Aljabar Linear Elementer Part IV. Oleh : Yeni Susanti

Transkripsi

1 Aljabar Linear Elementer Part IV Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Oleh : Yeni Susanti

2 Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Vektor: besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor secara geometris bisa digambarkan sebagai garis berarah atau tanda panah di dalam ruang dimensi 2 (R 2 ) atau ruang dimensi 3 (R 3 ). Besar vektor digambarkan oleh panjang garis dan arah ditunjukkan oleh arah tanda panah. Ekor vektor disebut sebagai titik inisial (initial point) dan ujung panah disebut sebagai titik terminal (terminal point). Notasi Vektor : u, v, w, x, y, z dst. Notasi Skalar : k, l, m, n, a, b, c dst. Jika vektor titik inisial vektor v adalah A dan titik terminal vektor v adalah B, maka vektor v juga dinotasikan dengan AB.

3 Gambar vektor v B v = AB A

4 Kesamaan dua vektor Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. u v w Vektor u, v dan w adalah vektor-vektor yang SAMA.

5 Jumlahan dua vektor Jumlahan vektor v dan vektor w adalah vektor dengan titik inisial sama dengan titik inisial v dan titik terminal sama dengan titik terminal w setelah titik inisial w dihimpitkan dengan titik terminal v. Sifat : v + w = w + v (komutatif)

6 Negatif Vektor v, atau v adalah vektor dengan panjang sama dengan panjang vektor v, dan dengan arah yang berlawanan dengan arah vektor v. Vektor NOL adalah vektor dengan panjang NOL dan dinotasikan dengan 0.

7 Selisih dua vektor Selisih dua vektor v dan w, didefinisikan sbb : v - w := v + (-w)

8 PERKALIAN VEKTOR v DENGAN SKALAR k yang TIDAK NOL menghasilkan vektor dengan panjang sama dengan k kali panjang vektor v dan arah sama dengan arah vektor v jika k>0 dan arah berlawanan dengan arah vektor v jika k<0. Jika k=0, kv = 0 (vektor NOL)

9 Vektor pada Sistem Koordinat Komponen vektor v di ruang dimensi 2, adalah koordinat titik terminal v dengan titik inisial v diposisikan pada titik origin O(0,0). Dalam hal ini, jika koordinat titik terminal v adalah titik A(v 1,v 2 ), maka vektor v dapat ditulis dalam bentuk : v = (v 1,v 2 ). Dua vektor u = (u 1,u 2 ) dan v = (v 1,v 2 ) dikatakan SAMA jika dan hanya jika komponen vektor u sama dengan komponen vektor v, yaitu (u 1,u 2 ) = (v 1,v 2 ) jika dan hanya jika u 1 = v 1 dan u 2 = v 2.

10 Jumlahan vektor v = (v 1,v 2 ) dan w = (w 1,w 2 ) adalah vektor dengan dengan komponen (v 1 +w 1, v 2 +w 2 ). Jadi, v+w = (v 1,v 2 ) + (w 1,w 2 ) = (v 1 +w 1, v 2 +w 2 ).

11 Perkalian vekor v = (v 1,v 2 ) dengan skalar k menghasilkan vektor dengan komponen (kv 1,kv 2 ). Jadi, kv = (kv 1,kv 2 ).

12 Vektor di Ruang Dimensi 3 Komponen vektor v di ruang dimensi 3 dinyatakan dalam bentuk v = (v 1,v 2,v 3 ). Misalkan v = (v 1,v 2,v 3 ) dan w = (w 1,w 2,w 3 ), maka v = w jika dan hanya jika v 1 = w 1, v 2 = w 2 dan v 3 = w 3 v+w = (v 1 +w 1, v 2 +w 2, v 3 +w 3 ) kv = (kv 1, kv 2, kv 3 )

13

14

15 Misalkan titik inisial vektor v tidak berada pada titik O(0,0). Jika titik inisial v adalah titik P 1 (x 1,y 1,z 1 ) dan titik terminal v adalah titik P 2 (x 2,y 2,z 2 ) maka vektor v = P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 )

16 Contoh : Vektor v = PQ dengan P(1,4,-5) dan Q(9,4,3) mempunyai komponen : v=pq=(9-1,4-4,3-(-5))=(8,0,8)

17 Vektor di Ruang Dimensi n Komponen vektor v di ruang dimensi n (R n ) dinyatakan dalam bentuk v = (v 1,v 2,,v n ). Misalkan v = (v 1,v 2,,v n ) dan w = (w 1,w 2,,w n ), maka v = w jika dan hanya jika v 1 = w 1, v 2 = w 2 dst. v n = w n v + w = (v 1 +w 1, v 2 +w 2,, v n +w n ) kv = (kv 1, kv 2,, kv n )

18 Sifat Aritmatika Vektor Misalkan u, v dan w sebarang vektor di R 2 (R 3 /R n ) dan k serta l masing-masing merupakan skalar (dalam hal ini, k dan l bilangan-bilangan real). Maka sifat-sifat berikut berlaku: u+v = v+u (u+v)+w = u+(v+w) u+0 = 0+u u+(-u) = 0 k(lu) = (kl)u k(u+v) = ku+kv (k+l)u = ku+lu 1u = u

19 Sifat komutatif dan assosiatif jumlahan vektor

20 Norm/Panjang Vektor DEFINISI Misalkan v = (v 1,v 2,,v n ) vektor di R n. NORM/Panjang vektor v, dinotasikan dengan v didefinisikan sbb : v := v v v n 2 Vektor dengan panjang satu satuan disebut sebagai VEKTOR SATUAN. CONTOH Panjang vektor v = (1,2) di ruang dimensi 2 (R 2 ) adalah v = = 5. Panjang vektor v = (4,-1,3) di ruang dimensi 3 (R 3 ) adalah v = ( 1) = 26.

