PELABELAN TOTAL SISI TAK BERATURAN PADA GRAF GABUNGAN BIPARTIT LENGKAP

Transkripsi

1 JMP : Volume 1 Nomor 2, Oktober 2009 PELABELAN TOTAL SISI TAK BERATURAN PADA GRAF GABUNGAN BIPARTIT LENGKAP Tryan dan Nken Larasat Fakultas Sans dan Teknk, Unverstas Jenderal Soedrman Purwokerto, Indonesa Abstract For graph ( V, E) G, a labelng : V ( E( { 1, 2, K, k} s called an edge rregular total k labelng f for any two dfferent edges e and f of E (, we have w( e) w( f ), where w( e) ( x) e) y), xy E( Every graph G wth the edge set E( Ø has an edge rregular total k labelng by labelng all vertex wth 1 and the edges wth seres of number 1, 2,, E ( So that the bggest label on graph G s k E( Mnmum value k n ths edge rregular total k labelng called as total rregular edge strength of the graph G notated by tes( Ths research s tryng to nvestgate total rregular edge strength on the unon dsont of complete bpartte graph tes(tk m,n ) The result of the study show that tes(tk m,n ) fulfl the lower bound theorem of tes( Keywords weght on an edge, total rregular edge strength, edge rregular total k labelng PENDAHULUAN Graf G adalah suatu struktur (V, E) dengan V( adalah hmpunan tak kosong dengan elemen-elemennya dsebut ttk dan E( (mungkn kosong) adalah hmpunan pasangan tak terurut dar ttk yang dsebut ss Msal e {x, y} adalah ss d G, maka x dkatakan tetangga dar y atau sebalknya Selanutnya untuk menyngkat penulsan ss e {x, y} dtuls xy Jalan dengan panang n dar ttk u ke ttk v adalah barsan ttk (x x 0, x 1, x 2,, x n-1, x n y) demkan sehngga x -1 x E(, untuk setap Lntasan adalah alan yang semua ttknya berbeda Graf G dkatakan terhubung ka untuk setap dua ttk berbeda d G terdapat lntasan yang menghubungkan kedua ttk tersebut Jka tdak ada lntasan yang menghubungkan setap dua ttk yang berbeda d G, maka graf G dkatakan tdak terhubung

2 Tryan dan N Larasat 60 Pelabelan dar graf G adalah suatu pemetaan yang memetakan unsur-unsur graf ke blangan (umumnya blangan bulat non negatf atau postf) yang dsebut label (Gallan, 200) Pada umumnya doman dar pemetaan n adalah hmpunan ttk (selanutnya dsebut pelabelan ttk), hmpunan ss (dsebut pelabelan ss) atau hmpunan ttk dan hmpunan ss (dsebut pelabelan total) Jumlah semua label yang dkatkan dengan unsur suatu graf dsebut dengan bobot dar unsur tersebut Suatu pelabelan dkatakan pelabelan k total ss tak beraturan ka terdapat suatu pemetaan dar ttk dan ss d graf G ke hmpunan blangan asl demkan sehngga untuk setap dua ss e dan f d G, berlaku w( e) w( f ) dengan w(e) dan w(f) berturut-turut menyatakan bobot total ss e dan bobot total ss f Bobot total ss e terhadap pelabelan ddefnskan sebaga ( x) e) y), e xy E( ) w( e) G Setap graf yang mempunya ss dapat dlabel dengan pelabelan total ss tak beraturan dengan cara melabel semua ttknya dengan blangan 1 dan ss-ssnya dengan blangan terurut mula dar 1, 2,, E( Pelabelan total ss tak beraturan dar graf G yang dperoleh mempunya label terbesar k E( Permasalahannya adalah bagamana menentukan nla mnmum k dar graf G, sehngga graf G dapat dlabel dengan pelabelan k total ss tak beraturan Nla mnmum k untuk pelabelan k total ss tak beraturan dar graf G dsebut kekuatan total ss tak beraturan (total edge rregular stength) yang dnotaskan dengan tes( Selanutnya, tuuan peneltan adalah menentukan nla kekuatan total ss tak beraturan dar graf gabungan bpartt lengkap, tes(tk m,n ) HASIL DAN PEMBAHASAN Ada beberapa acuan yang dgunakan untuk menentukan nla tes( Baca et al (2007) memberkan batas bawah dan batas atas dar nla kekuatan total ss tak beraturan

