Karakterisasi Matrik Leslie Ordo Tiga

Transkripsi

1 Jurnal Graden Vol No Januar 006 : Karatersas Matr Lesle Ordo Tga Mudn Smanhuru, Hartanto Jurusan Matemata, Faultas Matemata dan Ilmu Pengetahuan Alam, Unverstas Bengulu, Indonesa Dterma Desember 005; dsetuju 5 Desember 005 Abstra - Msalan L = [ l j ] adalah matrx bujursangar berorder n sedeman hngga l j 0 untu j =,,,n ; 0 < l (-) untu =,3,,n dan l j = 0 untu =,3,,n ; dan j =,,,n tetap j - Matrx L dsebut matrx Lesle Perhatanlah bahwa setap pemangatan dar matrx Lesle L = adalah I, L atau L Pada maalah n, aan dberan aratersas matrx Lesle L berorder tga sedeman hngga setap pemangatan dar L adalah I, L atau L Kata Kunc : matrx Lesle ; demograf Pendahuluan Salah satu model pertumbuhan populas yang serng dgunaan para ahl demograf adalah Model Lesle Para perempuan ddstrbusan edalam elompo berdasaran usa Apabla banyanya elompo sama ( ) dengan n dan adalah banyanya perempuan pada Kelompo pada pengamatan t maa dapat dtunjuan bahwa = a ( ) + a ( ) + + a n n ( ), a 0, =,,,n dan = + b ( ), 0 < b, =,,,n- Dua persamaan yang terahr dapat dtuls dalam bentu matr = L ( ) ( ) =, =,, d mana 3 n dan L = a a a3 an an b b bn 0 Matr L dsebut matr Lesle Dar persamaan yang terahr dapat dtunjuan bahwa = L (0) Apabla L = I, maa = (0) Jad pada saat t jumlah populas embal sama dengan jumlah populas awal Pada maalah n aan dberan syarat perlu dan cuup bag matr Lesle L ordo tga agar L = I Apabla L = I, maa setap pemangatan L r aan menghaslan L atau L,, atau L - Pertumbuhan populas model Lesle Msalan L adalah usa masmum yang dapat dcapa oleh perempuan pada suatu populas Apabla para perempuan tu dbag bag edalam n elompo berdasaran usa, maa jara nterval masng-masng elompo adalah L/n Dengan deman Kelompo, adalah merea yang berusa [0,L/), Kelompo adalah merea yang berusa [L/n,L/n),, Kelompo n adalah merea yang berusa [(n-)/l,l] Setap saat, omposs jumlah perempuan dalam elompo dpengaruh oleh tga fator yatu fator elahran, ematan dan pertambahan usa Msalan t adalah watu pengamatan, = 0,,,, Pada Model Lesle jara pengamatan t - e t sama

2 Mudn Smanhuru / Jurnal Graden Vol No Januar 006: dengan jara nterval elompo Jad t = L/n, untu = 0,,, Msalan a adalah rata-rata banyanya ana perempuan yang lahr dar setap Kelompo dan b adalah perbandngan antara banyanya perempuan yang bertahan hdup sehngga mampu masu edalam Kelompo +, dengan banyanya perempuan dalam Kelompo Perhatanlah bahwa a 0, =,,3,,n dan 0 < b Perhatan juga palng sedt satu a > 0, arena alau tda berart proses elahran tda terjad dan b > 0, arena alau tda, maa tda ada perempuan yang bertahan masu edalam Kelompo + Msalan adalah banyanya perempuan pada Kelompo pada pengamatan t untu =,,,n Pada saat pengamatan t banyanya perempuan pada Kelompo sama dengan banyanya ana perempuan yang lahr d Kelompo dar watu t - e t + banyanya ana perempuan yang lahr d Kelompo dar watu t - e t + + banyanya ana perempuan yang lahr d