RUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh

Transkripsi

1 Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang vetor dan N subruang di G maka dikenal sebagai ruang faktor Kata Kunci : Grup Faktor, Ruang Vektor, Ruang Faktor A Pendahuluan Dalam Struktur Aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu suatu himpunan yang diperoleh dari suatu grup dan subgrup normalnya dan dengan definisi tertentu Berdasarkan definisinya maka ruang vektor juga merupakan grup Di dalam ruang vektor juga dikenal istilah subgrup Untuk itu, peneliti akan mengkaji apakah ruang vektor dan subgrupnya dikenai suatu operasi tertentu juga merupakan ruang vektor Jika iya, maka bentuk himpunan ruang vektor dan subgrupnya tadi dikenal juga sebagai ruang faktor B Ruang Faktor Telah diketahui bahwa ruang vektor atas lapangan bilangan real R, dengan definisi penjumlahan biasa pada matriks dan perkalian skalar: 68 Akan ditunjukkan himpunan berikut ini subruang di a jelas

2 Edu-Math; Vol 4, Tahun 2013 Akan di tunjukkan Jadi terbukti subruang b Akan ditunjukkan jelas Jadi terbukti subruang c jelas Akan di tunjukkan Jadi terbukti subruang d jelas Akan ditunjukkan 69

3 Muhammad Kukuh, Ruang Jadi terbukti subruang e subruang jelas f subruang dirinya sendiri Akan diberikan definisi dan teorema sebagai berikut: Definisi : (Adkins, 1992 :15) Diberikan group G dan N subgroup G N dikatakan sebagai subgroup normal G, dinotasikan dengan, jika Teorema : (Adkins, 1992 :15) Diberikan group G dan N subgroup G Jika G group abelian maka setiap subgroup G subgroup normal Ambil sebarang a dan N subgroup G Jadi terbukti bahwa sebarang subgroup G normal Diketahui bahwa group abelian dengan operasi penjumlahan matrik biasa Berdasarkan teorema di atas maka subgroup normal di Diberikan teorema sebagai berikut : Teorema : (Herstein, 1999 : 52) Jika group dan maka group dengan operasi Untuk selanjutnya dinamakan grup faktor dari G oleh N Bukti : Untuk sembarang a berlaku : 70

4 Edu-Math; Vol 4, Tahun 2013 maka b c Elemen netral dari d Invers dari sebarang karena dan Dari a, b, c dan d maka dapat disimpulkan bahwa dengan operasi di atas grup Di atas telah diberikan subgrup normal dari grup faktor grup dan Oleh karena itu dapat dibentuk Berikutnya akan ditunjukkan grup faktor Untuk suatu i ambil sebarang grup abelian Jadi terbukti bahwa grup abelian Diberikan Lemma sebagai berikut : Lemma : (Herstein, 1999 : 174) 71

5 Muhammad Kukuh, Ruang Jika V ruang vektor atas lapangan F dan S subruang V, maka ruang vektor atas lapangan F, dimana untuk sebarang Didefinisikan operasi sebagai berikut : Untuk selanjutnya dinamakan ruang faktor dari V oleh S Akan ditunjukkan operasi ke dua well defined Ambil sebarang dan Akan ditunjukkan Jadi, dimana Jadi, terbukti bahwa operasi ke dua well defined Berikutnya akan ditunjukkan dengan definisi operasi di atas ruang vektor I group abelian (telah dibuktikan di atas) II lapangan III dan akan ditunjukkan, maka IV Memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut : Untuk sebarang dan berlaku : memenuhi I, II, III dan IV maka dapat disimpulkan bahwa ruang vektor atas lapangan F 72

6 Berdasarkan penjelasan di atas dan karena Edu-Math; Vol 4, Tahun 2013 subruang di, maka dapat disimpulkan bahwa ruang faktor ruang faktor atas lapangan R C Penutup Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa jika V ruang vektor atas lapangan F dan S subruang V, maka ruang vektor atas lapangan F, dimana untuk sebarang didefinisikan operasi sebagai berikut : Untuk selanjutnya dinamakan ruang faktor dari V oleh S DAFTAR PUSTAKA Adkins, Algebra, Springer-Verlag, New York, 1992 Anton And Rorres, Elementary Linear Algebra with Applications NINTH EDITION, John Wiley & Sons, Washington, 2005 Herstein, I N, Abstract Algebra, Prentice-Hall, New Jersey, 1996 Simanjuntak, RJ, Aljabar Linear Elementer II, Universitas Terbuka, Jakarta,

7 Berdasarkan penjelasan di atas dan karena Edu-Math; Vol 4, Tahun 2013 subruang di, maka dapat disimpulkan bahwa ruang faktor ruang faktor atas lapangan R C Penutup Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa jika V ruang vektor atas lapangan F dan S subruang V, maka ruang vektor atas lapangan F, dimana untuk sebarang didefinisikan operasi sebagai berikut : Untuk selanjutnya dinamakan ruang faktor dari V oleh S DAFTAR PUSTAKA Adkins, Algebra, Springer-Verlag, New York, 1992 Anton And Rorres, Elementary Linear Algebra with Applications NINTH EDITION, John Wiley & Sons, Washington, 2005 Herstein, I N, Abstract Algebra, Prentice-Hall, New Jersey, 1996 Simanjuntak, RJ, Aljabar Linear Elementer II, Universitas Terbuka, Jakarta,