3 Pelabelan Total Ss 61 Teorema 1 Jka G (V, E) graf dengan hmpunan ttk tak kosong V( dan hmpunan ss E(, maka E( + 2 tes( E( Bukt Untuk membuktkan batas atas tes(, defnskan pelabelan total, plh ( x ) 1, untuk setap x V( Label semua ss d G secara berurutan dengan 1,, E ( Akbatnya, bobot setap dua ss e dan f d G berbeda, yatu w(e) w(f) dan label terbesar adalah E ( Untuk membuktkan batas bawah tes(, defnskan bobot ss terhadap pelabelan total, w( e) ( x) e) y) dengan e xy ss d G Bobot terbesar ss e d E(, adalah w ( e) E( + 2 Perhatkan bahwa tes( maks{ ( u), ( e), ( v)} ( u) e) v) w( e) E( + 2 Jad, E( + 2 tes( E( Baca et al (2007) uga telah membuktkan tes(, untuk G adalah graf lntasan (P n ), graf lngkaran (C n ), graf lengkap (K p ) untuk 2 p 5 dan graf roda (W n ) Hasl-hasl n dtuangkan dalam teorema berkut Teorema 2 Msal P n dan C n masng-masng adalah graf lntasan dan graf lngkaran, dengan n 1 maka n + 2 tes(p n ) tes(c n ) Teorema Msal S n K 1,n adalah graf bntang dengan n + 1 ttk Untuk suatu n >1 maka n + 1 tes( S n ) 2

4 Tryan dan N Larasat 62 Teorema 4 Msal Graf G (V, E) dengan V( p maka tes( tes(k p ) Kekuatan total ss tak beraturan pada graf lengkap, tes K ), untuk p 6 telah yang dbuktkan oleh Tryan (2002) Begtu uga tes(mk p ) dengan mk p adalah graf gabungan terpsah dar graf lengkap sebanyak m komponen Selanutnya Nurdn dkk (2005) mengka tes(sl n ) dengan sl n adalah graf gabungan terpsah dar graf lntang Hasl-hasl n dtuangkan dalam teorema berkut: ( p Teorema 5 (Tryan, 2002) Jka K p adalah graf lengkap dengan p ttk, maka tes(k p ) 2 p p + 4 6, untuk p 6 Teorema 6 (Tryan, 2002) Jka mk p adalah graf gabungan terpsah dar graf lengkap K p, untuk p 6, maka p( p 1) 1 Jka p 0mod dan p 1mod, maka tes(mk p ) m + 1, 6 2 Jka p 2 mod, maka tes(mk p ) p( p 1) m Teorema 7 (Nurdn dkk, 2005) Untuk suatu blangan bulat postf s 1 dan n 2 berlaku 2ns + 2 tes ( sln) Teorema berkut merupakan hasl nvestgas dar nla kekuatan total ss tak beraturan pada graf gabungan lengkap bpartt, tes(tk m,n ) Teorema 8 Jka tk m,n adalah graf gabungan terpsah bpartt lengkap dengan 2 m n, maka tes ) ( tk

5 Pelabelan Total Ss 6 Bukt: Msal hmpunan ttk dan ss pada gabungan terpsah graf bpartt lengkap tk, ddefnskan sebaga: m n V s s ( tk ) { v 1 m, 1 s t} { w 1 n, 1 s t} m, n, ( ) { v w 1 m, 1 n, 1 s t} E tk m, n Karena E( tk, ), maka berdasarkan teorema 1 dperoleh m n tes ) ( tk Selanutnya, untuk membuktkan tes ( tk ) + 2, terlebh dahulu label ttk-ttk dan ss-ss pada graf gabungan terpsah dar graf bpartt lengkap Pertama defnskan r suatu blangan bulat postf yang menyatakan banyaknya label 1 pada ttk d graf tk m,n, dengan r 2 m 1, 2m 2 2m 1,, ka ka m 0 mod ka m 1mod m 2 mod v1 w1 v2 w 2 v m wn sebanyak t Gambar 1 Graf Gabungan Bpartt lengkap tk m,n