Kelompo n dar watu t - e t Jad = a ( ) + a ( ) + + a n ( ) () n Karena jara nterval setap elompo sama dengan jara dua pengamatan yang berurutan, maa semua perempuan yang berada pada Kelompo + pada saat pengamatan t + berada pada Kelompo pada saat pengamatan t Oleh arena tu banyanya perempuan pada Kelompo +, =,,,n-, pada saat pengamatan t sama dengan banyanya perempuan yang mash hdup pada Kelompo pada watu t - e t Jad + ( ) = b, =,,,n- () ( ) Persamaan () dan () dapat dtuls dalam bentu matr = L ( ), =,, (3) d mana = dan 3 n a a a3 an an b L = b bn 0 Matr L dsebut matr Lesle Dar persamaan reursf (3) dapat dtunjuan bahwa = L (0) Apabla L = I, maa = (0) Berart pada saat t jumlah populas embal sama denga jumlah populas awal Matrs L = adalah matr Lesle yang mempunya sfat-sfat yang menar Bernadell (94) dalam [] menunjuan bahwa setap pemangatan dar L aan menghaslan matr denttas I, L atau L Dapat dtunjuan bahwa nla egen dar matr Lesle L d atas adalah, + 3, dan 3 dan L tda mempunya nla egen yang domnan d mana nla egen domnan adalah nla egen postp λ sedeman hngga λ λ Apaah setap matr Lesle L ordo tga yang nla egennya tda domnan merupaan syarat cuup agar L t = I untu suatu blangan bulat t? Ternyata hal n tda benar arena matr Lesle L = mempunya nla egen, -+ 3, dan d antaranya tda ada nla egen yang domnan, aan tetap dengan mudah dapat dtunjuan bahwa L 3 I Jad nla egen yang domnan dar matr Lesle L tda dapat ta harapan memberan araterst bag matr L t = I untu suatu blangan bulat t Pada maalah n ta tunjuan syarat perlu dan cuup agar matr Lesle L meml sfat L t = I untu suatu blangan bulat postp t Karatert lan dar matr Lesle dapat dbaca pada Lnear Algebra [] Notas dan defns lan yang dgunaan dalam maalah n mengut [] Yang dmasud dengan

3 36 Mudn Smanhuru / Jurnal Graden Vol No Januar 006: matr dagonal adalah matr bujursangar yang entrnya dluar dagonal utama sama dengan nol Matr dagonal D ordo n dnyataan dengan D = dag(d, d,,d n ) Apabla setap d > 0 maa matr dagonal D dsebut matr dagonal postp Selanjutnya notas (A) j menunjuan entr dar matr A pada bars e dan olom e j 3 Syarat perlu dan cuup Dua Lemma berut aan menunjuan bahwa entr dar matr Lesle L ordo tga adalah blangan postp Lemma : Msalan A adalah matr ordo tga Ja semua entr dar A pada olom etga sama dengan nol, maa semua entr dar A t pada olom etga sama dengan nol But: Msalan A t- = b b b 3 b b b, t Aan 3 b3 b3 b33 dtunjuan bahwa semua entr dar A t pada olom etga semuanya sama dengan nol Perhatanlah bahwa A t = A t- A dan (A t ) 3 = b a 3 + b a 3 + b 3 a 33, (A t ) 3 = b a 3 + b a 3 + b 3 a 33, (A t ) 33 = b 3 a 3 + b 3 a 3 + b 33 a 33 Karena a 3 = a 3 =a 33 = 0 maa (A t ) 3 = (A t ) 3 = (A t ) 33 = 0 Dengan deman Lemma terbut Lemma : Msalan L = a b c, a 0, b 0, c 0 y 0 0, 0 < x dan 0 < y Ja L t, t, adalah matr dagonal postp maa c>0 But: Msalan c = 0 Aplasan Lemma terhadap L t dperoleh (L t ) 3 = (L t ) 3 = (L t ) 33 = 0 Karena (L t ) 33 = 0, maa