k), x 6(1) (k), x 6(2) (k), x 6(3) (k), x 6(4) (k), x 6(5) (k), x 6(6) (k), x 7 (k), x 8 (k), x 9 (k)] T Untuk hal n, keadaan awal dlambangkan x(0) = x 0, sehngga Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 57

6 A R max, B 946 R 251, max dan C R A ddefnskan sebaga sstem produks tempe yang sedang berlangsung, B sebaga waktu transfer dar awal bahan baku kedela dmasukkan sampa proses ke-, dan C sebaga jumlah waktu proses akhr dan waktu transfer sebelum tempe dapat dambl atau selesa dkerjakan. Analss Input-Output Sstem Produks Tempe Super Dangsul dengan Sstem Lner Max-Plus Invarant Teorema 1. Input-Output SLMI (A, B, C, x 0 ) (Rudhto, 2003: 56) Dberkan suatu blangan bulat postp p. Jka vektor output y = [y(1), y(2),..., y(p)] T dan vektor nput u = [u(1), u(2),..., u(p)] T pada SLMI (A, B, C, x 0 ), maka y = K x 0 H u dengan CA C B CA 2 CAB CB K dan H p C A p1 B C A p2 C A B CB Bukt Jka dberkan konds awal x(0) = x 0 dan barsan nput u matematk akan dbuktkan berlaku k x(k) = ( A x(0) ) ( ( A Dperhatkan bahwa k 1 k ( k) k0 B u() ) untuk k = 1, 2, 3,... max, dengan nduks Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 58

7 x(1) = A x(0) B u(1) = A x(0) = ( Jad benar untuk k = 1. 1 A 1 x(0) ) ( 1 ( 0 A B u(1) A 1 B u() ). n Msalkan benar untuk k = n yatu x(n) = ( A x(0) ) ( ( A maka x(n +1) = A x(n) B u(n +1) = A(( = (( = (( n A n x(0)) ( 1 A n1 n x(0)) ( 1 n1 A Jad benar untuk k = n +1. Akbatnya dperoleh y(k) = (C n x(0)) ( k A k x(0)) ( C ( A ( A ( A n ( n1) ( n1) A k n 1 n B u())) B u(n +1) B u())) B u(n+1) B u())) B u(n+1). B u() ), B u() ) untuk k = 1, 2, 3,... Dberkan suatu blangan bulat postp p. Jka ddefnskan y = [y(1), y(2),..., y(p)] T dan u = [u(1), u(2),..., y(p)] T maka dar persamaan d atas dperoleh: y(1) = C A x(0) C B u(1) 2 A y(2) = C x(0) C A B u(1) C B u(2) p y(p) = C A x(0) C A p1 B u(1) C A p2 B u(2) C B u(p). atau dalam persamaan matrks dapat dtulskan sebaga y(1) C A C B u(1) y(2) 2 = C A x(0) C A B C B u(2) p p1 p2 y( p) C A C A B C A B C B u( p) atau y = K x(0) H u dengan C A C B 2 K = C A dan H = C A B C B. p p1 p2 C A C A B C A B C B SLMI (A, B, C, x 0 ) dengan suatu barsan vektor keadaan sstem dan barsan output sstem, msalkan konds awal sstem x(0) = [0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ] T yang berart unt pemrosesan P 1 memula aktftasnya saat waktu 0, Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 59

8 sementara unt pemrosesan P 2(1), P 2(2), P 2(3) mash kosong dan harus menunggu datangnya nput dar P 1. Selanjutnya proses-proses berkutnya juga harus menunggu proses sebelumnya sampa proses terakhr selesa d P 9. Sstem produks tempe n dmula malam har yatu pada pukul sehngga bahan mentah dmasukkan sstem saat waktu 0 yatu pada pukul Dalam sstem produks n msal dalam sehar ada 5 pesanan, masng-masng membutuhkan bahan kedela 200 kg,500 kg, 300 kg, 400 kg, dan 600 kg, sehngga membutuhkan dua kal sstem produks. Pesanan pertama, kedua, dan ketga dapat dkerjakan pada proses pertama, sedangkan pesanan keempat dan kelma dkerjakan pada proses kedua. Sstem produks kedua dkerjakan setelah proses perendaman pertama selesa. P 1 mebutuhkan waktu 627 ment dan waktu transfer dar nput ke P 1 adalah 4 ment sehngga produks kedua dapat dmula pada ment ke- 631 yatu pukul (keesokan harnya), yang berart dberkan barsan nput u(1) = 0, u(2) = 631, dan seterusnya, untuk setap k = 1, 2, 3,..., 25,... Ddefnskan menurut sstem produks tempe yang ada, maka dapat dperoleh barsan output sebaga berkut y = [y(1), y(2), y(3), y(4), y(5), y(6), y(7), y(8), y(9), y(10), y(11), y(12), y(13), y(14), y(15), y(16), y(17), y(18), y(19), y(20), y(21), y(22), y(23), y(24), y(25), y(26)] T. Jka dberkan x(0) = [0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ] T dan barsan nput waktu dalam memasukkan bahan baku u = [0, 631,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ] T 0 y K x H u Hal n berart bahwa produk selesa dan dapat dantar atau dambl langsung oleh pemesan pada y(1) = 4612, y(2) = Untuk memudahkan hasl perhtungan d atas, dsajkan tabel sebaga berkut : Tabel 1 Jadwal Pesanan Produks Tempe Super Dangsul Pesanan Waktu Pengerjaan Produk Dapat Dambl 1, 2, dan 3 Har ke-1 pukul Har ke-3 pukul atau sesudahnya 4 dan 5 Har ke-2 pukul Har ke-4 pukul atau sesudahnya Optmsas Sstem Produks Tempe Super Dangsul dengan Sstem Lner Max-Plus Invarant Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 60

