Bab 1 Ruang Vektor. R. Leni Murzaini/

Transkripsi

1 Bab 1 Ruang Vektor Defns Msalkan F adalah feld, yang elemen-elemennya dnyatakansebaga skalar. Ruang vektor atas F adalah hmpunan tak kosong V, yang elemen-elemennya merupakan vektor, bersama dengan dua operas. Operas pertama dsebut penjumlahan dan dnotaskan dengan +, yang dmaksud dengan setap pasangan (u, v) d V adalah vektor u + v d V. Operas kedua dsebut perkalan dengan skalar dan dnotaskan penjajaran, yang dmaksud dengan setap pasangan (r, u) F x V adalah vektor ru d V. Lebh lanjut, harus pula memenuh sfat-sfat: 1. (Assosatf terhadap penjumlahan) Untuk setap vektor u, v, w V, u + (v + w) = (u + v ) + w 2. (Komutatf terhadap penjumlahan) Untuk setap vektor u, v, w V, u + v = v + u 3. (Eksstens elemen nol) Terdapat vektor 0 V yang bersfat 0 + u = u + 0 = u untuk setap vektor u V 4. (Eksstens nvers penjumlahan) Untuk setap vektor u V, terdapat vektor d V, dnotaskan dengan u, yang bersfat: u + ( u) = ( u) + u = 0 5. (Sfat perkalan dengan skalar) Untuk setap skalar a, b F dan untuk setap vektor u, v V, a(u + v) = au + av (a + b)u = au + bu (ab)u = a(bu) 1u = u, dengan 1F Perhatkan bahwa empat sfat pertama pada defns ruang vektor dapat drngkas dengan mengatakan bahwa V adalah grup abelan terhadap operas penjumlahan. Ruang vektor atas feld F dsebut Ruang-F. Ruang vektor atas feld real dsebut ruang vektor real dan ruang vektor atas feld kompleks dsebut ruang vektor kompleks. Defns Msalkan S adalah subset tdak kosong dar ruang vektor V. Kombnas lner dar vektorvektor d S dnyatakan dalam bentuk a 1 v a n v n dengan v 1,, v n S dan a 1,, a n F. Skalar a dsebut koefsen dar kombnas lner. R. Len Murzan/

2 Suatu kombnas lner dkatakan trval jka setap koefsen a adalah nol, selan tu dkatakan nontrval. Contoh-Contoh Ruang Vektor Berkut n beberapa contoh ruang vektor. Contoh 1.1 1) Msalkan F adalah suatu feld. Hmpunan F F yatu hmpunan semua fungs dar F ke F, adalah ruang vektor atas F, dbawah operas penjumlahan dan perkalan skalar pada fungs: dan (f + g)(x) = f(x) + g(x) (af)(x) = a(f(x)). 2) Hmpunan M m,n (F) yatu hmpunan semua matrks m x n dengan entr-entrnya d feld F, adalah ruang vektor atas F, dbawah operas penjumlahan matrks dan perkalan matrks dengan skalar. 3) Hmpunan F n yatu hmpunan semua susunan n-tuples yang komponen-komponennya berada d feld F, adalah ruang vektor atas F, dengan penjumlahan dan perkalan skalar yang ddefnskan: dan (a 1,, a n )+(b 1,, b n ) = (a 1 + b 1,, a n + b n ) c(a 1,, a n ) = (ca 1,, ca n ) Element-elemen F n dapat juga dtuls dalam bentuk kolom. Jka F adalah feld hngga dengan q n elemen, dtuls V(n, q) untuk F q. 4) Msal F adalah suatu feld. Bentuk barsan ssebagan besar ruang barsan adalah ruang vektor. Hmpunan Seq(F) yatu hmpunan semua barsan tak hngga yang merupakan anggota feld F, adalah ruang vektor yang operasnya ddefnskan dan (s n ) + (t n ) = (s n + t n ) a(s n ) = (as n ) Dengan cara serupa, hmpunan c o yatu hmpunan blangan kompleks yang konvergen ke 0 adalah ruang vektor, sepert hmpunan l yatu hmpunan semua barsan kompleks terbatas. Juga, jka p adalah blangan bulat postf, maka hmpunan l p yatu hmpunan semua barsan kompleks (s n ) dengan R. Len Murzan/