L t buan matr dagonal postp, ontrads dengan hpothess dar Lemma Oleh arena tu c > 0 Lemma 3: Msalan L = a b c, a 0, b 0, c > 0, 0 y 0 0 < x dan 0 < y Ja a > 0 atau b > 0 maa ada dua entr postp pada bars pertama dar L t, t But: Lemma aan dbutan dengan ndus pada t Bass Indus: Perhatanlah bahwa bars pertama dar L yang dnyataan dengan B sama dengan B = [a b c] a b c = [a + bx ab + cy ac] 0 y 0 Perhatanlah bahwa cy > 0 Ja a > 0 maa ac > 0 Jad ada dua entr postp dar L pada bars pertama yatu cy + ab dan ac Deman pula apabla b > 0, maa ada dua entr postp dar L pada bars pertama yatu cy + ab > 0 dan a + bx > 0 Hpothesa Indus: Msalan ada dua entr postp pada bars pertama dar L t- Langah Indus: Aan dtunjuan ada dua entr postp pada bars pertama dar L t t Msalan B = [p q r], adalah bars pertama L t- Berdasaran ndus hpothesa dperoleh: () p > 0 dan q> 0, () p > 0 dan r > 0, atasu () q > 0 dan r > 0 t Perhatanlah bahwa B dar L t adalah t B = [p q r] a b c 0 y 0 = [ap + qx pb + yr pc] Ja p > 0 dan q > 0 maa ap + qx > 0 dan pc > 0, jad ada dua entr postp pada bars pertama dar L t Ja p > 0 dan r > 0, maa pb + yr > 0 dan pc > 0, jad ada dua entr postp pada bars pertama L t Ja q > 0 dan r > 0, maa ap + qx > 0 dan pb +yr > 0, jad ada dua entr postp pada bars pertama L t Dengan deman Lemma terbut Lemma 4: Msalan L = a b c adalah matr 0 y 0 Lesle d mana a 0, b 0, c 0, 0 < x dan 0 < y Ja L t adalah matr dagonal postp maa a = 0 dan b = 0 But: Karena L t adalah matr dagonal postp maa L t memenuh onds Lemma Oleh arena tu ta smpulan c > 0 Selanjutnya msalan a > 0 atau b >0 Kta aan menunjuan bahwa pemsalan n aan

4 Mudn Smanhuru / Jurnal Graden Vol No Januar 006: menmbulan ontrads sepert berut Karena a > 0 atau b > 0, maa dengan menggunaan Lemma 3 ta peroleh bahwa L t mempunya dua entr postp pada bars pertama Berart L t buan matr dagonal yang dengan sendrnya buan matr dagonal postp, ontrads dengan hpothess dar Lemma Oleh arena tu pemsalan a > 0 atau b > 0 adalah salah Jad a = 0 dan b = 0 Dengan deman Lemma terbut Selanjutnya aan ta butan bahwa syarat perlu dan cuup agar matr Lesle L ordo tga meml sfat L 3 = I, untu blangan bulat Teorema berut menunjuan bahwa L 3 = dag((cxy), (cxy), (cxy) ) bla L adalah matr ordo tga d mana entr bada bars pertama olom pertama dan olom edua sama dengan nol Teorema : Msalan L = a b c, c > 0, 0 < x 0 y 0 dan 0 < y Ja a = 0 dan b = 0 maa L 3 = dag((cxy), (cxy), (cxy) ) untu But: Lemma aan dbutan dengan ndus pada Bass Indus: Dengan mudah dapat dtunjuan bahwa L 0 cy 0 = 0 0 cx dan L 3 = L L = xy 0 0 dag(cxy,cxy,cxy) Jad Teorma d atas benar untu = Hpothesa Indus: Msalan teorema d atas benar untu - yatu L 3(-) = dag ((cxy) -, (cxy) -, (cxy) - ) Langah ndus : Aan dtunjuan bahwa L 3 = dag ((cxy), (cxy), (cxy) ) Perhatanlah bahwa L 3(-)+ = L 3(-) ( cxy ) c L= 0 ( cxy ) ( cxy ) 0 y ( cxy) c = ( cxy), 0 ( cxy) y 0 L 3(-) + = L 3(-)+ 0 0 ( cxy) L = ( cxy) 0 ( cxy) y 0 0 ( cxy) cy 0 = 