9. TEKNIK PENGINTEGRALAN

Transkripsi

1 9. TEKNIK PENGINTEGRALAN MUGB - KALULUS B

2 9. Integral Parsal Formula Integral Parsal : Cara : plh u yang turunannya lebh sederhana Contoh : Htung u dv uv v du e d msal u =, maka du=d dv e d v e d e sehngga e d e e d e e C MUGB - KALULUS B

3 Integral parsal dapat dlakukan lebh dar satu kal Contoh Htung sn d cos cosd Jawab () Msal u du = d Integral parsal dv = snd V=-cos cos ( sn sn d) () Msal u = dv = cos d du = d v = sn cos sn cos C MUGB - KALULUS B

4 Ada kemungknan ntegran (f()) muncul lag druas kanan Contoh Htung Jawab : () Msal () Msal u e dv=cosd u e dv = snd e cosd e cosd du du e v=sn e d d v=-cos e sn e Integral parsal sn d e sn ( e cos e cosd) e sn e cos e cosd) C Integral yang dcar,bawa keruas kanan C e cosd e sn e cos C e cosd ( e sn e cos) C MUGB - KALULUS B

5 Soal lathan Htung e ln ln d d ln( ) d sn d d 6. d MUGB - KALULUS B 5

6 9. Integral Fungs Trgonometr Bentuk : n n cos d & sn d * Untuk n ganjl, Tulskan : sn n sn sn n dan cos coscos n n dan gunakan denttas sn cos * Untuk n genap, Tulskan : sn sn dan gunakan denttas sn dan cos cos cos n n n n cos cos sn MUGB - KALULUS B 6

7 Contoh Htung.. Jawab sn sn d d. sn d sn sn d cos d cos cos cos C. sn d sn sn d cos cos ( )( ) d ( cos cos ) d cos ( d cos d d) sn sn C sn sn C 8 8 MUGB - KALULUS B 7

8 Bentuk m sn n cos d a). Untuk n atau m ganjl, keluarkan sn atau cos dan gunakan denttas sn cos b). Untuk m dan n genap, tulskan menjad jumlah suku-suku dalam cosnus, gunakan denttas Contoh : cos cos sn sn cos d sn cos sn d cos cos d cos sn cos 5 cos C 5 m dan cos cos cos d cos MUGB - KALULUS B 8 n

9 cos cos sn cos d d ( cos 8 ) d d cos d 8 sn C 8 cos ( d) MUGB - KALULUS B 9

10 Bentuk sec d dan cot csc m n m n d. Gunakan denttas sec,cot csc serta turunan gen dan kogen Contoh d( ) sec d, d(cot ) csc d a. d d (sec ) d sec d ( ) (sec d d ) d MUGB - KALULUS B 0 C

11 b. sec d sec sec d ( ) d( ) d 5 5 C MUGB - KALULUS B

12 Soal Lathan Htung. sn cos 5 d. / 0 t sec t dt. sec d. cot wcsc wdw 5. csc d MUGB - KALULUS B

13 9. Substtus Trgonometr a a. Integran memuat bentuk,msal asn t Msal 5 t 5 Contoh Htung 5 5sn t d d = 5 cost dt 5 d 5 5sn t 5sn 5cost t 5( sn t) cos costdt dt cot 5sn t sn t (csc t ) dt 5 sn ( dt cott t ) 5 C t MUGB - KALULUS B c t dt

14 b. Integran memuat bentuk,msal Contoh Htung d 5 a a t 5 d 5 5sec t t 5 dt 5 t 5 Msal t 5 5 t d 5sec t dt t 5 5 5sn sec t dt t sect t C 5 MUGB - KALULUS B cost sn t dt 5 C 5 5 d(sn( t)) sn t

15 c. Integran memuat bentuk,msal Contoh Htung d 5 d 5 5sec a 5sect t t 5sec dt t 5 asect Msal 5 sect d 5sect sect t 5 dt 5 sect t dt sec t t sn t C 5 5 sect sec t dt 5 5 C 5 cost dt t 5 5 MUGB - KALULUS B 5

16 Soal Lathan Htung d d 9 d d d 9 d d / 9 d 5 5 d d MUGB - KALULUS B 6

17 Substtus Bentuk Akar Integran memuat n a b,msal u n a b Contoh Htung Jawab : Msal u d u Dengan turunan mplst du u d d d=udu udu u u du u u du u ( ln C u ln( u ) C ) du u MUGB - KALULUS B 7