3 n1 s n p adalah ruang vektor dbawah operas componentwse. Untuk melhat apakah pejumlahan merupakan operas bner d l p, salah satu dar Mnkowsk s nequalty yang tdak dkerjakan dsn. 1/ p 1/ p 1/ p p p p sn tn sn tn n1 n1 n1 Subruang Sebagan besar struktur aljabar memuat substruktur, termasuk ruang vektor. Defns S subset dar V dkatakan subruang dar ruang vektor V jka S adalah ruang vektor dengan operas yang sama dengan operas pada V, dnotaskan dengan S V dan jka S adalah subruang sejat dar V dnotaskan dengan S < V. Subruang nol dar V adalah {0}. Untuk mengetahu apakah S adalah subruang dar V, cukup dseldk bahwa S tertutup dbawah operas d V. Teorema 1.1 Subset S yang tdak kosong dar ruang vektor V adalah subruang dar V jka dan hanya jka S tertutup dbawah operas penjumlahan dan perkalan dengan skalar atau, secara ekvalen, S tertutup dbawah kombnas lner, yatu, a, b F, u, v S au + bv S Bukt: 1. Jka dketahu S V, S, S adalah subruang dar ruang vektor V maka S tertutup dbawah operas penjumlahan dan perkalan dengan skalar. Bukt: Dketahu S V, S, S adalah subruang dar ruang vektor V. Akan dtunjukkan bahwa S tertutup dbawah operas penjumlahan dan perkalan dengan skalar. Ambl sebarang a, b F Karena S, ambl sebarang u, v S. Karena S adalah subruang dar ruang vektor V, berart S adalah ruang vektor dengan operas yang sama dengan operas pada V. 3 R. Len Murzan/

4 Karena S adalah ruang vektor, berart au S dan bv S. Karena au S, bv S, S V, berart au + bv S. Terbukt bahwa jka S V, S, S adalah subruang dar ruang vektor V maka S tertutup dbawah operas penjumlahan dan perkalan dengan skalar. 2. Jka dketahu bahwa S V, S, dan S tertutup dbawah operas penjumlahan dan perkalan dengan skalar maka S subruang dar ruang vektor V. Akan dtunjukkan bahwa S adalah ruang vektor 2.1. Akan dtunjukkan bahwa (S, +) adalah grup abelan 2.2. Akan dtunjukkan bahwa untuk setap skalar a, b F dan untuk setap vektor u, v S, berlaku a(u + v) = au + av, (a + b)u = au + bu, (ab)u = a(bu), 1u = u, dengan 1F Bukt: 2.1. Dketahu S V, S, dan S tertutup dbawah operas penjumlahan dan perkalan dengan skalar Ambl sebarang u, v, w S Ambl sebarang a, b F Akan dtunjukkan bahwa (S, +) adalah grup abelan Karena S V dan V adalah ruang vektor, berart berlaku u + (v + w) = (u + v) + w dan u + v = v + u...() Karena S V, V adalah ruang vektor, dan S tertutup terhadap perkalan dengan skalar berart terdapat 1 F sedemkan sehngga ( 1)u = u S..() Karena S tertutup terhadap penjumlahan, berart u + ( u) = 0 S.() Dar (), (), dan () terbukt bahwa (S, +) adalah grup abelan Dketahu S V, S, dan S tertutup dbawah operas penjumlahan dan perkalan dengan skalar Karena S, ambl sebarang u, v, w S Ambl sebarang a, b F Akan dtunjukkan berlaku a(u + v) = au + av, (a + b)u = au + bu, (ab)u = a(bu), 1u = u, dengan 1F. Karena S V berart u, v, w V. Karena V adalah ruang vektor, berart berlaku a(u + v) = au + av, (a + b)u = au + bu, (ab)u = a(bu), 1u = u, dengan 1F. R. Len Murzan/

5 Terbukt bahwa setap skalar a, b F dan untuk setap vektor u, v S, berlaku a(u + v) = au + av, (a + b)u = au + bu, (ab)u = a(bu), 1u = u, dengan 1F. Dar pembuktan 2.1 dan 2.2. terbukt bahwa S adalah ruang vektor. Dar pembuktan 1 dan 2 terbukt bahwa Subset S yang tdak kosong dar ruang vektor V adalah subruang dar V jka dan hanya jka S tertutup dbawah operas penjumlahan dan perkalan dengan skalar atau, secara ekvalen, S tertutup dbawah kombnas lner, yatu, a, b F, u, v S au + bv S Contoh 1.2 Pandang ruang vektor V(n, 2) dar semua n-tuples bner, yatu n-tuples yang terdr dar 0 dan 1. Bobot W(v) dar vektor v V(n, 2) adalah jumlah koordnat tdak nol d V, msal W( ) = 3. Msal E n adalah hmpunan semua vektor d V yang berbobot genap. Maka E n adalah subruang dar V(n, 2). Untuk melhat hal n, perhatkan bahwa W(u + v) = W(u) + W(v) 2W(u v) dengan u v adalah vektor d V(n, 2) yang komponen ke- nya adalah product dar komponen ke- dar u dan v, yatu, (u v) = u. v Selanjutnya jka W(u) dan W(v) keduanya genap, begtu juga dengan W(u + v). Akhrnya, perkalan skalar atas F 2 adalah trval dan juga E n adalah subruang dar V(n, 2), dkenal sebaga subruang berbobot genap dar V(n, 2). Contoh 1.3 Sebarang subruang dar ruang vektor V(n, q) dsebut lner code. Lner code adalah pentng dan banyak dpelajar dalam tpe-tpe kode, karena strukturnya berdayaguna dalam encodng dan decodng nformas. Lattce dar Subruang Hmpunan S(V) adalah hmpunan semua subruang dar ruang vektor V yang terurut secara set ncluson. Subruang nol {0} adalah elemen terkecl d S(V) dan V adalah elemet terbesar d S(V). Jka S, T S(V) maka S T adalah subruang terbesar dar V yang terkandung ddalam S maupun T. Dalam bentuk set ncluson, S T adalah batas bawah terbesar dar S dan T. S T = glb {S, T} R. Len Murzan/