9 Berkut dbahas masalah nput palng lambat pada SLMI (A, B, C, x 0 ). Masalah nput palng lambat pada SLMI (A, B, C, x 0 ) adalah sebaga berkut : Dberkan suatu blangan bulat postp p. Dketahu vektor output y = [y(1), y(2),..., y(p)] T. Msalkan vektor nput u = [u(1), u(2),..., u(p)] T pada SLMI (A, B, C, x 0 ). Permasalahannnya adalah menentukan vektor nput u terbesar(waktu palng lambat) sehngga memenuh K x 0 H u y, dengan K dan H sepert dalam teorema 1. m Teorema 2. (Rudhto, 2003: 64) Dberkan SLMI (A, B, C, x 0 ) dengan C B ɛ. Jka K x 0 m y, maka penyelesaan masalah nput palng lambat pada SLMI (A, B, C, x 0 ) dberkan oleh uˆ [ uˆ (1), uˆ (2),..., uˆ ( p)] T dengan uˆ( k) max( y( ) Hk, ), untuk k = 1, 2,, p. 1 p Bukt Masalah nput palng lambat pada SLMI (A, B, C, x 0 ) menjad masalah menentukan vektor nput u terbesar (waktu palng lambat) yang memenuh H u m y. Masalah n merupakan masalah menentukan sub penyelesaan terbesar sstem persamaan lnear max-plus K x 0 H u = y. Karena C B ɛ maka komponen setap kolom matrks H tdak semuanya sama dengan ɛ. Apabla H u = y dberkan oleh uˆ [ uˆ (1), uˆ (2),..., uˆ ( p)] T dengan uˆ( k) max( y( ) Hk, ), untuk k = 1, 2,, p. 1 p Teorema 3. (Rudhto, 2003: 67) Dberkan SLMI (A, B, C, x 0 ) dengan C B ɛ. Jka K x 0 m y, maka penyelesaan masalah mnmas smpangan maksmum output pada SLMI (A, B, C, x 0 ) dberkan oleh u uˆ dengan û merupakan subpenyelesaan terbesar sstem H u = y dan 2 = max ( y H uˆ ). Bukt Masalah mnmas smpangan maksmum output n jad menentukan vektor nput u sedemkan sehngga max ( y H U). Masalah n merupakan masalah optmsas yang berkatan dengan sstem persamaan lnear max-plus K x 0 H u = y. Karena C B ɛ maka komponen setap kolom matrks H tdak semuanya sama dengan ɛ. Suatu penyelesaan u untuk masalah u uˆ, dengan = max ( y H uˆ ) dan 2 û merupakan subpenyelesaan terbesar sstem H u = y. Apabla seorang konsumen memesan dengan menentukan waktu produks selesa terlebh dahulu sebelum sstem produks dkerjakan, maka produsen harus membuat jadwal untuk memulanya dan menghtung waktu optmalnya supaya produsen tdak membuang banyak waktu. Akan tetap, dalam optmsas sstem produks tempe Super Dangsul n perlu dberkan syarat menurut Teorema 3.2, sehngga produks tempe dapat Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 61

10 dkerjakan apabla K x 0 m y. Mnmal pengamblan produk tempe menurut urutan produks y = [4612, 5936, 7260, 8584, 9908, 11232, 12556, 13880, 15204, 16528, 17852, 19176, 20500, 21824, 23148, 24472, 25796, 27120, 28444, 29768, 31092, 32416, 33740, 35064, 36388, 37712] Dberkan smulas produks, dalam 1 har pemesanan tempe UD. Super Dangsul mencapa 5 pesanan dengan jumlah frekuens pemesanan 2 ton kedela. Pemesan akan mengambl produknya pada waktu yang berbeda, 3 pesanan pertama akan dambl pada har ketga pukul dan 2 pesanan terakhr akan dambl pada har ke-4 setelah pemesanan pada pukul Kasus tersebut dapat dpecahkan dengan menggunakan optmsas Aljabar Max-Plus. Smulas pada kasus d atas hanya membutuhkan dua kal sstem produks, maka cukup dperhatkan 2 barsan output awal dar perhtungan. Produsen dapat mengkonvers waktu pengamblan produk dengan menghtung waktu dar awal sstem dkerjakan. Har ketga pukul dapat dkonvers menjad ment ke dan pukul dapat dkonvers menjad ment ke sehngga produsen cukup memasukkan y = [4860, 6330, 7260, 8584, 9908, 11232, 12556, 13880, 15204, 16528, 17852, 19176, 20500, 21824, 23148, 24472, 25796, 27120, 28444, 29768, 31092, 32416, 33740, 35064, 36388, 37712]. Berkut hasl perhtungannya : uˆ H T ( y), yˆ K x(0) H uˆ, u, y K x(0) H u Dar output d atas, û ddefnskan sebaga nput kedela palng lambat dkerjakan, u ddefnskan sebaga nput mnmum smpangan dar waktu pesanan, ŷ sebaga waktu produks tempe selesa dan sap untuk dambl pemesan dengan nput û, dan y sebaga waktu produks tempe selesa dan sap untuk dambl pemesan dengan nput u. Dsajkan Tabel 2. berkut: Tabel 2. Optmas Pesanan Tempe Super Dangsul Pesanan Waktu û ŷ u y pengamblan(y) 1, 2, & 3 Har ke-3 pukul Har ke-1 pukul Har ke-3 pukul Har ke-1 pukul Har ke-3 pukul & 5 Har ke-4 pukul Har ke-2 pukul Har ke-3 pukul Har ke-2 pukul Har ke-4 pukul Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 62

11 KESIMPULAN Berkut kesmpulan yang dperoleh dar peneltan n : a) Dar model sstem produks Tempe Super Dangsul dengan Aljabar Max-Plus, A ddefnskan sebaga sstem produks tempe yang sedang berlangsung, B sebaga waktu transfer dar awal bahan baku kedela dmasukkan sampa proses ke-, dan C sebaga jumlah waktu proses akhr dan waktu transfer sebelum tempe dapat dambl atau selesa dkerjakan. b) Masalah nput-output SLMI pada sstem produks Tempe Murn Super Dangsul dapat dhtung dengan y K x0 H u dengan K dan H sepert dalam Teorema 3.1, u(k) menyatakan waktu saat kedela dmasukkan ke sstem untuk pemrosesan ke-k, sedangkan y(k) menyatakan waktu saat produk ke-k yang dselesakan mennggalkan sstem. c) Untuk menghtung waktu optmal dalam Produks Tempe Super Dangsul dapat dgunakan uˆ( k) max( y( ) Hk, ) dan u uˆ dengan 1 p 2 max ( y H uˆ ). Ddefnskan û sebaga nput kedela palng lambat dkerjakan, u sebaga nput mnmum smpangan dar waktu pesanan, ŷ sebaga waktu produks tempe selesa dan sap untuk dambl pemesan dengan nput û, dan y sebaga waktu produks tempe selesa dan sap untuk dambl pemesan dengan nput u. DAFTAR PUSTAKA B. De Schutter and T. van den Boom. (2000). Model predctve control for max-plus-lnear dscrete-event systems:extended report & Addendum. A short verson of ths report has been publshed n Automatca, vol. 37, no. 7, pp Faculty of Informaton Technology and System, Delt Unversty of Technology, Delft. Baccell, F., Cohen, G., Olsder, G.J., Quadrat, J.P. (2001). Synchronzaton and Lnearty. New York: John Wley & Sons. Bart De Schutter. (1996). Max-Algebrac System Theory for Dscrete Event Systems. Proefschrft voorgedragen tot het behalen van het doctoraat n D. Wetjens. (2004). Dscrete event system analyss usng the max-plus-algebra. Master's Thess. Endhoven Unversty of Technology. I. Necoara, B. De Schutter, T. van den Boom, and H. Hellendoor. (2008). Model Predctve Control for Uncertan Max-Mn-Plus-Scalng Systems. Internatonal Journal of Control, vol. 81, no. 5, pp Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 63

12 M. Andy Rudhto. (2003). Sstem Persamaan Lnear Max-Plus Waktu Invaran. Tess. UGM. Subono. (2010). Aljabar Maxplus dan Terapannya. Surabaya : Jurusan Matematka, FMIPA-ITS, Surabaya. Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 64