JMP : Volume 5 Nomor 1, Juni 2013, hal SPEKTRUM PADA GRAF REGULER KUAT

Transkripsi

1 JMP : Volume 5 Nomor, Jun 03, hal. 3 - SPEKTRUM PD GRF REGULER KUT Rzk Mulyan, Tryan dan Nken Larasat Program Stud Matematka, Fakultas Sans dan Teknk Unerstas Jenderal Soedrman Emal : rzky90@gmal.com BSTRCT. Ths artcle studed spectrum of strongly regular graph. Ths spectrum can be determned by the number of walk wth lenght l on connected smple graph, equaton of square adacency matrx and egen alue of strongly regular graph. Key words: graph spectrum, strongly regular graph, egen alue BSTRK. rtkel n mengka spektrum pada graf reguler kuat. Spektrum n dapat dtentukan dengan mengetahu banyaknya alan dengan panang l pada graf sederhana terhubung, persamaan dar kuadrat matrks ketetanggaan graf reguler kuat dan nla egen pada graf reguler kuat. Kata kunc: spektrum graf, graf reguler kuat, nla egen. PENDHULUN Teor spektral graf mula dpelaar pada tahun 950 an. Teor spektral graf n merupakan salah satu kaan dalam teor graf yang mempelaar sfat-sfat graf dalam hubungannya dengan polnom karakterstk, nla egen dan ektor egen dar matrks yang merepresentaskan graf. Salah satu matrks representas dar graf adalah matrks ketetanggaan. Matrks ketetanggaan dar sebuah graf sederhana dengan n ttk adalah matrks berukuran n x n yang elemen bars ke- dan kolom ke- bernla 0 atau. Elemen bars ke- kolom ke- pada matrks ketetangaan akan bernla 0 ka ttk tdak bertetangga dengan ttk, dan bernla ka ttk bertetangga dengan ttk. Matrks ketetanggaan dar sebuah graf bersfat smetr, sehngga nla egen dar matrks n semuanya bernla rl (Kolman, 007).

2 4 Mulyan, dkk. Salah satu kaan dalam teor spekral graf adalah menentukan spektrum pada graf. Spektrum pada graf merupakan pasangan terurut dar nla-nla egen matrks ketetanggaan beserta multplstasnya. Jka adalah nla egen dar matrks, maka multplstas alabar ddefnskan sebaga multplstas dar sebaga akar polnom karakterstk dar. Sementara tu multplstas geometr ddefnskan sebaga dmens dar ruang egen E. Pada matrks smetr, multplstas geometr sama dengan multplstas alabarnya (Kolman, 007). Graf reguler kuat dengan parameter (n,k,a,b) ddefnskan sebaga graf reguler berderaat k yang mempunya n ttk dengan umlah ketetanggaan bersama untuk setap pasang ttk yang bertetangga adalah a dan umlah ketetanggaan bersama untuk setap pasang ttk yang tdak bertetangga adalah b (Bggs,993). Spektrum pada graf reguler kuat dengan parameter (n,k,a,b) dapat dturunkan dar lemma dan teorema tentang banyaknya alan berbeda dar ttk u ke ttk pada graf terhubung, persamaan dar kuadrat matrks ketetanggaan graf reguler kuat, dan nla egen dar matrks ketetanggaan graf reguler kuat. Pada artkel n, lemma dan teorema tersebut dberkan oleh Bggs (993), Chaudhary et. al (986) dan Bapat (00). Namun bukt dar lemma dan teorema tersebut belum tertuls secara rnc. Oleh karena tu, penuls memberkan buktbuktnya lebh rnc. Selanutnya lemma dan teorema tersebut dgunakan oleh penuls untuk memperoleh bentuk spektrum pada graf reguler kuat.. SPEKTRUM GRF REGULER KUT Msalkan G ( ) adalah matrks ketetanggaan dar graf G dengan nla egen berbeda 0. Msal m adalah multplstas dar nla egen s ke, s 0,,,...,. Spektrum graf G yang dnotaskan dengan spec(g) ddefnskan sebaga (Bggs, 993).... spec( G) m m... m 0 s 0 s