21 Jarak dua titik Misalkan P(a,b,c) dan Q(d,e,f) merupakan dua titik di R 3. Jarak titik P dan titik Q sama dengan panjang vektor PQ yaitu sama dengan PQ = (d a) 2 +(e b) 2 +(f c) 2. Secara umum, jika P(a 1, a 2,, a n ) dan Q(b 1, b 2,, b n ) adalah dua titik di R n, maka jarak titik P dan Q sama dengan panjang vektor PQ yaitu sama dengan PQ = (b 1 a 1 ) 2 +(b 2 a 2 ) (b n a n ) 2.

22 Dot Product (Produk Titik) Dot Product dua vektor u dan v di ruang R 2 dan R 3, dinotasikan dengan u.v didefinisikan sebagai berikut: u. v 0 jika u = 0 atau v = 0 dengan menyatakan besar sudut yang dibentuk oleh vektorvektor u dan v. CATATAN : Hasil dot product dua vektor adalah SKALAR.

23 Misalkan v=(v 1,v 2,,v n ) v=(v 1,v 2,,v n ) u = u 1, u 2, u 3 dan v = (v 1, v 2, v 3 ) Perhatikan bahwa vektor PQ = v u dan

24 atau Karena Didapat sehingga

25 Jadi, sudut dua vektor u dan v di ruang dimensi 2 atau 3, dapat dicari dengan rumus: cosθ = u.v. u v Contoh : Hitunglah sudut antara diagonal kubus dengan sisi kubus.

26

27 Theorems

28 Orthogonalitas Dua vektor u dan v (di ruang dimensi 2 atau dimensi 3) dikatakan tegak lurus/orthogonal jika Contoh : u.v = 0. Buktikan bahwa vektor tak nol n=(a,b) di ruang R 2 tegak lurus garis ax+by+c=0. Jawab: Misalkan P 1 (x 1,y 1 ) dan P 2 (x 2,y 2 ) berada di garis ax+by+c=0. Maka sehingga yang berarti Jadi, n tegak lurus dengan garis ax+by+c=0.

29 PROPERTIES of the DOT PRODUCT

30 Definisi dot product dan orthogonalitas di R n Secara umum, dot product dua vektor u = (u 1,u 2,,u n ) dan v = (v 1,v 2,,v n ) di ruang dimensi n didefinisikan sbb: u.v := u 1 v 1 +u 2 v 2 + +u n v n Vektor u = (u 1,u 2,,u n ) dan v = (v 1,v 2,,v n ) dikatakan ORTHOGONAL jika u.v = 0.

31 Projeksi Orthogonal Problem : Bagaimana mendekomposisi vektor u di R 2 (R 3 ) menjadi jumlahan dua vektor dengan salah satu vektor (w 1 ) sejajar dengan suatu vektor a dan vektor yang lain (w 2 ) tegak lurus dengan vektor a? Vektor w 1 disebut projeksi vektor u sepanjang vektor a, dinotasikan dengan Proj a u. Jadi, w 1 = Proj a u sehingga diperoleh w 2 = u w 1 = u Proj a u. Lebih lanjut, mudah dimengerti bahwa w 1 = Proj a u = ka.

32 Bagaimana mencari Proj a u? Untuk mencari Proj a u cukup dengan mencari k tersebut. Dari w 1 = Proj a u = ka dan w 2 = u w 1 = u Proj a u serta u = w 1 + w 2 didapat u = w 1 + w 2 = k a + w 2 sehingga a. u = a. ka + w 2 = a. ka + a. w 2 = ka. a + 0 = ka. a = k a 2. Jadi, yang berarti k = a.u a 2 Proj a u = ka = a.u a 2 a dan Proj a u = a.u a 2 a = a.u a 2 a = a.u a.

33 KOMPONEN dekomposisi vektor u Komponen dekomposisi vektor u yang sejajar dengan vektor a adalah Proj a u = ka = a.u a 2 a Komponen dekomposisi vektor u yang tegak lurus vektor a adalah u Proj a u = u a.u a 2 a

34 Aplikasi Projeksi Orthogonal: Mencari Jarak Titik ke Garis Berpa jarak titik P 0 (x 0,y 0 ) ke garis ax+by+c=0 (di ruang R 2 )? Jarak D yang dimaksud sama dengan panjang projeksi vektor QP 0 pada vektor n yaitu Proj n QP0 = n.qp 0 n

35 dengan D = Proj n QP0 = n. QP 0 n QP 0 =(x 0 -x 1,y 0 -y 1 ). Karena Q(x 1,y 1 ) berada di garis ax+by+c = 0 maka diperoleh ax 1 +by 1 +c = 0 atau ax 1 +by 1 = - c sehingga Jadi, n. QP 0 = a(x 0 -x 1 )+b(y 0 -y 1 ) = ax 0 +by 0 - (ax 1 +by 1 ) = ax 0 +by 0 - (-c) = ax 0 +by 0 +c D = Proj n QP0 = ax 0+by 0 +c a 2 + b 2