Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih

Transkripsi

1 Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi

2 Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar saja. Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkannya sesuai kebutuhan. Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan interaktif.

3 Daftar Isi BAB I Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak BAB II Pertidaksamaan Rasional dan Irasional BAB III Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel BAB IV Sistem Persamaan dan Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

4 BAB I Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak A. Konsep Nilai Mutlak B. Persamaan Nilai Mutlak C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

5 A. Konsep Nilai Mutlak 1. Konsep Nilai Mutlak Suatu Bilangan Nilai mutlak bilangan x, dinotasikan dengan x (dibaca nilai mutlak dari x ), didefinisikan sebagai berikut. x = jarak x dari titik nol pada garis bilangan Contoh: Jarak 3 dari 0 adalah 3 sehingga 3 = 3. Jarak 3 dari 0 adalah 3 sehingga 3 = 3.

6 Nilai mutlak dari sebarang bilangan x bilangan real, yang dinotasikan dengan x, didefinisikan sebagai berikut. x = Contoh: x jika x 0 x jika x < 0 a. 5 = 5 karena 5 > 0. b. 9 = ( 9) = 9 karena 9 < 0.

7 2. Sifat-Sifat Nilai Mutlak a. x = x b. x = x2 c. x 2 = x2 = x2 d. Untuk sebarang x, y bilangan real berlaku sebagai berikut. 1) x y = y x 2) xy = x y 3) x y x,y 0 y 4) x + y x + y 5) x y x y

8 3. Fungsi Nilai Mutlak Fungsi nilai mutlak adalah fungsi yang variabelnya di dalam tanda mutlak. a. Fungsi Nilai Mutlak f(x) = x f(x) = x = x jika x 0 x jika x < 0 Grafik fungsi f(x) = x

9 b. Fungsi Nilai Mutlak f(x) = ax + b f(x) = ax + b = ax + b jika (ax + b) 0 (ax + b) jika (ax + b) < 0 Contoh 1: Diketahui a = 5 dan b = 2, maka: ab = 5 ( 2) = 10 = ( 10) = 10 a b = 5 2 = 5 2 = 10 a + b = 5 + ( 2) = 3 = 3 a + b = = = 7 a² b² = 5² ( 2)² = 25 4 = 21 = 21

10 Contoh 2: Nilai 2x 4 untuk x = 6 adalah 2x 4 = 2 ( 6) 4 = 12 4 = 16 = ( 16) = 16

11 Contoh 3: Nilai x + 2 x + 5x untuk nilai x < 2 sebagai berikut. Oleh karena x < 2 maka x = x. Oleh karena x < 2 maka 5x = 5x. Sehingga: x + 2 x + 5x = x + 2( x) + ( 5x) = x 2x 5x = 8x

12 B. Persamaan Nilai Mutlak Bentuk Umum Persamaan Nilai Mutlak Untuk f(x) dan g(x) fungsi dalam variabel x 1. f(x) = c dengan syarat c 0 2. f(x) = g(x) 3. f(x) = g(x) dengan syarat g(x) 0

13 Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak f(x) = c dengan syarat c 0 Menurut definisi: f(x) = ax + b = ax + b jika (ax + b) 0 (ax + b) jika (ax + b) < 0 Sehingga persamaan ax + b = c dapat diselesaikan dengan menyelesaikan persamaan ax + b = c atau ax + b = c. Contoh: x 2 = 3 x 2 = 3 atau x 2 = 3 x = 5 atau x + 2 = 3 x = 5 atau x = 1 Jadi, penyelesaian x 2 = 3 adalah x = 1 atau x = 5.

14 Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak f(x) = g(x) x 2 = 6 + 2x ( x 2 )² = ( 6 + 2x )² (x 2)² = (6 + 2x)² Sifat x ² = x² (x 2 ² (6 + 2x)² = 0 (x 2 + (6 + 2x))(x 2 (6 + 2x)) = 0 Ingat (a² b²) = (a + b)(a b) (3x + 4)( x 8) = 0 3x + 4 = 0 atau x 8 = x = atau x = 8 Nilai mutlak selalu bernilai positif sehingga x 2 dan 6 + 2x bernilai positif. Oleh karena kedua ruas persamaan bernilai positif maka kedua ruas dapat dikuadratkan. Jadi, penyelesaian persamaan x 2 = 6 + 2x adalah x = 8 atau 4 x =. 3

15 Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak f(x) = g(x) dengan syarat g(x) 0 2x + 16 = x + 4 Pembuat nol nilai mutlak: 2x + 16 Ruas kanan belum tentu bernilai positif. Gunakan cara analisis nilai x. = 0 2x + 16 = 0 2x = 16 x = 8

16 1) Untuk interval x 8: 2x + 16 = (2x + 16) 2x + 16 = x + 4 (2x + 16) = x + 4 2x 16 = x + 4 3x = x = 20 Oleh karena x = 3 tidak termuat pada interval x 8, persamaan 2x + 16 = x + 4 untuk interval x 8 tidak mempunyai penyelesaian atau penyelesaiannya { }.

