TEKNIK PENGINTEGRALAN

Transkripsi

1 TEKNIK PENGINTEGRALAN KALKULUS FEHB S Teknk Telekomunkas - Fakultas Teknk Elektro

2 Outlne Integral Parsal Integral Fungs Trgonometr Substtus Trgonometr Integral Fungs Rasonal MA4 KALKULUS I

3 9. Integral Parsal Formula Integral Parsal : Cara : plh u yang turunannya lebh sederhana Contoh : Htung u dv uv v du e d msal u =, maka du=d dv e d v e d e sehngga e d e e d e e C MA4 KALKULUS I

4 Integral parsal dapat dlakukan lebh dar satu kal Contoh Htung sn d Jawab cos cos d () Msal u du = d Integral parsal dv = snd V=-cos cos ( sn sn d) () Msal u = dv = cos d du = d v = sn cos sn cos C MA4 KALKULUS I 4

5 Ada kemungknan ntegran (f()) muncul lag druas kanan Contoh Htung e cosd Integral parsal Jawab : e cosd e sn e sn d () Msal () Msal u e dv=cosd u e dv = snd du e v=sn du e d d v=-cos e sn ( e cos e cosd) e sn e cos e cosd) C C Integral yang dcar,bawa keruas kr e cosd e cosd e sn e cos C ( e sn e cos) C MA4 KALKULUS I 5

6 MA4 KALKULUS I 6

7 Soal lathan Htung e ln ln d d ln( ) d sn tan d d 6. tan d MA4 KALKULUS I 7

8 9. Integral Fungs Trgonometr Bentuk : n n cos d & sn d * Untuk n ganjl, Tulskan : sn n sn sn n dan cos coscos n n dan gunakan denttas sn cos * Untuk n genap, Tulskan : sn sn dan gunakan denttas sn dan cos cos cos n n n n cos cos sn MA4 KALKULUS I 8

9 Contoh Htung.. Jawab sn sn 4 d d. sn d sn sn d cos d cos cos cos C 4. sn d sn sn d cos cos ( )( ) d ( cos cos ) d cos4 ( 4 d cos d d) 4 sn sn 4 C sn sn 4 C MA4 KALKULUS I 9

10 Bentuk m sn n cos d a). Untuk n atau m ganjl, keluarkan sn atau cos dan gunakan denttas sn cos b). Untuk m dan n genap, tulskan menjad jumlah suku-suku dalam cosnus, gunakan denttas Contoh : sn cos cos cos sn d sn cos sn sn d cos 5 cos C 5 m dan cos n cos cos dcos 4 cos cos d cos MA4 KALKULUS I 0

11 cos cos sn cos d d ( cos ) 4 d cos 4 ( d ) 4 cos4 8d d 8 sn 4 C 8 MA4 KALKULUS I

12 Bentuk m n m n tan sec d dan cot csc d. Gunakan denttas tan sec,cot csc serta turunan tangen dan kotangen Contoh d(tan ) sec d, d(cot ) csc d a. tan 4 d tan tan d tan (sec ) d tan sec d tan tan (tan ) (sec tan d d ) d tan C MA4 KALKULUS I

13 b. tan sec 4 d tan sec sec d tan ( tan ) d(tan ) 4 tan tan d(tan ) 5 tan 5 tan C MA4 KALKULUS I

14 Soal Lathan Htung. sn 4 cos 5 d / 4 0 tan 4 sec cot 4 csc t sec t dt d 4 wcsc wdw d MA4 KALKULUS I 4

15 9. Substtus Trgonometr a a. Integran memuat bentuk,msal asn t Msal Contoh Htung 5 5sn t d d = 5 cost dt 5 d 5 5sn t 5sn 5cost t 5( sn t) costdt cos dt cot 5sn t sn t (csc t ) dt dt cott t c t t dt 5 t 5 5 sn ( ) 5 C MA4 KALKULUS I 5

16 b. Integran memuat bentuk,msal Contoh Htung d 5 d 5 5 tan a 5sec t t dt 5 5 tan t a tan t 5 Msal t 5 5tan t d 5sec t dt tan t 5 5 5sn sec t dt tan t sect t C 5 cost sn t dt 5 C 5 5 d(sn( t)) sn t MA4 KALKULUS I 6

17 c. Integran memuat bentuk,msal Contoh Htung d 5 d 5 5sec a 5sect tan t t 5sec dt t 5 asect Msal 5 sect d 5sect sect tan t 5 dt 5 sect tan t dt sec t tan t sn t C 5 5 sect sec t 5 dt 5 5 C cost dt t 5 5 MA4 KALKULUS I 7