6 Secara umum, jka {S K} adalah sebarang koleks subruang dar V, maka rsan-rsannya adalah batas bawah terbesar dar subruang: K S glb{ S K} Dengan kata lan, jka S, T S(V) ( dan F adalah tak hngga), maka S T S(V) jka dan hanya jka S T atau T S. Dengan demkan gabungan dua subruang bukanlah subruang. Teorema 1.2 Ruang vektor non trval V atas feld tak hngga F tdak dapat dnyatakan sebaga gabungan sejumlah hngga dar subruang sejat. Bukt. Andakan V = S 1 S n, asumskan bahwa S 1 S 2 S n Msalkan w S 1 \ (S 2 S n ) dan v S 1. Pandang hmpunan tak hngga A = {rw + v r F} yatu gars yang melalu v sejajar w. Akan dtunjukkan bahwa setap S memuat palng banyak satu vektor dar hmpunan tak hngga A, yang kontradks dengan V = S 1 S n. Jka rw + v S 1, r 0 maka w S 1 akbatnya v S 1, bertentangan dengan asums. Berkutnya, andakan r 1 w + v S dan r 2 w + v S, 2 dan r 1 r 2. Maka S (r 1 w + v) (r 2 w + v) = (r 1 r 2 )w Dperoleh w S, hal n juga bertentangan dengan asums. Berkut n adalah defns yang dgunakan untuk menentukan subruang terkecl dar V yang memuat subruang S dan T. Defns Msal S dan T adalah subruang dar V. Jumlah S + T ddefnskan dengan S + T = {u + v u S, v T} Lebh umum, jumlah sebarang koleks subruang {S K} adalah hmpunan dar jumlahan berhngga dar vektor- vektor pada gabungan S. K S s1... sn s j S K R. Len Murzan/

7 Tdak sult menunjukan bahwa jumlah sebarang koleks subruang dar V juga merupakan subruang dar V dan jumlahnya adalah batas atas terkecl dbawah set ncluson: S + T = lub{s, T} Lebh umum, K S lub{ S K} Jka sebagan terurut hmpunan P bersfat setap pasangan elemennya memlk batas atas terkecl dan batas bawah terbesar, maka P dsebut lattce. Jka P memlk elemen terkecl dan elemen terbesar dan bersfat setap koleks elemennya memlk batas atas terkecl dan batas bawah terbesar maka P dsebut lattce lengkap. Batas atas terkecl dar suatu koleks dsebut jon dar koleks dan batas bawah terbesar dar suatu koleks dsebut meet. Teorema 1.3 Hmpunan S(V) yatu hmpunan semua subruang dar ruang vektor V adalah lattce lengkap dbawah set ncluson, dengan elemen terkecl {0}, elemen terbesar V, meet glb{s K} = dan jon lub{s K} = Bukt: Dketahu S(V) adalah hmpunan semua subruang dar ruang vektor V. Akan dtunjukkan bahwa S(V) adalah lattce lengkap (1) Akan dtunjukkan bahwa S(V) memlk elemen terkecl dan elemen terbesar. (2) Setap koleks d S(V) memlk batas atas terkecl dan batas bawah terbesar. Bukt: (1) Akan dtunjukan bahwa S(V) memlk elemen terkecl dan elemen terbesar Karena S(V) adalah hmpunan semua subruang dar ruang vektor V maka berdasarkan defns subruang berart {0} S(V) dan V S(V), dengan {0} adalah elemen terkecl d S(V) dan V adalah elemen terbesar d S(V). Terbukt bahwa S(V) memlk elemen terkecl dan elemen terbesar. (2) Akan dtunjukkan bahwa setap koleks d S(V) memlk batas atas terkecl dan batas bawah terbesar Ambl G = {S 1, S 2,, S k } adalah sebarang koleks d S(V) K S K S Akan dtunjukkan bahwa G memlk batas bawah terbesar R. Len Murzan/

8 Karena S(V) adalah partally ordered by set ncluson berart dapat dplh S 1 dengan S 1 S 2 S k. Karena S 1 S 2 S k berart S 1 S glb S K K Terbukt bahwa setap koleks d S(V) memlk batas bawah terbesar...() Karena S(V) adalah partally ordered by set ncluson berart terdapat Sk S dengan S k S k 1 S 1. Karena S k S k 1 S 1 berart S S lub S K k K Terbukt bahwa S(V) memlk batas atas terkecl...() Dar () dan () terbukt bahwa Setap koleks d S(V) memlk batas atas terkecl dan batas bawah terbesar. Dar pembuktan (1) dan (2) terbukt bahwa Hmpunan S(V) yatu hmpunan semua subruang dar ruang vektor V adalah lattce lengkap dbawah set ncluson, dengan elemen terkecl {0}, elemen terbesar V, meet K dan jon glb{s K} = lub{s K} = K S K S R. Len Murzan/