17 2) Untuk interval x 8 : 2x + 16 = 2x x + 16 = x + 4 2x + 16 = x + 4 x = 12 Oleh karena x = 12 tidak termuat pada interval x 8, persamaan 2x + 16 = x + 4 untuk interval x 8 tidak mempunyai penyelesaian atau penyelesaiannya { }. 3) Gabungan penyelesaiannya 1) dan 2) adalah { }. Jadi, persamaan 2x + 16 = x + 4 tidak mempunyai penyelesaian.

18 C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 1. Konsep Pertidaksamaan Nilai Mutlak Misalkan x adalah nilai mutlak x dan a suatu bilangan real. a. Jika x a maka a x a. b. Jika x a maka x a atau x a. Konsep nilai mutlak x tersebut dapat diperluas pada fungsi nilai mutlak. Misalkan f(x) suatu fungsi dalam variabel x maka berlaku fungsi nilai mutlak f(x) sebagai berikut. a. Jika f(x) a maka a f(x) a. b. Jika f(x) a maka f(x) a atau f(x) a.

19 2. Bentuk Umum Pertidaksamaan Nilai Mutlak a. f(x) > c b. f(x) c c. f(x) < c d. f(x) c e. f(x) > g(x) f. f(x) g(x) g. f(x) < g(x) h. f(x) g(x) i. f(x) > g(x) j. f(x) g(x) k. f(x) < g(x) l. f(x) g(x) Dengan c bilangan real dan f(x) atau g(x) merupakan fungsi dalam variabel x.

20 Contoh 1: y < 3 3 < y < 3 Jadi, himpunan penyelesaian y < 3 adalah {y 3 < y < 3}. Contoh 2: 2x + 1 < 2x 3 2x + 1 ² < 2x 3 ² (2x + 1)² < (2x 3)² (2x + 1)² (2x 3)² < 0 (2x (2x 3))(2x + 1 (2x 3)) < 0 (4x 2)(4) < 0 Pembuat nol: 4x 2 = 0 x = 1 2 Kedua ruas bernilai posi f. Kedua ruas dikuadratkan. Penyelesaian (4x 2)(4) < 0 adalah x < 1 Jadi, himpunan semua nilai x yang memenuhi 2x + 1 < 2x 3 adalah {x x < 2 1 2, x R}.

21 Contoh 3: 4x 6 < 3x + 4 Pembuat nol nilai mutlak: 4x 6 = 0 4x 6 = 0 x = 3 2

22 1) Untuk interval x 4x 6 = (4x 6) 4x 6 < 3x + 4 (4x 6) < 3x + 4 4x + 6 < 3x + 4 4x 3x < 4 6 7x < 2 x > Irisan x > dan x adalah < x.... (1)

23 2) Untuk interval x 4x 6 = 4x 6 4x 6 < 3x + 4 4x 6 < 3x + 4 4x 3x < x < Irisan x < 10 dan x adalah 2 x < (2) 2

24 3) Gabungan penyelesaian (1) dan (2) adalah 2 7 < x < 10 Jadi, himpunan penyelesaian 4x 6 < 3x adalah {x < x < 10}. 7

25 BAB II Pertidaksamaan Rasional dan Irasional A. Persamaan Kuadrat B. Pertidaksamaan Kuadrat C. Pertidaksamaan Rasional D. Pertidaksamaan Irasional/Bentuk Akar

26 A. Persamaan Kuadrat 1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat dalam variabel x adalah: ax² + bx + c = 0 dengan a, b, dan c bilangan nyata (real) dan a 0.

27 2. Menyelesaian Persamaan Kuadrat a. Memfaktorkan Contoh: 2x² + 3x 2 = 0 (2x 1)(x + 2) = 0 (2x 1) = 0 atau (x + 2) = 0 x = 2 atau x = 2

28 b. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna Contoh:

29 c. Menggunakan Rumus abc Rumus abc untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah

30 Contoh: Akar-akar persamaan kuadrat 2x² + 3x 2 = 0 adalah

31 B. Pertidaksamaan Kuadrat 1. Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat a. ax² + bx + c < 0, b. ax² + bx + c 0, c. ax² + bx + c > 0, dan d. ax² + bx + c 0. Syarat a 0 dan a, b, c bilangan nyata atau real.

32 2. Langkah-Langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat a. Mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi bentuk umum (ruas kanan sama dengan nol). b. Menguraikan ruas kiri menjadi faktorfaktor linear. c. Menentukan harga-harga nolnya (nilai pembuat nol fungsi).