18 Soal Lathan Htung d t t dt d d t t dt ( ) / d MUGB - KALULUS B 8

19 9. Integral Fungs Rasonal Integran berbentuk fungs rasonal :, der (P)< der(q) Ada kasus dar pemfaktoran penyebut ( Q() ) yatu :. Faktor lnear tdak berulang.. Faktor lnear berulang.. Faktor kuadratk tdak berulang.. Faktor kuadratk berulang. f P Q Kasus ( lner tdak berulang ) Msal Q a b a b... an bn maka, dengan P Q A a b A, A,..., A n A a b konsta yang dcar. An... an bn MUGB - KALULUS B 9

20 Contoh Htung Jawab d 9 9 ( )( Faktorkan penyebut : ) 9 A B A( ) B( ) ( )( ) A B A B A B Samakan koefsen ruas kr dan ruas kanan Sehngga A +B = -A+B= d 9 d A +B= -A+B= 6B= + B=/,A=/ d ln ln C MUGB - KALULUS B 0

21 Kasus Lnear berulang Msal Maka Q a b p A Ap A A p... p a b p P Q a b a b a b dengan konsta A, A,..., A p, A p akan dcar Contoh Htung d Jawab A B C MUGB - KALULUS B

22 A( )( ) B( ) C( ) A( )( ) B( ) C( ( A C) ( A B C) (C ) A B) Penyebut ruas kr = penyebut ruas kanan A+C=0 A+B+C=0 -A-B+C= A+B+C=0 -A-B+C= + -A+8C= A+C=0 B=-/ -A+8C= + A=-/9 9C= C=/9 d d d 9 d ln ln 9 ( ) 9 MUGB - KALULUS B 9 C

23 Kasus Kuadratk tak berulang Msal Maka... n n n Q a b c a b c a b c P Q A B a b c A B a b c... An Bn a n bn cn Dengan A,, A,..., An, dan B, B,... B n konsta yang akan dcar MUGB - KALULUS B

24 Contoh Htung Jawab A d BC ( B c A ) A+B=0 C=0 A= d d A B=- d ( B c) ln ln( ) C ( A B) d c A d( ) d( ) MUGB - KALULUS B

25 Kasus Kuadratk berulang Msal Q a b c p Maka P Q p a b c p A B A B... a b c a A p B b c p a A p B p b c Dmana A, B, A,..., Ap, ApdanB, B,..., Bp p konsta yang akan dcar MUGB - KALULUS B 5

26 6 5 d 5 6 E D C B A ) )( ( ) ( E D C B A ) )( ( ) ( 5 6 E D C B A MUGB - KALULUS B 6 Contoh Htung Jawab : ) ( ) ( ) ( 5 6 D C B A C B B A ) 6 ( ) 6 ( E C A E D C B

27 Dengan menyamakan koefsen ruas kr dan kanan dperoleh A+B=0 B+C=0 A+B+C+D= 6B+C+D+E=-5 A+6C+E= Sehngga 6 5 d d d 5 d Dengan elmnas : A=,B=-, C= D=-5, E=0 d d d 5 ( ) d 5 ln ln( ) ( ) C. MUGB - KALULUS B 7

28 der( P( )) der( Q( )) Cata jka dahulu P() dengan Q(), sehngga, bag terlebh Contoh Htung P( ) Q( ) S( ) H( ), der( S( )) der( Q( )) Q( ) d Bag terlebh dahulu P() dengan Q() Der(P())=>der(Q())= MUGB - KALULUS B 8 5

29 5 5 ( )( ) A ( ) B ( ) A( ) B( ) ( )( ) 5 A( ) B( )..(*) Persamaan (*) berlaku untuk sembarang, sehngga berlaku juga untuk Untuk = dan =- Untuk = 5.+=A(+) A=7/ Untuk = - 5.(-)+=B(--) B=/ Dengan menggunakan hasl datas : 7 d ( ) d d d 7 ln ln C MUGB - KALULUS B 9

30 Soal Lathan Htung.... d 7 8 d ( 5) ( ) 5 d d ( ) d 5 6 d 5. 5 d MUGB - KALULUS B 0