18 Soal Lathan Htung d d d 4 d 9 d d / 9 d d d MA4 KALKULUS I 8

19 Substtus Bentuk Akar Integran memuat n a b,msal u n a b Contoh Htung Jawab : Msal u d u Dengan turunan mplst du u d d d=udu udu u u du u u du u ( ln C u ln( u ) C ) du u MA4 KALKULUS I 9

20 Soal Lathan Htung d t dt t d d t t 4 dt ( ) / d MA4 KALKULUS I 0

21 9.4 Integral Fungs Rasonal Integran berbentuk fungs rasonal :, der (P)< der(q) f P Q Ada 4 kasus dar pemfaktoran penyebut ( Q() ) yatu :. Faktor lnear tdak berulang.. Faktor lnear berulang.. Faktor kuadratk tdak berulang. 4. Faktor kuadratk berulang. Kasus ( lner tdak berulang ) Msal Q a b a b... an bn maka, dengan P Q A A... a b a b A, A,..., A n konstanta yang dcar. An an bn MA4 KALKULUS I

22 Contoh Htung Jawab d 9 Faktorkan penyebut : 9 ( )( ) 9 A B A( ) B( ) ( )( ) A B A B A B Samakan koefsen ruas kr dan ruas kanan Sehngga A +B = -A+B= d 9 d A +B= -A+B= 6B=4 + B=/,A=/ d ln ln C MA4 KALKULUS I

23 Kasus Lnear berulang Msal Maka Q a b p A Ap A A p... p a b p P Q a b a b a b dengan konstanta A, A,..., A p, A p akan dcar Contoh Htung d Jawab A B C MA4 KALKULUS I

24 A( )( ) B( ) C( ) A( )( ) B( ) C( ( A C) ( A B 4C) (4C ) A B) Penyebut ruas kr = penyebut ruas kanan A+C=0 A+B+4C=0 -A-B+4C= A+B+4C=0 -A-B+4C= + -A+8C= A+C=0 B=-/ -A+8C= + A=-/9 9C= C=/9 d d d 9 d ln ln 9 ( ) 9 9 C MA4 KALKULUS I 4

25 Kasus Kuadratk tak berulang Msal Maka... n n n Q a b c a b c a b c P Q A B a b c A B a b c... An Bn a n bn cn Dengan A,, A,..., An, dan B, B,... B n konstanta yang akan dcar MA4 KALKULUS I 5

26 MA4 KALKULUS I 6 Contoh Htung d C B A ) ( c B A Jawab c B A ) ( A c B A ) ( A+B=0 C=0 A= B=- d d d d d ) ( ) ( d C ) ln( ln

27 Kasus 4 Kuadratk berulang Msal Q a b c p Maka P Q p a b c p A B A B... a b c a A p B p b c a A p B p b c Dmana A, B, A,..., Ap, ApdanB, B,..., Bp p konstanta yang akan dcar MA4 KALKULUS I 7

28 MA4 KALKULUS I 8 Contoh Htung 6 5 d 5 6 E D C B A ) )( ( ) ( E D C B A Jawab : ) )( ( ) ( 5 6 E D C B A 4 ) (4 ) ( ) ( 5 6 D C B A C B B A ) 6 (4 ) 6 ( E C A E D C B

29 Dengan menyamakan koefsen ruas kr dan kanan dperoleh A+B=0 B+C=0 4A+B+C+D=6 6B+C+D+E=-5 4A+6C+E= Sehngga 6 5 d d Dengan elmnas : A=,B=-, C= D=-5, E=0 d d 5 d d d 5 ( ) d 5 ln ln( ) tan ( ) C. MA4 KALKULUS I 9

30 der( P( )) der( Q( )) Catatan jka dahulu P() dengan Q(), sehngga Contoh Htung MA4 KALKULUS I 0, bag terlebh P( ) S( ) H( ), der( S( )) der( Q( )) Q( ) Q( ) 4 d 4 Bag terlebh dahulu P() dengan Q() Der(P())=>der(Q())=

31 ( )( ) A ( ) B ( ) A( ) B( ) ( )( ) 5 4 A( ) B( )..(*) Persamaan (*) berlaku untuk sembarang, sehngga berlaku juga untuk Untuk = dan =- Untuk = 5.+4=A(+) A=7/ Untuk = - 5.(-)+4=B(--) B=/ Dengan menggunakan hasl datas : 4 7 d ( ) d d d 4 7 ln ln C MA4 KALKULUS I

32 Soal Lathan Htung d 6 8 d ( 5) ( ) 5 d d ( ) d 5 6 d d MA4 KALKULUS I