33 d. Meletakkan harga-harga nol pada garis bilangan, lalu menentukan tanda positif dan negatif pada setiap selang/interval yang terbentuk. e. Penyelesaian pertidaksamaan diperoleh berdasarkan tanda selang/interval pada garis bilangan. 1) Jika tanda ketidaksamaan atau >, penyelesaiannya pada selang/interval yang bertanda positif (+). 2) Jika tanda ketidaksamaan atau <, penyelesaiannya pada selang/interval yang bertanda negatif ( ).

34 Contoh: Menentukan penyelesaian pertidaksamaan x² + 2x + 8 < 0.

35 C. Pertidaksamaan Rasional 1. Pertidaksamaan Polinomial a. Bentuk Umum Pertidaksamaan Polinomial Satu Variabel

36 b. Langkah-Langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Polinomial 1) Buatlah ruas kanan pertidaksamaan polinomial menjadi nol. 2) Buatlah ruas kiri pertidaksamaan menjadi bentuk perkalian faktor-faktornya.

37 3) Tentukan nilai-nilai pembuat nol dan letakkan nilai pada garis bilangan dengan ketentuan sebagai berikut. a) Jika tanda ketidaksamaan atau, nilai pembuat nol merupakan penyelesaian sehingga diberi tanda dengan bulatan penuh atau hitam. b) Jika tanda ketidaksamaan > atau <, nilai pembuat nol bukan penyelesaian sehingga diberi tanda dengan bulatan kosong atau putih.

38 4) Tentukan tanda setiap interval yang dibatasi oleh nilai-nilai pembuat nol pada garis bilangan. 5) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan dengan menentukan interval yang memenuhi pertidaksamaan.

39 Contoh: Menentukan penyelesaian (x + 1)(x 1)(x 3) < 0.

40 2. Pertidaksamaan Rasional a. Bentuk Umum Pertidaksamaan Rasional

41 b. Sifat-Sifat Pertidaksamaan Rasional

42 c. Langkah-langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional 1) Buatlah ruas kanan pertidaksamaan rasional menjadi nol. 2) Buatlah ruas kiri pertidaksamaan rasional menjadi bentuk pecahan (rasional). 3) Tentukan nilai-nilai yang membuat pembilang bernilai nol dan penyebut bernilai nol. 4) Tentukan nilai-nilai yang membuat ruas kiri terdefinisi yaitu penyebut tidak sama dengan nol. 5) Letakkan nilai-nilai pembuat nol pembilang dan penyebut pada garis bilangan kemudian tentukan tanda setiap interval yang terbentuk. 6) Tentukan penyelesaian pertidaksamaan dengan menentukan interval yang memenuhi pertidaksamaan.

43 Contoh:

44 D. Pertidaksamaan Irasional/Bentuk Akar 1. Bentuk Umum Pertidaksamaan Irasional

45 2. Langkah-Langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Irasional a. Mengubah pertidaksamaan irasional ke bentuk umum pertidaksamaan irasional (ruas kiri berupa bentuk akar). b. Menentukan nilai ruas kanan. 1) Jika ruas kanan nol atau positif ( 0), lakukan langkah berikut. a) Menghilangkan tanda akar dengan menguadratkan kedua ruas. b) Menentukan penyelesaian akibat kedua ruas dikuadratkan. c) Menentukan penyelesaian nilai-nilai yang memenuhi syarat bilangan di bawah tanda akar. d) Menentukan irisan ketiga penyelesaian di atas sebagai penyelesaian pertidaksamaan irasional.

46 2) Jika ruas kanan bernilai negatif (< 0), lakukan langkah berikut. a) Menentukan penyelesaian pertidaksamaan untuk nilai ruas kanan < 0. b) Menentukan penyelesaian nilai-nilai yang memenuhi syarat bilangan di bawah tanda akar. c) Menentukan irisan kedua penyelesaian di atas sebagai penyelesaian pertidaksamaan irasional.

47 3) Jika ruas kanan belum pasti bernilai lebih besar atau sama dengan nol, lakukan langkah berikut. a) (Uraikan nilai ruas kanan menjadi dua kemungkinan yaitu < 0 atau 0. b) Untuk ruas kanan < 0, lakukan langkah-langkah pada 2a sehingga diperoleh penyelesaian 2a. c) Untuk ruas kanan < 0, lakukan langkah-langkah pada 2b sehingga diperoleh penyelesaian 2b. d) Menentukan gabungan penyelesaian 2a dan 2b di atas sebagai penyelesaian pertidaksamaan irasional.