0 0 ( cxy) ( cxy) xy ( cxy) y 0 c 0 0 c 0 y 0 cx dan L 3(-) + 3 = L 3(-)+ 0 ( cxy) cy c L = 0 0 ( cxy) cx ( cxy) xy ( cxy) y 0 0 y 0 = dag((cxy) -, (cxy) -, (cxy) - ) Dengan deman teorema d atas terbut Selanjutnya teorema berut menjelasan syarat perlu dan cuup bag matr Lesl L agar L 3 adalah matr dagonal postp Teorema : Msalan L = a b c adalah matr 0 y 0 Lesle d mana a 0, b 0, c 0, 0 < x dan 0 < y Matr L 3 adalah matr dagonal postp ja dan hanya ja a = b = 0 dan c > 0 But: Msalan L 3 adalah matr dagonal postp Dengan menggunaan Lemma terhadap L 3 dperoleh c > 0 Selanjutnya aplasan Lemma 4 terhadap L 3 dperoleh a = b = 0 Sebalnya msalan a = b = 0 dan c > 0 Dengan menggunaan Teorema ta peroleh L 3 = dag((cxy), (cxy), (cxy) ) Karena c > 0 maa cxy > 0 Oleh arena tu L 3 adalah matr dagonal postp dengan deman teorema terbut Ahrnya ta sampa pada aratersas dar matr L sehngga L 3 = I sebagamana dnyataan oleh teorema berut Teorema 3: Msalan L = a b c adalah matr 0 y 0 Lesle d mana a 0, b 0, c 0, 0 < x dan 0 < y

5 38 Mudn Smanhuru / Jurnal Graden Vol No Januar 006: Matr L 3 = I ja dan hanya a = b = 0 dan cxy = But: Msalan L 3 = I Karena semua entr pada dagonal utama sama dengan, maa jelas L 3 adalah matr dagonal postp Berdasaran Lemma 4, ta peroleh a = b = 0 Selanjutnya berdasran Teorema ta peroleh L 3 = dag((cxy), (cxy), (cxy) ) Karena L 3 = I, maa (cxy) = Abatnya cxy = Sebalnya msalan a = b = 0 dan cxy = Karena cxy = maa jelas c > 0 Perhatanlah onds Teorema yatu a = b = 0 dan c > 0 terpenuh Oleh arena tu berdasaran Teorema ta peroleh bahwa L 3 adalah matr dagonal postp Dengan menggunaan Teorema ta peroleh L 3 = dag((cxy), (cxy), (cxy) ) Karena cxy = maa L 3 = I Dengan deman teorema terbut sebarang matr Lesle L berordo n Kam saranan agar penelt lan menelt lebh lanjut tentang ebenaran conjecture d atas Daftar Pustaa [] Anton,H and Rorres,C, Elementary Lnear Algebra (7th ed), 994, John Wley & Sons,Inc New Yor [] Tarumngeng,R, Dnama Populas, 994, Pustaa Snar Harapan, Jaarta Dar Teorema 3 ta lhat apabla a = b = 0 dan cxy = maa L 3 = I, L 3+ = L dan L 3+ = L dan L 3+3 = I untu 4 Smpulan dan saran Peneltan n telah berhasl mengaratersas matrslesle L berordo tga sebagamana dnyataan dalam Teorema 3 Karatersas tersebut adalah sebaga berut: Msalan L = a b c adalah 0 y 0 matr Lesle d mana a 0, b 0, c 0, 0 < x dan 0 < y Matr L 3 = I ja dan hanya ja a = b = 0 dan cxy = Tehn-tehn pembutan yang dgunaan pada peneltan n belum dapat dgeneralsas untu mengaratersas matr Lesle berordo n, untu nla n yang cuup besar Karatersas matr Lesle L berordo tga d atas menunjuan suatu dugaan (conjecture) berut: Apabla a, a,, a n adalah entr pada bars pertama dar matr Lesle L berordo n dan b, b,, b n- d mana b adalah entr pada bars e + dan pada olom e, maa L 3 = I ja dan hanya ja a = a = = a n- = 0, b b b n- a n = Salah satu esuaran yang dtemu untu membutan Conjecture n terleta pada esultan untu mengeneralsas Teorema untu