6 Tryan dan N Larasat 64 Terdapat kasus, untuk melabel ttk dan ss pada graf gabungan bpartt lengkap, yatu kasus m 0 mod, m 1 mod dan m 0 mod Pada paper n hanya akan durakan untuk kasus m 0 mod Jka menyatakan pelabelan total ss tak beraturan pada graf gabungan bpartt lengkap, maka label untuk ttkttk dan ss-ss graf gabungan bpartt lengkap tk dengan m 0 mod adalah sebaga berkut Label ttk ( v s ) ( s 1) mn +, 1 r mns + 2 +, r 1 m ( ) w s mn mn ( s 1) ( s 1) +, 1 + m, 2 n untuk setap 1, 2,, m ; 1, 2,, n dan s 1, 2,, t Label ss Jka v menyatakan ss pada komponen graf ke-s yang merupakan pasangan w ttk v dan w, maka label ss-ss d graf tk, m n adalah ( v w ) t t r + r + mn( s 1) + 2 ( v ) ( w ) t t ( m r) + rn + m + mn( s 1) + 2 ( v ) ( w ), 1 r, r + 1 m untuk setap 1, 2,, n dan s 1, 2,, t Selanutnya dtunukkan bahwa label terbesar pada ttk atau ss adalah kurang dar atau sama dengan

7 Pelabelan Total Ss 65 Label terbesar ttk Label terbesar untuk ttk saat m dan Label terbesar untuk ttk saat n dan s v dengan 1, 2,, m ; s t, yatu ( v ) s s t, yatu mn ( ) ( t ) w s Label terbesar ss Label terbesar untuk ss s w dengan s 1, 2,, t dperoleh pada 1, 2,, n ; s 1, 2,, t dperoleh pada 1 + mn mn + mn < w 2 v dengan 1, 2,, m ; 1, 2,, n dan s 1, 2,, t dperoleh pada saat m ; n dan s t, yatu + ( ) ( 1) + 2 v w m m n m n m m mn t mn ( t ) mn 1 + mn m 1 n + m 1 n + mn + 2 mn + mn

8 Tryan dan N Larasat 66 Selanutnya, perhatkan bahwa bobot total ss terhadap pelabelan adalah w ( v w ) ( v ) v w ) w ) ( m r) dengan { 1, 2,, m} dan { 1, 2,, n} Untuk suatu { 1, 2,, n} { 1, 2,, m} Untuk suatu { 1, 2,, m} { 1, 2 n},, r + r + mn( s 1) + 2, 1 r + rn + m + mn( s 1) + 2, r + 1 m, elas bahwa ( v w ) ω( v ' w ) ω dengan, elas bahwa ( v w ) ω( v w ' ) ω dengan ' ' KESIMPULAN DAN SARAN Hasl peneltan dperoleh nla kekuatan total ss tak beraturan pada graf gabungan bpartt lengkap memenuh batas bawah teorema tes(, yatu tes( tk ), untuk 2 m n Saran untuk peneltan lebh lanut adalah nvestgas nla kekuatan total ss tak beraturan pada graf trpartt, graf multpartt dan graf-graf gabungannya DAFTAR PUSTAKA Baca, M S, Jendrol, Mller, M dan Ryan, J, On Irregular Total Labelngs, Dscrete Mathematcs, Vol 07 page: , 2007 Gallan, JA, A Dynamc Survey of Graph Labelng, Department of Mathematcs and Statstcs Unversty of Mnnesota, Duluth, 200 Nurdn, Baskoro, ET, dan Salman, Semnar MIPA, UI, 2005 ANM, Total Edge Irregular Strength, Tryan, Hasl Baru pada Pelabelan Total Ss Tak Beraturan, Tess, ITB, 2002