3 Spektrum pada Graf Reguler Kuat 5 da beberapa lemma dan teorema yang dapat dgunakan sebaga acuan untuk menentukan spektrum pada graf reguler kuat (n, k, a, b). Berkut n adalah lemma yang dtuls oleh Bggs (993). Lemma. (Bggs, 993). Jka adalah matrks ketetanggaan dar graf G, maka elemen bars ke- kolom ke- pada matrks menyatakan umlah alan yang berbeda dar ke dengan panang pada graf G. Bukt. Lemma n akan dbuktkan dengan nduks matematka. ) Untuk, dperoleh ketetanggaan graf G adalah Jka bertetangga dengan. Elemen-elemen ke (, ) pada matrks, ka ( ) E( G) 0, ka ( ) E( G). maka terdapat ss yang menghubungkan langsung dar ke. Hal n berart terdapat alan dengan panang satu dar ke. Sebalknya ka tdak bertetangga dengan, maka tdak terdapat ss yang menghubungkan langsung dar ttk ke. Hal n berart tdak terdapat alan dengan panang satu dar ke. kbatnya elemen bars ke- kolom ke- pada matrks ketetanggaan menyatakan umlah alan dengan panang dar ke. ) sumskan benar untuk k, artnya ( k ) menyatakan umlah alan yang berbeda dar ke dengan panang k. ) kan dtunukkan k ( ) menyatakan umlah alan yang berbeda dar ke dengan panang k.

4 6 Mulyan, dkk. Jumlah alan yang berbeda dar ke dengan panang k sama dengan umlah alan yang berbeda dar ke dengan panang k dengan h adalah ttk h yang bertetangga dengan. Hal n berart umlah alan dengan panang k dar ke adalah ( h ) E ( G) k ( ), karena elemen ( ) h bernla satu ka h bertetangga dengan kbatnya dperoleh dan bernla 0 ka h tdak bertetangga dengan. n k k k k... h h h n n k k. Hasl n menympulkan bahwa elemen bars ke- kolom ke- pada matrks menyatakan umlah alan dar ke dengan panang k. k. Teorema. (Chaudhary et.al., 986). Jka G adalah graf reguler kuat dengan parameter (n,k,a,b), maka kuadrat matrks ketetanggaan dar graf G adalah ( a b) ( k b) I bj. Bukt : Untuk membuktkan teorema n akan dcar elemen bars ke- kolom ke- pada kuadrat matrks ketetanggaan ( ). Untuk =, elemen dagonal dar kuadarat matrks ketetanggaan suatu graf merepresentaskan deraat ttk. Karena G adalah graf reguler kuat berderaat k, maka ( ) k. Dar lemma dan defns graf reguler kuat, elemen bars ke- kolom ke- untuk dan ( ) E( G) pada kuadrat matrks ketetanggaan graf reguler kuat merepresentaskan uga banyaknya ketetanggaan bersama untuk setap dua ttk yang bertetangga yatu a. Sedangkan untuk elemen bars ke- kolom ke- dengan dan ( ) E( G) pada kuadrat matrks ketetanggaan graf reguler kuat merepresentaskan uga banyaknya ketetanggaan bersama untuk setap dua ttk

5 Spektrum pada Graf Reguler Kuat 7 yang tdak bertetangga yatu b. Oleh karena tu, berkut ( ) dapat dtuls sebaga k,untuk,untuk ( ) ( ) b,untuk dengan ( ) ( ). E G a dengan E G Persamaan () dapat uga dtuls sebaga berkut ki a b c. () Karena G adalah graf reguler maka c J I dsubsttuskan ke persamaan () dperoleh ki a c( J I ) ( a b) ( k b) I bj. c J I (Bggs, 993), apabla Teorema.3 (Bapat, 00). Jka G adalah graf reguler kuat dengan parameter (n,k,a,b) dan 4 t a b k b, maka setap nla egen dar adalah k atau a b t. Bukt. Nla egen o = k dperoleh dar proposs graf reguler G yang menyatakan k adalah nla egen dar matrks ketetanggaan G (Bggs, 993). Selanutnya akan dbuktkan * a b t uga nla egen dar matrks ketetanggaan graf reguler kuat dengan parameter (n, k, a, b). Msal dambl nla egen k, dan ektor egen yang bersesuaan dengan nla egen adalah y. Dar teorema dperoleh persamaan ( a b) ( k b) I bj ( b a) ( b k) I bj. ( 3)