48 Contoh 1: Menyelesaikan pertidaksamaan x 2 > 3.

49 BAB III Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel B. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

50 A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel 1. Bentuk Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel 2. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel a. Cara Substitusi b. Cara Eliminasi c. Cara Gabungan Eliminasi dan Substitusi

51 a. Cara Substitusi

52 b. Cara Eliminasi

53

54 c. Cara Gabungan Eliminasi dan Substitusi

55

56 B. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel 1. Melakukan Pemisalan atau Memilih Variabel Variabel dipilih sebagai wakil dari nilai-nilai yang akan dicari. Variabel yang dipilih misalnya x, y, dan z. Akan tetapi Anda dapat pula memilih variabel lain, misalnya p, q, dan r. Variabel tersebut harus tepat mewakili permasalahan yang ada. 2. Membuat Model Matematika Model matematika yang dimaksud berbentuk SPLTV dan menggunakan variabel-variabel yang telah dipilih pada langkah Menyelesaikan dan Menafsirkan Penyelesaian SPLTV SPLTV diselesaikan sehingga diperoleh nilai setiap variabel. Selanjutnya, nilai setiap variabel dicocokkan dengan nilai yang diwakilinya. Dengan demikian, nilai-nilai yang dicari dari permasalahan nyata telah ditemukan.

57 Contoh:

58

59 BAB IV Sistem Persamaan dan Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel A. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat B. Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel C. Pertidaksamaan Dua Variabel D. Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat E. Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel

60 A. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLKDV) 1. Bentuk Umum SPLKDV

61 2. Penyelesaian SPLKDV Penyelesaian SPLKDV adalah nilai-nilai pasangan (x, y) yang memenuhi persamaanpersamaan anggota sistem. Jika digambarkan menggunakan grafik, penyelesaian SPLKDV adalah himpunan titik potong antara garis n = kx + my dan parabola y = px² + qx + r.

62 a. Banyak Penyelesaian SPLKDV Secara Geometri Secara geometri, penyelesaian SPLKDV adalah himpunan titik potong antara garis n = kx + my dan parabola y = px² + qx + r sehingga banyak penyelesaian SPLKDV dapat dilihat dari banyak titik potong antara garis dan parabola dalam SPLKDV.

63 b. Banyak Penyelesaian SPLKDV Secara Aljabar Secara aljabar, jika persamaan linear n = kx + my disubstitusikan ke persamaan kuadrat y = px² + qx + r akan diperoleh persamaan kuadrat baru ax² + bx + c = 0 yang memiliki nilai diskriminan D = b² 4ac.

64 Contoh: Menentukan penyelesaian SPLKDV y = 2x + 5 dan y = x² + 3x + 3

65 B. Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel (SPKDV) 1. Bentuk Umum SPKDV 2. Penyelesaian SPKDV Penyelesaian SPKDV adalah nilai-nilai pasangan (x, y) yang memenuhi persamaan-persamaan kuadrat anggota sistem. Jika digambarkan menggunakan grafik, penyelesaian SPLKDV adalah himpunan titik potong antara parabola y = kx² + mx + n dan parabola y = px² + qx + r.

66 3. Banyak Penyelesaian SPKDV

67

68 Contoh: Menentukan penyelesaian SPKDV y = 2x² + x + 4 dan y = x² 4x 2.

69 C. Pertidaksamaan Dua Variabel 1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtdLDV) Bentuk umum PtdLDV: ax + by c; ax + by c; ax + by < c; ax + by > c dengan a, b, c bilangan real

70 Penyelesaian PtdLDV

71

72 Contoh: Menentukan daerah penyelesaian 2x + 3y > 6 dengan memperhatikan tanda pertidaksamaan. Koefisien x dari pertidaksamaan 2x + 3y > 6 adalah 2. 2 merupakan bilangan positif dan tanda pertidaksamaan > sehingga daerah penyelesaiannya di kanan garis 2x + 3y = 6.

73 2. Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel (PtdKDV) Bentuk umum PtdKDV dengan variabel x dan y:

74 Penyelesaian PtdKDV

75 Contoh:

76 D. Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel SPtdLKDV adalah sistem pertidaksamaan yang terdiri atas pertidaksamaan linear dua variabel dan pertidaksamaan kuadrat dua variabel yang mana variabel-variabel pertidaksamaan dalam sistem tersebut saling terkait. Penyelesaian SPtdLKDV adalah daerah di bidang koordinat kartesius yang merupakan irisan dari daerah penyelesaian PtdLDV dan PtdKDV penyusun SPtdLKDV tersebut.

77 Contoh:

78 E. Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel (SPtKDV) SPtKDV adalah sistem pertidaksamaan yang terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan kuadrat dua variabel dan variabel-variabel pertidaksamaan dalam sistem tersebut saling terkait. Penyelesaian SPtKDV adalah daerah di bidang koordinat kartesius yang merupakan irisan dari daerah penyelesaian PtKDV penyusun SPtKDV tersebut.

79 Contoh: