Jurnal Pendidikan Matematika & Matematika

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Jurnal Pendidikan Matematika & Matematika"

Suryadi Doddy Makmur
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Jurnal Penddkan Mateatka & Mateatka Syasah. (2011). Pengaruh Puasa Terhadap Konsentras Belajar Sswa. Jakarta: UIN Syarf Hdayatullah Jakarta. Thabrany, Hasbullah. (1995). Rahasa Sukses Belajar. Jakarta: PT Raja Grafndo Persada, PT. Lentera Abad. 96

2 Volue 1 No.1 JULI 2015 WAKIL UNSUR PEMBANGUN IDEAL DARI BILANGAN BULAT GAUSS MODULO (Z []) Hastr Rosyant Penddkan Mateatka Unverstas Muhaadyah Jakarta hastrrosyant@yahoo.co Abstrak Telah dketahu bahwa Z[] erupakan daerah Eucld aka Z[] juga erupakan daerah deal utaa. Msalkan Z + dan I deal dar Z []. Lebh lanjut, I dbangun secara berhngga dapat dnyatakan banyaknya unsur pebangun dar I dapat dreduks. Peneltan n bertujuan untuk enyatakan bahwa setap deal d Z [] dbangun oleh suatu wakl unsur pebangun deal. Kata kunc : Blangan bulat Gauss (Z[]), Ideal Utaa I, Blangan Bulat Gauss Modulo (Z []). PENDAHULUAN Gelanggang blangan bulat Gauss erupakan salah satu sste ateatka yang dbentuk dar gelanggang blangan bulat. Hpunan blangan bulat Gauss dpelopor oleh Carl Fredrch Gauss pada tahun Da eperoleh Teorea Resprostas Kuartk elalu pendekatan whole coplex nubers. Whole coplex nuber ddefnskan oleh Carl Fredrch Gauss sebaga a b dengan, Z. Pada saat tulah whole coplex nuber, yang sekarang n dnaakan hpunan blangan bulat Gauss Z[]. Hpunan blangan bulat Gauss ddefnskan Z[] = {+,Z} dengan 1. Jelas bahwa hpunan blangan bulat Gauss tersebut tertutup terhadap operas tabah dan kal. Dapat dtunjukkan bahwa Z[] erupakan daerah ntegral (Muchls dan Astut, 2007:8.3). Hpunan blangan bulat Gauss erupakan daerah ntegral yang 97

3 Jurnal Penddkan Mateatka & Mateatka eenuh algorta pebagan, yang dkenal sebaga daerah Eucld (Irvng, 1952:248). Hpunan blangan bulat Gauss erupakan daerah ntegral yang eenuh algorta pebagan, yang dkenal sebaga daerah eucld. Dala enelaah struktur daerah eucld dar dperlukan fungs nor N yang ddefnskan sebaga berkut. : Z[] {} Z = {,,, } + +. Telah dketahu bahwa Z[] erupakan daerah Eucld aka Z[] juga erupakan daerah deal utaa(muchls dan Astut, 2007: 11.8). Sehngga, setap deal dar Z[] dbangun oleh satu unsur(muchls dan Astut, 2007: 10.4). Artnya jka I deal dar Z[] aka I n untuk suatu Z[]. Msalkan Z +, gelanggang blangan bulat Gauss odulo (Z[]) erupakan salah satu gelanggang yang dkontruks dar Z[]. Hpunan blangan bulat Gauss odulo dapat ddefnskan sebaga a b a, b dengan 1. Jelas bahwa hpunan pula bahwa Perhatkan dkonstruks dar tertutup terhadap operas tabah dan kal. Dapat dtunjukkan erupakan gelanggang koutatf. dengan yang juga erupakan sste ateatka yang. Hpunan n ddefnskan sebaga a a b, b dengan 1. Hpunan dlengkap dengan operas tabah dan kal yang ddefnskan sebaga berkut. Untuk setap v w,, dengan vab, wc d, abcd: acb d dan : Jelas bahwa hpunan dtunjukkan bahwa Gelanggang a b c d ac bd ad bc. tertutup terhadap operas tabah dan kal. Dapat erupakan gelanggang koutatf. Dlk bahwa soorf dengan gelanggang. 98 Msalkan dan I deal dar []. Karena [] berhngga aka banyaknya unsur d I berhngga. Sehngga deal I dbangun secara hngga. Lea 1.1 enyatakan bahwa banyaknya unsur pebangun dar I dapat dreduks. Akbatnya deal dar [] dapat dbangun oleh satu unsur.

4 Volue 1 No.1 JULI 2015 Lea 1.1. Msalkan I deal dar []. Jka I x1, x2,..., xn 1, xn dengan n 2 aka I x1, x2,..., xn2, t' untuk suatu t' []. Lebh jauh I dbangun oleh satu unsur. (Rosyant, 2014). HASIL DAN PEMBAHASAN Msalkan I x deal dar [] dengan x a b,0 a, b. Jka xa b faktor dar aka x dnaakan wakl unsur pebangun deal. Teorea 2.1 enyatakan bahwa setap deal d [] dbangun oleh suatu wakl unsur pebangun deal. Cara pebuktan yang dlakukan ddapat sendr dan berbeda dengan hasl yang saa yang dtuls dala artkel lan. Teorea 2.1. Jka I deal dar [] aka terdapat wakl unsur pebangun deal n a b, sehngga I n dengan 0 ab, dan a b faktor dar. Bukt. Msalkan I deal dar []. Berdasarkan Lea 1.1, dperoleh I n dengan n a b. Pandang hubungan antara a b dan d [] sebaga berkut. (1) Jka a b aka n a b adalah wakl unsur pebangun deal. (2) Jka asuskan a b. Msalkan gcd, ab t dengan t t1 t2. 2 Karena N t aka t 1, t 2. Akbatnya terdapat t' t1' t2', dengan 0 t1', t2' terdapat gcd ab, t'. Menurut Teorea Bezout, sehngga xy,, sehngga dapat dtuls a b x y t'. Pandang d [] sehngga a b x t'. Akbatnya t' a b. Karena gcd ab, t' aka t' a b dan ' untuk suatu vw,. Pandang d [] t, sehngga a b t' v w,, dperoleh a b t' v w. Akbatnya a b t'. Jad I t' dengan t ' erupakan wakl unsur pebangun deal. 99

5 Jurnal Penddkan Mateatka & Mateatka Sebaga contoh dar Teorea 2.1, perhatkan bahwa deal dar [] 4 adalah 1, 0, 2, 2 2, 1. Hasl peneltan n beranfaat guna enabah referens engena deal blangan bulat Gauss odulo dan sebaga referens pada atakulah aljabar abstrak. DAFTAR PUSTAKA Irvng, R.S. (2000). Integers, Polynoals and Rngs. New York: Sprnger. Muchls, A dan Astut, Pudj. (2007). Aljabar 1. Jakarta: Unverstas Terbuka. Rosyant, Hastr. (2014). Pebangun Blangan Bulat Gauss Modulo. BIAStatstcs. Departeen Statstka Fakultas Mateatka Ilu Pengetahuan Ala Unverstas Padjajaran. ISSN

dokumen-dokumen yang mirip

Teori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN. impunan sebagai koleksi (pengelompokan) dari objek-objek yang

Teori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN. impunan sebagai koleksi (pengelompokan) dari objek-objek yang Modul 1 Teor Hmpunan PENDAHULUAN Prof SM Nababan, PhD Drs Warsto, MPd mpunan sebaga koleks (pengelompokan) dar objek-objek yang H dnyatakan dengan jelas, banyak dgunakan dan djumpa dberbaga bdang bukan