R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit"

Inge Kurniawan
7 tahun lalu
Tontonan:

1 BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat ruang vektor R maupun R. Berdasarkan sifat sifat ruang vektor R dan R, diangkat menjadi aksioma-aksioma untuk ruang vektor umum Definisi dan Sifat Ruang ektor Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit didefinisikan sebagai berikut Definisi Suatu ruang vektor ( atas bilangan real ) adalah suatu himpunan yang elemen-elemennya disebut vektor, bersama dengan dua operasi biner. Operasi yang pertama, disebut operasi penjumlahan vektor, yang membawa setiap pasangan vektor a dan b ke suatu vektor yang dinotasikan dengan a b. Operasi ke dua disebut perkalian skalar, yang membawa setiap vektor a dan setiap skalar ke suatu vektor yang dinotasikan a. Kedua operasi tersebut harus memenuhi sifat sebagai berikut 1. a b b a untuk setiap pasangan vektor a dan b ( hukum komutatif dari penjumlahan vektor ). ( a b) c a ( b c) untuk setiap vektor a, b dan c ( hukum asosiatif dari penjumlahan vektor) Bab I - Definisi Ruang ektor_karyati - 1

2 . Terdapat dengan tunggal vektor 0, yang disebut vektor nol, sedemikian sehingga a 0 a, untuk setiap vektor a. 4. Untuk setiap vektor a, terdapat dengan tunggal vektor ( - a ) sedemikian sehingga a +(- a )= ( a b) a b untuk setiap bilangan real dans etiap pasangan vektor a dan b. 6. ( ) a a a untuk setiap pasangan bilangan real dan, dan setiap vektor a. 7. ( ) a ( a) untuk setiap pasangan bilangan real dan, dan setiap vektor a. 8. Untuk setiap vektor a, 1 a = a. Lebih jelasnya, operasi penjumlahan vektor di atas merupakan suatu pemetaan, yaitu ( a, b) a b Demikian halnya dengan operasi perkalian skalar juga merupakan pemetaan. F. (,a) a Berikut diberikan contoh-contoh ruang vektor Contoh Himpunan berikut R merupakan ruang vektor jika operasi + dan. didefinisikan sebagai Bab I - Definisi Ruang ektor_karyati -

3 dan.( x, Penjumlahan vektor tersebut bersifat tertutup, karena hasil penjumlahan dua vektornya juga merupakan anggota R. Demikian halnya perkalian skalarnya. Kita akan menunjukkan bahwa semua aksioma aksioma pada definisi di atas dipenuhi. Jelas bahwa terhadap operasi penjumlahan vektor bersifat tertutup. Berikutnya akan ditunjukkan bahwa aksioma 1 dipenuhi ( menurut definisi penjumlahan ) ( x ' x, ( sifat komutatif bilangan real ) ( x ', Jadi dipenuhi aksioma 1. Ditunjukkan bahwa aksioma dipenuhi x",( y" x ( x' x"), y ( ( sifat asosiatif bilangan real ) ( x' x", ( definisi penjumalahan ) (definisi penjumlahan ) Ditunjukkan bahwa aksioma dipenuhi Bentuk vektor nol, 0, sehingga diperoleh ( x 0, y Jadi terdapat 0 R sehingga Bab I - Definisi Ruang ektor_karyati -

4 Ditunjukkan bahwa aksioma 4 dipenuhi R, pasti dapat ditemukan R ( bilangan real selalu mempunyai invers jumlah ) sehingga berlaku x ( x), y ( (definisi jumlah ) ( 0, ( invers jumlah bilangan real ) 0 ( vektor nol menurut aksioma ) Aksioma 5 dipenuhi berdasarkan definisi perkalian skalarnya. Selanjutnya ditunjukkan dipenuhi aksioma 6 R dan, R, sehingga diperoleh ( ) ( ) x,( ) y (definisi perkalian skalar ) ( x x, y ( sifat distributif bilangan real ) ( definisi penjumlahan vektor ) ( definisi perkalian skalar ) Ditunjukkan dipenuhi aksioma 7 R dan, R, sehingga diperoleh ( ) ( ) x,( ) y ( definisi perkalian skalar ) ( x ), ( ( sifat asosiatif bilangan real ) ( definisi perkalian skalar) ( definisi perkalian skalar ) Ditunjukkan dipenuhi aksioma 8 Bab I - Definisi Ruang ektor_karyati - 4

5 1 ( 1x, 1 ( 1 adalah elemen satuan pada bilangan real ) Contoh 1.1. Himpunan R adalah suatu ruang vektor terhadap operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar standar. ( Bukti sejalan dengan Contoh 1.1 ) Contoh 1.1. Diberikan himpunan bagian R, S y, z) R x y z 0. Didefinisikan penjumlahan vektor dan perkalian skalarnya adalah penjumlahan vektor dan perkalian skalar standart pada R. Sebelum menunjukkan berlakunya semua aksioma untuk ruang vektor, maka dibuktikan dahulu bahwa kedua operasi tersebut bersifat tertutup. di S, yaitu a ( x, y, z), b, z' ). Jika dijumlahkan a b y, z z') (definisi penjumlahan ) Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa a b S harus dibuktikan bahwa ( ( z z' ) 0 ( ( z z') ( x y z) ( x' z') ( sifat asosiatif dan komutatif bilangan real ) ( karena a, b S ) di S, yaitu a ( x, y, z) dan R, sehingga Bab I - Definisi Ruang ektor_karyati - 5

dokumen-dokumen yang mirip

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan. 2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,