6 8 Mulyan, dkk. Dengan mengalkan ruas kr dan ruas kanan pada persamaan (3) dengan y dperoleh y ( b a) y ( b k) Iy bjy. (4) Vektor egen yang bersesuaan dengan nla egen adalah u = [.] T (Kolman, 007). Karena y adalah ektor egen yang bersesuaan dengan, akbatnya u ortogonal dengan y. Sehngga y u y = y... yn 0. y n Persamaan (4) dapat dtuls sebaga y bjy= b y n 0 b =0. 0 Karena y y, persamaan (4) menad ( b a) ( b k) y = 0 y. (5) Persamaan (5) mengakbatkan ( b a) ( b k) 0. (6) Persamaan (6) merupakan persamaan kuadrat dengan arabel µ, persamaan kuadrat n dapat dfaktorkan menggunakan rumus sebaga berkut : Karena t b a 4k b ( a b) ( b a) 4( k b). sehngga (( ) ). a b t Selanutnya teorema 3 dgunakan untuk memperoleh bentuk spektrum pada graf reguler kuat dengan parameter (n, k, a, b). Hasl sebelumnya dperoleh tga persamaan untuk nla egen dar matrks ketetanggaan graf reguler kuat yatu

7 Spektrum pada Graf Reguler Kuat 9 0 k (7) ( a b) t (8) dengan t b a k b ( ) 4( ). ( a b) t (9) Msalkan m 0 adalah multplstas dar nla egen k, m adalah multplstas dar nla egen dan m adalah multplstas dar nla egen, maka multplstas dar matrks ketetanggaan graf reguler kuat adalah m0 m m n. Karena multplstas m0 k adalah (Bggs, 993), maka m m n. Salah satu sfat matrks ketetanggaan adalah 0, akbatnya tr( ) 0. Menurut Bggs (993), n tr( ) sehngga dperoleh n k m m 0. (0) Substtus persamaan (8) dan (9) ke persamaan (0), dperoleh ( a b) t ( a b) t k m m 0. () Kalkan persamaan () dengan, dperoleh k m ( a b) t m ( a b) t 0 m m t Tambahkan ruas kr dar persamaan () dengan m m dperoleh ( m m)( a b) k. () ( m m)( b a) k m m m m t ( m m)( b a) k m ( m m ) t ( m m )( b a) k m m m t ( ). (3)

8 0 Mulyan, dkk. Sebelumnya dketahu bahwa m m n. Substtus m m n ke persamaan (3) dperoleh sehngga Substtus ( n )( b a) k m ( n ), (4) t m n m ( n )( b a) k m ( n). (5) t t ( b a) 4( k b) ke persamaan (4) dan (5), dperoleh ( n )( b a) k m ( n) ( b a) 4( k b) m ( n )( b a) k ( n). ( b a) 4( k b) Oleh karena tu, dperoleh spektrum graf reguler kuat dengan k 0 m m 0 0 spec( G), m0 m m ( a b) ( b a) 4( k b) ( a b) ( b a) 4( k b) ( n )( b a) k m ( n) ( b a) 4( k b) ( n )( b a) k ( n). ( b a) 4( k b) 3. KESIMPULN DN SRN Bentuk spektrum pada graf reguler kuat dengan parameter (n,k,a,b) adalah

9 Spektrum pada Graf Reguler Kuat a b b a 4k b a b b a 4k b k spec( G), n b a k n b a k n n b a 4k b b a 4k b dengan n menyatakan banyak ttk d G, k menyatakan deraat setap ttk d G, a menyatakan banyaknya ketetanggaan bersama untuk setap dua ttk yang bertetangga dan b menyatakan banyaknya ketetanggaan bersama untuk setap dua ttk yang tdak bertetangga d G. Pada artkel n hanya dbahas mengena bentuk spektrum pada graf reguler kuat. Kaan lanutan dar spektrum pada graf reguler kuat adalah menentukan banyaknya spannng tree atau yang dsebut tree number dar graf regular kuat. DFTR PUSTK Bapat, R B. (00). Graphs Matrces. Hndustan Book, Inda. Bggs N. (993). lgebrac Graph Theory. Second Edton, Cambrdge Mathematcal Lbrary. Chaudhary, N.S, Sada, N.L., and Phatak, B.D. (986). Note on The Property of an dont of the dacency Matrx of Strongly Regular Graph, Indan Journal. Pure ppl.math. pp Kolman B.(007). Elementary Lnear lgebra and Its pplcatons. Nnth Edton. Publshed by Pearson.